Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели стержней, учитывающие геометрическую нелинейность и депланацию при кручении 10
1.1. О сведении трехмерных уравнений теории упругости к приближенным одномерным уравнениям теории стержней 10
1.2. Уравнения, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержнях 12
ГЛАВА 2. Распространение и взаимодействие интенсивных крутильных волн в стержнях 18
2.1. Об основных публикациях по нелинейным волнам в стержнях 18
2.2. Нелинейные стационарные крутильные волны в стержне (модель Кулона) 20
2.3. Взаимодействие нелинейных крутильных волн в стержне (модель Власова) 24
2.4. Результаты экспериментальных исследований взаимодействия солитоноподобных волн при встречном столкновении 33
2.5. Стационарные волны в стержне при наличии квадратичной нелинейности 43
ГЛАВА 3. Квазигармонические крутильные волны 58
3.1. Модуляционная неустойчивость крутильной волны 58
3.2. Генерация крутильной волны удвоенной частоты 62
Заключение 67
Литература 68
Приложение 80
- О сведении трехмерных уравнений теории упругости к приближенным одномерным уравнениям теории стержней
- Нелинейные стационарные крутильные волны в стержне (модель Кулона)
- Результаты экспериментальных исследований взаимодействия солитоноподобных волн при встречном столкновении
- Модуляционная неустойчивость крутильной волны
Введение к работе
Актуальность темы. Крутильные волны наряду с изгибными и продольными волнами играют большую роль в формировании вибрационных полей машиностроительных конструкций. Математические модели, описывающие крутильные волны, распространяющиеся в однородных тонких стержнях, базируются, как правило, на технической теории кручения (теория Кулона) или на уточняющей ее теории стесненного кручения.
В основе технической теории Кулона лежат предположения о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур) и об отсутствии депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости на малый угол как жесткие площадки. Крутильные волны описываются волновым уравнением и распространяются без дисперсии со скоростью сдвиговых волн в неограниченной среде.
В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова. Это уравнение наряду с «волновым» оператором (оператор Даламбера) содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.
Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.
Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, – они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.
На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 –2012 гг.» по темам:
– «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.);
– «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.)
и при поддержке:
– Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 – 2013 г.г.);
– Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.).
Цель работы состоит в изучении нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии интенсивных крутильных волн в упругих стержнях.
Научная новизна:
-
Предложены новые математические модели, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержне при наличии депланации и геометрической нелинейности.
-
При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных крутильных волн при встречном столкновении.
-
Впервые показано, что нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии.
-
Впервые исследован эффект модуляционной неустойчивости квазигармонических крутильных волн.
-
Впервые показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны.
Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций.
Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении укороченных уравнений для амплитудной и фазовой огибающих квазигармонической волны использован метод усреднения по «быстрым» переменным.
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями механики сплошных сред, теории колебаний и волн, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся:
– Математические модели крутильных колебаний стержня, учитывающие депланацию и упругую геометрическую нелинейность.
– Результаты аналитических исследований и численного моделирования нелинейных крутильных волн.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007); Восьмой Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2008); Тринадцатой Нижегородской сессии молодых ученых «Технические науки» (Нижний Новгород, 2008); Научном семинаре Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова Российской академии наук (Нижний Новгород, 2010, 2011).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ, 3 из которых [1-3] – статьи из перечня журналов, рекомендуемых ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 86 страниц, включая 26 рисунков, 1 таблицу, библиографического списка, содержащего 111 наименований.
О сведении трехмерных уравнений теории упругости к приближенным одномерным уравнениям теории стержней
Крутильные волны, наряду с изгибными и продольными волнами, играют большую роль в формировании вибрационных полей машиностроительных конструкций[1-8]. Математические модели, описывающие крутильные волны, распространяющиеся в однородных тонких стержнях, базируются, как правило, на технической теории кручения (теория Кулона) или на уточняющей ее теории стесненного кручения.
В основе технической теории Кулона лежат предположения о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости (жесткий контур) и об отсутствии депланации, т.е. выхода поперечного сечения из первоначального плоского состояния. Сечения стержня, согласно этим гипотезам, скользят друг по другу, поворачиваясь в своей плоскости на малый угол как жесткие площадки. Крутильные волны описываются волновым уравнением и распространяются без дисперсии со скоростью сдвиговых волн в неограниченной среде.
В теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации. Депланация, возникающая в результате неодинакового растяжения продольных волокон при кручении, при этом считается пропорциональной относительному углу поворота, а крутильные волны описываются уравнением Власова. Это уравнение, наряду с «волновым» оператором (оператор Даламбера), содержит слагаемое, описывающее дисперсию крутильной волны, т.е. зависимость ее скорости от частоты.
Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.
Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных крутильных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике.
На актуальность темы диссертации указывает и то обстоятельство, что работа проводилась в рамках «Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2008 -2012 г.г.» по темам: - «Разработка методов повышения ресурса и надежности сложных технических систем путем применения наноструктурных материалов и градиентных защитных покрытий, диагностики на ранних стадиях повреждения и мониторинга состояния материалов и конструкций в процессе эксплуатации» (№ Гос.рег. 01200957043; научный руководитель: академик РАН Митенков Ф.М.); - «Разработка моделей и методов расчета нелинейных волновых процессов, хаотической синхронизации и формирования кластерных структур в машинах, создание высокоэффективных адаптивных систем виброзащиты» (№ Гос.рег. 01200957044; научный руководитель: профессор Ерофеев В.И.) и при поддержке: - Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России » (2009 - 2013 г.г.); - Гранта Российского фонда фундаментальных исследований «Нелинейные упругие волны в структурированных и поврежденных материалах и элементах конструкций. Теория. Эксперимент. Приложения в технической диагностике» (РФФИ № 09-08-00827; руководитель: профессор Ерофеев В.И.). Цель работы состоит в изучении нелинейных эффектов, проявляющихся при распространении и взаимодействии интенсивных крутильных волн в упругих стержнях. Научная новизна. 1. Предложены новые математические модели, описывающие распространение упругих крутильных волн в стержне при наличии депланации и геометрической нелинейности. 2. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных крутильных волн при встречном столкновении. 3. Впервые показано, что нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии. 4. Впервые исследован эффект модуляционной неустойчивости квазигармонических крутильных волн. 5. Впервые показано, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при расчетном сопровождении технологий проектирования скважинного и погружного бурового оборудования, содержащего роторные системы[35,36]. Они также могут найти применение при разработке методик акустического контроля материалов и элементов конструкций[37]. Методы исследования. При проведении исследований использованы методы механики сплошных сред, теории колебаний и волн. При получении укороченных уравнений для амплитудной и фазовой огибающих квазигармонической волны использован метод усреднения по «быстрым» переменным.
Нелинейные стационарные крутильные волны в стержне (модель Кулона)
Выбор резиновой ленты в качестве исследуемой одномерной распределенной системы вызван малой скоростью распространения в ней поперечных волн (с= 10- 15м/с). Это дает возможность работать в диапазоне низких частот, при которых потери, связанные с внутренним трением пренебрежимо малы. Интенсивные поперечные волны были возбуждены, получены и зафиксированы без особых усилий. Устройство состояло из резиновой ленты, зафиксированной вертикально и растянутой с силой Т0. Фторопластовый поршень (ползун), будучи подвижной границей, перемещался вдоль ленты около ее нижнего конца. В поршне была вырезана узкая щель размером (1,5-2)/г (h - толщина ленты), что позволило ему скользить по ленте без трения и не менять ее натяжения, то есть поршень был "прозрачен" для продольных волн, в то время, как поперечные волны отражались от движущейся границы почти полностью. Поршень выполнял обратно-поступательные движения, сопровождающиеся синусоидальным законом с амплитудой . А = (1.5-16)- 1(Г2 м и плавно увеличиваемой частотой а)/2л; = (5-35)Гц. Длиналенты (-Q, измеренная от верхней жестко закрепленной опоры до середины подвижной границы, была равна (0,8-1,2) м, ее толщина /і = (0.5-1.2)х10"3 м, ширина Ь-5хЮ м, удельный вес (плотность) р = 1.2х\03 кг/м3. Волны поперечного смещения, бегущие вверх и вниз по ленте, были зарегистрированы при помощи камеры высокоскоростной съемки, способной делать 600-2000 кадров в секунду.
Источник поперечных волн в системе - движущаяся граница (поршень). Известно два механизма возбуждения. Первый случай наблюдается, когда поршень движется со скоростью, меньшей скорости распространения поперечных волн. В этом случае колебания возбуждаются в зонах параметрической неустойчивости системы с периодически колеблющейся границей. Резонансное усиление эффектов для волны наблюдается в момент ее отражения от противоположной подвижной границы. Второй механизм реализуется, когда поршень движется со скоростью, превышающей скорость распространения поперечных волн. В этом случае (аналогично газовой динамике) он рассматривается как источник, возбуждающий ударные волны, движущиеся в резиновой ленте.
Ниже предложены результаты эксперимента по исследованию нелинейных волновых процессов на установке, описанной выше. Поскольку исследуемая система обладает кубической нелинейностью, может быть проанализировано взаимодействие между нелинейными уединенными волнами не только различных амплитуд, но и обладающих различной полярностью.
В ходе эксперимента было выявлено два качественно различных типа взаимодействия нелинейных волн: слабое нелинейное взаимодействие, наблюдаемое в случае, когда максимальная скорость перемещения границы vmax = Ы ниже скорости распространения поперечной волны с, и сильное нелинейное взаимодействие при vmax с, когда в ленте были возбуждены ударные поперечные волны с амплитудами, превосходящими амплитуды слабо нелинейных волн в 5-6 раз. Взаимодействия слабо нелинейных волн В этом случае нелинейный вид колебаний достигается вследствие резонансного накопления эффектов, параметрически усиленных в результате синхронного взаимодействия волн с колеблющейся границей. Волна смещения представляла собой движущийся перепад («ступеньку») с крутизной фронта ф, не превышающей 20 {tgcp = их) (см Рис. 2.11). Уединенные волны на рисунке обозначены через Д и Bt, где индекс / = 0,1,2,3... показывает число взаимодействий волн, а точки используются для символического изображения пространственно-временной траектории волн Д и В{. Рисунок соответствует второй зоне параметрической неустойчивости системы (с = 11.5.м/с, vmax =9.%м/с), в которой возбуждаются два импульса, распространяющиеся в противоположных направлениях. Очевидно, что волны смещения u{x,t)сохраняют свою форму как до, так и после взаимодействия. Это было подтверждено анализом экспериментальных результатов: наблюдением за амплитудой импульса А = max tg p и его шириной D = 6Д, вычисленной как разность между координатами точек ленты, где tgq 0.\. Значения А и D были вычислены на каждом кадре киносъемки, реализованной в соотношении 1/10 от реального размера. Был сформирован массив экспериментальных данных, обозначенный символами (AAA) на Рис. 2.13. Численная обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов позволила определить соотношение между амплитудой А и шириной А/г экспериментально наблюдаемых уединенных волн. Это соотношение может быть легко аппроксимировано формулой Г Па Л ( ) для коэффициента нелинейности а - 5.3x10 2 и среднеквадратичного отклонения 3.2x10 3. Здесь P = N 1 =l[yl -Y(xt,a)], где xi yt- экспериментальные точки, Y(х,а) л- [б" [г приближенная зависимость Погрешность в вычислении коэффициента нелинейного взаимодействия єа равна 10"3, а вычисленный коэффициент подобия УТ = у/б/а = 3.07 хорошо согласуется с экспериментально полученным его средним значением тех = (АА/ Г) = 3.13 (см. Таблицу 1). Увеличение скорости уединенной волны V по отношению к скорости малого линейного возмущения с достигло максимума[(V -с)/с] бхЮ-4.
Заметим, что представленные здесь данные, показывают, что поперечные волны, наблюдаемые в ходе эксперимента, были фактически нелинейными и близкими по свойствам к квазисолитонам (2.4), описанным модифицированным уравнением (2.3). Постоянство коэффициента подобия уединенных волн до и после взаимодействия, указывает на сохранение их свойств, что типично для взаимодействующих солитонов. В то же время, теоретически предсказанный сдвиг фазы взаимодействующих волн не может быть зарегистрирован, вероятно, по причине малости этого эффекта.
Результаты экспериментальных исследований взаимодействия солитоноподобных волн при встречном столкновении
В уравнении (3.5) знак "волна" опущен и принято, что Г _ с .Заметим, что это уравнение, кроме кубической нелинейности и нелинейностей более высоких степеней, содержит квадратичную нелинейность. Наличие квадратичной нелинейности позволяет описывать генерацию волны сдвиговой деформации удвоенной частоты, «запрещенную» теорией упругости, но наблюдаемую экспериментально. Будем считать, что —— 1, тогда вместо уравнения (3.5) можно записать следующее уравнение: Будем искать решения уравнения (3.6) в следующем виде: Сохраняя члены не выше первого порядка малости получим систему укороченных уравнений: 6Здесь буквами a, b, с, d, є по порядку обозначены коэффициенты уравнения (3.6), начиная со второго. Так как ак2 -со2 + Ьк4 -ск2а 2 = 0 и 4ак2 -4а)2+\6Ьк4-\6ск20)2 = 0 являются уравнениями дисперсионной зависимости, то система (3.7) примет вид: Видно, что взаимодействие первой и второй гармоник имеет несимметричный характер. Квадрат амплитуды первой гармоники входит в уравнение второй гармоники в виде вынуждающей силы. Амплитуда второй гармоники входит в уравнение для первой параметрическим образом. Следовательно, первая гармоника всегда генерируется второй гармоникой, вторая же гармоника воздействует на первую лишь при наличии сигнала первой гармоники. Таким образом, амплитуда второй гармоники при малых к достигает Графики гармоник С, и С2 при предельных значениях амплитуды второй гармоники. При х -»«о происходит полная перекачка энергии во вторую гармонику, что доказывает верность нашего предположения о том, что взаимодействуют только две моды. В случае, когда к - 0 график второй гармоники имеет асимптоту 0.5 С0, при к - «о амплитуда второй гармоники достигает значения 0.25 С10 Значение функции С, с ростом х убывает от С10 до нуля. При больших к значение С, больше, однако при значениях к близких к 0 функция С, так же будет иметь значение близкое к ю По мере распространения волны происходит полная перекачка энергии в гармонику удвоенной частоты, причём при малых волновых числах к значение амплитуды второй гармоники устанавливается на уровне половины от первой, а при больших к амплитуды второй гармоники достигает лишь - амплитуды первой гармоники. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Предложены математические модели, обобщающие уравнения крутильных колебаний стержней Кулона и Власова учетом геометрической нелинейности. В общем случае нелинейность учитывается, как в системе перемещений (поскольку при кручении стержней вектор перемещений может быть конечным даже при малых деформациях), так и в соотношениях, связывающих между собой перемещения и деформации. 2. Аналитически и численно проанализированы нелинейные крутильные стационарные волны. При численном моделировании обнаружен эффект расщепления солитоноподобных, как однополярных, так и разнополярных волн. 3. Показано, что наличие нелинейности привносит с собой дисперсию, и нелинейные стационарные крутильные волны могут существовать и при отсутствии в линейной среде дисперсии. 4. Установлено, что квазигармонические крутильные волны могут быть неустойчивыми по отношению к разбиению на отдельные волновые пакеты (модуляционная неустойчивость). Проанализирована зависимость области модуляционной неустойчивости волны от упругих свойств материала стержня. Показано, что область неустойчивости увеличивается с ростом коэффициента Пуассона. 5. Выявлено, что с депланацией может быть связано появление «запрещенной» уравнениями нелинейной теории упругой удвоенной частоты (второй гармоники) в спектре крутильной волны. Определена зависимость амплитуды волны удвоенной частоты от длины волны: в длинноволновом диапазоне амплитуда второй гармоники может достигнуть половины амплитуды волны основной частоты, в коротковолновом диапазоне - лишь её четверти.
Модуляционная неустойчивость крутильной волны
Наиболее общая идея приведении трехмерных уравнений теории упругости к одномерным в случае стержней заключается в выражении напряженно-деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль оси стержня. Получаемые уравнении дл этих новых переменных и будут являться динамическими уравнениями стержней. Так как в стержнях поперечные размеры обычно малы по сравнению с характерной длиной волны, то процессы деформации в поперечных сечениях можно считать квазистатическими. Это позволяет, в частности, искать распределение смещений и направлений по сечению стержня на основе решении соответствующей статической задачи при том или ином типе деформации. Другой способ аппроксимации смещений по толщине заключается в использовании разложения точного решения задачи для упругого слоя в степенной ряд по параметру kh (А: = — - волновое число, h Л толщина пластины). [33] Для применения вариационных принципов к выводу уравнений стержней наиболее удобен переход от бесконечного числа степеней свободы в направлении нормали к конечному числу степеней свободы путём аппроксимации смещений конечными многочленами где G(lkm){y,z) и E[m) - известные функции, определяющие распределение смещений в поперечном сечении стержня, Uk(x,t) - новые искомые функции (обобщенные координаты), заданные вдоль оси стержня, k=l,2,3,...,M, М - целое число (число мод), определяющее количество степеней свободы в направлении нормали к оси стержня. В качестве аппроксимирующих функций G(lkm){y,z) используются степенные функции, функции Лежандра и др. [4]. Функции Е[т) в общем случае характеризуют нелинейность связи между смещениями частиц среды /,(х,у,z,t) и обобщенными координатами {Uk(x,t)}=U(x,t). При малых смещениях Е((ш) являются линейными функциями своих аргументов. На выборе аппроксимации заканчивается основной этап формирования приближенной модели стержня. Далее вступают в действие математические аппараты нелинейной теории упругости и вариационного исчисления [34]. Функционал действия для стержня при отсутствии объёмных и поверхностных сил запишется в следующем виде Если одномерный лагранжиан L, зависит от вторых производных, то из условия стационарности функционала получаем уравнения Эйлера-Остроградского dU DtdU, DxdUx DtDxdUxt Dx2 dU« которые описывают колебания стержней. Получающиеся при таком подходе модели стержней являются непротиворечивыми, если при учете какого-нибудь эффекта включаются в рассмотрение все другие эффекты этого же порядка малости.В технической теории стесненного кручения предполагается, что кручение стержня складывается из двух связанных друг с другом движений: поворота поперечных сечений в своей плоскости (кручение по Кулону) и их депланации (т.е. выхода из первоначального плоского состояния в результате неодинакового растяжения продольных волокон стержня при кручении). Нелинейность, связанная с геометрией деформирования, обусловлена конечными углами поворота, так как при кручении стержней вектор смещения может быть конечным даже при малых деформациях. Если сама деформация кручения, т.е. относительные смещения соседних частей стержня, не является малой, то необходимо учитывать тензор конечных деформаций. Если в векторе смещений учесть конечные углы поворота, то смещения точек стержня по теории стесненного кручения имеют следующий вид: Здесь 0{x,t)- угол поворота поперечного сечения в своей плоскости, Ф(;у,г) функция кручения, определяющая депланацию поперечного сечения. Она находится из решения уравнения Лапласа ДФ( \ z)-0 с граничным условием на ЭФ / \ / \ контуре сечения у: —— = zcos(n, у)-у cos(n, z), где п - вектор нормали к контуру. В зависимости от сделанных предположений мы получаем три различные модели динамики стержня. 1) Депланация отсутствует, тензор деформаций предполагается конечным. Рассматривается нелинейная динамика цилиндрического стержня, совершающего крутильные колебания. Кручение предполагается свободным, и выполнятся гипотезы Кулона о недеформируемости поперечного сечения в своей плоскости и отсутствии депланации. Перемещение точек стержня и, (х,y,z,t) будут связаны с углом поворота поперечного сечения 6(x,t) соотношениями: м,=0, иг—-гв{х,і), иъ = y0(x,t). Материал стержня считаем идеально упругим, т.е. деформация 1} и напряжение У1} связаны обобщенным законом Гука.
