Введение к работе
Актуальность темы. Поведение открытой системы при одновременном эздействии на нее внешнего поля и шума с учетом малых изменений дина-лческих переменных описывается кинетическим уравнением Фоккера-План-а (ФП) или системой балансных уравнений (ОЗУ) для заселенностей уров-эй.Данные уравнения возникают также в результате учета тепловых флук-/аций е малой выделенной подсистеме,находящейся в контакте с термос-атом, и описывают процесс релаксации к состоянию равновесия.Они тлеют
ВД -ч л
1Р> = «Пр> , (і)
>ч
це * -линейный оператор, |Р> -функция распределения физической еличины.
Если физическая величина принимает непрерывный спектр значений,то Р> -обычная функция распределения,а І. -дифференциальный оператор:
2|Р>-!{-АМР + !(вир]}.
случае дискретного спектра значений физической величины j Р> есть ектор-столбец,а І, -матрица-с заданными коэффициентами:
де wwf) -скорость перехода с урсЕня m на 0 .
Уравнения ФП н СБУ играют важную роль в неравновесной статистп-:есксй физике /1-3/.Начиная с классической теории броуновского движе-:пя,зтг. уравнения используются в статистической теории газа п яидкос-и, в квантовой электронике , в моделях химических реакций ,неравно-;есных фазовых переходов и самоорганизующихся структур . В ряде случаев с помощью обобщенных когерентных состояний уравнение для матрицы слотности можно привести к уравнению ФП . Уравнение ФП применяется в 'аких важных областях,как квантовая теория поля (метод стохастического квантования) и суперсимметричная квантовая механика . Существуют тагае >аботы указывающие на тесную аналогию между броуновским движением и .Байтовым поведением частиц (см. .например /4/).
В последнее время интерес к уравнению ФП возрос в связи с еозмож-
ностью анализа на его основе стохастических нелинейных уравнении:
^- = AdV+lift), (2:
где \Ш -случайные силы .моделирующие воздействие шума на систему либс тепловые флуктуации.Можно показать /2/,что анализ системы ланжевенов-ских уравнений (2) вполне эквивалентен решению уравнения ФП:
где Р(х,1) -функция распределения набора физических величин X" .
В основе уравнений ФП и СБУ лежат марковские случайные процессь или процессы с короткой памятью.Независимо от выбора начальной функцій распределения система с течением времени релаксирует к единственному равновесному распределению Р(*).Деление переменных координаты и времени сводит решение одномерного уравнения (3) к определению собственных функций (05)- У (х) и собственных значений (СЗ)- мп следующей краевой задачи:
-і ї -1
- потенциальная Функция.
D3 краевой задачи (4) кеьыролсдены, неотрицательна к их иояао занумеровать в порядке возрастания по зелшике. Решение уравнения ФП представимо в виде ряда по СФ и СЗ:
PCx,o) ->-*.).
Начальная стадия релаксации протекает очень быстро и члены ряда (5) с высшими СЗ с течением времени вымирают.На практике чаще всего требуется знать решение,которое формируется на достаточно больших вре-
ах наблюдения и учитывает первые несколько членов ряда (5).Такие эния являются асимптотическими по времени функциями распределе-.Особую значимость они имеют,когда при решении какой-либо проблемы знциальный барьер значительно превосходит интенсивность шума и д< f^.B этом случае реализуется долгсживущая метастабильная стадия ре-зации,которая целиком описывается двумя первыми членами ряда .Для потенциалов /(Х) .возрастающих на бесконечности медленнее или
X ,спектр СЗ является непрерывным.Однако и в этом случае можно повить проблему построения асимптотических по Бремени функций распре-ения.Асимптотический по времени подход наиболее адекватно описывает едение марковских случайных процессов и согласуется с осноЕополага-й.идеей /5/ Боголюбова Н.Н. об упрощении кинетического описания с єниєм времени.
Многообразие приложений уравнений ФП и СБУ и их фундаментальная ь в кинетике вызвали появление большого числа работ по методам их лиза.Наиболее полный обзор работ содержится в монографии Рискена авнение Фоккера-Планка" /1/.Точные решения известны для очень узко-класса данных уравнений.Поэтому большое внимание уделяется прибли-ным методам,из которых можно отметить следующие.Часто нестационар-
решения этих уравнений находятся из условия равенства потока плст-ти вероятности некоторой постоянной величине (приближение постоян-о потока).При наличии в задаче малого параметра используется теория мущений.Если малый параметр имеется при старшей производной в урав-ни ФП,то применяется сингулярная теория возмущений,аналогичная ме-у ЕКБ е квантовой механике.который,как известно.приводит к непра-ьным результатам вблизи классических точек поворота.Вариационные оды неудобны тем,что приходится оперировать с пробными функциями 'пределения.Часто решение представляется также в виде ряда по избным специальным функциям (например,по полиномам Эрмита).Однако сь остается проблема определения коэффициентов данного разложе-:.Основными недостатками этих теорий является то,что они применимы io для узкого класса уравнений СП,либо для расчета минимальных СЗ і детального построения неравновесных функций распределения.Таким іазом проблема построения универсального метода решения уравнений ФП !ВУ,открывающего перспективы решения большого числа прикладных за-
дач,является весьма актуальной.
Цель работы. Во-первых,разработать универсальный и достаточно эффективный метод построения решений уравнения ФП и СЕУ,применимый длг произвольных потенциальных функций и независящий от наличия в задаче какого-либо малого параметра.Во-вторых,с помощью разработанного метод: провести исследование требующих анализа актуальных проблем физическоі кинетики.
Основные направления исследований.Разработанный в диссертацш асимптотический по времени подход в анализе указанных кинетическю уравнений был применен в следующих направлениях: построена стохастическая теория химических реакций,позволяющая определить классические скорости диссоциации и рекомбинации частиц,взаимодействующих по произвольному закону; исследована кинетика заселенностей уровней атомов і молекул,найдены квантовые скорости электрон-ионной рекомбинации і плазме,рекомбинации атомов в молекулу в газа;-; и скорости обратных їв процессов;проанализированы неравновесные фазоЕые переходы е бистабиль-ных системах и построена теория яелєния стохастического резонанса; классически и квантовым образом проанализирован переход через порої лазерной генерации в газах; исследован процесс срыва слежения за сигналом е радиофизической системе автоматической подстройки частоть (аналог неравновесного фазового перехода).
Научная новизна работы. Разработан уникальный математический аппарат, закрывающий проблему интегрирования одномерных уравнений ФП.СБі и определенного класса многомерных уравнений ФП.На его основе решень несколько фундаментальных проблем е кинетике.В частности,впервые построена единая теория процесса пен-пенкой рекомбинации,как частные случаи включающая классические теории Лаюяевена и Томсона соответственна для больших и малых давлений газа.Теоретические результаты совпадают с экспериментальными данными для ион-ионной рекомбинации в молекулы Krf и XeCl.Впервые исследована кинетика параметра порядка в бистабильныл системах,позволяющая трактовать фазовый переход второго рода в рамкам обычных среднестатистических величин; предсказан эффект аномальной восприимчивости бистабильной системы на малое внешнее поле,обусловленный усилением отклика системы за счет энергии шума; построена теория стохастического резонанса для всех частот внешнего сигнала,объясняющая
экспериментальные наблюдения в оптических бистабильных системах.Другие решенные е диссертации проблемы представлены з конце автореферата Е заключении.
Практическая ценность работы,в первую очередь,связана с разработкой методов решения уравнений ФП и СБУ,которые широко применяются в исследовании объектов самой различной природы в физике,химии,биологии, экологии и т.д.
Наеденные в рамках стохастической теории химических реакций скорости элементарных процессов имеют практическую ценность в анализе физико-химических свойств газов и плазмы,кинетики физических процессов активных лазерных сред.В частности,скорость ион-ионной рекомбинации является основным процессом,приводящим к возникновению инверсной населенности в экспмерных лазерах,и может использоваться для оптимизации их работы.
Полученные аналитические функции распределения заселенностей атомарных и молекулярных уровней дают возможность анализировать условия возникновения инверсной населенности б газах и плазме,рзсчитьшать основные параметры газодинамических и плазмодинамических лазеров,лазеров в условиях различного типа разрядов.
Результаты классической и квантовой теории газовых лазеров,полученные з диссертации,позволяют оценить характерные времена возникновения генерации,исследовать неравновесную статистику фотонов,определить ширину линии генерации и доверительныйй интервал времени наблюдения фотоотсчетов,при котором измерение интенсивности излучения вблизи порога генерации не приводит к ошибке.
Построенная е диссертации теория стохастического резонанса я бистабильных системах объясняет эксперименты в оптических бистабильных системах по аномальному поведению отношения сигнал/шум в зависимости от интенсивности шума.Результаты теории тлеют широкое приложение,так как системы о бистабильным потенциалом реализуются ео многих областях физики.Представленная теория может служить основой для создания нового типа усилителей сигналов за счет энергии шума.
Теория процесса срыва слежения за сигналом в радиофизических системах автоматической подстройки частоты имеет прямое отношение к разработке радиоприемных устройств,обеспечивающих устойчивую дальнею
- б -
связь,или устройств типа радиолокаторов,автодальномеров и др.
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации получены в Физическом институте им.П.Н.Лебедева РАН е Оптическом отделе иы.Г.С.Ландсберга в период с 1979 по 1994 годы и докладывались на семинарах этого института,а также на семинарах Института общей физики РАН,Математического института им.В.А.Стеклова РАН,МГУ им.М.В.Ломоносова. Диссертация написана на основе 28 оригинальных работ,список которых представлен в конце автореферата.
Личный Еклад автора.Работа выполнена в Отделении оптики ФИАН в теоретическом секторе "Оптика неравновесных сред".Исследования по разработке универсального метода КФР для построения асимптотических по времени решений уравнений Ш и СЕУ,неравновесных функций распределения васеленностей уровней атомов и молекул,а также по разработке стохастической теории химических реакций,учету пространственны;-: корреляций по-раметра порядка в теории неравновесных фазовых переходов,теории явления стохастического резонанса выполнены автором лично.Развитие аппарата теории функций Грина и исследование неравновесных фазоЕых переходов в пространственно-однородных системах выполнены совместно с СМ.Харчевым. Работы по теории процесса срыва слежения за сигналом в радиофизических системах выполнены совместно с Г.Н.Третьяковым.
Автор диссертации выражает искреннюю благодарность член-корреспонденту РАН И.И.Собельману эа интерес и благожелательное отношение к проведенным исследованиям,проф. Л.А.Шелепнну и зав.Оптическим отделом проф. В.А.Щеглову за постоянное внимание и полезные советы по ряду проблем,а также Леонову В.Н. за помощь е освоении компьютерной техники.
Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.Она изложена на 307 стр..включает одну таблицу и 30 рисунков.Список литературы содержит 218 наименований.
