Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Краевые задачи динамической теории упругости для тел с неоднородностями 14
1.1. Уравнения и граничные условия динамической теории упругости 14
1.2. Техника интегральных преобразований 20
1.3. Матрицы Грина для свободного слоя 24
1.4. Волны Рэлея-Лэмба 28
ГЛАВА 2. Волновое поле в двухслойном волноводе с интерфейсной трещиной 31
2.1. Волновое поле поверхностного источника колебаний 32
2.2. Волновое иоле, отраженное горизонтальной трещиной 33
2.3. Расчет волновых полей с использованием теории вычетов 35
2.4. Энергетические характеристики волновых полей 37
2.5. Показатели сингулярности у краев трещин при соединении разномодульных соединений 38
2.6. Коэффициенты интенсивности напряжений 39
ГЛАВА 3. Методы решения гиу для слоистого волновода с интерфейсной трещиной 41
3.1. Схема Галеркина 41
3.2. Сведение ГИУ к бесконечной системе 44
3.3. Регуляризация бесконечной системы 46
3.4. Сравнительный анализ методов 47
3.5. Спектр краевой задачи 53
ГЛАВА 4. Дифракция упругих волн в волноводе, содержащем горизонтальную трещину 55
4.1. Анализ влияния места приложения поверхностной нагрузки на отраженное трещиной поле 55
4.2. Дифракция волн Рэлея 58
4.2.1. Анализ резонансных частот 60
4.2.2. Анализ влияния глубины залегания трещины на блокирование рэлеевской волны 63
4.3. Дифракция волн Лэмба 76
4.3.1. Спектральные свойства слоя с горизонтальной трещиной 78
4.3.2. Собственные формы локализации волнового процесса 81
4.3.3. Блокирование набегающих волн 83
ГЛАВА 5. Дифракция упругих волн на наклонной трещине 105
5.1. Интегральные представления для волновых нолей 106
5.2. Интегральное уравнение для наклонной трещины 110
5.3. Численный анализ 113
Заключение 121
Литература 123
- Уравнения и граничные условия динамической теории упругости
- Расчет волновых полей с использованием теории вычетов
- Анализ влияния глубины залегания трещины на блокирование рэлеевской волны
- Интегральное уравнение для наклонной трещины
Введение к работе
Дифракция упругих волн на внутренних препятствиях используется в ультразвуковой дефектоскопии, сейсмологии, геофизике, медицинской томографии и многих других областях науки и техники. Анализ структуры отраженного и рассеянного ноля дает информацию как о внутренней структуре зондируемого материала, так и о самом препятствии (дефекте). Из всех типов неоднородностей наиболее опасны именно трещиноподобные дефекты, так как при статическом или циклическом воздействии у краев дефекта происходит рост напряжений, что может приводить к росту трещины и вызывать катастрофические разрушения.
У истоков механики разрушения стояли Л. да Винчи и Г. Галлилей, в дальнейшем А. Сен-Венан и О. Мор положили начало теории предельного равновесия, а А. А. Гриффите - теории хрупкого разрушения [72, 62]. На настоящий момент механика трещин уже являет собой обширный раздел механики сплошной среды, коему посвящено большое количество работ, см. например, монографии Н.Ф. Морозова [58], Дж.Ф. Нотта [59], В.В. Па-насюка [61], В.З. Партона [62], Л.И. Слепяна [68], Г.П. Черепанова [72], Е.И. Шифрина [73], L.B. Freund [95] и др.
По Гриффитсу [104], существующая трещина станет лавинообразно распространяться, если скорость освобождения энергии упругой деформации превзойдет прирост поверхностной энергии трещины. Позже были предложены другие, более общие критерии разрушения, основанные на анализе характеристик поля раскрытия трещины у ее кончика. Согласно [72] трещина растет при достижении коэффициентом интенсивности напряжений критического значения, но вязкость разрушения зависит от скорости нагружения. Иначе говоря, во многих приложениях для решения вопроса о развитии трещины необходимо из чисто упругой задачи найти коэффициенты интенсивности напряжений [95].
На практике, прежде чем решать вопрос о возможности развитии трещины, необходимо сначала определить ее геометрию, то есть форму и
ориентацию в пространстве. Эффективная идентификация дефекта по измеренным на поверхности рассматриваемого тела полям составляет предмет дефектоскопии. Такие задачи относятся к классу некорректных задач математической физики, для решения которых производится замена некорректно поставленной задачи близкой ей корректной, использующей дополнительную информацию о решении (В.Я. Арсенин, Ю.И. Бобровницкий, А.Н. Тихонов). Так, задача об определении неизвестных поверхностных сил, действующих на упругое тело конечных размеров, по измеренному полю смещений на части поверхности решена Ю.И. Бобровницким в [8, 9]. Методы определения размеров плоских приповерхностных трещин приводятся С. Alves, Т. На Duong в [78], а интерфейсных и криволинейных А.О. Ватульяном в [13].
В неразрушающих методах контроля для идентификации дефектов зачастую используют ноля смещений в дальней от дефекта зоне. В [106] было показано, что дальние поля выражаются через интегралы от скачков смещений по области трещины [73]. Иначе говоря, в задачах о колебаниях трещин необходимо определять функцию раскрытия берегов трещины, моделируемой, как правило, тонким математическим разрезом. Такая постановка задачи приводит к решению уравнений теории упругости с соответствующими граничными условиями, решение которых сопряжено с весьма серьезными математическими проблемами. Наиболее универсальными методами решения задач теории упругости для тел с трещинами являются, по-видимому, численные методы. Среди них выделяют такие, при которых решаются уравнения теории упругости во всем трехмерном теле [73], и такие, в которых уравнения предварительно сводятся на границу тела и затем уже решаются граничные уравнения (метод граничных интегральных уравнений).
К числу первых относятся метод конечных разностей, который не нашел широкого применения в приложении к механике трещин и метод конечных элементов (МКЭ), получивший наибольшее распространение в
инженерных приложениях и продолжающий активно развиваться но сей день. К достоинствам МКЭ относятся слабая чувствительность к усложнению геометрии тела, ленточная структура матрицы системы, а также ясный механический смысл. Недостатки МКЭ - большие вычислительные затраты и трудности, возникающие при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для задач динамики. Последняя проблема частично решается применением гибридных схем МКЭ, которые вблизи контура трещины используют сингулярные элементы. Например, при решении задач статики в работах S.N. Atluri и К. Kathiresan [79, 80] использовались гибридные элементы в перемещениях, в работах М. Кипа - смешанные гибридные элементы [111]. Сингулярные и полосовые элементы использовали в [117] G.R. Liu и J.D. Achenbach для задачи о гармонических колебаниях слоя, ослабленного полосовой трещиной.
Ко второй группе относятся лучевые методы, метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностный метод и др. Лучевые методы, разработанные в 60-70 гг. XX века [7, 11] и адаптированные для практического применения R.K. Chapman [91], являются простыми и физически наглядными, но могут использоваться только для плавно неоднородных сред и гладких участков границы дефекта, характерный размер которого должен быть больше длины волны. МГЭ не имеет такого недостатка, а но сравнению с МКЭ имеет меньшую размерность задачи, поскольку дискретизируется только поверхность тела, но в то же время приводит к более сложным сингулярным интегральным и интегродифференциальным уравнениям. Кроме того, МГЭ позволяет более эффективно решать задач динамики как о плоских [77, 108, 118, 122] так и о криволинейных трещинах [14]. Так, А.О. Ватульян [14], В.В. Михаськив [57] и др. в своих исследованиях упрощали задачу, примененяя к уравнениям преобразования Фурье или Лапласа, а, например, S. Hirose и J.D. Achenbach [107] записывали и решали граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно пространственных и временной переменных.
Дифракция упругих волн имеет многочисленные приложения в неразрушающих методах контроля и определении характеристик материала [8, 9, 10, 15]. Так как преобразование Лапласа но временной переменной переводит нестационарную задачу в гармоническую и наоборот, то построение гармонической можно считать основным этапом получения нестационарной задачи. Для более полного осмысления физической сути явлений естественно прибегать к аналитическим или полуаналитическим методам решения. Именно таким методом является метод граничных интегральных уравнений, как правило, использующий разложение скачка смещений на берегах трещины по ортогональным полиномам или сводящийся к МГЭ.
Наиболее простым случаем гармонических колебаний являются SH-волны - в этом случае уравнения движения в упругом материале сводятся к скалярному уравнению Гельмгольца. Решение задачи о SH-колебаниях слоистого изотропного полупространства и изотропного двухслойного волновода с одной и двумя интерфейсными трещинами дано F.L. Neerhoff [121] и Т. Kundu [112, 113], а трещины круговой формы изучены Yang Y. и Norris А. [129]. Анизотропная трехслойная пластина с наклонной трещиной рассмотрена Т. Grahn [103], а радиально-анизотропное полупространство с круговой трещиной в [87]. Рассмотрение P-SV волн, приводящее к решению уравнений относительно векторных величин, выполнено H.J. Yang и D.B. Bogy для слоистого полупространства с интерфейсной трещиной [128], для интерфейсной трещины между двумя полупространствами S. Itou [109], а круговые трещины рассмотрены в [130].
Для дифракции упругих волн на полосовых трещинах в изотропной полуплоскости на основе различных подходов J.H.M.T. Van der Hijden и F.L. Neerhoff [126, 127], Achenbach J.D. [74, 75], P. Bovik и A. Bostrom [89], B.A. Бабешко [3], В.А. Александров, И.И Ворович [17] получили эффективные методы решения. Для анизотропных материалов аналогичная проблема также была успешна решена Т. Grahn [103] и в более общем случае криволинейной трещины А.О. Ватульяном [14].
С использованием разложения скачка смещений берегов трещины по ортогональным полиномам были исследованы и трещины круговой формы. В работах Krenk S. и Schmidt Н. [110] было изучено рассеяние объемных волн, падающих на круговую трещину под произвольным углом; A. Bostrom, P. Bovik, A. Eriksson, S.K. Datta и Т. Kundu, представлявшие решение в виде суммы сферических волн, построили решение задач о колебаниях двух круговых трещин [86] и группы трещин [94], в случае анизотропии такой подход развит Kundu Т. [114]. При рассмотрении прямоугольных трещин L. Guan и A. Norris [105], а также S. Itou [108] использовали схему аналогичную примененной к задаче о полосовой трещине в [89], приближая неизвестную функцию скачка смещений полиномами Чебышева по каждой из пространственных координат [84].
В случае произвольной формы дефекта J. Achenbach, D. Budrek [90], L. Keer, W. Lin [115], C. Alves, T. Ha-Duong [76, 77] используют сеточную аппроксимацию, но при дискретизации возникают трудности из-за многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами. Вариационно-разностный метод, предложенный Р.В. Гольдштейном, И.С. Клейном и Г.И. Эскиным [44] для решения двумерных интегральных уравнений типа свертки и хорошо зарекомендовавший себя при решении динамических контактных задач, модифицирован в работах В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой и других [5, 6, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 82, 101] для пространственных трещин произвольной формы.
Одной из основных задач ультразвуковой дефектоскопии является определение размеров и формы дефекта по отраженному волновому полю (см. например [41, 88]). При решении такой задачи, являющейся по сути обратной, на каждом шаге минимизации некоторой целевой функции решается прямая задача. Кроме того, обратные задачи относятся к классу некорректных, требующих специальной регуляризации, основанной на сужении допустимых форм трещины [92]. Такое сужение возможно путем учета информации о распределении резонансных полюсов рассеянного по-
ля в комплексной плоскости частоты. Поэтому объем информации, необходимый для идентификации формы трещины по рассеянному полю, может быть резко уменьшен, если 1) предварительно получить распределение полюсов в зависимости от формы, 2) уметь выделять резонансные частоты из регистрируемого отраженного сигнала.
Данные соображения легли в основу так называемого метода сингулярных разложений (Singularity Expansion Method - SEM), первоначально возникшего в связи с задачами локации объектов электромагнитными волнами в исследовании СЕ. Baum [81]. В 70-80-е годы XX века появилось множество работ, предлагающих различные способы использования резонансных частот рассеяния скалярных электромагнитных и акустических волновых полей для определения формы и свойств рассеивателя (см. обзор [124]). Позже G. Bollig и K.J. Langenberg [83] развили метод для упругих волн, однако достигнутые здесь успехи значительно скромнее, что в первую очередь объясняется сложностью решения соответствующих прямых задач.
Хорошо разработанный математический аппарат позволил решить ряд спектральных задач для внутренних трещин. Для дифракции на пространственных трещинах к настоящему времени значения резонансных частот для круговых и эллиптических трещин получены A.S. Eriksson [93], для трещин сложных форм С. Alves [76], А.В. Капцовым и Е.И. Шифриным [51], Е.В. Глушковым и Н.В. Глушковой [25]. Помимо практических задач дефектоскопии колебания бесконечно протяженных тел с внутренними или поверхностными неоднородностями на резонансных частотах представляют отдельный интерес еще и ввиду определения дискретных значений сингулярных операторов, имеющий смешанный спектр.
При этом резкий рост напряжений происходит только на резонансных частотах, зависящих от размеров, формы и расположения дефекта, а также от упругих свойств и строения волновода. Поэтому такие объекты получили название "вирусов вибропрочности", разрушительное действие которых не проявляется до тех пока не сложатся благоприятные условия
(В.А. Бабешко). Наряду с ростом коэффициентов интенсивности напряжений, резонансный отклик может сопровождаться захватом и локализацией волновой энергии в окрестности дефектов в форме ловунючных мод (trapped modes [125]). Изучение механизма возникновения ловушечных мод в различных системах является актуальной задачей, привлекающей интерес широкого круга исследователей. Это явление известно также под названиями резонанса неоднородных волн, "вирусов вибропрочности", собственных решений, соответствующих изолированным точкам спектра (В.А. Бабешко, И.И. Ворович [18, 4,19], Д.А. Индейцев [48], F. Ursell, D.V. Evans, СМ. Linton [116, 125]).
Цель работы.
разработка эффективной математической модели, описывающей распространение упругих волн в слоистых волноводах и их дифракцию как на горизонтальных интерфейсных так и на наклонных полосовых прямолинейных трещинах;
реализация разработанных методов в виде пакета программ, обеспечивающих быстрый параметрический анализ волновых и энергетических характеристик;
анализ зависимости характеристик прохождения и отражения нормальных мод от размеров, расположения и ориентации трещины, а также от частоты колебаний и параметров волновода;
определение динамических коэффициентов интенсивности напряжений и исследование их зависимости от указанных факторов;
изучение резонансных и блокирующих свойств полосовых трещин в слоистых волноводах;
исследование спектральных свойств упругих волноводов, содержащих внутренние полосовые трещины и характер локализации волновой энергии на частотах собственных колебаний.
В первой главе диссертации дается общая постановка краевых задач динамической теории упругости. Излагается техника применения инте-
тральных преобразований для построения решения на основе матриц Грина для слоя, на поверхностях которого заданы нагрузки. Обсуждаются дисперсионные свойства слоя и полуплоскости.
Вторая глава посвящена построению с использованием интегрального подхода волновых полей для двухслойного волновода с горизонтальной интерфейсной полосовой трещиной, построению для них же асимптотик в дальней зоне и выводу ГИУ относительно скачка смещений на берегах трещины. Вводятся коэффициенты прохождения и отражения, указывается особенность поведения решения в окрестности краев трещины, соответственно вводятся коэффициенты интенсивности напряжений.
В третьей главе приводятся методы решения ГИУ для интерфейсной трещины: метод Галеркина и схема сведения к бесконечным алгебраическим системам. Дается сравнительный анализ эффективности использования каждого из методов в зависимости от параметров задачи. В случае метода Галеркина описана эффективная схема определения резонансных частот слоя с трещиной.
Четвертая глава содержит анализ прохождения и дифракции упругих волн в однородном волноводе с горизонтальной трещиной для разных типов падающих волн. Рассматривается возможность блокирования рэле-евской волны приповерхностной трещиной в зависимости от глубины ее залегания и частоты колебаний. Для слоя производится сравнение блокирующих свойств трещины для набегающей симметричной и антисимметричной нормальных мод. Устанавливается связь между резонансом волновода, содержащего трещину, ростом коэффициентов интенсивности напряжений и блокированием падающего волнового поля.
В пятой главе выводятся интегральные представления для колебаний однородного изотропного волновода, ослабленного наклонной трещиной, сведение проблемы к ГИУ и схема решения последнего. Проверяется работоспособность полученной модели сопоставлением с моделью, описанной во второй главе, и другими известными результатами. Также обсуж-
даются резонансные и блокирующие свойства наклонной трещины. В частности, рассматриваются закономерности прохождения упругих воли мимо вертикальных трещин.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
На основе интегрального подхода построена и реализована в виде пакета программ новая математическая модель, описывающая процессы распространения упругих волн и их дифракцию на полосовых трещинах произвольной ориентации в слое, полупространстве или пакете слоев, включающая в себя описание волнового ноля источника, решение задачи дифракции и анализ волнового поля всего волновода в целом.
Метод сведения интегральных уравнений к бесконечным системам алгебраических уравнений применен к задаче о дифракции упругих волн на горизонтальных интерфейсных трещинах, предложены различные схемы регуляризации получающихся систем.
Для построенной модели разработана и реализована в виде пакета программ схема построения линий тока энергии, определения коэффициентов интенсивности напряжений, коэффициентов прохождения, а также определения резонансных полюсов в комплексной плоскости частоты.
Изучены два механизма блокирования прохождения трещиной рэ-леевской волны (резонанс и экранирование), для резонансного блокирования трещиной набегающих упругих волн выявлена локализация и захват энергии.
Для широкого диапазона изменения размеров и глубины залегания трещины проанализирована зависимость характеристик отраженного поля от вида падающего поля, соотношения упругих свойств волновода и частоты колебаний.
Получено распределение резонансных полюсов рассеяния в зависимости от геометрии трещины и проанализировано их влияние на прохождение упругих волн, а также на коэффициенты интенсивности напряжений.
Обнаружены чисто вещественные точки дискретного спектра в
задаче о гармонических колебаниях слоя, ослабленного горизонтальной трещиной, построены соответствующие им собственные формы колебаний, описывающие локализацию волнового процесса.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в работах [26, 27, 28, 29, 30, 31, 36, 37, 38, 39, 97, 99] и докладывались на XXXII Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics"(St. Petersburg, 2004)(100), 2nd Conference on Mathematical Modelling of Wave Phenomena (Vaxjo, Sweden, 2005) [97], International Workshop "Research in Mechanics of Composites 2006"(Bad Herrenalb, Germany, 2006)[98], на IX и X международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среды"(г. Ростов-на-Дону, 2005-2006) [31, 35], VII международной конференции "Mathematical Problems of Mechanics of Non-homogeneous Structures" (г. Львов, Украина, 2006) [33], международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (г. Харьков, Украина, 2006) [34], на Всероссийской конференции "Волновая динамика машин и конструкций"(г. Нижний Новгород, 2004) [27], на заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края "р2003юг"(г. Сочи, 2005), V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (г. Саратов, 2005) [30], на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2006) [32] и на семинарах кафедры численного анализа Кубанского государственного университета.
Работа выполнена при поддержке администрации Краснодарского края, фонда поддержки науки, культуры, образования и здравоохранения О. Дерипаска "Вольное дело", Российского фонда фундаментальных исследований (проекты NN. 03-01-00520, 04-01-00801, 06-01-96607, 03-01-96618-р2003-а), гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов вузов федерального агентства по образованию А04-2.10-838 и Международной ассоциации INTAS (проект No. 05-1000008-7979).
Уравнения и граничные условия динамической теории упругости
Дифракция упругих волн имеет многочисленные приложения в неразрушающих методах контроля и определении характеристик материала [8, 9, 10, 15]. Так как преобразование Лапласа но временной переменной переводит нестационарную задачу в гармоническую и наоборот, то построение гармонической можно считать основным этапом получения нестационарной задачи. Для более полного осмысления физической сути явлений естественно прибегать к аналитическим или полуаналитическим методам решения. Именно таким методом является метод граничных интегральных уравнений, как правило, использующий разложение скачка смещений на берегах трещины по ортогональным полиномам или сводящийся к МГЭ.
Наиболее простым случаем гармонических колебаний являются SH-волны - в этом случае уравнения движения в упругом материале сводятся к скалярному уравнению Гельмгольца. Решение задачи о SH-колебаниях слоистого изотропного полупространства и изотропного двухслойного волновода с одной и двумя интерфейсными трещинами дано F.L. Neerhoff [121] и Т. Kundu [112, 113], а трещины круговой формы изучены Yang Y. и Norris А. [129]. Анизотропная трехслойная пластина с наклонной трещиной рассмотрена Т. Grahn [103], а радиально-анизотропное полупространство с круговой трещиной в [87]. Рассмотрение P-SV волн, приводящее к решению уравнений относительно векторных величин, выполнено H.J. Yang и D.B. Bogy для слоистого полупространства с интерфейсной трещиной [128], для интерфейсной трещины между двумя полупространствами S. Itou [109], а круговые трещины рассмотрены в [130].
Для дифракции упругих волн на полосовых трещинах в изотропной полуплоскости на основе различных подходов J.H.M.T. Van der Hijden и F.L. Neerhoff [126, 127], Achenbach J.D. [74, 75], P. Bovik и A. Bostrom [89], B.A. Бабешко [3], В.А. Александров, И.И Ворович [17] получили эффективные методы решения. Для анизотропных материалов аналогичная проблема также была успешна решена Т. Grahn [103] и в более общем случае криволинейной трещины А.О. Ватульяном [14]. С использованием разложения скачка смещений берегов трещины по ортогональным полиномам были исследованы и трещины круговой формы. В работах Krenk S. и Schmidt Н. [110] было изучено рассеяние объемных волн, падающих на круговую трещину под произвольным углом; A. Bostrom, P. Bovik, A. Eriksson, S.K. Datta и Т. Kundu, представлявшие решение в виде суммы сферических волн, построили решение задач о колебаниях двух круговых трещин [86] и группы трещин [94], в случае анизотропии такой подход развит Kundu Т. [114]. При рассмотрении прямоугольных трещин L. Guan и A. Norris [105], а также S. Itou [108] использовали схему аналогичную примененной к задаче о полосовой трещине в [89], приближая неизвестную функцию скачка смещений полиномами Чебышева по каждой из пространственных координат [84].
В случае произвольной формы дефекта J. Achenbach, D. Budrek [90], L. Keer, W. Lin [115], C. Alves, T. Ha-Duong [76, 77] используют сеточную аппроксимацию, но при дискретизации возникают трудности из-за многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами. Вариационно-разностный метод, предложенный Р.В. Гольдштейном, И.С. Клейном и Г.И. Эскиным [44] для решения двумерных интегральных уравнений типа свертки и хорошо зарекомендовавший себя при решении динамических контактных задач, модифицирован в работах В.А. Бабешко, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой и других [5, 6, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 40, 82, 101] для пространственных трещин произвольной формы.
Одной из основных задач ультразвуковой дефектоскопии является определение размеров и формы дефекта по отраженному волновому полю (см. например [41, 88]). При решении такой задачи, являющейся по сути обратной, на каждом шаге минимизации некоторой целевой функции решается прямая задача. Кроме того, обратные задачи относятся к классу некорректных, требующих специальной регуляризации, основанной на сужении допустимых форм трещины [92]. Такое сужение возможно путем учета информации о распределении резонансных полюсов рассеянного по ля в комплексной плоскости частоты. Поэтому объем информации, необходимый для идентификации формы трещины по рассеянному полю, может быть резко уменьшен, если 1) предварительно получить распределение полюсов в зависимости от формы, 2) уметь выделять резонансные частоты из регистрируемого отраженного сигнала.
Данные соображения легли в основу так называемого метода сингулярных разложений (Singularity Expansion Method - SEM), первоначально возникшего в связи с задачами локации объектов электромагнитными волнами в исследовании СЕ. Baum [81]. В 70-80-е годы XX века появилось множество работ, предлагающих различные способы использования резонансных частот рассеяния скалярных электромагнитных и акустических волновых полей для определения формы и свойств рассеивателя (см. обзор [124]). Позже G. Bollig и K.J. Langenberg [83] развили метод для упругих волн, однако достигнутые здесь успехи значительно скромнее, что в первую очередь объясняется сложностью решения соответствующих прямых задач.
Хорошо разработанный математический аппарат позволил решить ряд спектральных задач для внутренних трещин. Для дифракции на пространственных трещинах к настоящему времени значения резонансных частот для круговых и эллиптических трещин получены A.S. Eriksson [93], для трещин сложных форм С. Alves [76], А.В. Капцовым и Е.И. Шифриным [51], Е.В. Глушковым и Н.В. Глушковой [25]. Помимо практических задач дефектоскопии колебания бесконечно протяженных тел с внутренними или поверхностными неоднородностями на резонансных частотах представляют отдельный интерес еще и ввиду определения дискретных значений сингулярных операторов, имеющий смешанный спектр.
При этом резкий рост напряжений происходит только на резонансных частотах, зависящих от размеров, формы и расположения дефекта, а также от упругих свойств и строения волновода. Поэтому такие объекты получили название "вирусов вибропрочности", разрушительное действие которых не проявляется до тех пока не сложатся благоприятные условия (В.А. Бабешко). Наряду с ростом коэффициентов интенсивности напряжений, резонансный отклик может сопровождаться захватом и локализацией волновой энергии в окрестности дефектов в форме ловунючных мод (trapped modes [125]). Изучение механизма возникновения ловушечных мод в различных системах является актуальной задачей, привлекающей интерес широкого круга исследователей. Это явление известно также под названиями резонанса неоднородных волн, "вирусов вибропрочности", собственных решений, соответствующих изолированным точкам спектра (В.А. Бабешко, И.И. Ворович [18, 4,19], Д.А. Индейцев [48], F. Ursell, D.V. Evans, СМ. Linton [116, 125]).
Расчет волновых полей с использованием теории вычетов
Для решения задач о дифракции волн на разного рода препятствиях в настоящее время широко используется МКЭ с большим количеством различных вариаций (например, в работах Ахенбаха и Лиу (Achenbach, Liu) [117, 119] для анизотропных сред разработаны полубесконечные "полосовые элементы"и элементы, которые учитывают поведение решения у краев трещины). Этот подход не дает возможности с такой же эффективностью, как полуаналитические методы, проводить полный анализ всех волновых явлений (в частности, проводить помодовый анализ), хотя и позволяет вычислять волновые поля с требуемой точностью. Сведение задачи о дифракции волн на внутренней трещине к решению интегральных уравнений с гиперсингулярной особенностью эффективно используется уже достаточно давно (см. обзор [85]). Решение интегрального уравнения, как правило, производится путем дискретизации изначально неизвестного скачка смещений на берегах трещины. Решать получаемое ГИУ можно более универсальным, но более грубым методом граничных элементов [14] или же методом Петрова-Галеркина. Известные особенности поведения решения в окрестности краев трещины обусловливают большую точность и наглядность с физической точки зрения метода Петроза-Галеркина. В случае использования схемы Петрова-Галеркина для задачи о колебаниях трещины в качестве базиса выбираются ортогональные полиномы Чебышева 2-го рода, а получаемая невязка зачастую проектируется на ту же самую систему функций [85].
Пакет программ, созданный на основе описанной выше модели, был протестирован на соответствие решений, получаемых с его помощью, с известными результатами (коэффициентами прохождения и коэффициентами интенсивности напряжений, см. [126]), что продемонстрировано на рис. 4.
Результаты, получаемые с помощью метода Петрова-Галеркина и сведения к бесконечной системе были сопоставлены и с приведенными в [119] амплитудами вертикальных перемещений поверхности слоя, содержащего горизонтальную трещину. Иллюстрации соответствия амплитуд, полученных согласно схеме Петрова-Галеркина (кружки), результатам из [119], вычисленных на основе МКЭ, (сплошная кривая) приведены на рис. 5. Амплитуды, вычисленные с помощью бесконечных систем, неотличимы от тех, которые вычислены методом Петрова-Галеркина, поэтому на рис. 5 приведены только последние.
Очевидно, при выборе координатной системы для схемы Петрова-Галеркина предпочтительны полиномы Чебышева 2-го рода, а не сплайны, потому что полиномы лучше учитывают поведение решения на краях трещины, что выражается в меньшей относительной погрешности выполнения
На рис. 6 изображены амплитуды нормальной компоненты раскрытия трещины и2(я)5 вычисленные разными способами. Можно видеть, что значения, полученные на основе метода Петрова-Галеркина с использованием полиномов и путем сведения к бесконечной системе, близки между собой, тогда как за простоту применения сплайнов приходится платить: для получения более точных, в смысле невязки \Cv — f - 0, результатов приходится увеличивать количество сплайнов, что в свою очередь ведет к более длительным вычислениям.
Главными недостатками использования бесконечных систем является необходимость независимо от a, d, ш вычислять большое количество полюсов &, z\ и большая в сравнении с методом Петрова-Галеркина размерность реально решаемых систем. Также следует отметить, что на малых
частотах ш метод менее точно рассчитывает волновые ноля в дальней зоне. Недостатком использования метода Петрова-Галеркина является необходимость увеличивать количество базисных функций одновременно с ростом полуширины трещины а и частоты ш, так как несмотря на удовлетворение контрольным соотношениям 2.7, изменение N существенно влияет на скачки смещений на берегах трещины, точность определения которых не может быть проверена по балансу энергии. Однако начиная с некоторого номера Nmax решения VNmax+k, к = 1,2.. становятся неотличимыми (формулы для выбора Nmax см. в [85]). В качестве примера на рис. 7 приведены амплитуды горизонтального раскрытия берегов трещины, вычисленные согласно методу Петрова-Галеркина при количестве базисных функций N — 30 и jV = 70, а также результаты, полученные с помощью сведения к бесконечной системе алгебраических уравнений. 0. Точность выполнения граничных условий т = 0 на трещине зависит от выбранной схемы. Для сравнения точности решения интегрального уравнения рассмотрим случай блокирования трещиной поля вертикального поверхностного точечного источника 5(х+Б) (рис. 8). Такой выбор обусловлен большой чувствительностью к+ к небольшим изменениям параметров a, d, ш, особенно вблизи таких сочетаний, при которых «+ достигает своих минимальных значений. Так, например, при а — 1.49, d — 0.4, ш = 0.97 коэффициент прохождения к+ Ю-5, но стоит положить ш = 0.94, и уже к+ ( 0.5).
Анализ влияния глубины залегания трещины на блокирование рэлеевской волны
В случае полуплоскости резонансные полюса шп с ростом d монотонно удаляются от вещественной оси 1ти = 0 (рис. 12). Наличие дополнительной границы у слоя по сравнению с полуплоскостью существенно изменяет траектории u)n{d). На рис. 28 приведены кривые Reun(d) (сплошные кривые) и в увеличенном масштабе lmu)n(d) (пунктир), изображающие распределение спектральных точек шп в комплексной плоскости в зависимости от глубины залегания горизонтальной трещины d при некоторой фиксированной ширине трещины а = 1. Первое, что бросается в глаза на рис. 28: минимальные значения Imu;n(d) достигаются при приближении трещины либо к одной из поверхностей слоя, либо к середине слоя. Анализируя рис. 28, можно условно разбить весь диапазон изменения d на три части. На интервале 0 d 1/10 поведение полюсов для слоя во многом идентично случаю Н = со, здесь мнимая часть резонансных полюсов монотонно убывает, а вещественная соответственно возрастает (исключение составляет ш&). На отрезке 1/10 d 1/4, а именно приблизительно при d = 1/4, достигается минимум lm ujn(d) для всех приведенных полюсов кроме а 7, и дальше все полюса уже приближаются к вещественной оси. В правой концевой точке отрезка 1/4 d 1/2 достигается уже если не глобальный, то локальный максимум lmujn(d) (т.е. максимальная близость полюса к вещественной оси). Таким образом, имеем значения d = 1/10, d = 1/4 и d = 1/2, два первых из них являются своего рода переходными между качественно отличающимися интервалами, а при d = 1/2 резонансные частоты располагаются ближе всего к вещественной оси.
Рассмотрим теперь влияние линейного размера трещины а на спектр краевой задачи при различной глубине залегания трещины при глубине трещины d = 1/10 (рис. 29), d = 1/4 (рис. 30) и d = 1/2 (рис. 31). Общая черта, характерная для всех случаев - наличие двух групп резонансных частот. Траектории изменения вещественной части первых из них близки к гиперболам, тогда как мнимая часть при а 3/2 прижимается к оси 1тшп = 0. Траектории Re о; первых не пересекаются между собой, но зато их пересекают траектории движения резонансных частот второй группы, мнимая часть которых зачастую изменяется по закону, близкому к синусоидальному.
Таким образом, траектории движения резонансных полюсов можно разделить по двум типам. К первому типу отнесем те полюса шп, вещественная часть которых увеличивается с ростом d и гиперболически уменьшается с ростом а, а мнимая часть на большей части диапазона изменения а умень шается (LOQ также отнесем к первому типу). Соответственно ко второму типу относятся полюса ш и а 5, вещественная часть которых при увеличении d сначала растет, а затем монотонно уменьшается. При варьировании полуширины трещины а мнимая часть изменяется синусоидально, практически касаясь оси 1пшп(а) = 0 в некоторых точках.
С изменением а при фиксированном значении d = 1/2 (срединная трещина, для которой согласно рис. 28 резонансные полюса располагаются ближе всего к вещественной оси) спектральные точки 1-го типа ооп(а) приближаются к вещественной оси, быть может за исключением небольших участков, в то время как полюса 2-го типа то удаляются, то приближаются к вещественной оси.
Детальный анализ показал, что полюса обоих типов именно касаются оси Re о; = 0, становясь в этих точках чисто вещественными. Для таких значений параметров (uj,a,d), (Н = 1) имеет место случай смешанного спектра с точкой дискретного, лежащей на непрерывном вещественном спектре, предсказанный И.И. Воровичем [19, 20]. Найденные пары (ип,а) вещественного дискретного спектра приведены в таблице 3.
При включении гармонического осциллятора на такой частоте и = 0 нестационарное решение Ju(x, t)j - со при t - со. При прохождении же нестационарного импульса происходит захват части переносимой им энергии и локализация волнового процесса вокруг трещины резонансного размера с частотой колебаний ип.
Интегральное уравнение для наклонной трещины
Используя богатый опыт использования интегрального подхода [6, 17, 45], разработанный алгоритм был реализован в виде пакета программ и протестирован на результатах, полученных разными авторами ранее. В частности, были рассчитаны волновые поля и характеристики и установлено совпадение с результатами, полученными в [126] для полуплоскости, содержащей наклонную трещину. А на рис. 53 кружками даны значения амплитуды вертикальных колебаний поверхности мг(х, 0), возбуждаемых нагрузкой qo(#) = {0,5(х + 2)} в слое с наклонной трещиной (# = 5.7, а = 1.005, d = 0.5, и — 1-57), полученные с помощью интегральных представлений, выведенных в настоящей работе (через решение интегрального уравнения (5.10)); сплошная линия - график, полученный в [119] на основе МКЭ.
Ранее было установлено, что в случае горизонтальной трещины (в = 0) на частотах, близких к резонансным (ш Rea»n), возможен резкий захват энергии набегающей волны, приводящий к росту КИН и запиранию волновода. Рассмотрим, как влияет поворот трещины на угол в поведение наименьших по абсолютной величине резонансных полюсов шп, которые численно аппроксимируются корнями характеристического уравнения detA(w) — 0, где А - матрица системы (5.11). Для этого обратимся к таблице 5, в которой приведены шп{9) для срединной трещины единичной полуширины (d = 1/2, а = 1). Можно видеть, что Лешп почти не зависит от 0, в то время как все Imu;n, кроме резонансной частоты о з, увеличиваются с ростом 9, т.е. при наклоне трещины ип(9) удаляются от вещественной оси.
В предыдущей главе была указана возможность резонансные частоты условно разделить на две группы: во второй - о з, в первой - все остальные. Однако резонанс горизонтальной трещины в слое, очевидно, связан слокализацией волновой энергии в прямоугольных блоках между дефектом и поверхностью волновода, тогда как при наклоне трещины зона возможной локализации волновой энергии сильно расплывается и, значит, вероятность резонанса должна резко уменьшаться при наклоне дефекта. И действительно, численный эксперимент показал ожидаемое удаление спектральных точек первого типа от вещественной оси и убывание 1то;з (полюс 2-го типа) с увеличением угла между поверхностью и трещиной (см. таблицу 5).
Для горизонтальной срединной трещины анализ прохождения и отражения нулевой антисимметричной волны позволяет выявить резонансные частоты только 1-го типа, а анализ нулевой симметричной - только полюса 2-го типа. При повороте разреза на угол 9 0 резонансные полюса 1-го типа не оставляют следа на поверхности коэффициента прохождения для симметричной моды при в 7г/36, а при прохождении антисимметричной моды, наоборот, его влияние заметно вплоть до в -к/12. Несмотря на это, КИН имеют максимум при 0 в 7г/12 лишь вблизи резонансных частот 2-го типа, причем вне зависимости от вида набегающей моды.
Таким образом, при набегании нулевой антисимметричной моды ао на горизонтальную трещину блокирование наблюдается только в окрестности третьего полюса о з (см. рис. 54а). При набегании же нулевой симметричной моды SQ, наоборот, блокирование происходит на всех шп кроме.
Интересно, что резонансный рост КИН к происходит только на частотах первой группы, причем при набегании как ао, так и so (рис. 546, 54г, kf - компонента КИН к+ для uz у правого края трещины). Еще раз напомним, что выбор именно этой компоненты для анализа обусловлен тем фактом, что правый край трещины колеблется интенсивнее.
Не менее интересный эффект наблюдается при наклоне трещины. Уже при 9 = 4.5 все "спящие"до этого полюса первой группы дают резонансное блокирование моды ао (РИС- 54а). В то же время а з никак не проявляется на графиках КИН и в этом случае (рис. 546, 54г).
Больше информации о зависимости коэффициентов прохождения к+ и интенсивности напряжений к от угла наклона 9 и частоты и дают поверхности к+{в,и)) и кі(в,ш), построенные для тех же набегающих фундаментальных мод ао и SQ. Ha рис. 55 эти поверхности показаны линиями уровня и шкалой оттенков серого цвета. Темным зонам на рис. 55а, 55в соответствует режим запирания волновода, а на рис. 556 и 55г - рост КИН.
Графики на рис. 54 являются сечениями соответствуюіцих поверхностей рис. 55 вдоль прямых 9 = 0 и 9 — 4.5. Результаты, приведенные на рис. 55а, 556 показывают, в частности, что резонансное блокирование за счет полюса шз, как и рост КИН за счет полюсов первого набора, прослеживается примерно до 9 — 15. В то же время, проявляющиеся не сразу блокирующие свойства первого набора сохраняются вплоть до 9 — 30, когда поперечное сечение волновода полностью перекрывается наклонной трещиной (a sin 9 = d).
