Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение волны разгрузки слабого разрыва в стержне постоянного поперечного сечения
I. Постановка задачи 15
2. Метод характеристик 19
3. Метод итераций 22
4. Частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва 30
5. Метод соответствующих хорд 34
6. Метод соответствующих касательных 39
7. Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва 45
8. Изломы волны разгрузки слабого разрыва 47
Глава 2. Построение волн нагружения и разгрузки в коническом стержне
9. Постановка задачи 56
10. Построение решения на переднем фронте волн пластического нагружения 59
11. Построение решения в области пластического нагружения 65
12. Начальная скорость слабой волны нагружения 70
13. Построение слабой волны нагружения методом соответствующих касательных 73
14. Изломы слабой волны нагружения 76
15. Соотношения на волне разгрузки слабого разрыва 79
16. Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва 82
17. Построение волны разгрузки слабого разрыва методом соответствующих касательных 84
18. Изломы волны разгрузки слабого разрыва 91
Глава 3. Реализация на ЭВМ методов построения волны разгрузки слабого разрыва
19. Построение волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом итераций 97
20. Построение волны разгрузки слабого разрыва в полу бесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом соответствующих касательных 102
21. Построение волны нагружения и волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном коническом стержне методом соответствующих касательных 108
- Частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва
- Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва
- Построение решения в области пластического нагружения
- Построение волны разгрузки слабого разрыва в полу бесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом соответствующих касательных
Введение к работе
Актуальность проблемы. Во многих областях техники широко применяются стержневые элементы, испытывающие воздействия ударных нагрузок. Обеспечение надежной работы узлов и механизмов и стремление максимально облегчить конструкции требует дальнейшего совершенствования методов расчета упруго-пластического состояния динамически нагруженных стержней.
Динамическое нагружение и разгрузка стержня представляет собой сложный волновой процесс. От загруженного конца вдоль стержня последовательно распространяются волны упругого нагружения, волны пластического нагружения, вызывая необратимые пластические деформации, и с началом разгрузки стержня - волны упругой разгрузки. Передний фронт распространяющихся вдоль стержня волн упругой разгрузки называется волной разгрузки. В отличие от волны разгрузки сильного разрыва, которая распространяется со скоростью упругих волн, скорость волны разгрузки слабого разрыва изменяется при движении по стержню, и даже для стержня постоянного поперечного сечения построение волны разгрузки слабого разрыва является достаточно сложной задачей.
Точный расчет стержневого элемента, находящегося под действием динамических нагрузок, невозможен без знания закона распределения остаточных деформаций в стержне, что в свою очередь требует знания закона распространения волны разгрузки. Поэтому понятен тот интерес, который проявляют многие исследователи к изучению волны разгрузки.
Большой вклад в развитие теории распространения упруго-пластических волн внесли такие видные советские ученые как Х.А.Рахмату-лин, Ю.Н.Работнов, А.А.Ильюшин, В.С.Ленский, Г.С.Шапиро и многие другие исследователи.
Задача об определении одномерной волны разгрузки была впервые поставлена Х.А.Рахматулиным в работе C J Рассматривался полубесконечный стержень постоянного поперечного сечения. Из условий непрерывности первых производных решения при переходе через волну разгрузки слабого разрыва и граничных условий на конце стержня Х.А.Рахматулин получил систему уравнений для определения волны разгрузки слабого разрыва и изучил некоторые ее свойства. Для приближенного построения волны разгрузки Х.А.Рахматулин предложил два метода: прямой и обратный.
Прямой метод заключается в разложении функций, входящих в систему уравнений, в виде рядов в окрестности точки начала разгрузки и определении неизвестных коэффициентов разложения через известные. Полученное решение справедливо в окрестности точки начала разгрузки.
В обратном методе, задаваясь видом волны разгрузки слабого разрыва, из системы уравнений определяется закон разгружения конца стержня и сравнивается с заданным. Подбором формы волны разгрузки необходимо добиться заданного закона разгружения.
Г.С.Шапиро в работе C&.J предложил метод характеристик, позволяющий по известному начальному куску построить всю волну разгрузки. Метод характеристик будет подробно рассмотрен в § 2.
В работах / 42_/, / 31_/ рассмотрен ряд примеров построения волны разгрузки методом характеристик, причем на граничные условия нагружения-разгрузки конца стержня были наложены такие ограничения, чтобы начальная скорость волны разгрузки равнялась или скорости упругих, или скорости пластических волн.
В дальнейшем эти ограничения были сняты В.Л.Бидерманом / "2_7 благодаря тому, что им было получено в конечном виде выражение для начальной скорости волны разгрузки слабого разрыва в случае, когда первые производные функций, задающих граничные условия на-гружения-разгрузки конца стержня, одновременно не равны нулю.
Формулы для следующих, после начальной скорости, производных волны разгрузки в начальной точке приведены в работах /f"44_7, / 45_7, / 8_7 и других.
Большое число примеров построения методом характеристик волны разгрузки слабого разрыва в стержнях постоянного поперечного сечения приведено в работах / 26_7, Z 34_7.
А.М.Скобеев в работе / 35_7 впервые доказал существование и единственность волны разгрузки слабого разрыва. Другое оригинальное доказательство единственности волны разгрузки приведено А.А.Космодемьянским 19__7.
В работе / 35_7 исследовалась ассимптотика волны разгрузки и в частности, было показано, что при бесконечно спадающем давлении, заданном на конце стержня, скорость волны разгрузки стремится к скорости упругих волн. Ассимптотика волны разгрузки слабого разрыва изучалась также в работах 1_7 / 13_7, / ""14_7, /" 15_7.
Для частного случая граничных условий, когда к концу стержня мгновенно приложено спадающее во времени давление, А.И.Буравцев 4_7 преобразовал систему уравнений для волны разгрузки слабого разрыва к одному функциональному уравнению, которое решал затем методом последовательных приближений. Подобным образом решалась задача в работе / 9_7, причем Ю.П.Гуляеву удалось получить решение функционального уравнения в виде функционального ряда по степеням некоторого параметра, меньшего единицы, что обеспечивало хорошую сходимость ряда.
Г.Т.Тарабрин / "39_/ заменял действительную скорость распространения волны разгрузки слабого разрыва некоторой постоянной средней скоростью, величина которой определялась по наилучшему удовлетворению граничным условиям на конце стержня.
Большое число работ посвящено исследованию волны разгрузки при различных моделях материала стержня. Рассматривались как модель Прандтля, так и модели с нелинейной зависимостью между деформацией и напряжением 5_7, C J C&J а также модели материала, учитывающие эффект запаздывания текучести / 6_7, i J Для стержня постоянного поперечного сечения, материал которого удовлетворяет модели Прандтля, Е.Р.Влодарчик 47_7, / 48_7 получил частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. Он показал, что если давление на конце стержня нарастает, а затем падает по линейному закону, то волна разгрузки слабого разрыва распространяется с постоянной скоростью.
Этот результат был усилен в работе "1 7, где В.С.Ленский и С.Д.Алгазин показали, что если функции, задающие давления нагру-жения и разгрузки на конце стержня, представляют собой параболы "к"-той степени, где "к" - целое положительное число, то волна разгрузки слабого разрыва также распространяется с постоянной скоростью, которую можно определить из приведенного в работе уравнения.
При изучении динамически нагруженных стержневых элементов внимание исследователей уделялось не только стержням постоянного поперечного сечения, но и стержням переменного сечения и в частности, коническим стержням. В настоящем обзоре рассматриваются такие работы, где динамическое нагружение приложено к узкому концу конического стержня. В этом случае энергия упругих и пластических волн убывает по мере продвижения от загруженного конца по стержню. Данное обстоятельство приводит, в частности, и к тому, что граница, разделяющая в коническом стержне области упругого и пластического нагружения (волна пластического нагружения), может распространяться как со скоростью пластических волн - в случае ударного пластического нагружения, так и с переменной скоростью, меньшей скорости пластических волн, - в случае слабого пластического нагружения конического стержня. Так что для конического стержня построение волны разгрузки слабого разрыва осложняется в общем случае еще и построением слабой волны пластического нагружения, не говоря уже о значительно усложняющемся виде уравнений для волны разгрузки слабого разрыва.
Г.С.Шапиро в работе " З /получил в конечном виде решение в упругой зоне на переднем фронте ударных волн пластического нагружения, распространяющемся со скоростью пластических волн.
А.Н.Харитонова / 40_/ рассмотрела разгрузку конического стержня, когда к его концу мгновенно приложено спадающее во времени давление, так что ударная волна пластического нагружения, распространяющаяся со скоростью пластических волн, является одновременно и волной разгрузки. Искать решение в области разгрузки предлагается методом характеристик, причем значения волновых функций в области разгрузки на начальном участке волны разгрузки ищутся методом линеаризации. Получена формула для определения сечения истощения ударной волны пластического нагружения.
Укажем также работу Е.Р.Влодарчика "46 7, где волна разгрузки отлична от ударной волны пластического нагружения. Для изучения свойств волны разгрузки в окрестности точки начала разгрузки было применено разложение в ряд Маклорена и получены первые три члена.
Ю.В.Суворова "38_7 изучала распространение в коническом стержне волны пластического нагружения, когда к концу стержня мгновенно приложено постоянное напряжение, превосходящее предел текучести материала. Из-за наличия эффекта запаздывания текучести материала волна пластического нагружения, которая для модели Прандтля должна была бы быть ударной, распространяется с переменной скоростью, меньшей скорости пластических волн, что является в некотором роде аналогом слабой волны пластического нагружения. Для определения этой кривой применяется метод разложения неизвестных функций в ряды Тейлора в окрестности начальной точки волны нагружения.
Заключая обзор литературы, заметим, что за исключением нескольких методов, имеющих или чисто теоретическое значение, или применимых лишь для частного случая граничных условий, для построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения нашел широкое применение единственный метод - метод характеристик, предложенный Г.С.Шапиро. Отметим, что использование метода характеристик вызывает определенные трудности при построении волны разгрузки слабого разрыва.
И наконец, нам неизвестны работы, в которых излагались бы методы и приводились примеры построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном коническом стержне.
Цель работы. Поиск новых численных методов построения волны разгрузки слабого разрыва в полубесконечном стержне постоянного поперечного сечения и в полубесконечном коническом стержне.
Общая методика выполнения исследований. Теоретические трудности не позволяют аналитически выразить волну разгрузки слабого разрыва из соответствующей системы функциональных уравнений. Поэтому приходится прибегать к численным методам построения волны разгрузки. В работе предложены три новых метода решения поставленной задачи. Это итерационный метод, метод, основанный на частном решении системы функциональных уравнений, и метод, основанный на дифференциальных связях, полученных из системы функциональных уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. При расчете волн разгрузки на ЭВМ применялись различные приемы численного интегрирования и интерполирования функций.
Научная новизна работы заключается в следующем. Для полубесконечного стержня постоянного поперечного сечения: - разработаны три новых метода построения волны разгрузки слабого разрыва: метод итераций, метод соответствующих хорд и метод соответствующих касательных; - расширено ранее известное частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва; - найдено новое частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва; - впервые изучены изломы (конечные разрывы первой производной от непрерывной кусочно-дифференцируемой функции) волны разгрузки слабого разрыва как следствие изломов функций, задающих граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, а также как следствие уже образовавшихся изломов волны разгрузки слабого разрыва. Для конического стержня: - впервые предложен метод построения волны слабого пластического нагружения и волны разгрузки слабого разрыва - метод соответствующих касательных и приведены конкретные примеры расчета волн; - получено решение в области упругих деформаций на переднем фронте волн слабого пластического нагружения, которое является обобщением решения Г.С.Шапиро; - впервые изучены изломы волны слабого пластического нагружения и волны разгрузки слабого разрыва как следствие изломов функций, задающих граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, а также как следствие уже образовавшихся изломов волн. Практическая ценность. Предложенные методы построения волны разгрузки доведены до уровня алгоритмов и реализованы в виде программ на языке ФОРТРАН для ЭВМ типа ЕС или БЭСМ-б. Результаты расчетов показали высокую точность построения волны разгрузки. Указанные методы найдут практическое применение при расчете упруго-пластического состояния динамически нагруженных стержней. Некоторые теоретические результаты используются автором в Нижне-Волжском научно-исследовательском институте геологии и геофизики при исследовании распространения сейсмических волн в слоистых средах, в частности, при расчете синтетических сейсмограмм.
Предложенные методы построения волны разгрузки и другие теоретические результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении студентам механико-математических факультетов университетов специального курса по теории распространения одномерных упруго-пластических волн и проведении спецсеминаров и лаборатории специализации по этому курсу. Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задач, применением обоснованных математических методов при их решении, а также проверкой удовлетворения построенных волн граничным условиям, заданным на конце стержня. Кроме того, волны разгрузки, построенные предлагаемыми методами, сравниваются между собой, а также с известным точным решением. При отсутствии известного решения точность построения волны разгрузки слабого разрыва оценивается по величине погрешности, получаемой при удовлетворении граничным условиям на конце стержня - в методе соответствующих касательных, или начальным условиям - в методе итераций.
Частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва
Метод характеристик позволяет построить волну разгрузки, если известен начальный кусок волны разгрузки. Для нахождения начального куска волны разгрузки можно сделать следующее: дифференцируя "к" раз систему уравнений Рахматулина в точке t , начальной точке волны разгрузки, последовательно получаем "к" коэффициентов разложения в ряд Тейлора волны разгрузки t =f(X) в окрестности точки Х- 0 4t0:
Подобный метод исследования использовал Е.Р.Влодарчик. Он показал, что если давление на конце стержня нарастает и убывает по линейному закону, то волна разгрузки слабого разрыва распространяется с постоянной скоростью "47, 48J71.
Этот результат был усилен В.С.Ленским и С.Д.Алгазиным в работе C -J Для стержня постоянного поперечного сечения, материал которого удовлетворяет схеме Прандтля, в случае граничных условий 2 рода система уравнений для волны разгрузки слабого разрыва имеет вид:
В работе Cl J методом разложения функций в ряды Тейлора было показано, что волна разгрузки слабого разрыва распространяется с постоянной скоростью и в случае, когда давление на конце стержня изменяется по закону
Данный результат можно усилить, доказав то же самое не только для целых п 0 , но и для любых действительных п О C -J Подставим функции вида (4.4) в функциональное уравнение системы (4.2):
Тождеству (4.7) можно удовлетворить, положив где С1 , Сг - некоторые постоянные. Но с другой стороны, из характеристических соотношений системы (4.2) следует, что
Сравнивая формулы (4.8) и (4.9), видно, что волна разгрузки распространяется с постоянной скоростью 0 , причем постоянные С1 , Сг следующим образом выражаются через -ё0 : Подставляя (4.8) с учетом (4.10) в тождество (4.7), получаем уравнение (4.6) для вычисления скорости 0 волны разгрузки слабого разрыва.
Для граничных условий I рода получаем следующую систему уравнений Рахматулина для волны разгрузки слабого разрыва:
Аналогично можно показать, что для функций вида где n 0 - действительное число, волна разгрузки распространяется с постоянной скоростью $0 : f(X) =t0+ Х/-0, причем скорость -ё0 определяется из следующего уравнения:
Для уравнений (4.6) и (4.13) легко показать, что на интервале [fLi й0] скорость волны разгрузки определяется единственным образом. После домножения на (СС0" о) » видно, что функция F(-0) обладает следующими свойствами: что и доказывает единственность корня.
Приведенное частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва имеет значение как тестовая задача для проверки точности построения волны разгрузки численным методом. Кроме того, можно аппроксимировать произвольные функции f.(t) и f (t) в окрестности начальной точки к функциями вида (4.4) или (4.12), в зависимости от типа граничных условий. Тогда мы получим с некоторой степенью точности начальный кусок волны разгрузки в виде прямой, наклон которой определяется из уравнений (4.6) или (4.13) соответственно. Построенный начальный кусок можно использовать для построения начальной точки последовательности соответствующих точек волны разгрузки слабого разрыва.
Предложим еще одно частное решение системы уравнений для волны разгрузки слабого разрыва. Покажем, что если функции, задающие граничные условия нагружения и разгрузки конца стержня, представляют собой многозвенные ломаные, то волна разгрузки слабого разрыва также будет являться многозвенной ломаной. Идея доказательства возможности продолжения решения за начальный участок волны разгрузки содержится в работе Г.С.Шапиро "42,J и в статье В.С.Ленского и С.Д.Алгазина \J
Начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва
При построении волны разгрузки методом соответствующих касательных на первом шаге необходимо вычислить скорость первого звена ломаной как начальную скорость волны разгрузки. Начальную скорость волны разгрузки можно получить из уравнения связи соответствующих касательных (6.13) - для разгрузки I рода, или из уравнения (6.8) - для разгрузки 2 рода, положив в них Но можно поступить иначе. Представим функцию ич /dt на волне разгрузки слабого разрыва t-j-(X) с помощью соотношений (6.7) в следующем виде: Таким образом, получено известное соотношение Рахматулина "&J на волне разгрузки слабого разрыва. В частности, в точке t-j(O) из выражения (7.1) получаем формулу ZJ Для вычисления начальной скорости волны разгрузки слабого разрыва в случае граничного условия разгрузки 2 рода: Для граничного условия разгрузки I рода с помощью формул (6.7) получим на волне разгрузки слабого разрыва t -f(X) следующее соотношение: Так как скорость волны разгрузки слабого разрыва лежит в пределах (Zi v (Z0 , то на волне разгрузки: ЭУЦ/dt 0 В частности, Un х=о 0- условие разгрузки в точке t0 , dtlt=t0 которое для граничного условия разгрузки I рода приводит к уело- При подстановке Х—0 , t—t0 соотношение (7.3) позволяет вычислить начальную скорость волны разгрузки слабого разрыва в случае разгрузки I рода: В случае Яу=/7 , К2 0 формулы (7.2) или (7.4) не годятся, и для вычисления начальной скорости волны разгрузки слабого разрыва необходимо использовать соотношения, связывающие в точке t производные более высокого порядка функций нагружения f (t) и разгрузки yz(t) .В частности, для функций нагружения и разгрузки вида (4.4) или (4.12) начальная скорость волны разгрузки слабого разрыва находится из соотношений (4.6) или (4.13), связывающих в точке t0 производные " И1 "-ого порядка функций %lt) и %(t) . Для построения волны разгрузки слабого разрыва методом соответствующих касательных функции нагружения (t) и разгрузки f2(t) должны быть дифференцируемые на интервалах [ts, t0] и [t0, t ] - соответственно. Расширим класс функций нагружения и разгрузки, для которых применим метод соответствующих касательных. Будем говорить, что непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(t) имеет излом в точке Ьр , еслиf (tP 0) y (t+0), причем будем называть излом положительным, если y (tp 0) № + 0) , и отрицательным, если f (tp 0) f (tp+0) Пусть функции нагружения f (t) , на интервале ts,0] , и разгрузки fz(t) , на интервале [t0, к] , непрерывны и кусочно-дифференцируемы, то есть на указанных интервалах функции y(t) и fz(t) имеют конечное число изломов. Рассмотрим основную формулу метода соответствующих касательных - формулу для вычисления скорости волны разгрузки t = і (X) в точке [X2,f (Х2)] . Для граничных условий разгрузки I или 2 рода она имеет вид (6.13) или (6.8).
Перепишем указанные формулы еще раз: Формула (8.1) - формула связи соответствующих касательных К, К , К2 , , -; в случае граничного условия разгрузки I рода. И поскольку %(t) - скорость конца стержня, то %(t) 0 и K = fi(t) 0 , где t = $(Xz) X2/a0 . Анало- гично, формула (8.2) - формула связи соответствущих касательных в случае граничного условия разгрузки 2 рода. Так как f (t) напряжение на конце стержня, то fz(t) 0 и K- l(t)/ . 0. Остальные члены формул (8.1) и (8.2) одинаковые: величины -ё и г - соответствующие скорости волны разгрузки слабого разрыва в соответствущих сечениях Xi и Х2 ; коэффициенты имеют вид: Поскольку в области 3 нет обратных волн, то последние формулы можно записать более определенно: что полностью определяется функцией нагружения f) . Если %(t) - скорость, то fjt) 0 , K -fittJ/CL O , =/,2. Если %(t) -давление, то f{(t) 0, K fi dJ/E O , 1 = 1,2. Заметим, что при анализе изломов волны.разгрузки нам нужно знать характер поведения функции —-3 t причем совершенно неважно, какой тип нагружения стержня имеет место в данном случае. Уравнения (8.1) и (8.2) можно короче записать в следующем виде: и суть метода соответствущих касательных сформулировать так: неизвестная касательная к волне разгрузки в построенной точке [Xz,j(Xz)] , а именно: скорость г волны разгрузки в сечении Х2 , вычисляется через известные угловые коэффициенты К,К1}Кг1 1 . При непрерывном изменении этих величин непрерывно изменяется и величина $г . Если же скачком изменяется хотя бы один из аргументов, например К , то скачком должна \ измениться и скорость ог , то есть волна разгрузки слабого разрыва будет иметь излом в точке пересечения волны разгрузки с характеристикой, несущей информацию о разрыве аргумента, в данном случае - аргумента К Приведенные рассуждения подсказывают изменения, которые необходимо внести в метод соответствующих касательных, чтобы приспособить его для построения волны разгрузки слабого разрыва в случае кусочно-дифференцируемых функций нагружения fjlt) и разгрузки fz(t) . Перед началом построения необходимо отметить точки изломов функций, имея в виду, что изломы функции у (t) распространяются по характеристикам наклона CLi , К2 - изломы, а изломы функции %(t) - по характеристикам наклона.
Построение решения в области пластического нагружения
Построение ударной пластической волны нагружения не представляет особых затруднений, поскольку она является характеристикой области пластического нагружения и распространяется со скоростью пластических волн OL . Выразить аналитически слабую волну нагружения не представляется возможным. Поэтому предлагается строить волну слабого пластического нагружения в виде многозвенной ломаной, наклоны звеньев которой последовательно вычисляются методом соответствующих касательных. Уравнение связи соответствующих касательных получаем дифференцированием граничного условия нагружения. Если, например, на Здесь 1 и г - скорость слабой волны нагружения в соответствующих сечениях X t) и Xz(t) . Для граничных условий 2 рода уравнение связи соответствующих касательных выводится аналогично. Пусть слабая волна нагружения как многозвенная ломаная по строена вплоть до сечения Х2 . Конец последнего построенного звена - точка \ г ХгЦ . Тогда во-первых, можно вычислить значение функции 0(Х-г) ; во-вторых, построить точку t = T(Xz)-—f и получить значение функции %(t) ; в-третьих, построить соответствующую точку слабой волны нагру жения [Х1, VY3C,)] , поскольку волна нагружения уже построена вплоть до сечения Хг , и получить величины U- Xj) и iA . После этого из уравнения (13.4) остается найти единственную неизвестную величину - скорость /2 , с которой нужно продол жить слабую волну нагружения из сечения Хг , то есть из уравнения (13.4) можно вычислить угловой коэффициент наклона очередного звена ломаной, аппроксимирующей волну нагружения слабого разрыва. Все звенья ломаной строим одинаковой длины / за исключением точек изломов слабой волны нагружения. Практическая реализация приведенного метода соответствующих касательных состоит в следующем. Слабая волна нагружения строится в виде многозвенной ломаной. На "К"-том шаге построения из точки \хк_ , f(xK_i)] строится звено длины -С с угловым коэффициентом наклона // к . Конец этого звена - новая точка волны нагружения [xK1T(XK)
сечении Хк строится функция Ы0(ХК) по формулам (10.8) - (10.13). В точке \XK,f(XK)\ вычисляются функции fY 5, jz3, J23 по формулам (II.7), (II.9) и функция f - по формуле (II. 13). Обратные волны jzi , $ г5 , J2" постоянны вдоль характеристик наклона " -OL1 ".-Вычисляем и-а, проекцию" точки [xK1f(XK)] : t Tixj+xja и в точке tK вычисляем прямые волны / С- а tK) 7 5iz( aify fi3 ai x) по Формулам (II. 15) для граничного условия нагружения I рода, и по формулам (II.17) для граничного условия нагружения 2 рода. Полученные значения f1B(-d4tK) запоминаем как опорные, относящиеся к точке tK . Далее строится накопленным опорным значениям интерполируются величины і\ь (" аіК) 7 Si ( аіК ) 7 или что то же самое (Х а,Шк)) $f !(XK- (li t(XK)) . Поскольку значение 0СХК) уже вычислено, то величина іІз(Хк-СС (Хк)) позволяет найти 1/ к+1 , угловой коэффициент наклона " К + У "-го звена слабой волны нагружения. Действительно, из формулы (II.9) получаем: Отметим, что величина f lX a TfX ) вычисляется дважды: первый раз - через величину U0(XK) по формуле (II.7). Обозна чим ее через Si3( -K CL1f( K)) Второй раз - интерполированием по накопленным ранее опорным значениям. Обозначим второе значе ние величины f как i1 i(-ditK) . Так как при построении слабой волны нагружения погрешность построения накапливается, то предпочтение следует отдать величине Уп , а разность к= $13 " $1 будет указывать погрешность построения слабой волны нагружения в сечении Хк
Погрешностью построения вол ны нагружения в соответствующем сечении Х„ (Х=ХЛ,Х=Х)9 its IX- Т гЧ . можно пренебречь по сравнению с погрешностью в точке Хк . Погрешностью в сечении Х можно пренебречь тем уверенней, чем меньше отличается волна нагружения слабого разрыва от пластической характеристики t=t+ Х/а . Погрешность Ек указывает также направление отклонения построенного " К "-того узла многозвенной ломаной от слабой волны нагружения. При Е 0 очередной узел многозвенной ломаной ле-жит выше искомой волны нагружения, и следовательно, нужно увеличить скорость очередного звена ломаной. При Е 0 узел лежит ниже волны, и вычисленную скорость нужно уменьшать. Указанное обстоятельство можно использовать для коррекции скорости слабой волны нагружения в сечении Хк : где Ек - погрешность в " К " -том узле. Коэффициент коррекции скорости В 0 подбирается при расчете из условия минимума среднего квадрата отклонений Е. После вычисления скорости волны нагружения в сечении Хк из " К "-того узла строится очередное звено волны нагружения длины / с угловым коэффициентом 1/ к+і Конец этого звена - очередная точка волны нагружения с индексом п К + 1 ". Поскольку заранее неизвестна волна разгрузки, а тем более точка, в которой пересекутся волны нагружения и разгрузки, то построение волны нагружения продолжается до тех пор, пока волновые функции в области 3 не будут протабулированы на оси t хотя бы до значения Z t0 , где t0 - время начала разгрузки конического стержня. Если при построении волны разгрузки опорных значений окажется все же недостаточно, то уровень табулирования повышается до 3 t0 и так далее.
Построение волны разгрузки слабого разрыва в полу бесконечном стержне постоянного поперечного сечения методом соответствующих касательных
Обрабатывающая программа носит название MAKPSK . Алгоритм программы описан в гл. I, 6-8. Информация для программы NAKPSK подготавливается точно также, как и для программы NAKKSK (построение волн нагружения и разгрузки в коническом стержне). Кроме граничных условий, задаются следующие параметры: і - длина звена ломаной, аппроксимирующей волну разгрузки (и нагружения) ; А - параметр коничности стержня, для программы MAKPSH не используется, и поэтому можно задавать любое значение ; s - предел упругости материала стержня ; а - скорость пластических волн ; ао- скорость упругих волн ; І - время начала пластического нагружения конца стержня; tQ - время начала разгрузки конца стержня; - тип граничных условий нагружения - разгрузки конца стержня : I - для I рода, 2 - для 2 рода ; В - коэффициент коррекции скорости ; А - массив точек изломов граничных условий.
Погрешность построения волны разгрузки в каждой точке оценивается по точности удовлетворения граничным условиям на конце стержня. Оценкой точности построения всей волны разгрузки будет являться среднеквадратическое отклонение (или стандарт) погрешностей построения волны разгрузки слабого разрыва: погрешности построенных точек волны разгрузки.
Здесь не будут приведены результаты расчетов, подтверждающие тот очевидный факт, что точность построения волны разгрузки возрастает при измельчении звеньев аппроксимирующей ломаной, отметим лишь, что эта зависимость прямопропорциональная. Гораздо интереснее исследовать влияние на точность построения волны разгрузки коэффициента коррекции скорости, параметр В.
В качестве первого примера рассмотрим приведенный ранее случай: на конце стержня задано напряжение вида:
Была расчитана волна разгрузки и стандарт отклонения погрешности построения для различных значений коэффициента коррекции скорости. Получена следующая зависимость: Коэффициент Стандарт отклонения погрешности коррекции построения волны разгрузки
Приведем результаты расчета волны разгрузки (Таблица I) для В = 0 (без коррекции скорости) и для В = 10 (с коррекцией скорости). Вид волны разгрузки приведен на рис. 7.и описан в предыдущем параграфе. Номера точек на рис. 7 приведены в первой колонке таблицы I. Соответствующие номера построенных звеньев ломаной, аппроксимирующей волну разгрузки, помещены во второй колонке. При заданной длине звена = 0.002 ломаная состоит из 875 звеньев. Их расчет занял II секунд процессорного времени ЭВМ БЭСМ-б. В колонке "Сечение" приведены координаты сечений, в которых рассчитывалось время прихода волны разгрузки. Это вычисленное время помещено в колонке "Время" в левом столбике "касат". Для случаев В » 0 и В = 10 эти значения оказались практически одинаковыми, различие находится за пределами приведенных б-ти знаков. Для того, чтобы различие было видно, в колонке "Погрешность" приведены два столбика погрешностей построения волны разгрузки для случаев В = 10 (левый столбик) и В = 0 (правый столбик). Несмотря на то, что в приведенном примере большая часть волны разгрузки представляет собой прямую линию, как и должно быть по теории и где решение строится практически точно и при В = 0, применение коэффициента коррекции позволило более чем в 3 раза уменьшить стандарт отклонения погрешности построения волны разгрузки. Этот выигрыш достигнут в основном при построении криволинейных участков волны разгрузки.
В случае, когда волна разгрузки целиком криволинейна, коэффициент коррекции еще сильнее влияет на точность построения волны разгрузки. В подтверждение вышесказанного приведем следующий пример расчета волны разгрузки. На конце стержня задано напряжение:
Была расчитана волна разгрузки и стандарт отклонения погрешности построения для различных значений параметра В и получена зависимость:
В данном расчете волны разгрузки применение коэффициента коррекции позволило в 10 раз уменьшить стандарт отклонения погрешности построения волны разгрузки.
Результаты расчета волны разгрузки с параметром В = 100 представлены в таблице 2 и на рисунке 8. Колонки таблицы 2 имеют тот же смысл, что и в таблице І. В колонке "Погрешность" приведены погрешности построения точек волны разгрузки для случаев В = 100 и В = 0. Значения рассчитанных времен для В = 0 не приводятся, чтобы не загромождать таблицу. Отметим лишь, что различия с представленными для В я 100 временами начинаются с 5-го знака после запятой.
