Введение к работе
Актуальность работы. В связи с созданием мощных лазерных излучателей возрастает интерес к проблемам взаимодействия интенсивных тепловых потоков с твердыми телами. Актуальным в этой связи является изучение взаимной зависимости напряженно-деформированного состояния от распределения температур, и обратно, т.е. изменение температурных полей в результате деформаций. В различных процессах обработки материалов концентрированными потоками энергии используется тепловое действие плазменного потока, лазерного или электронного луча. Создаются условия скачкообразного изменения температуры поверхности твердого тела или соприкасающейся с ней среды (так называемый тепловой удар), что приводит к появлению в телах мощной волны термических напряжений, достаточной для образования трещин. Возникает актуальная проблема оценки роли температурных полей и термоупругих волн в механизме теплового динамического разрушения твердых тел.
Особый интерес представляют исследования, связанные с развитием гиперболической теории термоупругости, доказывающие, что при определенных условиях тепло может распространяться как волна "второго звука". Эксперимент, проведенный на цилиндрических образцах из твердого гелия при температуре, близкой к абсолютному нулю, подтверждает то, что с понижением температуры скорость тепловой волны приближается к скорости обычного звука. Экспериментально было зафиксировано отражение тепловой волны от противоположного конца цилиндра, что доказывает волновую природу распространения тепла. Указанные факты отражают огромную познавательную ценность модели гиперболической термоупругости.
Значительный вклад в развитие классических и современных моделей механики твердых тел сделали Р.В. Гольдштейн, Джеффрис, Д.Д. Ивлев, К. Кат-танео, В.А. Ковалев, В.Н. Кукуджапов, Л.Д. Ландау, Ж.А. Мажен, Дж.К. Максвелл, А.В. Манжиров, В. Новацкий, Ю.Н. Радаев.
Целью работы являются:
вывод законов сохранения, соответствующих гиперболической термоупругости из условий инвариантности интеграла действия;
линеаризация нелинейных законов сохранения (в приближении малых деформаций и при малых изменениях температуры);
изучение слабых разрывов решений связанных уравнений в рамках классической термоупругости (СТЕ) и гиперболической (GN II) термоупругости, а также анализ распространения плоских гармонических связанных термоупругих волн в указанных средах;
построение аналитического решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках классической линейной теории термоупругости (СТЕ) в цилиндрической волноведущей области;
вывод частотного уравнения и определение форм гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля и в случае окружных гармоник сколь угодно высокого порядка (в рамках СТЕ);
проведение численного анализа зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн перемещений и температуры в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае произвольных окружных гармоник в рамках классической линейной теории термоупругости (СТЕ);
построение аналитического решения связанных гиперболических уравнений движения и теплопроводности в рамках линейной теории недис-сипативной GN П-термоупругости в цилиндрическом волноводе;
вывод частотного уравнения и форм гармонических GN П-термоупру-гих волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля и волн произвольного азимутального порядка;
реализация вычислений с целью определения численной зависимости волнового числа от частоты и построения форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе при сколь угодно высоком азимутальном порядке волны, в рамках линейной гиперболической термоупругости.
На защиту выносятся следующие положения:
Законы сохранения, соответствующие гиперболической термоупругости.
Доказано, что различные варианты выбора термодинамического базиса при условиях, когда стандартный термодинамический базис расширяется посредством одной скалярной переменной состояния и внутреннее производство энтропии при любых термодинамически допустимых процессах обращается в нуль, приводят к моделям, которые эквивалентны модели GN И.
3.Линеаризованы законы сохранения в приближении малых деформаций и при малых изменениях температуры.
Пары взаимно-сопряженных операторных пучков, определяющих системы собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов линеаризованных уравнений.
Полный анализ распространения плоских гармонических СТЕ- и GNII-термоупругих волн.
Аналитические решения связанной системы уравнений движения и теплопроводности в рамках линейной теории термоупругости (СТЕ, GN II) в цилиндрической волноведущей области.
Частотное уравнение и формы гармонических термоупругих волн в бесконечном цилиндрическом волноводе в условиях осесимметричного окружного волнового профиля и в случае волн сколь угодно высокого азимутального порядка (в рамках СТЕ, GN II).
Численный анализ зависимости волнового числа от частоты для нескольких окружных гармоник.
Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:
1. Исходя из интеграла действия, построена континуальная модель теории
гиперболической термоупругости и найдены соответствующие законы сохра
нения.
Проведена линеаризация точных уравнений движения и гиперболического уравнения теплопроводности в окрестности известного напряженно-деформированного состояния.
Получены операторные формы записи соотношений термоупругости и пары взаимно-сопряженных операторных пучков, определяющих системы собственных и присоединенных функций.
С помощью условий совместности Адамара—Томаса изучены слабые разрывы в СТЕ- и GN П-термоупругих средах.
В рамках классической линейной теории термоупругости и GN П-тер-моупругости с помощью связанных уравнений движения и теплопроводности проведен анализ гармонических волн, распространяющихся вдоль оси свободного теплоизолированного цилиндрического волновода.
С помощью системы символьных вычислений Mathematica 6.0 реализован численный анализ частотного уравнения и форм гармонических волн в бесконечном цилиндрическом термоупругом волноводе в случае окружных гармоник произвольного, сколь угодно высокого порядка (для СТЕ- и GN П-термоупругих сред).
Достоверность полученных результатов обусловлена строгостью формулировок краевых задач, использованием фундаментальных принципов механики и термодинамики, а также сравнением с известными из литературы результатами. Реализован переход к чисто упругим волнам в соотношениях гиперболической термоупругости, в результате получены известные уравнения Похгаммера—Кри.
Практическая значимость результатов. Полученные результаты описывают процессы, связанные с резкими изменениями температуры на поверхности твердых тел (тепловой удар), которые часто встречаются в элементах конструкций и приводят к механизму теплового разрушения твердых тел.
Приведена модель термомеханических процессов, протекающих при температурах, близких в абсолютному нулю, что позволяет использовать термо-
упругие модели, допускающие явление "второго звука", при описании природных процессов, протекающих на удаленных от Солнца спутниках Юпитера, Сатурна и Нептуна.
Результаты диссертационной работы можно применять при расчетах, связанных с передачей термоупругого сигнала по волноводу.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и школах:
Семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. Ю.Н. Радаева, г. Самара, Самарский государственный университет, 2004-2009 гг.;
14-я Зимняя школа по механике сплошных сред, г. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2005 г.;
IX международная конференция, посвященная 85-летию со дня рождения акад. РАН И.И. Воровича, г. Ростов н/Д., Ростовский государственный университет, 11-15 октября, 2005 г.;
Третья межвузовская научно-практической конференция "Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике ", посвященная памяти профессора Л.И. Кудряшева. Самара, Самарский государственный университет, февраль 2006 г.;
Международная молодежная научная конференция "XXXII Гагаринские чтения. " Москва, Институт проблем механики РАН, 4-8 апреля 2006 г.;
Международная молодежная научная конференция "XXXIII Гагаринские чтения. " Москва, Институт проблем механики РАН, 3-7 апреля 2007 г.;
Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, проф. Геннадия Ивановича Быковцева, г. Самара, Самарский государственный университет, 29 января —2 февраля, 2008 г.;
VIII Международная научно-практическая конференция "Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике", г. Новочеркасск, Южно-Российский государственный технический университет, 25 февраля, 2008 г.;
Международная молодежная научная конференция "XXXIV Гагаринские чтения", г. Москва, Институт проблем механики РАН, 1-5 апреля, 2008 г.;
Всероссийская конференция "Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела", г. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 13-15 октября,
2008 г.;
Ежегодные научные конференции преподавателей и молодых ученых Самарского государственного университета, г. Самара, Самарский государственный университет, 2005-2009 гг.;
16-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 24-27 февраля 2009 г.;
Семинар "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, проф. В.А.Ковалева, г. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 24 марта,
2009 г.;
- Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора
физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева, г. Чебоксары, Чувашский
государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 3 апреля, 2009 г.;
- Семинар по механике сплошной среды им. Л.А.Галина по руководством проф. В.М.Александрова, В.Н.Кукуджанова, А.В. Манжирова, г. Москва, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, май, 2009 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 13 печатных работ. Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 211 страниц, включая 64 рисунка и графика, 4 таблицы и список литературы из 115 наименований.
Диссертационная работа частично поддержана грантом АВЦП №3341 "Интеграция фундаментальных и прикладных исследований в передовых областях современной математической физики и ее приложений на базе лаборатории математической физики Самарского государственного университета".
