Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Плоская задача теории упругости для прямоугольной области из ортотропного материала 25
1. Вариационная постановка задачи плоской теории упругости 25
2. Определение основного напряженного состояния (внутренняя задача)..34
3. Решение задачи погранслоя для полосы 46
4. Условия существования затухающих решений 55
5. Использование условий существования затухающих решений для получения краевых условий внутренней задачи 66
6. Вариационный подход к разделению краевых условий 87
7. Упрощенный вариант получения краевых условий внутренней задачи 107
Глава 2. Трехмерная задача теории упругости ортотропного тела 110
1. Вариационная постановка трехмерной задачи теории упругости 110
2. Определение основного напряженного состояния пластины (внутренняя задача) 116
3. Решение задач погранслоев для симметричной задачи пластины 131
4. Решение задач погранслоев для задачи изгиба пластины 159
5. Статические краевые условия 185
6.Краевое условие шарнирного опирания (заданы рХ5 ру ,wi) 217
7.Краевое условие шарнирного закрепления (заданы pXJ ,vz ,wj;) 238
8. Краевое условие свободного защемления (заданы uZi py,v/) 254
9. Краевое условие жесткого защемления (заданы u vwj;) 271
10. Построение теории расчета пластин с точностью є 285
11. Анализ уравнений изгиба пластин по модели Тимошенко-Рейсснера и уточнение краевых условий классической теории изгиба пластин 293
Глава 3. Плоская задача теории упругости для многослойных ортотропных сред 310
1. Краткий обзор литературы по использованию аналитических методов исследования многослойных сред 310
2. Вариационная постановка плоской задачи теории упругости для многослойных сред 321
3. Основное напряженное состояние плоской задачи для многослойных сред 333
4. Плоский погранслой и принцип Сен-Венана 346
5. Краевые условия внутренней задачи расчета многослойных сред 349
6. Определение основного напряженного состояния трехслойной плоской задачи с "мягким" средним слоем 352
7. Решение задачи погранслоя для многослойной пластины... 358
Заключение 381
Список литературы 384
- Использование условий существования затухающих решений для получения краевых условий внутренней задачи
- Определение основного напряженного состояния пластины (внутренняя задача)
- Анализ уравнений изгиба пластин по модели Тимошенко-Рейсснера и уточнение краевых условий классической теории изгиба пластин
- Вариационная постановка плоской задачи теории упругости для многослойных сред
Введение к работе
В современной технике составными элементами большинства конструкций являются однослойные и многослойные стержни, пластины и оболочки. Усложнение условий их работы, применение материалов со сложными физико-механическими свойствами привело к необходимости изучения возможности использования старых моделей расчета в новых условиях, уточнения их погрешности и обоснования построения новых неклассических моделей расчета, которые позволяют проводить расчеты с необходимой точностью.
Геометрия стержней, пластин и оболочек характеризуется тем, что в них одно из измерений резко отличается от двух других. Так, для стержней (балок) один из размеров (длина) значительно больше двух других, относящихся к поперечному сечению, а для пластин и оболочек один размер (толщина) на много меньше двух других. Это обстоятельство накладывает свой отпечаток на методы их расчета. Решение задачи трехмерной теории упругости при расчете стержней и пластин должно строиться в узкой области по поперечной координате и в протяженной области по остальным координатам. Поскольку нахождение точного аналитического решения соответствующей трехмерной задачи сопряжено с почти непреодолимыми трудностями, были предложены различные прикладные методы сведения трехмерной задачи теории упругости к двумерным уравнениям теории пластин и оболочек, которые, следуя обзорам С.А. Амбарцумяна [10] и А.Л. Гольденвейзера[74], можно подразделить на:
1. метод гипотез,
2. точные методы решения (метод разложений по толщине),
3. асимптотические методы.
Конечно, это деление можно считать условным, так как асимптотические методы исследования можно применять и к первым двум группам методов.
По И.И.Воровичу [59] все методы приведения делятся на две группы. К первой группе относятся исследования, в которых дается регулярный процесс замены решения трехмерной задачи теории упругости рядом двумерных, которые позволяют решить задачу с любой необходимой точностью. Ко второй группе относятся исследования, которые позволяют сразу заменить исходную задачу двумерной (метод гипотез). Первый и второй методы исследования начали развиваться с самого начала становления теории пластин и оболочек, а асимптотические методы интенсивно развиваются с шестидесятых годов прошлого столетия.
Первые последовательные исследования в теории пластин с помощью разложения перемещений в степенной ряд по поперечной координате были выполнены Коши и Пуассоном. Однако основные результаты в развитии теории пластин и оболочек были связаны с методом гипотез Бернулли-Эйлера-Кирхгофа-Лява. Вопросу построения теории расчета однослойных и многослойных пластин и оболочек из изотропного и анизотропного материалов и решению многих весьма важных прикладных задач посвящено большое число монографий и отдельных статей [1,9,10,13,19,39,45,49,60,73,80,85, 109,114,118,131,135-138] и другие. Вплоть до сороковых годов прошлого века доминирующую роль сыграли исследования на основе гипотез Кирхгофа-Лява. Начиная с этих годов наметился интерес ко всем трем способам приведения, связанный с тем, что гипотеза Кирхгофа-Лява не всегда обеспечивает необходимую точность результатов. Это относится к анизотропным пластинам и оболочкам, слоистым пластинкам и оболочкам, динамическим задачам, задачам о концентрации напряжений, сосредоточенным воздействиям и т.д. За короткий срок появились основанные на смягченных допущениях модели Тимошенко-Рейсснера [189,190], С.А.Амбарцумяна [9,10] и многих других. Еще больше подходов предложены для расчета слоистых пластинок и оболочек, что отмечается в третьей главе. Принятие какой-либо гипотезы в конечном итоге приводит к тому, что задается определенный закон изменения искомых величин по поперечной координате (толщине). Тем самым фактически принимается некая асимптотика для напряжений и перемещений. Таким образом, с одной стороны, имеются прикладные, в большинстве случаев хорошо зарекомендовавшие себя теории балок, пластин и оболочек, рамки применимости которых всегда нуждаются в уточнении, с другой стороны, корректно сформулированная трехмерная задача, которую следует решить. Самыми распространенными теориями расчета балок, пластин и оболочек являются классическая теория, базирующаяся на гипотезах Бернулли-Кирхгофа-Лява, и простейшая уточненная теория Тимошенко-Рейсснера, учитывающая влияние поперечного сдвига. Классические теории изгиба и растяжения-сжатия стержней, пластин и оболочек являются самыми простыми и хорошо изученными задачами математической физики, однако основным недостатком этой теории является невозможность удовлетворения трем естественным краевым условиям и, следовательно, невозможность правильно описать напряженно-деформированное состояние у края конструкции. Уточненная теория Тимошенко-Рейсснера для изгиба пластины позволяет удовлетворить трем естественным краевым условиям задачи, но при этом задача осложняется в математическом плане, так как из одной системы дифференциальных уравнений приходится определять два совершенно разных решения: одно решение, которое имеет проникающий характер на всю область, и второе решение, имеющее быстрозатухающий от края характер (решение типа пограничного слоя). Решения типа погранслоя и уточнения проникающего решения связаны с появлением в дифференциальных уравнениях, описывающих, например, изгиб пластины по модели Тимошенко-Рейсснера, малого параметра e=h/a.
В декартовой системе координат относительно компонент перемещений u,v,w система дифференциальных уравнений для пластины из изотропного материала по модели Тимошенко-Рейсснера имеет вид Эта система уравнений содержит основное напряженное состояние, которое в первом приближении определяется классической теорией изгиба пластин, и решение типа погранслоя. Однако использование системы уравнений в численных расчетах связано с определенными математическими трудностями, которые являются следствием вырождения системы уравнений при є=0, поэтому в литературе она отождествляется с системой уравнений, в которой заменой переменных разделяются оба решения DAAw = q-2Aq, є2 А р - р = 0,
dw ckp
где принято
и
У = _ _Ф, дс„,=!Ы+эЧ...)
дх ду ду дх """ дх1 ду2
Во второй системе уравнений трудности разделения проникающего решения и решения типа погранслоя остались в краевых условиях, которые к тому же осложнились.
Естественное появление малого параметра в системе дифференциальных уравнений требует применения асимптотических методов исследования, так как вектор перемещений является функцией не только координат х,у, но и параметра є: и = и(х,у,е). Как ни странно, до недавнего времени асимптотические методы не применялись. Видимо это объясняется тем, что возмущение малым параметром является сингулярным, а математическая теория таких уравнений, по существу, начала интенсивно развиваться лишь с конца сороковых годов, хотя такие уравнения встречались и раньше в некоторых задачах механики. Первоначально такие задачи решались интуитивно, и только непротиворечивость полученных результатов физическим представлениям являлось единственным критерием правильности решения.
В случае регулярного возмущения решение задачи является непрерывной функцией малого параметра, и оператор задачи расщепляется один раз. Решение краевой задачи для регулярно возмущенного оператора можно определить, разыскивая его в виде ряда по степеням малого _ оо _ параметра u(x,y,e)= esu (х,у). При соблюдении определенных условий 5 = 0 известно, что решение при малом є близко к решению при є=0, т.е. к решению вырожденного или, как его еще называют, невозмущенного или укороченного уравнения. Задача в дальнейшем заключается в улучшении этого результата с помощью более высоких приближений. Для этого в уравнения и краевые условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. Для каждого уравнения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий.
Сингулярность возмущения вносит коренную специфику в свойство решения как функции от малого параметра, так как в этом случае решение разрывно по отношению к малому параметру. Так задача изгиба по модели Тимошенко-Рейсснера, которая описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка, требует на границе три естественных краевых условия. Однако при є=0 система этих уравнений сводится к соотношениям гипотезы Кирхгофа и + — = 0, v + — = 0 (абсолютной жесткости в дх ду трансверсальном направлении) и классическому дифференциальному уравнению изгиба пластины четвертого порядка AAw„ = q, которое требует всего два краевых условия. Таким образом, при указанном переходе проявляется сингулярность системы уравнений изгиба пластины по модели Тимошенко-Рейсснера, которая приводит к уменьшению порядка уравнений и исчезновению быстроубывающего от края решения. Это связано с тем, что малый параметр разделяет старшие производные системы дифференциальных уравнений и при є=0 часть оператора вырождается. Таким образом, в случае сингулярного возмущения необходимо использовать несколько расщеплений. Последним соответствуют гладкие и разрывные (типа пограничного слоя) решения. Поскольку решения сингулярно возмущенной краевой задачи складывается из регулярной составляющей и составляющей типа пограничного слоя, то его определение включает следующие этапы: 1) построение решений невозмущенного или укороченного уравнения и уравнений для последующих приближений, соответствующих первому приближению; в теории балок, пластин и оболочек соответствующее решение называют внутренним решением или основным решением; 2) определение погранслоев при помощи второго расщепления исходного возмущенного оператора; 3) сопряжение (сращивание) найденных, качественно различных, решений при помощи краевых условий.
В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены те сингулярные возмущения, которые вызваны малым параметром при старшем операторе, что соответствует неклассическим теориям балок. Возмущения, соответствующие пластинам, таковы, что малый параметр является коэффициентом не всего старшего оператора, а только его части, и эти задачи изучены значительно слабее.
Математическая теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений развивалась благодаря работам А.Н.Тихонова, М.И.Вишика и Л,А.Люстерника [46,47], К.О.Фридрихса [193,194], А.Л.Гольденвейзера [68-73], Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [18], А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова [44], В.М.Бабича и В.С.Булдырева [15], А.Х.Найфэ [128] и других [38,122].
Согласно А.Х.Найфэ [128] методы возмущений (методы малого параметра) представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной механики. В соответствии с методами возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения. Поэтому вопросы сходимости асимптотических рядов в диссертации не рассматриваются.
Данная работа является развитием одного из точных аналитических методов решения задачи теории упругости для полосы и пластины. Поэтому рассмотрим краткий обзор литературы по использованию асимптотических и точных методов при интегрировании уравнений теории упругости для однослойных конструкций. Вопросы использования этих подходов для многослойных стержней и пластин будут обсуждаться в третьей главе.
На современном уровне метод представления искомых функций в виде степенных рядов по поперечной координате к оболочкам применен Н.А.Кильчевским [108,109], который одновременно внес большой вклад в разработку способа формулировки непротиворечивых краевых условий. Подробное изложение этого метода содержится в обзорной статье [108] и монографии [109].
Другой вариант метода степенных рядов был разработан в работах Х.М.Муштари и И.Г.Терегулова [125,127,167,168], первая из которых опубликована в 1959 году. В этих работах использовалось представление перемещений в виде бесконечного степенного ряда по поперечной координате с последующим использованием вариационных методов для получения соответствующих уравнений. Использование того или иного вариационного метода зависит от выбранных искомых функций. Как отмечалось выше, эти методы приводят к системам уравнений, решение которых приводит к большим математическим трудностям.
К методу разложения по толщине можно отнести также метод представления искомых величин в виде ряда по некоторым специальным функциям от поперечной координаты, в частности, по полиномам Лежандра. Этот метод использовался В.В.Понятовским [142], И.Ю.Хома [172], И.Н.Векуа [45]. Некоторые обобщения этих подходов предложены Ш.К.Галимовым [62].
Выводу уравнений стержней, пластин и оболочек вариационным методом посвящены работы В.Л.Бердичевского [17].
Еще один способ приведения трехмерной краевой задачи к двумерной основан на символическом методе интегрирования А.И.Лурье [123,124], который позволяет получить широкий класс частных решений, удовлетворяющих неоднородным и однородным граничным условиям на лицевых поверхностях. Комбинируя эти решения, удается с той или иной точностью удовлетворить условиям на боковой поверхности пластины. Символический метод А.И.Лурье использовали в своих работах С.Г.Лехницкий [120], У.К.Нигул [133], В.К.Прокопов [145-148] и другие. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах И.И. Воровича и его учеников.
Для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной задаче пластин и оболочек был использован В.В.Власовым [49] метод начальных функций, сущность которого состоит в представлении искомых напряжений и перемещений через напряжения и перемещения начальной поверхности. Затем задача сводится к нахождению шести двумерных функций. Развитие этого направления представлены в работах В.В.Власова [48], А.Н.Волкова [50].
В последнее время исследованием степенных рядов по поперечной координате при получении моделей расчета пологих оболочек занимались В.В.Васильев и А.И.Лурье [42,43].
Из многочисленной литературы по использованию метода гипотез при построении моделей расчета пластин и оболочек отметим основные [9,10,62-64,84,135,138], а наиболее распространенная модель Тимошенко-Рейсснера обсуждается в работах [40,41,61,137,189,190]. Многие важные результаты, полученные за последнее время в теории пластин и оболочек, связаны с применением асимптотического метода.
Известно, что в гидромеханике асимптотические методы нашли широкое применение. Однако до недавнего времени в механике деформируемого твердого тела большинство результатов было получено иными методами: методом теории функции комплексного переменного, интегралов Фурье, интегральных преобразований, интегральных уравнений и другими. Видимо это объясняется с одной стороны рассмотрением задач для более массивных тел, где использование вышеуказанных методов оправдано, а с другой стороны, применением в задачах для тонких тел, в большинстве случаев, прикладных теорий. Между тем, как справедливо отмечают А.Л.Гольденвейзер [72,73] и И.И.Ворович [57], по самой своей сути теория пластинок и оболочек является наукой асимптотической.
Асимптотические методы в теории пластин и оболочек в нашей стране развивались в двух направлениях. Первое направление - использования асимптотических методов при интегрировании уравнений теории упругости для пластин в России началось в 1962 году с основополагающей работы А.Л.Гольденвейзера [69]. Основные результаты были получены в дальнейшем им и его учениками: М.И. Гусейн-Заде, А.В.Колос, Ю.Д.Каплуновым, Е.В.Нольде, Г.Н.Чернышовым, Н.Н.Рогачевой [70-80,95-100,106-107,110-111, 152,153,174,175]. В этих работах использовалось непосредственное асимптотическое интегрирование уравнений теории упругости для изотропного тела. Получены основной и два вспомогательных итерационных процесса, изучено поведение погранслоев, получены условия существования затухающих решений. На базе этих исследований уточнены краевые условия классической теории расчета пластин, исследованы сосредоточенные силовые, температурные и контактные воздействия на оболочки.
Эти работы продолжены в Ереване Л.А.Агаловяном и его учениками (Ш.М.Хачатрян, С.Х.Адамян, Р.С.Геворкян, М.Л.Агаловян и др.) [1-6,65-67] . Методы асимптотического интегрирования уравнений теории упругости были применены ими для расчета стержней, пластин и оболочек из анизотропного материала, распространены на задачи определения напряженно- деформированного состояния в случаях, когда на лицевых поверхностях заданы значения перемещений или условия смешанного типа.
Большое внимание в этих работах уделялось исследованию поведения погранслоев и разделению краевых условий для внутренней задачи и решению задач типа погранслоев.
Многие результаты школы А.Л.Агаловяна прекрасно изложены в монографии [1], наличие последней позволяет автору не останавливаться на широком обзоре литературы по данному вопросу и на анализе других используемых методов.
Целый цикл работ А.Л.Гольденвейзера, В.Б.Лидского, П.Е.Товстика, Л.А.Агаловяна, Ю.Д.Каплунова, Л.Ю.Коссовича, Л.Б.Именитова [78,79,80,103,104,114,115,183,184] посвящены использованию асимптотических методов исследования в задачах динамики пластин и оболочек. П.Е.Товстик использовал асимптотические методы в задачах устойчивости оболочек [170].
Второе направление связано с работами И.И.Воровича и его учеников (О.К.Аксентян, Ю.А.Устинова, В.И.Юдовича, М.А.Шленева, Н.А.Базаренко, Т.В.Виленской, И.Г.Кадомцева, В.В.Копасенко, О.С.Малкиной и др.) [6,53-60,105,154,171,197-201]. Этот метод основан на предварительном использовании некоторых общих представлений решений уравнений теории упругости через функции, удовлетворяющим более простым уравнениям, и на последующем асимптотическом анализе этих более простых уравнений. Построение каждого типа асимптотики сводится к решению традиционных бигармонических задач и некоторой бесконечной системы алгебраических уравнений, матрица которой не зависит ни от плана пластины или оболочки, ни от внешней нагрузки. Этим методом решены вопросы приведения в однородных изотропных пластинах (И.И. Ворович, Ю.А. Устинов, О.К.Аксетян, О.С. Малкина), в изотропных цилиндрических и сферических оболочках (И.И.Ворович, Ю.А. Устинов, Н.А.Базаренко, Т.В.Виленская).
С.А.Амбарцумян, Г.Е.Багдасарян, М.В.Белубекян [12] использовали асимптотический метод для обоснования гипотез магнитоупругости тонких тел, а А.С.Космодамианский и В.Н.Ложкин [113] исследовали электроупругое состояние пьезоэлектрического слоя. В.В.Понятовский [143] исследовал внутреннее напряженно-деформированное состояние тонкого бруса произвольно нагруженного по боковой поверхности. Использованию асимптотических методов исследования задач несимметричной (моментной) теории упругости занимался С.О.Саркисян [161-166].
Развитие асимптотических методов в теории балок, пластин и оболочек связано с работами К.О.Фридрихса [193,194], А.Грина [181,182], Е.Рейсса [188] и других. Применение этих методов позволяет обосновать существующие прикладные теории, наметить пути уточнения результатов по этим теориям, решать новые классы задач.
Во всех асимптотических методах исследования прослеживается появление во всех искомых функциях степенного ряда по поперечной координате. Эффективность асимптотического метода в теории пластин и оболочек во многом определяется тем, что он не отвергает решения, основанные на теории Кирхгофа-Лява и использует их в качестве составной части. О широком распространении асимптотических методов исследования в плоской и в пространственной задачах теории упругости, в механике стержней, пластин и оболочек, в которых, в основном, рассматривается регулярное возмущение, свидетельствуют монографии И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубайло, И.В.Андрианова [136], А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша [87], В.А.Ломакина [121] и др.
В диссертационной работе излагается вариационно-асимптотический метод построения неклассических моделей расчета однослойных и многослойных балок и пластин из ортотропного материала, но не в том смысле, который заложил в это название В.Л.Бердичевский [17].
Используется разложение перемещений в бесконечный степенной ряд по поперечной координате с использованием вариационных методов получения соответствующих систем уравнений, предложенное в работах Х.М.Муштари и И.Г.Терегулова [127,167,168]. Для анализа бесконечной системы дифференциальных уравнений используются асимптотические методы исследования (метод возмущения по малому параметру). Формулируются точные аналитические решения задач теории упругости для однослойных и многослойных сред, но основное внимание уделяется построению теорий расчета с точностью є. Строится многочленная асимптотическая последовательность решения. Выясняется связь асимптотического подхода с некоторыми прикладными теориями (Тимошенко-Рейсснера) и принципом Сен-Венана. Подвергнут подробному анализу предельный переход от трехмерной задачи теории упругости к двумерным уравнениям для пластинок при основных краевых условиях пространственной задачи. Исследуются краевые напряженные состояния, скорости их затухания, взаимодействие с внутренним напряженно-деформируемым состоянием. Предлагаются варианты уточненных прикладных теорий для многослойных анизотропных стержней, которые позволили упростить модель расчета, предложенную в работах В.В.Болотина и Ю.Н. Новичкова и изложенную в их монографии [19]. Это позволяет решать больший класс новых задач, имеющих важное практическое значение.
Работа состоит из трех глав.
В первой главе формулируется вариационная постановка плоской задачи теории упругости для прямоугольной области, когда на продольных лицевых плоскостях заданы значения напряжений, а на торцах возможные статические, геометрические и смешанные условия. Решения этих задач представляют самостоятельный интерес и используются в других частях работы.
Решение каждой из вышеуказанных задач складывается из проникающего решения и решения типа погранслоя. Проникающее решение определяется из построенного итерационного процесса для внутренней задачи. Решение задачи типа погранслоя ищется в виде однородного решения, которое сводится к обобщенной алгебраической собственной проблеме для бесконечной матрицы. Разработана программа, позволяющая решать эту проблему для различных моделей расчета. Показана процедура построения точного решения с выполнением всех уравнений теории упругости, но в работе особое внимание уделяется построению моделей расчета с точностью є .
Получены условия существования затухающих решений при всех краевых условиях, в том числе кинематических, которые не имеют простого вида. В случае статических краевых условий показано, что на проникающее напряженное состояние не влияет самоуравновешенная часть краевой нагрузки. Решение же задачи погранслоя полностью обусловлено самоуравновешенной частью торцевой нагрузки. Показано, что принцип Сен-Венана есть следствие из свойства решения, полученного при асимптотическом анализе полученных уравнений.
Показано, что получение исходного решения внутренней задачи вариационно-асимптотическим методом идентично прикладной теории балок, основанной на гипотезе плоских сечений Бернулли-Кулона-Эйлера. Более того, при асимптотическом анализе любое приближение является более информативным, так как позволяет определить и соответствующие напряжения тху и ау. Следовательно, принимая гипотезу плоских сечений, пренебрегаем высшими приближениями внутренней задачи, а также решениями типа погранслоев. Учет высших приближений для ортотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженное состояние, которая зависит от отношений Е/Е2 и Ei/Gi2, и если, например, Ei/Gi2 0(e ), то гипотеза плоских сечений перестает оставаться справедливой.
Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно получены статические и кинематические краевые условия, асимптотический анализ которых позволяет разделить общие краевые условия на условия внутренней задачи и решения типа погранслоев. Показано, что учет высших приближений внутренней задачи, их статических и смешанных краевых условий для изотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженно-деформированное состояние порядка 0(є ), а при кинематических краевых условиях - порядка О(є). Следовательно, для уточнения основного напряженного состояния балок при кинематических краевых условиях необходимо использовать модель расчета более мягкую, чем модель Тимошенко.
Во второй главе в декартовой системе координат излагается вариационно— асимптотический метод определения внутреннего и типа погранслоя напряженно-деформированных состояний ортотропных пластинок. Главные направления анизотропии совпадают с направлениями координатных линий.
Задача нахождения напряженно-деформированного состояния ортотропной пластинки при статических краевых условиях на лицевых поверхностях распадается на симметричную (растяжение-сжатие) и кососимметричную (изгиб) задачи. Определение основного напряженного состояния этих задач сведено к решению двумерных систем уравнений двух типов. Первая система уравнений, написанная для исходного приближения в перемещениях, совпадает с уравнениями плоского обобщенно-напряженного состояния, вторая- с уравнениями классической теории изгиба ортотропных пластинок. Таким образом, исходное приближение вариационно-асимптотического итерационного процесса для внутренней задачи адекватно классической теории изгиба и растяжения-сжатия пластинок. Эти уравнения являются основными в главном итерационном процессе и следствием уравнений при вариациях 5u0, 5v0 для симметричной задачи и 8ub 5vb5w0 -задачи изгиба. Остальные уравнения служат для определения оставшихся компонентов основного напряженно-деформированного состояния. Для последующих приближений претерпевают изменения лишь правые части указанных уравнений.
Далее построены решения типа пограничного слоя для ортотропных пластинок. Показывается, что могут существовать два типа погранслоя-антиплоский (краевое кручение) и плоский. Они затухают по экспоненциальному закону, но со существенно различными скоростями затухания. Получены корни соответствующих собственных проблем, первый корень с ReA 0 которых определяет скорость затухания погране л оя. Показано, что в зависимости от анизотропных свойств материала антиплоский погранслой может оказаться проникающим - явление не имеющее место для изотропных пластинок. Приведена окончательная структура решения как погранслоя, так и общей трехмерной задачи.
В этой же главе рассматриваются вопросы сращивания внутреннего и типа погранслоя решений в орторопных пластинках при пяти, часто встречающихся на практике, вариантах граничных условий пространственной задачи. Показывается, что классическая теория симметричной задачи. и задачи изгиба соответствует исходному приближению вариационно-асимптотического подхода не только в смысле уравнений, но и граничных условий. Разработаны методы разделения краевых условий, полученных при вариационной постановке задачи.
При статических краевых условиях на проникающее решение задачи изгиба сильное влияние оказывает антиплоский погранслой, который показывает, что преобразование Кельвина-Тэта, позволяющее три силовых краевых условия свести к двум, является следствием условия затухания антиплоского пОгранслоя. Влияние антиплоского погранслоя приводит к тому, что уточнение основного напряженно-деформированного состояния начинается с s=l, а не с s=2, что наблюдалось для балок. Выведены уточняющие классические граничные условия приведенной задачи до s=2 включительно. В этих условиях ярко выражены упругие свойства материала в перпендикулярных срединной плоскости поперечных сечениях. В новых граничных условиях появляются коэффициенты, которые зависят только от характеристики анизотропных материалов. Поэтому уточнение для ортотропных пластинок может быть значительным и зависит от степени анизотропности материала.
В задачах изгиба показано, что одним и тем же краевым условиям классической теории могут соответствовать различные граничные условия пространственной задачи (например, случаи шарнирного опирання и жесткой заделки). Различие ощущается лишь при более точном определении основного напряженно-деформированного состояния, тогда приведенные условия становятся отличными, и тем самым подчеркиваются различные пространственные состояния пластинки.
Показывается, что в случае смешанных граничных условий, кинематические условия классической теории обеспечивают большую точность определения основного напряженно-деформированного состояния, чем статические и, следовательно, в вопросах приведения в первую очередь подлежат уточнению статические условия.
Предлагаются два способа уточнения классической теории изгиба и растяжения-сжатия пластинок: проникающего решения вдали от края пластины и с учетом погранслоев у края пластины.
Третья глава посвящена плоской задаче теории упругости для многослойных балок из ортотропного материала с целью получения прикладных моделей расчета. Выбор прикладной модели зависит от многих факторов. Во-первых, это зависит от того, какое решение больше интересует расчетчика: основное напряженное или погранслои. Второй фактор -степень неоднородности материала по поперечной координате. Третий фактор связан с возможностью адекватного описания краевого условия.
Рассматривается вариационная постановка плоской задачи теории упругости многослойных сред, при которой нумерация ведется от нижнего слоя. Для нечетных слоев перемещения выбираются в виде степенного ряда по поперечной координате, а для четных слоев - с учетом непрерывности перемещения при переходе от k-ого слоя к слоям (к-1) и (к+1).
На примере трехслойной полосы показывается, что при любом приближении, задача сводится к системе дифференциальных уравнений двенадцатого порядка относительно u{0k)s, v{0k)s нечетных слоев (к=1,3). Свойства четных слоев учитываются в этих уравнениях дополнительными слагаемыми, учитывающими модули Е\2\ E\G$. Построен простейший вариант краевых условий, связанный с выражениями при вариациях 5U{Q\ ди\к), dvLk). При s=0 они полностью совпадают с классическими краевыми условиями для слоя.
Далее рассмотрена плоская задача теории упругости для трехслойной пластины с мягким средним слоем, которая в исходном приближении (s=0) имеет точность є0. Аналогичная модель балки по модели В.В.Болотина-Ю.Н.Новичкова содержит слагаемые точности є0 и є1. Это позволило разработать итерационную процедуру решения уравнений по модели В.В.Болотина-Ю.Н.Новичкова. Численно показана быстрая сходимость процесса.
В заключении рассматривается точное решение задачи погранслоя для многослойной пластины.Задача решается в перемещениях. Показано, что и для многослойной пластины имеют место два погранслоя: плоский и антиплоский, для каждого из которых показана возможность интегрирования по.поперечной и продольным координатам основной и вспомогательных соответствующих систем уравнений методом Фурье. Задача сводится к собственной проблеме для определителя матрицы, членами которых являются показательные, тригонометрические и алгебраические функции. Решение такой собственной проблемы большого порядка зависит от возможностей ПЭВМ и обслуживающих ее программ. Для антиплоского погранслоя двух и трехслойных пластин получены соответствующие трансцендентные уравнения. Сформулированы условия существования затухающих решений для многослойных пластин.
Автором защищаются следующие основные научные положения: Построена вариационно-асимптотическая теория решения задач расчета однослойных и многослойных стержней, пластин и оболочек:
развита вариационная постановка задач теории упругости для однослойных и многослойных стержней и пластин из ортотропного материала с предварительным представлением перемещений в виде бесконечного степенного ряда по поперечной координате,
- развиты асимптотические методы исследования бесконечной системы дифференциальных уравнений с целью выделения основного напряженного состояния (внутренней задачи) плоской и пространственных задач теории упругости для однослойных и многослойных конструкций, проведен асимптотический анализ бесконечной системы дифференциальных уравнений у края полосы и пластины с целью получения задач типа погранслоев. У края пластины получены два погранслоя: краевые плоская и антиплоская деформации,
- создан вычислительный комплекс по определению собственных чисел и векторов задач погранслоев,
получены условия существования затухающих решений для однослойных и многослойных стержней и пластин, в том числе для кинематических краевых условий, - показано, что для антиплоского погранслоя при s=0,l имеет место ! условие существования затухающего решения J ( а \ с+с— d = 0, которое является обоснованием сведения трех статических краевых условий к двум, - получено точное решение задачи погранслоев для многослойной пластины j - разработан метод разделения краевых условий, полученных вариационным путем, для решения задач по определению основного напряженного состояния и погранслоев показано, что модель Тимошенко-Рейсснера для пластины учитывает только один погранслой-антиплоскую деформацию и не учитывает второй погранслой-плоскую деформацию, - показано, что учет погранслоя для балки при кинематических краевых условиях приводит к уточнению напряженно-деформированного состояния при s=l, а не s=2, что имеет место при остальных краевых условиях получены краевые условия для классического уравнения изгиба пластин с целью построения модели расчета однослойных пластин с точностью є как для определения основного напряженного состояния вдали от края, так и для решения у края пластины,
- асимптотическим методом исследования получены все виды краевых условий пластины до s=2 включительно,
- предложены варианты двумерных прикладных теорий анизотропных пластин, имеющие равные возможности определения напряженно-деформированного состояния как вблизи краев, так и вдали от них?
- установлена асимптотика и выведены рекуррентные уравнения для вычисления вектора перемещений и компонентов тензора напряжений для слоистых полос,
- предложены рекуррентные уравнения определения основного напряженного состояния трехслойного стержня с мягким средним слоем, несколько отличные от уравнений модели В.В.Болотина Ю .Н.Новичкова.
В работе формулы нумеруются цифрами. Первая из них означает параграф данной главы, вторая - номер формулы. Если делается ссылка на формулу из другой главы, то применяется нумерация из трех цифр, первая из которых означает номер главы. Нумерация таблиц и рисунков сквозная.
На протяжении всей работы над проблематикой автор чувствовал творческую поддержку своего учителя - академика АН РТ, заслуженного деятеля науки РФ и РТ, д.ф.-м.н., профессора И.Г.Терегулова, постоянное внимание к работе д.ф.-м.н., профессора Р.А.Каюмова, а также доброжелательность всего коллектива кафедры сопротивления материалов и основ теории упругости и пластичности Казанской государственной строительно-архитектурной академии, которым автор выражает искреннюю признательность и благодарность.
Использование условий существования затухающих решений для получения краевых условий внутренней задачи
Естественное появление малого параметра в системе дифференциальных уравнений требует применения асимптотических методов исследования, так как вектор перемещений является функцией не только координат х,у, но и параметра є: и = и(х,у,е). Как ни странно, до недавнего времени асимптотические методы не применялись. Видимо это объясняется тем, что возмущение малым параметром является сингулярным, а математическая теория таких уравнений, по существу, начала интенсивно развиваться лишь с конца сороковых годов, хотя такие уравнения встречались и раньше в некоторых задачах механики. Первоначально такие задачи решались интуитивно, и только непротиворечивость полученных результатов физическим представлениям являлось единственным критерием правильности решения. В случае регулярного возмущения решение задачи является непрерывной функцией малого параметра, и оператор задачи расщепляется один раз. Решение краевой задачи для регулярно возмущенного оператора можно определить, разыскивая его в виде ряда по степеням малого параметра u(x,y,e)= esu (х,у). При соблюдении определенных условий известно, что решение при малом є близко к решению при є=0, т.е. к решению вырожденного или, как его еще называют, невозмущенного или укороченного уравнения. Задача в дальнейшем заключается в улучшении этого результата с помощью более высоких приближений. Для этого в уравнения и краевые условия подставляются представления искомых величин в виде степенного ряда по малому параметру и приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра. Для каждого уравнения соблюдается полное соответствие между порядком уравнений и числом поставленных условий. Сингулярность возмущения вносит коренную специфику в свойство решения как функции от малого параметра, так как в этом случае решение разрывно по отношению к малому параметру. Так задача изгиба по модели Тимошенко-Рейсснера, которая описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка, требует на границе три естественных краевых условия. Однако при є=0 система этих уравнений сводится к соотношениям гипотезы Кирхгофа и + — = 0, v + — = 0 (абсолютной жесткости в трансверсальном направлении) и классическому дифференциальному уравнению изгиба пластины четвертого порядка которое требует всего два краевых условия. Таким образом, при указанном переходе проявляется сингулярность системы уравнений изгиба пластины по модели Тимошенко-Рейсснера, которая приводит к уменьшению порядка уравнений и исчезновению быстроубывающего от края решения. Это связано с тем, что малый параметр разделяет старшие производные системы дифференциальных уравнений и при є=0 часть оператора вырождается. Таким образом, в случае сингулярного возмущения необходимо использовать несколько расщеплений. Последним соответствуют гладкие и разрывные (типа пограничного слоя) решения. Поскольку решения сингулярно возмущенной краевой задачи складывается из регулярной составляющей и составляющей типа пограничного слоя, то его определение включает следующие этапы: 1) построение решений невозмущенного или укороченного уравнения и уравнений для последующих приближений, соответствующих первому приближению; в теории балок, пластин и оболочек соответствующее решение называют внутренним решением или основным решением; 2) определение погранслоев при помощи второго расщепления исходного возмущенного оператора; 3) сопряжение (сращивание) найденных, качественно различных, решений при помощи краевых условий. В настоящее время в математической литературе достаточно полно изучены те сингулярные возмущения, которые вызваны малым параметром при старшем операторе, что соответствует неклассическим теориям балок. Возмущения, соответствующие пластинам, таковы, что малый параметр является коэффициентом не всего старшего оператора, а только его части, и эти задачи изучены значительно слабее.
Математическая теория сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений развивалась благодаря работам А.Н.Тихонова, М.И.Вишика и Л,А.Люстерника [46,47], К.О.Фридрихса [193,194], А.Л.Гольденвейзера [68-73], Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [18], А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова [44], В.М.Бабича и В.С.Булдырева [15], А.Х.Найфэ [128] и других [38,122].
Согласно А.Х.Найфэ [128] методы возмущений (методы малого параметра) представляют собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной механики. В соответствии с методами возмущений решение задачи представляется несколькими (обычно двумя) первыми членами возмущенного разложения. Для качественного и количественного представления решения возмущенные разложения, даже если они расходятся, могут оказаться более полезными, чем равномерно и абсолютно сходящиеся разложения. Поэтому вопросы сходимости асимптотических рядов в диссертации не рассматриваются.
Данная работа является развитием одного из точных аналитических методов решения задачи теории упругости для полосы и пластины. Поэтому рассмотрим краткий обзор литературы по использованию асимптотических и точных методов при интегрировании уравнений теории упругости для однослойных конструкций. Вопросы использования этих подходов для многослойных стержней и пластин будут обсуждаться в третьей главе.
На современном уровне метод представления искомых функций в виде степенных рядов по поперечной координате к оболочкам применен Н.А.Кильчевским [108,109], который одновременно внес большой вклад в разработку способа формулировки непротиворечивых краевых условий. Подробное изложение этого метода содержится в обзорной статье [108] и монографии [109].
Определение основного напряженного состояния пластины (внутренняя задача)
Решение каждой из вышеуказанных задач складывается из проникающего решения и решения типа погранслоя. Проникающее решение определяется из построенного итерационного процесса для внутренней задачи. Решение задачи типа погранслоя ищется в виде однородного решения, которое сводится к обобщенной алгебраической собственной проблеме для бесконечной матрицы. Разработана программа, позволяющая решать эту проблему для различных моделей расчета. Показана процедура построения точного решения с выполнением всех уравнений теории упругости, но в работе особое внимание уделяется построению моделей расчета с точностью є .
Получены условия существования затухающих решений при всех краевых условиях, в том числе кинематических, которые не имеют простого вида. В случае статических краевых условий показано, что на проникающее напряженное состояние не влияет самоуравновешенная часть краевой нагрузки. Решение же задачи погранслоя полностью обусловлено самоуравновешенной частью торцевой нагрузки. Показано, что принцип Сен-Венана есть следствие из свойства решения, полученного при асимптотическом анализе полученных уравнений.
Показано, что получение исходного решения внутренней задачи вариационно-асимптотическим методом идентично прикладной теории балок, основанной на гипотезе плоских сечений Бернулли-Кулона-Эйлера. Более того, при асимптотическом анализе любое приближение является более информативным, так как позволяет определить и соответствующие напряжения тху и ау. Следовательно, принимая гипотезу плоских сечений, пренебрегаем высшими приближениями внутренней задачи, а также решениями типа погранслоев. Учет высших приближений для ортотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженное состояние, которая зависит от отношений Е/Е2 и Ei/Gi2, и если, например, Ei/Gi2 0(e ), то гипотеза плоских сечений перестает оставаться справедливой.
Из вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно получены статические и кинематические краевые условия, асимптотический анализ которых позволяет разделить общие краевые условия на условия внутренней задачи и решения типа погранслоев. Показано, что учет высших приближений внутренней задачи, их статических и смешанных краевых условий для изотропных балок вносит поправку во внутреннее напряженно-деформированное состояние порядка 0(є ), а при кинематических краевых условиях - порядка О(є). Следовательно, для уточнения основного напряженного состояния балок при кинематических краевых условиях необходимо использовать модель расчета более мягкую, чем модель Тимошенко.
Во второй главе в декартовой системе координат излагается вариационно— асимптотический метод определения внутреннего и типа погранслоя напряженно-деформированных состояний ортотропных пластинок. Главные направления анизотропии совпадают с направлениями координатных линий.
Задача нахождения напряженно-деформированного состояния ортотропной пластинки при статических краевых условиях на лицевых поверхностях распадается на симметричную (растяжение-сжатие) и кососимметричную (изгиб) задачи. Определение основного напряженного состояния этих задач сведено к решению двумерных систем уравнений двух типов. Первая система уравнений, написанная для исходного приближения в перемещениях, совпадает с уравнениями плоского обобщенно-напряженного состояния, вторая- с уравнениями классической теории изгиба ортотропных пластинок. Таким образом, исходное приближение вариационно-асимптотического итерационного процесса для внутренней задачи адекватно классической теории изгиба и растяжения-сжатия пластинок. Эти уравнения являются основными в главном итерационном процессе и следствием уравнений при вариациях 5u0, 5v0 для симметричной задачи и 8ub 5vb5w0 -задачи изгиба. Остальные уравнения служат для определения оставшихся компонентов основного напряженно-деформированного состояния. Для последующих приближений претерпевают изменения лишь правые части указанных уравнений.
Далее построены решения типа пограничного слоя для ортотропных пластинок. Показывается, что могут существовать два типа погранслоя-антиплоский (краевое кручение) и плоский. Они затухают по экспоненциальному закону, но со существенно различными скоростями затухания. Получены корни соответствующих собственных проблем, первый корень с ReA 0 которых определяет скорость затухания погране л оя. Показано, что в зависимости от анизотропных свойств материала антиплоский погранслой может оказаться проникающим - явление не имеющее место для изотропных пластинок. Приведена окончательная структура решения как погранслоя, так и общей трехмерной задачи.
В этой же главе рассматриваются вопросы сращивания внутреннего и типа погранслоя решений в орторопных пластинках при пяти, часто встречающихся на практике, вариантах граничных условий пространственной задачи. Показывается, что классическая теория симметричной задачи. и задачи изгиба соответствует исходному приближению вариационно-асимптотического подхода не только в смысле уравнений, но и граничных условий. Разработаны методы разделения краевых условий, полученных при вариационной постановке задачи.
Анализ уравнений изгиба пластин по модели Тимошенко-Рейсснера и уточнение краевых условий классической теории изгиба пластин
Следовательно на каждом этапе vsQ определяется из дифференциального уравнения (2.19), которое при s = 0 совпадает с классическим уравнением изгиба балок, полученным на основе гипотезы плоских сечений. Правая часть этих уравнений при s 1 зависит от предыдущих приближений. Все остальные характеристики ОНС, как и для симметричной задачи, определяются по простым соотношениям. При нечетных s имеем однородные дифференциальные уравнения и при нулевых краевых условиях решение для VQ тождественно равно нулю. Поэтому, если краевые условия ОНС и РТП не переплетаются, то в качестве малого параметра можно использовать 6j = є2. В этом случае ненулевыми будут решения, соответствующие только четному порядку разложения (0,2,4,...).
Главная особенность методики выделения ОНС из общих уравнений симметричной задачи (1.8)-(1.10) и кососимметричной задачи (1.20)-(1.22) заключается в том, что уравнение для симметричной задачи, связанное с 8м0, и уравнения для задачи изгиба при 5щ и 6v0 содержат только напряжения внутренней задачи и служат для формулировки задачи относительно основных искомых неизвестных UQ (задача растяжения - сжатия) и vj (задача изгиба). Из оставшихся уравнений равновесия, содержащих ОНС и РТП , методом возмущений выражаются остальные компоненты ОНС через основные.
Как отмечалось выше, представление перемещений в виде (1.7) для симметричной задачи и (1.19) - для задачи изгиба полосы приводит к системе сингулярно возмущенных уравнений. Решение таких уравнений складывается из регулярной части, которая является предметом изучения в данной части работы и решений типа погранслоя, которые строятся в дальнейшем.
Однако уже на данном этапе можно решать задачи по определению ОНС плоской задачи теории упругости. Предложенная методика по определению внутреннего напряженного состояния была проверена на целом ряде плоских задач в предположении, что кинематические краевые условия ставятся для точек оси стержня. Получено полное совпадение результатов с имеющимися в литературе [169].
Можно констатировать, что предложена простая модель для получения ОНС при расчете ортотропных стержней. Ее простота в первую очередь связана с возможностью выделения внутренней задачи, во-вторых, - с краевыми условиями, которые не связаны с условиями существования затухающих решений.
Чтобы построить напряженно-деформированное состояние погранслоя у края = О (второе расщепление возмущенного оператора у края), в уравнения плоской задачи теории упругости вводят растяжение координаты t = h)lz [1,69,128]. Этим выделяются главные члены при дифференцировании по продольной координате.
А. Симметричная задача. Однородные уравнения равновесия (2.1) в задаче погранслоя в этом случае имеют вид: где Rp - любое из напряжений и перемещений погранслоя. Здесь и в дальнейшем всем величинам, относящимся к погранслою, приписывается индекс р, кр - показатель интенсивности, вещественное число. Он подбирается так, чтобы после подстановки в уравнения (3.1) - (3.2) получить непротиворечивую систему уравнений для определения постоянных Rp, Х- характеризует изменяемость напряжений и перемещений погранслоя. По свойству погранслоя функции решения погранслоя должны затухать при / -» а , поэтому Re Л 0. Без учета решения задачи погранслоя (3.4) не удается удовлетворить поставленные краевые условия, и следовательно это решение является сингулярным. В нашем случае из (3.1)-(3.3) имеем: где кр=к-2/ и к- целое число, которое определяется при рассмотрении вопроса взаимодействия погранслоя с внутренним напряженным состоянием стержня. После подстановки (3.5) в (3.1) -(3-3) получим однородную алгебраическую систему уравнений относительно компонентов вектора перемещения uPi2i, vPj2i+i, которая содержит показатель изменяемости погранслоя Я. Из условия существования ненулевых решений однородной алгебраической системы уравнений получим квадратную X - матрицу, порядок которой зависит от выбранной модели расчета стержня. Известным приемом введения дополнительных искомых функций данная проблема X - матрицы сводится к обобщенной собственной проблеме где матрицы А и В содержат алгебраические коэффициенты и механические характеристики материала системы уравнений (3.1) и (3.2) и являются матрицами вида: А - матрица общего вида, В - симметричная матрица, Е -единичная матрица, X - вектор решения . Составлена и реализована программа по решению собственной проблемы (3.6) на ПЭВМ, корни решения которой зависят от выбранной модели стержня. Известно, что в собственной задаче существует проблема получения достаточно точных значений собственных чисел и векторов. Поэтому, рассматривая модель стержня порядка N, желательно рассматривать собственную проблему несколько большего порядка. Так как собственная проблема для ортотропного тела сильно зависит от отношений E1/G12, Еі/Ег, то для простоты сначала остановимся на изотропном теле.
Вариационная постановка плоской задачи теории упругости для многослойных сред
Полученные краевые условия внутренней задачи при исследовании плоского напряженного состояния позволяют сделать следующие выводы:
При формулировке краевых условий внутренней задачи могут использоваться как краевые условия, полученные вариационным путем, так и условия существования затухающих решений. Необходимо учитывать их взаимоотношения.
Статические краевые условия (4.4) симметричной задачи и (4.5), (4.6) задачи изгиба содержат только основное напряженное состояние и являются следствием соответствующих условий существования затухающих решений. При смешанных краевых условиях (1.32), (1.33) условия согласования краевых условий позволяют в общем виде сформулировать краевые условия для ОНС, при этом значение параметра к роли не играет. Кинематические краевые условия (1.34) требуют совместного использования краевых условий и условий существования затухающих решений. Практически в этом случае не удается разделить плоскую задачу на две самостоятельные задачи по определению основного напряженного состояния и затухающего решения типа погранслоя. Эти две задачи решаются совместно, необходимо знание параметра к. Во всех остальных случаях после решения внутренней задачи оставшиеся пока невостребованными краевые условия используются при решении задачи погранслоя.
Уточнение основного напряженного состояния идет как за счет уточнения уравнений задачи, так и за счет более аккуратной формулировки краевых условий. В пределе при $- » будет получено асимптотически точное решение плоской задачи теории упругости при произвольной внешней нагрузке и любых краевых условиях. На практике же достаточно иметь решение при нескольких первых приближениях.
Статические краевые условия ставятся однозначно, они связаны с условиями самоуравновешенности по высоте сечения напряжений тх в задаче растяжения-сжатия и тх , тху - в задаче изгиба. Перемещения этим свойством не обладают, и поэтому краевые условия для них требуют наличия условий существования затухающих решений. Задача осложняется тем, что нулевым вариациям перемещений на границе могут соответствовать различные кинематические краевые условия. В статье рассмотрен вариант условий (1.16) для симметричной задачи и (1.28) для задачи изгиба. В случае задания других кинематических краевых условий следует поступать аналогичным образом. И это будут задачи со своими геометрическими краевыми условиями. 4. Геометрические краевые условия внутренней задачи, накладываемые на и и v в смешанных краевых условиях и в кинематических краевых условиях, различаются, так как при s 1 их нельзя отождествлять. 5. Первым уравнением системы уравнений (5.29) симметричной задачи и первым и третьим уравнениями системы (5.44) задачи изгиба фактически являются новые формы записи соответствующих условий существования затухающих решений. Этим показывается, что условия существования затухающих решений заменяют первое кинематическое краевое условие для и в симметричной задаче и первые краевые условия для и и v в задаче изгиба. 6. При любых вариантах краевых условий при s=0 они полностью совпадают с краевыми условиями, соответствующими классической теории стержней, основанной на гипотезе Бернулли. Дополнительное требование постоянных по высоте сечения перемещений w2, vz требуется для геометрических краевых условий. Уточнение ОНС начинается для некоторых краевых условий с s 2, для других - с s 1. 7. При симметричных краевых условиях по 4" переплетение четных и нечетных приближений по s происходит только для кинематических краевых условий. В этом случае имеем и наибольшую погрешность при переходе к классическому варианту краевых условий, который начинается cf1, а не с є2, как во всех остальных случаях.
