Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1, Решение краевой задачи о распространении продольных волн в наследственно-упругом стержне 19
1.1. Некоторые сведения из общей теории наследственной упругости 20
1.2. Постановка задачи 24
1.3. Построение точного решения с помощью интегрального преобразования Лапласа и контурного интегрирования 27
1.4. Применение метода расчленения напряженно-деформированного состояния на составляющие 39
ГЛАВА 2. Погранслой в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью: наследственно-упругий стержень 41
2.1. Асимптотика точного решения в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью 41
2.2. Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью 45
2.3. Решение задачи для погранслоя 48
ГЛАВА 3, Погранслой в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью: наследственно-упругий стержень 51
3.1. Асимптотика точного решения в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью 51
3.2. Уравнение погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью 54
3.3. Решение задачи для погранслоя 57
ГЛАВА 4. Решение осесимметричной задачи о распространении продольных волн в наследственно-упругой цилиндрической оболочке 60
4.1. Постановка краевой задачи для наследственно-упругой оболочки вращения 61
4.2. Вывод асимптотически оптимальных двумерных разрешающих уравнений для безмоментной составляющей 66
4.3. Модельная задача для наследственно-упругой цилиндрической оболочки 72
Заключение 82
Литература 83
Приложения 91
- Построение точного решения с помощью интегрального преобразования Лапласа и контурного интегрирования
- Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью
- Уравнение погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью
- Вывод асимптотически оптимальных двумерных разрешающих уравнений для безмоментной составляющей
Введение к работе
Теория ползучести в широком смысле слова объединяет все модели сплошной среды, для которых определяющие уравнения между напряжениями и деформациями учитывают зависимость от времени. Эта теория имеет большое прикладное значение и применяется при изучении многих материалов (металлов, сплавов, бетонов, полимеров и т.д.), находящихся в поле внешних напряжений. Значительное место в теории ползучести занимают реологические модели и наследственно-упругие соотношения, составляющие основу наследственной теории упругости.
Большое количество материалов, используемых в строительстве и технике, обладает наследственно-упругими свойствами. Поэтому проблемы наследственной теории упругости привлекают в последнее время особое внимание многих исследователей и инженеров в связи с использованием полимерных материалов и пластмасс в различных отраслях производства и строительной индустрии.
Принципиальные основы линейной наследственной теории упругости были сформулированы Л. Больцманом. Основа этой теории заключается в том, что деформация в данный момент времени зависит от всех предшествующих напряжений. Далее В. Вольтерра дал не только строгое математическое обоснование этих идей, но существенно развил теорию дальше, распространив ее на анизотропный и нелинейный случаи [87]. Он предложил использовать аппарат теории линейных интегральных уравнений с переменным верхним пределом для описания физических процессов, сопровождающихся последействием.
Следует отметить, что основное распространение получила наследственная теория упругости при медленных процессах деформирования, что привело к развитию теории ползучести и ее приложений в различных областях техники и строительства. В данной области получено много важных результатов [34, 49, 50]. В то же время во многих областях техники, в том числе в авиационной и ракетной, конструкции из наследственно-упругих материалов подвергаются импульсным воздействиям, при этом в деформируемом материале происходят волновые процессы.
Исследование волновых процессов в наследственно-упругих средах является весьма сложной проблемой, что связано, главным образом, со сложностью математической постановки динамических задач наследственной теории упругости. Поэтому в области динамики наследственно-упругих сред получено весьма ограниченное число частных результатов при решении простейших задач.
Классическая основа теории волн напряжений в сплошных средах, в частности наследственно-упругих, изложена в книгах [9, 21, 35]. Большая часть работ по распространению волн в наследственно-упругих телах ограничивается одномерными задачами [27,41, 54, 72, 73, 81-83].
Задачи о распространении волн в стержнях в одномерной постановке представляют большой интерес в связи с тем, что стержни являются основным видом образцов, используемых в экспериментальных исследованиях свойств материалов при высоких скоростях нагружения. Кроме того, одномерная задача является наиболее простой и ее можно в значительной мере исследовать аналитическими методами, что позволяет ясно представить особенности задач распространения волн в наследственно-упругой среде и апробировать асимптотические методы, которые в дальнейшем будут распространены на неодномерные задачи.
Глауз и Ли [75] исследовали модель, состоящую из элементов Фойхта и Максвелла, соединенных последовательно. Ими был рассмотрен вязкоупругий стержень полубесконечной длины, который приводился в движение с постоянной скоростью. Для решения поставленной задачи использовался метод характеристик, и для зависимости напряжений, деформаций и скоростей частиц от времени и координат были получены численные решения.
Ахенбахом и Редди [71] получено решение для ступенчатой функции нагружения асимптотическим методом. Их решение представляет собой функцию времени в фиксированной точке после того, как через нее прошло возмущение.
В работе [74] решение задачи о распространении ударных волн в изотропных линейных вязкоупругих материалах было получено в результате приближенного обращения преобразования Лапласа с использованием метода перевала и впервые выведено выражение для затухания на фронте волны.
Круш И.И. [43] применил интегральные операторы специального вида для исследования вынужденных колебаний геометрически нелинейных упруго-наследственных систем, поведение которых описывается символико-дифференциальньш аналогом уравнения Дюффинга.
Кристенсен в работе [42] исследовал изотермическое распространение возмущений в полубесконечных стержнях. Некоторые результаты были обобщены на случай распространения плоских возмущений в трехмерной среде. Получены скорости распространения и затухания изотермических гармонических волн в трехмерной среде.
Монография [63] посвящена изучению динамического поведения упругих и вязкоупругих сред. В данной работе решена задача о распространении нестационарных продольных волн в вязкоупругом стержне с помощью интегрального преобразования Лапласа и принципа соответствия. Материал стержня описывается моделью Максвелла, внешняя нагрузка задается с помощью б - функции Дирака.
Филипповым И.Г. и Чебаном В.Г. [65] выведены уравнения колебания круглых стержней с учетом вязкости материала стержня, влияния окружающей среды и температуры. Изложенная в их монографии теория колебания стержней основана на рассмотрении стержня как трехмерного тела, т.е. на точной постановке трехмерной математической задачи колебания при внешних усилиях, вызывающих тот или иной ее вид.
В [64] исследуется широкий класс волновых задач в вязкоупругих средах. В частности, приводятся решения задач о распространении плоских волн в вязкоупругих стержнях переменного сечения, в неоднородных и составных стержнях с помощью метода рядов [62].
В статье [61] предлагается метод решения динамических задач для вязкоупругих сред, основанный на введении потенциальных функций и преобразовании уравнений движения. Связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций линейная дифференциальная.
Случай продольных колебаний стержня конечной длины постоянного поперечного сечения из вязкоупругого материала, свойства которого описывает модель стандартного линейного тела, впервые был рассмотрен А.Ю. Ишлинским [29]. Позже Соколовский [57] решал подобную задачу для полубесконечного стержня, интегрирование проводилось им численно с использованием метода характеристик. Впервые аналитическое решение этой задачи было получено Моррисоном [84]. Он использовал непосредственно теоремы операционного исчисления для нахождения обратного преобразования Лапласа-Карсона.
В книге [53] выведено уравнение вынужденных колебаний вязкоупругого стержня, вынуждающая сила представлена синусоидальным законом. Материал стержня описывается моделью стандартного линейного тела.
Ударные волны в наследственно-упругих средах изучались Работновым Ю.Н. в работах [50, 51] с помощью метода разрывов.
Рассмотрены вопросы о скорости распространения и затухания ударных волн в вязкоупругих средах. Аналогичные вопросы были рассмотрены и в работе [76].
В работе [47] рассматриваются интегральные уравнения нестационарных колебаний теории вязкоупругости в общем виде. Под вязкоупругостью понимается любая модель среды, так или иначе учитывающая диссипацию энергии при ее движении, нагрузка является произвольной функцией времени, представимой интегралом Фурье.
Наряду с вопросами построения определяющих реологических связей между напряжениями и деформациями в прикладных задачах наследственной теории упругости возникает вопрос о конкретизации вида ядер интегральных соотношений Больцмана-Вольтерра. Критерием правильного выбора служат экспериментальные данные, получаемые при статических и динамических испытаниях. Рабонтову [48] удалось построить класс функций, которые можно назвать экспоненциальными функциями дробного порядка. В наследственной теории упругости в качестве ядер интегральных операторов наиболее эффективными в теоретическом и практическом отношении оказываются дробно-экспоненциальные функции Работнова, обладающие интегрируемой особенностью в начальный момент времени (слабосингулярные функции). Эти ядра дают бесконечно большую скорость ползучести в момент приложения нагрузки, а соответствующие им функции распределения нагрузки являются непрерывными и испытывают размытие с изменением параметра дробности [20]. Этот параметр учитывает структурные изменения, связанные с различными видами обработки материалов. В статье [46] показана возможность использования таких дробно-экспоненциальных функций в динамических задачах теории линейной вязкоупругости.
Для анализа процессов ползучести и релаксации, скорости которых имеют особенность в начале процесса, с помощью наследственной теории
Колтуновым в [33] предлагается использовать ядро и резольвенту в виде ряда. Также им отмечается, что с помощью предлагаемых функций при соответствующем выборе их параметров можно описывать как ограниченную, так и неограниченную ползучесть.
В последнее время слабосингулярные функции, используемые в качестве ядер интегральных операторов, стали широко применятся при решении динамических задач. Наличие слабой сингулярности этих ядер в начальный момент времени обуславливает ряд особенностей в динамическом поведении таких сред по сравнению с обычными моделями Максвелла и стандартного линейного тела.
В [24] решается задача о распространении свободно-затухающих колебаний упруго-наследственных систем. В качестве наследственного ядра взято слабосингулярное ядро Абеля. Решение задачи ищется с помощью интегрального преобразования Лапласа с последующим применением метода контурного интеграла. Полученный результат сравнивается с решением аналогичной задачи для модели Максвелла.
Известно, что слабо сингулярным функциям с различными видами нагружения эквивалентны реологические модели с дробными производными по времени [56, 69]. В [10] решаются задачи о распространении волн напряжения в одномерных полубесконечных линейных вязкоупругих средах, свойства которых описываются наследственными ядрами Абеля и Работнова и соответствующими им реологическими моделями Максвелла и стандартного линейного тела, записанными в дробных производных. При решении задач используются преобразования Лапласа и Фурье, переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью метода контурного интегрирования. При решении задач основное внимание уделяется влиянию параметра дробности на коэффициент затухания. Аналогичные исследования проводятся в [25].
В статьях [26] и [28] решение задачи о распространении волн напряжения в составных стержнях постоянной и переменной толщины при приложении к концу стержня импульсной нагрузки получено методами теории функции комплексной переменной. Наследственные свойства вязкоупругой части стержня характеризуются слабосингулярным яром Работнова и моделью стандартного линейного тела. В работе [86] эта задача решается методом малого параметра, функция ползучести используется в виде непосредственного обобщения материала Максвелла.
В [19] рассматривается задача об ударе вязкоупругого стержня о жесткую преграду: определяется смещение точек стержня после удара и температурная зависимость отскока. Материал стержня описывается моделями Работнова и стандартного линейного тела.
Быковцевым Г.И. и Вервейко Н.Д. [14] получены соотношения, описывающие изменения интенсивностей волн в процессе их распространения в упруго-вязко-пластическом теле. В случае удара тела по полубесконечному стержню, материал которого обладает вязкоупругими и вязкопластическими свойствами, Зверевым [23] получено решение с помощью операционного метода [70] и показано, что скорость деформации в начале удара бесконечна.
Филипповым И.Г. и Кудайназаровым К. [67] выведены общие уравнения продольно-радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Полученные уравнения используются для решения прикладных задач в работах [44, 66].
Сложность уравнений наследственной теории упругости для оболочек, не позволяет получить точные аналитические решения, и поэтому используются различные приближенные методы, основанные на приближении, как исходных уравнений, так и исходных решений. Специфика изучения волновых процессов в тонкостенных конструкциях заключается в том, что из-за многократного отражения отдельных волн от лицевых поверхностей описать и воспринять волновую картину как наложение элементарных волн очень трудно. Поэтому следует разрабатывать и применять методы, основанные на суммировании вклада отдельных волн. Одним из таких методов является использование приближенных двумерных теорий.
Большую эффективность при изучении колебаний тонких оболочек имеют асимптотические методы, при этом до недавнего времени возможности этих методов не были использованы достаточно полно в нестационарной динамике оболочек. Замена переменных в масштабе характерного размера срединной поверхности оболочки показывает, что математические уравнения теории вязкоупругости для тонких оболочек, как и в случае теории упругости, относятся к классу сингулярно возмущенных уравнений с малыми параметрами при старших производных по координатам срединной поверхности, где в качестве малого параметра используется параметр относительной топкостенности.
Большое количество работ посвящено применению метода расчленения напряженно-деформированного состояния (НДС). Общие вопросы применения этого метода изложены в работах А.Л.Гольденвейзера [15-17]; В.В. Болотина [11-13]; П.Е. Товстика [59, 60].
Поскольку решение нестационарных задач топких оболочек обладает неоднородной изменяемостью, как по времени, так и по направлению распространения возмущений, то к исследованию напряженного состояния можно подойти с позиции расчленения его на элементарные составляющие, имеющие в своих областях применимости однородные изменяемости по координатам и времени. Это дает возможность построить для элементарных составляющих в рамках некоторой заданной погрешности асимптотически оптимальные уравнения, имеющие гораздо более простой вид по сравнению с исходными.
Впервые метод расчленения нестационарного НДС был рассмотрен в работе Н.А. Алумяэ [1], исследовавшего осесимметричныи переходный процесс в полубесконечной круговой цилиндрической оболочке, вызванной действиями краевой нагрузки, изменяющейся во времени по синусоидальному закону. Асимптотическое обращение контурных интегралов от изображений решений по Лапласу дало возможность разложить НДС на безмоментиое решение и краевые эффекты. Аналогичные выводы были сделаны в работе И.А. Алумяэ и Л. Поверуса [2], где краевая нагрузка на цилиндрическую оболочку изменялась по времени как функция Хевисайда, а по дуговой координате - по закону косинуса. В процессе решения задачи производилось расчленение напряженных состояний с учетом показателя изменяемости по времени. В результате проведенных исследований было показано, что тангенциальные характеристики деформации оболочки при переходном процессе могут быть определены с помощью безмоментіїой теории, когда этот процесс вызывается тангенциальными факторами па псасимптотическом крае оболочки.
Долгое время сфера применения асимптотических методов в нестационарной динамике тонких упругих тел была ограничена случаями пластины и круговой цилиндрической оболочки. Лишь сравнительно недавно в работах Л.Ю. Коссовича [36-40] были представлены асимптотические подходы к нестационарным задачам для оболочек вращения с меридианом произвольной формы, основанные на расчленении НДС на составляющие (безмоментную, моментпую и динамический погранслой) с различными показателями изменяемости. Исследование нестационарного волнового НДС оболочек вращения проводилось с использованием фундаментального понятия показателя изменяемости, введенного А.Л.Гольденвейзером [18]. Рассматривался класс задач о распространении волн деформаций в оболочках вращения под действием ударных нагрузок, приложенных к торцу оболочки. Были рассмотрены области применимости в фазовой плоскости всех составляющих и доказано сращивание безмоментной составляющей и динамического плоского симметричного погранслоя, моментной составляющей и динамического плоского обрати оси м метричного погранслоя. Разработан подход к получению асимптотик без использования интегральных преобразовании, основываясь только на физическом смысле. Корректность предложенной схемы расчленения НДС была доказана в [39], там же предложены эффективные методы определения всех составляющих.
Большой вклад в разработку асимптотически приближенных теорий и исследование нестационарных волновых процессов в оболочках и пластинах внесли публикации Ю.Д. Каплуиова. В [30] методом асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории упругости построены двумерные уравнения, описывающие высокочастотные НДС малой изменяемости в оболочках. Установлена область применимости и погрешность предложенных уравнений.
В работе [79] было показано, что для построения НДС тонкой оболочки вращения в окрестности квазифронта вместо общих уравнений теории коротковолновой высокочастотной составляющей можно использовать уточненные уравнения классической двумерной теории.
Изучение нестационарного волнового процесса в тонкой оболочке общего очертания при краевом ударном воздействии проведено в работе [31]. На основе приближенных теорий выявлены качественные особенности нестационарного НДС оболочки и определены границы областей применимости различных теорий. Получены простые асимптотические формулы для описания распространения волны изгиба.
В работе Ю.Д. Каплуиова, И.В. Кирилловой и Л.Ю. Коссовича [32] проведено асимптотическое интегрирование трехмерных динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек. Обсуждены особенности асимптотических свойств НДС оболочки в задачах динамики. Выведены предельные двумерные системы уравнений.
Исследования, выполненные Ю.Д. Каплуновым, Л.10. Коссовичем и Е.В. Нольде в области асимптотической теории тонких упругих тел, обобщены в монографии [80]. Приведен вывод асимптотически оптимальных уравнений низкочастотных, высокочастотных и длинноволновых высокочастотных приближений, позволяющих в совокупности описать динамические процессы на базе точных уравнений трехмерной теории упругости. Разработаны двумерные теории высшего порядка пластин и оболочек. Рассмотрены задачи колебания оболочек вращения, колебания тонких тел в среде, излучения тонкими телами. Для моделирования нестационарных волновых процессов выведены асимптотически оптимальные уравнения динамических погранслоев в окрестностях фронтов волны расширения и сдвига, окрестности квазифронта.
Исследованием нестационарных волн в вязкоупругих оболочках с помощью асимптотических методов занимались Анофрикова Н.С. и Коссович Л.Ю. [7, 8]. Все исследования проводились для материалов, вязкоупругие свойства которых описывались соотношениями, взятыми в дифференциальной форме. Путем асимптотического интегрирования трехмерных динамических уравнений теории вязкоупругости были выведены асимптотически оптимальные уравнения длинноволновой низкочастотной составляющей, для случая оболочек вращения нулевой гауссовой кривизны были получены уравнения динамического пограпелоя в окрестности фронта волны расширения. Также был разработан асимптотический метод получения приближенных уравнений динамического погранслоя в окрестности квазифронта.
То обстоятельство, что уравнения движения наследственно-упругих оболочек совпадают с уравнениями движения упругих оболочек, а уравнения состояния при некоторых ограничениях на порядки наследственно-упругих характеристик обобщают соответствующие уравнения теории упругости, и позволило применить к исследованию нестационарных волн в наследственно-упругих оболочках асимптотические методы.
Данная работа посвящена изучению нестационарных волн в наследственно-упругих тонких стержнях и оболочках с помощью точных и асимптотических методов, а также методов компьютерной математики. В отличие от описанных ранее работ в данной работе исследуются новые эффекты, возникающие в наследственно-упругих стержнях и оболочках в случае нестационарного волнового НДС с ростом времени. Все теоретические выводы и задачи в диссертации относятся к изотропным материалам при изотермических условиях.
В первой главе рассматривается тонкий полубесконечный стержень из наследственно-упруго го материала, свойства которого описываются моделью Работнова [50], т.е. выбирается интегрально-операторная форма записи уравнения состояния. В качестве ядра интегрального оператора берется дробно-экспоненциальная функция Работнова. Ставится краевая задача при ударном продольном воздействии на торец стержня, с помощью методов теории функции комплексной переменной находится точное решение поставленной задачи. Найденное решение численно анализируется с ростом времени. Результаты численных расчетов приводятся в виде графиков, и описывается общая картина распространения нестационарных волн в наследствен но-упругом стержне. Применяется метод расчленения НДС на составляющие, приводится схема зон применимости различных типов асимптотик.
Вторая глава посвящена исследованию погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью (фронта). В данной зоне находится асимптотика точного решения, полученного в Главе 1, выводится и решается уравнение погранслоя в окрестности фронта. С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений. Решения, полученные по точной и приближенной теориям, сравниваются между собой. Приводятся результаты численных расчетов в виде графиков.
В третьей главе проводится аналогичное Главе 2 исследование погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью (квазифронта). С помощью метода перевала исследуется вопрос о сращивании различных приближений, показывается переход асимптотики для погранслоя в окрестности квазифронта в асимптотику для квазиупругой зоны.
В Главе 4 рассматривается тонкостенная оболочка вращения, выполненная из наследствен и о-у пру го го материала с условием упругого объемного расширения. Свойства материала оболочки описываются моделью Работнова. Для нее задается асимптотика НДС, устанавливается зависимость напряжений и перемещений от нормальной координаты и выводятся асимптотически оптимальные двумерные разрешающие уравнения в усилиях и перемещениях. Рассматривается случай, соответствующий безмоментному типу НДС, т. е. когда показатели изменяемости по продольной координате и динамичности равны. В настоящей работе уравнения безмоментной составляющей получаются в результате асимптотического интегрирования трехмерных уравнений динамической наследственной теории упругости.
Полученная система двумерных уравнений состояния и движения записывается для наследственно-упругой цилиндрической оболочки, и ставится оссесиметричная краевая задача о распространении продольных нестационарных волн. Рассматривается продольное воздействие тангенциального типа на торец оболочки. Решение поставленной задачи находится с помощью асимптотических методов. Приводятся результаты численных расчетов с ростом времени в виде графиков.
В заключении диссертации формулируются основные выводы.
Научная новизна. В диссертации впервые: предложена схема расчленения НДС, возникающего в наследственно-упругом стержне при ударном торцевом воздействии, на составляющие, приведена схема зон применимости различных типов асимптотик; разработаны асимптотические методы построения уравнений погранслоев в окрестностях фронта и квазифронта в наследственно-упругом стержне; разработан асимптотический метод построения уравнений состояния в интегрально-операторной форме безмоментной составляющей для наследственно-упругих оболочек па базе трехмерных динамических уравнений наследственной теории упругости: получена асимптотика НДС в этой области, установлена зависимость неизвестных величин от нормальной координаты, получены двумерные уравнения безмоментной составляющей для асимптотически главных и асимптотически второстепенных компонент НДС; показано применение полученных уравнений при решении задач для цилиндрических оболочек, выполненных из наследственно-упругого материала при ударных продольных воздействиях тангенциального типа; показано применение методов компьютерной математики при решении краевых задач о распространении нестационарных продольных волн в наследственно-упругих стержнях и цилиндрических оболочках.
Практическая значимость работы состоит в расширении области применимости асимптотических методов исследования нестационарного НДС на случай наследственно-упругих оболочек. Представленные методы можно применять для расчета тонкостенных конструкций, выполненных из материала, обладающего механическими свойствами, описываемыми в рамках наследственной теории упругости, подверженных действию ударных нагрузок. Разработанные в работе асимптотические методы решения поставленных краевых задач позволят решить вопрос создания надежных численно аналитических методов исследования динамического НДС наследственно-упругих тонких стержней и оболочек.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в работе, докладывались на конференции механико-математического факультета "Актуальные проблемы математики и механики", Саратов, Россия, 2005; V Российской конференции с международным участием "Смешанные задачи механики деформируемого твердого тела", Саратов, Россия, 2005;
Международной конференции "Вычислительная механика деформируемого твердого тела", Москва, Россия, 2006; семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.
По материалам диссертации опубликованы работы [3-6, 68].
Построение точного решения с помощью интегрального преобразования Лапласа и контурного интегрирования
Получим из системы уравнений (1.10), (1.13) одно разрешающее уравнение относительно напряжения, подставляя уравнение состояния (1.10) в уравнение движения (1.13): В уравнении (1.17) перейдем к безразмерным переменным , г и безразмерному напряжению а х = Ц, t = Lr/c, а = Еа (1.18) и безразмерным параметрам /Г, к 28 где с - мгновенная скорость, определяемая по формуле (1.3), L -характерный множитель, имеющий размерность длины. Тогда получим разрешающее уравнение в следующем виде; - - h(r-r.y(4,r.)dr.=0, (1.19) д% от от о где К.{т-т,) = к Э_]/2{-/3 ,т-т,). Мы рассматриваем случай, когда в масштабе времени затухания процесса член с наследственным оператором в уравнении (1.10) асимптотически равноправен с "динамическими" членами. Запишем граничное условие (1.14) с учетом (1.18): а\0,т) ҐН(т), (1.20) где Е Начальные условия (1.16) с учетом (1.18) примут вид: от В дальнейшем звездочки у безразмерных величин опустим. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1.19) с граничным условием (1.20) и начальными условиями (1.21). Решать эту задачу будем с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени г [55]. Интегральным преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции /(/) называется функция f(s) параметра s, определенная при любых комплексных значениях этого параметра следующим соотношением: 7(,)=}/(/ -"л, функция f{t) при этом называется оригиналом.
Идея метода решения краевой задачи в изображениях по Лапласу заключается в том, чтобы решению исходной задачи, функции действительной переменной, поставить в соответствие некоторую функцию комплексной переменной. При этом уравнение в частных производных в нашем случае должно перейти в обыкновенное дифференциальное уравнение. Рассмотрим отдельно интеграл в уравнении (1.19): о Сверткой функций g(t) и h{i) называется функция /(f) = )g{t - тХт)еіт = ]h(t - t)g{t)dT. о о Теорема о свертке: пусть g[s) и h{s) - изображения по Лапласу функций g(t) и h(t), соответственно, тогда изображение свертки этих двух функций f{t) имеет вид: 7W=!( ) Находим изображение по Лапласу интеграла (1.22), используя теорему о свертке: где а, К - изображения по Лапласу напряжения и ядра Работнова, соответственно. Таким образом, применяя интегральное преобразование Лапласа к краевой задаче (1.19) - (1.21), получим краевую задачу в изображениях по Лапласу для уравнения зо d2a s2(l + K)a =0. (1.23) с граничным условием ,7(0) = I (1.24) где 5 - параметр интегрального преобразования Лапласа, Н(т) -изображение по Лапласу функции Хевисайда, определяемое по формуле [55]: Я(г)Л. S Общее решение дифференциального уравнения (1.23) имеет вид: х = сл _ 0sv\+K + C2Q sg-Jl+K где Cj, с2 - константы интегрирования. Так как у нас полубесконечный стержень, то константа при е + будет равна нулю, т.е. с2=0, а константу сх находим, подставляя общее решение уравнения (1.23) в граничное условие (1.24),т.е. cx=l ls. Таким образом, решение краевой задачи (1.23), (1.24) примет вид: Изображение ядра Работнова имеет вид [50]: К= 1 Ts+P ,0 О. (1.25) Учитывая (1.25), изображение напряжения а окончательно примет вид: - Г т = —ехр S —S 4s+p+\ fs+p ,1/2 # (1.26) Чтобы получить функцию-оригинал для изображения воспользуемся формулой Меллина [55], тогда: (1.26), х f г X+liO 2 »is т Я + fi + l 4 V + y? ds. (1.27) Введём обозначение: F(s) = — exp s T sfc + yg + Г 4 s+p ./2 , /_ +/Д Рис. 1.2. Подынтегральная функция F(s) является многозначной в рассматриваемой области. Будем понимать под ней ту ветвь данной многозначной функции, которая является непосредственным продолжением в область Res 0 действительной функции действительной переменной х 0.
При этом будем считать arg s 0 при s= х, х 0. Аналитическое продолжение подынтегральной функции на левую полуплоскость Res 0 является многозначной функцией, имеющей точками ветвления точки 5=0,5=со (см. рис. 1.2).
Будем рассматривать в области (s), представляющей собой комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части действительной оси, ту ветвь данной многозначной функции, которая является непосредственным аналитическим продолжением этой функции, первоначально заданной в правой полуплоскости Re.s 0. В области (s) рассмотрим замкнутый контур Г, состоящий из отрезка прямой [x-iR ,x + iR J, х 0, отрезков R s р на берегах разреза и замыкающих их дуги окружности С \s\ = р и дуг окружности Сд.( 1 — дг = Л , соединяющих берега разреза с вертикальным отрезком [х - iR\x + iR ]
Так как подынтегральная функция в области (s) особых точек не имеет, то по теореме Коши [55] интеграл от этой функции по контуру Г равен нулю. Устремим R к бесконечности, а р к нулю. В силу леммы Жордана [55] интегралы по кривым C"R, дадут в пределе нуль. Рассмотрим интеграл по окружности С , положив в нем s= pei p : / Г 1 Г Inijoe рё т 1/2 pe,(pid(p, Оценивая этот интеграл, получим, что он стремится к 1 при р —»0. лл Заметим, что на верхнем берегу разреза org s=л, s=pe " = -р, s,/2 = /r eini =ipv ,ds= -dp, а на нижнем берегу разреза arg s= -n,s=pein=p, 5 /2„у/2е-"г/2= -ipl/2t ds= -dp (p 0). Таким образом, картина распространения волн в наследственно-упругом полубесконечном стержне выглядит следующим образом. Сначала идет волна с мгновенной скоростью с, за фронтом сигнал быстро затухает по экспоненциальному закону. По мере приближения к квазифронту волны, распространяющейся с длительной скоростью (квазифронту), интенсивность сигнала возрастает до величины / , а за квазифронтом остается постоянной, Значит, при достаточно больших значениях времени в наследственно-упругом стержне возмущение распространяется без затухания с длительной скоростью ?да.
Уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью
Получим уравнение погранслоя в окрестности фронта (зона IV, см. рис. 1.9). Данную задачу будем рассматривать с ростом времени. Вводим в рассмотрение масштабированные переменные в соответствии с характерным масштабным временем Т»1, т.е. Т = ТТГ, = ЦТ, (2.8) где тт и г - величины порядка единицы. Тогда разрешающее уравнение (1.19) относительно напряжения примет вид: д2 % тэт.2 2 J {Ь2и д2 хЛ Т \д%т дтт ]к[т{тт -т;)Цт ТттУіт; =0. (2.9) х о Введем в рассмотрение функцию Ф( ГТ) = Т2)К[Т(ТТ Т;)Ц ТУТ Т;. (2.10) о Оценим слагаемое, содержащее интеграл, в уравнении (2.9). Множитель )к[т(тт-т;)}т(г&тт т)ат-т имеет порядок 0(1), значит, всё слагаемое имеет порядок 0(1/Т), при этом функция Ф( т,гт) имеет порядок 0(1). Интеграл в уравнении (2.9) равен нулю в пределах от 0 до г, т.к. для соответствующих значений времени фронт волны ещё не дошёл до рассматриваемой точки. Значит, величина этого интеграла пропорциональна величине промежутка (г,гг). Будем считать, что данный промежуток также имеет порядок 0(1/Т). Введем в рассмотрение характеристические переменные у = Т(тт-4т\ h=Tr- (2-и) Уравнение (2.9) с учетом (2.10) в характеристических переменных примет вид: . д2а 1 д2а д2Ф 2 д2Ф 1 д2Ф . .. ._ 2 + 7 + —г + + -ТГ-—5- = 0. (2.12) аи5г, гаг,2 а 2 г5уеГі г2аг,2 Оставляя в уравнении (2.12) члены порядка 0(1/Т) и преобразуя асимптотически второстепенные члены с учетом соотношения между асимптотически главными, получим +A L + i = 0. (2.13) а аг, 4г а -аг, 2 ду Интегрируя (2.13) по у, мы, тем самым, понижаем степень разрешающего уравнения: д +±8Ф+1ЭФ=0, (214) дтх АТдтх 2 ду Возвращаясь к масштабированным переменным (2.8), получим следующее соотношение: да + ±дФ+±дФ (2Л5) дт 8тт 4Тд$т 4Тдтт Разложим разностное ядро Работнова в ряд по степеням (г - г,) внутри малого промежутка (,г): К{т-т.)= 1 -0 + о[(т-т.ТІ (2.16) т/я{т-т,У Возвращаясь в соотношении (2.15) к переменным , г и учитывая асимптотику (2.16), получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью: да да В\да, ЪВ 1 \ 1 да , —+ — —dv,——а+—т= трг—dr,+ д% дт 4 Ja 4 4&i(T-r.fd Порядок уравнения (2.17) на единицу меньше порядка точного уравнения (1.19). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (1.19)) мы имеем более простое ядро Абеля (уравнение (2.17)). 2.3. Решение задачи для погранслоя Будем решать краевую задачу для уравнения (2.17) с граничным условием (1.20) и начальными условиями (1.21) с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени г. Рассмотрим отдельно интегралы в уравнении (2.17): о иъ г о где l_xjl (г - г, ) = (г - г.) - разностное ядро Абеля. Применяя к интегралам J\ и J2 интегральное преобразование Лапласа, пользуемся теоремой о свертке (см. Главу 1) и учитываем, что изображение по Лапласу ядра Абеля имеет вид: 7 М= Таким образом, применяя интегральное преобразование Лапласа к краевой задаче (2.17), (1.20), (1.21), получим краевую задачу в изображениях по Лапласу для уравнения — г 1 da з зТГ (2.18) 4s 4J34s a =0 d4 4 4/? с граничным условием (1.24). Решение краевой задачи (2.18), (1.24) имеет вид: - ГА (7 = 1 —еХр S + / V Ър s 4{s AU 1 + Р_ A4s (2.19) Раскладывая показатель степени экспоненты в выражении (2.19) в ряд по отрицательным степеням параметра s и ограничиваясь двумя членами разложения, получим окончательное выражение для изображения напряжения: (7-/е НУе .я (2.20) Получившееся изображение (2.20) совпадает с изображением асимптотики точного решения (2.1) в окрестности фронта волны с мгновенной скоростью, полученного в первом пункте настоящей главы. Исследуем согласование точного решения и асимптотики для погранслоя в окрестности фронта с помощью метода перевала. Для этого представим оригинал (1.27) в виде: 2т J Х-1& (2.21) где p(s) = . Тт -. 4s +/3 їт Уравнение для точек перевала sn имеет вид: sn+P + \ &1 \{4 -+Р+ІП47-П+РГ = о. (2.22) Запишем оригинал изображения (2.20) с помощью формулы Меллина: J" X +103 т = f ехр 2m r jL s ST S + VT ds, (2.23) где r=/v2 8 Проанализируем (2.23) с помощью метода перевала. Уравнение для точек перевала sn имеет вид: т-# 4л/я = 0. (2.24) С другой стороны, для асимптотики точки перевала sn при ,УЯ=»СО уравнение (2.22) дает приближение = 0. (2.25) 1-і 4, Уравнение (2.25) совпадает с уравнением (2.24), следовательно, точное решение согласуется с асимптотикой для зоны IV (см. рис. 1.9).
Глава посвящена построению уравнения погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью, выражение которой приводится в первой главе. Погранслой в окрестности квазифронта строится для наследственно-упругого стержня. Для полученного уравнения погранслоя ставится краевая задача, которая решается с помощью интегрального преобразования Лапласа. Находится асимптотика точного решения (1.28) в окрестности квазифронта. Применимость асимптотического метода устанавливается путем сравнения решений, полученных по точной и приближенной теориям. Рассматривается вопрос о сращивании различных приближений.
Подынтегральная функция в (3.2) является многозначной. Будем понимать под ней ту ветвь данной многозначной функции, которая является непосредственным аналитическим продолжением в область Res 0 действительной функции действительной переменной дг 0. При этом будем считать arg s 0 при s= х, х 0. Точками ветвления являются точки 5=0, s=ад, поэтому контур интегрирования такой же, как и в случае нахождения точного решения в первой главе (см. рис. 1.2).
Уравнение погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью
Получим уравнение погранслоя в окрестности квазифронта волны с длительной скоростью (зона II, рис. 1.9). Для этого воспользуемся аппаратом операторов дробного дифференцирования [85]. Дробное дифференцирование является обобщением обычного дифференцирования, которое имеет место в пространстве обобщенных функций. Представим обобщенную функцию fa(x), зависящую от действительного параметра а, в следующем виде: /«( ) = MV « о Г(а) , (3.4) где Н(х) - единичная функция Хевисайда, Г(а) - гамма-функция, штрих обозначает производную по независимой переменной х. Для обобщенных функций справедливо равенство [85] fa f,=fa+P (3.5) где символ обозначает свертку двух обобщенных функций. Получим выражение для дробной производной определенной функции и, используя определение (3.4) и равенство (3.5). Положим для удобства в {ЪА)а = \-у (0/ 1).Тогда/„=/,_, и /-и = / « = ) Л.=/ (Л, «). (3-6) Представляя левую и правую части (3.6) в виде свертки с /.у = S , где д{х) -дельта-функция Дирака, и учитывая, что fx f_{=8, получим Ги = -т\ы, "v v - (3-7) с/х$г(\-у)(х-х.У где Dru f_y u называется производной порядка у функции и.
Рассмотрим теперь производные высших порядков. Пусть у \, тогда у можно представить в виде суммы / = [/]+{/}, где \у\ - целая часть /, О [у] 1 - дробная часть у. Обозначим « = [/] +1, тогда (2.7) примет вид: Dru = — [—, U ——dx,. (3.8) dx"lT(n-y\x-x,Y Формула для интегрального преобразования Лапласа дробных производных имеет вид: Dru = sYu, (3.9) где s - параметр преобразования Лапласа по переменной х„ и -изображение по Лапласу функции и. Представим изображение разностного ядра К (1.9) в виде ряда: K = lijS"12- (3-ю)
Для получения решения в окрестности квазифронта устремим параметр интегрального преобразования Лапласа s к нулю. В этой зоне оригинал решения будем искать с помощью разложения изображения в ряд по положительным дробным степеням параметра s. Из равенства (3.9) и разложения (3.10) видно, что интеграл в уравнении (1.19) может быть представлен в виде ряда: 0 Р "=1 Р тогда уравнение (1.19) принимает вид: д2а 1 д2а 1 д2 д%2 к] Вт2 рдґ = 0. (3.11) Рассмотрим данную задачу с ростом времени. Введем в уравнении (3.11) масштабированные переменные (2.8) в соответствии с характерным масштабным временем Т»1. Тогда разрешающее уравнение относительно напряжения (3.11) запишется в виде: д2сг 1 д2а 1 д2 д& к) дт2 рЪт рп J. п/2 Т ;Ll)lJLD«/2CT и=! -о, (3.12) где DT - оператор производной по переменной тт. Введем в рассмотрение характеристические переменные т\ тт (3.13) Тогда уравнение (2.13) в характеристических переменных примет вид: і У &а 1 &а к1 +- дубц Vі дт{ J3 Ґ о2 2 S2 1 а2 ду1 Т дудц Т дц X .п/2 /Li on у,(я-1)/3 I 1/3 = 0. (3.14) Оставляя в уравнении (3.14) члены порядка и преобразуя асимптотически второстепенные члены с учетом соотношения между асимптотически главными, получим д2а а2 .2 Л, дудт, Р{{3 + 1)\ду2 2Ръдудтх) Т + 1 d2(DT\ р2(Р + \)Тх1ъду\Тх1ъ) ст = 0. (3.15) Интегрируя (3.15) по у, мы, тем самым, понижаем степень разрешающего уравнения: ( да + _J д Y Рт Л дтх 2Р(Р + \){ду + 2Г1/3 дтх jlrt/3 J 1/2 0" + + —тї ч4т—f%V = 0. (3.16) Возвращаясь в (3.16) к масштабированным переменным г и тт, получим следующее соотношение: fV2 1 1 д ір2{/3 + \)Тдтт DF 7 + дет да 1 ГК д 3 д Л —4 с д%т дтт 2j3{\ + fi){2d%T 2 дтт , DTa = 0. (3.17) Возвращаясь в соотношении (3.17) к переменным и г, записывая его без дробных производных с учетом (3.7) и (3.8), получим уравнение погранслоя в окрестности фронта волны с длительной скоростью: kElL ЕЕ. 1 д2а кс д тг 1 да с 5 + дт + 2р\р + \)дт2 4 9(/? + l)V arJ(r-r.)l/2 д% U і Г _ г# = 0. (3.18) Порядок уравнения (3.18) на единицу меньше порядка точного уравнения (1.19). Кроме того, вместо ядра Работнова (уравнение (1.19)) мы имеем более простое ядро Абеля (уравнение (3.18)). 3.3. Решение задачи для погранслоя Будем решать краевую задачу для уравнения (3.18) с граничным условием (1.20) и начальными условиями (1.21) с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени г. Применяя интегральное преобразование Лапласа к краевой задаче (3.18), (1.20), (1.21), получим краевую задачу в изображениях по Лапласу для уравнения 3/2 JS 4/?(/? + 1) 3s 4/?(/? + 1) 2/?2(/? + 1) а =0 (3.19) с граничным условием (1.24). Решение краевой задачи (3.19), (1.24) имеет вид: 3V - Г а = —ехр s ЩР + \) 2{32(р + \) 1 4S Щ/3+i) (3.20)
Раскладывая показатель степени экспоненты в выражении (3.20) в ряд по положительным степеням параметра s и ограничиваясь двумя членами разложения, получим окончательное выражение для изображения напряжения: - I" а =—ехр s ( ,3/2 4/7 + 3 2/?(/? + 1) 8/?2(/? + 1)2 j . (3.21) Получившееся изображение (3.21) совпадает с изображением асимптотики точного решения (3.1) в окрестности фронта волны с длительной скоростью, полученного в первом пункте настоящей главы. Рассмотрим сращивание асимптотик на границе зон I и II, т.е. при г B,jkc интеграл в (3.3) можно оценить следующим образом: Г1 I—ехр ІР г- с J Р + В& sin(A&3/2)dp Jexp о \- W р dp = Таким образом, рассматриваемый интеграл в случае, когда г - jkc »1 значительно меньше единицы. Значит, переходя в зону I, асимптотика (3.3) переходит в а = Ґ - асимптотику решения (1.30). Исследуем согласование точного решения и асимптотики для погранслоя в окрестности квазифронта с помощью метода перевала. Проанализируем сначала оригинал изображения (3.21). Уравнение для точек перевала sn имеет вид: тт — + {-A -2Bsn\T = 0. (3.22) \ г ) С другой стороны, для асимптотики точки перевала sn при sn -»0 уравнение (2.22) дает приближение — - — + / 3 ч 7 ,У+ \г я =0- (3.23) Уравнение (3.23) совпадает с уравнением (3.22), следовательно, точное решение согласуется с асимптотикой для зоны II .
Вывод асимптотически оптимальных двумерных разрешающих уравнений для безмоментной составляющей
Произведем в уравнениях (4.7) и (4.8) растяжение масштабов независимых переменных по формулам a,=Rrj4 а, = К?]С, t = Rc?7]ar. (4.11) Здесь /,/ = 1,2, q - показатель изменяемости, а - показатель динамичности, с2 скорость продольной волны, определяемая по формуле Сг=Щ\ + у)р Продольная волна в наследственно-упругих оболочках распространяется со скоростью, выражение для которой совпадает с выражением для скорости соответствующей упругой волны, определяемой мгновенными значениями модуля упругости и коэффициента Пуассона. Отмеченный результат был установлен рядом авторов [42, 50, 76, 77]. Считается, что дифференцирование по безразмерным переменным не меняет асимптотического порядка исходных величин. При переходе от (4,8) и (4.7) к (4.13) и (4.14) все коэффициенты, содержащие параметры Hlt были разложены в ряды по , и в разложении удержаны члены до порядка 0(fj2), например: 69 1 _ 1 А, л, } Сосредоточим внимание на рассмотрении случая q = a- соответствующего безмоментному типу НДС. Необходимым условием применения классических двумерных теорий оболочек и пластин являются неравенства q 1, а 1. Считаем, что 0 г - с 2а. При данном условии процесс асимптотического интегрирования будет аналогичен случаю упругой задачи. Асимптотику НДС оболочки возьмем в виде [80]: v.t = Rtfv! + 7,+V), v3 = R(r$ + ), , = ( +7 ), aiy = E(a; + rja\X (4.15) Здесь считается, что все величины с индексами "0" и "1" имеют одинаковый асимптотический порядок. Величины с индексом "0" задают НДС, симметричное относительно срединной поверхности оболочки (ег,сгзз у(0 четные функции С, ; cri;tv - нечетные функции QX а величины с индексом "\" - НДС, антисимметричное относительно срединной поверхности (cr c v,! - нечетные функции g; (j) v\ - четные функции "). Подставляя асимптотику (4.15) в уравнения (4.13), (4Л4) и граничные условия (4.3), определяющие свободные от напряжений лицевые поверхности, разделяя каждое из полученных уравнений на четную и нечетную относительно координаты части, пренебрегая членами порядка 0{if2q) и интегрируя их по , мы устанавливаем зависимость неизвестных величин от нормальной координаты 0 (0) J (0) 0 (0) 0 (0) 1 і 3 3 и и ij if = + , = + , (все величины с индексом в скобках не зависят от переменной ), а таюке выводим уравнения связи между ними: (l-rj - r") R: . + Krfv? +- W =F v + ± V-( -c)/ar" 2 ? . -h- 7 - 2r" )-1 . - -,y v + J- . - -y v l-2i + K+ v 7-(«) 2Г-Ъо). v.(,) = 4 a#, + R; ; (4.16) (l- «)«r-)vo) = -L + L wr-XeW +ff o,); (l- - r") 1 + у,+Л ) л / Д, /-?vt0J I \ = P «Ау; ±(i-j7fl-( -e) 2r") ?v (і) і л/ 4 ? v4- і (0)і і vf ; 4 ; $, ; 9,,(0) 4 ; ? л; / J l + V+ 1 . 2 . { м $={ ! d2vf 4(l + i0 0T \пгЧ JJ " + m ( ;) 33 33 » CT(0) = (2) /3 "/З
Уравнения связи между компонентами НДС (4.16) позволяют записать двумерные разрешающие уравнения состояния для асимптотически главных компонент НДС в усилиях и перемещениях в виде: двумерные уравнения движения дТ 1 д$ц д2и; Д.,.. А, а «MjhW.-lpH- -O. (4.17) ZL+ZL_2PA =O, где і t j = 1,2; двумерные уравнения состояния 2й(і-Г ) ?и(. \ д At w i:j + A,Aj да?Г% = т й(і-Г ) дщ 1 ди, 1 дА, 1 дА. - + J -и, -и, Aj да} Д. дat А{А} да. А{А} да{ (4.18) где ;.-+і ф, 7] - продольные усилия, SJJ - сдвигающие усилия, и, - тангенциальные перемещения, w - нормальное перемещение точек срединной поверхности, определяемые формулами 2/ f,S, = 2№rf, (4.19) ?„(0) - р„ „«» и Кгі Г, w = -Rj]iqv? . 4.3. Модельная задача для наследственно-упругой цилиндрической оболочки Построим волновое НДС для продольного воздействия тангенциального типа в случае осесимметричнои задачи для цилиндрической оболочки, выполненной из наследственно-упругого материала, представленного моделью Работиова. В этом случае система разрешающих уравнений имеет вид: дГ 1 -2ph—± = 0, д ay d2w 2Ph 2 R ді1 = 0, ,\ди dax і _ 2Eh(\ = 7:-1/ + \-2v Г Т2, (4.20) 2m{i-rX-w)=T2-[v+ ryu где ax - координата вдоль образующей срединной поверхности цилиндра, R радиус срединной поверхности цилиндра, остальные величины имеют тот же смысл, что и ранее. Система (4.20) - это система (4.17), (4.18) записанная для цилиндрической оболочки [Л{ = 1, Л, = со, А2 \,R2 = R) Граничные условия на торце сс\ = 0, соответствующие рассматриваемому типу воздействия в двумерной форме согласно (4.1), возьмем в виде: T,=2MH{t), w = 0. (4.21) Начальные условия (4.2) примут вид: щ = .-"і = w = —- = 0 при t = 0. (4.22) dt dt Перейдем в уравнениях (4.20), граничных условиях (4.21) и начальных условиях (4.22) к безразмерным переменным и г а,=Д#, f = —, (4.23) где с3 - продольная скорость двумерной волны [80]: с, = 3 V 0- )/7 безразмерным усилиям 7) 0-1,2) и перемещениям и\, w г 2й_гд =Ru w = Rw\ (4.24) 1-v безразмерным параметрам /3 \\ к тогда получим: дТ д2и\ д% дт2 = 0, дт2 (1-й; ди т. , .ди -±.- K,(rt)-±dT. Щ о Ч (4.25) -Т;-УТ;-1- -)К.{Т-Т,)ТЖ, 1 о (l-v2j-w + jA:,(r-r Vrt о Граничные условия на торце В, 0 запишутся в виде: ч -г Г, =/Я(г), w =0, (4.26) где r==/q-va) начальные условия: ди, . c?w дт м, =—L = w = 1 ?г = 0 при г = 0. (4.27) В дальнейшем звездочки у безразмерных величин опустим.
Таким образом, осесимметричная краевая задача для наследственно-упругой цилиндрической оболочки в безразмерных переменных ставится следующим образом. Требуется решить систему динамических уравнений (4.25) при начальных условиях покоя (4.27) и при граничных условиях, определяющих продольное воздействие на торце тангенциального типа (4.26). Решить точно поставленную задачу сложно. Предполагается, что картина распространения безмоментной продольной волны в данном случае совпадает с картиной распространения волны в наследственно-упругом стержне. Поэтому решаем краевую задачу (4.25) - (4.27) точно в изображениях по Лапласу, а оригиналы ищем, используя метод расчленения НДС на составляющие аналогично наследственно-упругому стержню.
