Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований по проблеме 14
2. Теоретические основы расчета на прочность и устойчивость гибких неоднородных упруго-пластических оболочек и пластин переменной жесткости при простых и сложных программах нагружения 42
2.1. Основные зависимости используемых теорий пластичности 45
2.2. Основные соотношения и допущения 56
2.3. Вариационное уравнение. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме и в перемещениях 60
2.4. Граничные условия 70
2.5. Выводы по главе 73
3. Алгоритмизация решения краевых задач нелинейной теории пластин и оболочек на основе новых численных методов 74
3.1. Методы решения больших систем нелинейных разностных уравнений 77
3.1.1. Двухступенчатый итерационный метод и его модификации 79
3.1.2. Сочетание метода общей итерации с другими методами 96
3.1.3. Шаговые алгоритмы, основанные на методах приращений и двухступенчатом методе Ю0
3.1.4. Сравнение эффективности методов 102
3.2. Методы решения больших систем линейных разностных уравнений 105
3.2.1. Двухступенчатый метод и его реализация в задачах изгиба пластин со свободной кромкой
3.2.2. Метод переменных направлений, метод Ричардсона с чебышевским ускорением 118
3.2.3. Метод Федоренко 121
3.2.4. Сравнение эффективности методов 126
3.3. Анализ точности и достоверности результатов решения краевых задач теории пластин и оболочек, полученных на основе новых алгоритмов 128
3.3.1. Решения на основе системы уравнений в перемещениях 129
3.3.2. Решения на основе системы уравнений в смешанном виде 138
3.3.3. -Решения, полученные на основе метода приращений .' 141
3.4. Выводы по главе 142
4. Исследование напряженно-деформированного состояния гибких упруго-пластических пластин и оболочек при простых и сложных программах нагружения 144
4.1. Алгоритмы и вычислительный комплекс исследования упруго-пластического деформирования оболочек и пластин 145
4.2. Упруго-пластический изгиб пластин и оболочек 150
4.3. Циклические и знакопеременные нагружения гибких упруго-пластических пластин и оболочек 163
4.4. Двухпаршдетрическое нагружение пластин и оболочек 173
4.5. Гибкие слоистые упруго-пластические пластины и оболочки 183
4.6. Выводы по главе 194
5. Реализация метода СН-ЭШ и теории двухзвенных процессов А.А.Ильюшина в задачах сложного нагружения пластин и оболочек 197
5.1. Систематизация и аппроксимация экспериментальных данных деформирования по двухзвенным траекториям 198
5.2. Исследование вычислительных аспектов метода СН-ЭБМ в задачах прочностного расчета пластин и оболочек 214
5.3. Алгоритм исследования сложного нагружения пластин и оболочек на основе теории двухзвенных процессов 219
5.4. Анализ двухпараметрического нагружения пластин и оболочек 226
5.5. Выводы по главе 237
6. Упруго-пластическая устойчивость пластин и оболочек 239
6.1. О постановках задачи упруго-пластической устойчивости 239
6.2. Некоторые методы и алгоритмы исследования устойчивости и закритического поведения гибких пластин и оболочек 242
6.3. Устойчивость нелинейно упругих оболочек 253
6.4. Упруго-пластическая устойчивость гибких оболочек
при поперечном и продольно-поперечном нагружении 261
6.5. Исследование несимметричных форм устойчивости длинной упруго-пластической панели 271
6.6. Исследование упруго-пластической устойчивости и закритического поведения сжатых пластин 277
6.6.1. Численные результаты для упругих пластин 278
6.6.2. Численные результаты для упруго-пластических пластин 285
6.7. Выводы по главе
7. Реализация, двухступенчатого метода в несимметричных задачах упруго-пластического изгиба гибких пластин и оболочек 296
7.1. Несимметричные задачи изгиба пластин и оболочек со свободно смещающимися кромками 297
7.2. Упруго-пластический изгиб гибких пластин и-оболочек еременной толщины с неподвижно закрепленными краями 307
7.3. Расчет на прочность труб переменной толщины 315
7.4. Выводы по главе 323
8. Оптимальное проектирование гибких упругих и упруго-пластических пластин и пологих оболочек 325
8.1. Постановка задач оптимизации 327
8.2. Анализ алгоритмов оптимального проектирования пластин и оболочек 328
8.2Л. Об одном подходе к расчету пластин и оболо
чек близких к равнопрочным 328
8.2«2. Алгоритм оптимизации, основанный на исполь
зовании интегрального критерия качества и
метода штрафных функций 330
8.2,.3. Алгоритм оптимизации, основанный на использовании методов планирования экспериментов 334
8.3. Численные результаты оптимизации упругих пластин и оболочек 339
8.4. Численные результаты оптимизации упруго-пластических пластин и оболочек 350
8.5. Выводы по главе 359
Заключение 360
Выводы по диссертации 363
Литература
- Вариационное уравнение. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме и в перемещениях
- Двухступенчатый метод и его реализация в задачах изгиба пластин со свободной кромкой
- Упруго-пластический изгиб пластин и оболочек
- Исследование вычислительных аспектов метода СН-ЭБМ в задачах прочностного расчета пластин и оболочек
Введение к работе
В решениях ХХУТ съезда КПСС указано на необходимость повышения эффективности использования материальных ресурсов, на большое значение экономии металла и уменьшения материалоемкости конструкции, В связи с этим расширение и углубление исследований, направленных на совершенствование методов расчета конструкций, сооружений, приобретает важное значение. Важной и актуальной проблемой является создание теоретических основ и методов исследования прочности, устойчивости конструкций.
Актуальность проблемы. Пластины и оболочки являются важным элементов тонкостенных конструкций, которые применяются в современных отраслях техники. Для проектирования и создания таких конструкций, оценки их прочности, устойчивости, долговечности следует знать их истинное напряженное и деформированное состояние. В связи с этим расчет конструкций с учетом физической и геометрической нелинейности в упругой и пластической стадиях деформирования является необходимым. При этом важным вопросом для тонкостенных конструкций является исследование их деформирования на критических и закритических режимах, определение критических нагрузок и перемещений. При эксплуатации конструкций часто реализуется сложный характер нагружения, возникают циклические упруго-пластические деформации.
В авиационной и космической технике остро стоят вопросы проектирования оптимальных конструкций, при создании их важен учет упруго-пластических деформаций и больших прогибов.
Упруго-пластический расчет конструкций при больших перемещениях ж сложном нагружении приводит к необходимости дальнейшего развития и совершенствования численных методов решения нелинейных краевых задач на ЭВМ. Тема диссертации соответствует проблемам, сформулированным в Плане научных исследований по естественным и общественным наукам АН СССР на I98I-I985 годы от 25.12.80 (тема I.I0.2.I "Общие вопросы механики деформируемого твердого тела", тема I.10.2.3 "Теория пластичности", тема I.10.2.II "Тонкостенные конструкции") и в Елане стандартизации по надежности, прочности и износостойкости на I98I-I985 годы и на период до 1990 г. $ 450 -1.09.82, утвержденном постановлением Госстандарта СССР от I октября 1981 года, Jfc 139 (раздел 2.3 "Методы расчета напряженно--деформированного состояния элементов машин и конструкций").
Диссертация выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Куйбышевского ордена Трудового Красного Знамени политехнического института на I98I-I985 годы и научно-технической программой Минвуза РСФСР "Надежность конструкций" .
Целью работы является:
- создание математической модели упруго-пластического деформирования гибких пластин и оболочек при простом и сложном на-гружении; модель должна позволять исследовать деформирование на основе деформационной теории пластичности, теории течения и теории двухзвенных процессов А.А.Ильюшина;
- разработка математического аппарата, позволяющего эффективно решать двумерные краевые зацачи механики упруго-пластического деформирования и оптимизации гибких пластин и оболочек;
- решение новых задач определения напряженно-деформированного состояния, устойчивости и оптимизации пластин и пологих оболочек ;
- анализ особенностей упруго-пластического поведения пластин и оболочек на докритическом, критическом, закритическом режимах деформирования и в условиях сложного нагружения. Научная новизна. Б работе развивается новое научное направление, связанное с разработкой математической модели упруго--пластического деформирования и методов решения двумерных нелинейных краевых задач.. механики оболочек и пластин. Построенная математическая модель, наряду с деформационной теорией пластичности и теориями течения, использует теорию двухзвенных процессов А.А.Ильюшина, учитывает сжимаемость материала и реальный вид диаграммы деформирования. Модель позволяет исследовать упруго--пластическое деформирование гибких неоднородных оболочек переменной жесткости при поперечном, продольном и комбинированном нагружении.
Б теорию расчета гибких упруго-пластических оболочек введены новые эффективные методы вычислительной математики: двухступенчатый,метод Р.П.Федоренко. Развиты методы решения больших систем нелинейных разностных уравнений, основанные на процедуре общей итерации М.С.Корнишина. Построены алгоритмы, использующие комбинации различных методов. Исследованы вопросы аппроксимации нелинейных членов; влияния порядка экстраполяции, числа разбиений сетки, характера нагружения, граничных условий, заданной точности на окончательные результаты счета и машинное время. Проведено детальное сравнение различных алгоритмов по эффективности.
На основе теории течения с трансляционно-изотропным упрочнением, деформационной и теории пластичности для переменных нагружении В.В.Москвитина исследован широкий класс задач деформирования пластин и оболочек при простых и сложных программах нагружения. В зависимости от граничных условий, характера нагружения, вида диаграммы деформирования, геометрий оболочки исследованы распределения зон активного нагружения, разгрузки, вторичных пластических деформаций. Впервые на основе теории двухзвенных процессов и экспериментально-вычислительного метода СН-ЭШ А.А.Ильюшина разработана методика расчета пластин и оболочек при сложном нагружении. По этой методике исследованы особенности упруго-пластического деформирования пластин и оболочек при двухпараметрическом нагружении. Исследованы вычислительные аспекты метода СН-ЭВМ.
Предложены и реализованы алгоритмы решения задач упруго--пластической устойчивости пластин и оболочек при поперечном, продольном и комбинированном нагружениях с использованием различных теорий пластичности. Исследовано влияние параметров геометрии, переменности толщины, граничных условий, характера нагруже-ния, материала на значения критических нагрузок и закритическое поведение. Исследованы траектории напряжений и деформаций.
Дано решение широкого класса несимметричных задач упруго--пластического изгиба пластин и оболочек. Выявлены особенности упруго-пластического поведения оболочек, связанные с несимметрией нагрузки, граничных условий, распределения толщин.
Предлагается алгоритм решения задач оптимизации пластин и оболочек, основанный на использовании методов теории планирования экстремальных экспериментов. Впервые дается решение ряда задач оптимизации упруго-пластических пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке.
Достоверность основных научных положений обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых подходов; соответствием результатов расчета физической природе явления; сравнением, в частных случаях, с известными решениями; сопоставлением результатов, полученных нами разными методами, с использованием разных алгоритмов и программ.
Практическая ценность диссертации заключается в разработке и реализации на ЭВМ эффективных методов решения новых задач механики упруго-пластического деформирования при простом и сложном нагружении. Разработанные алгоритмы и программы могут быть использованы для определения напряженно-деформированного состояния, значений критических нагрузок и перемещений элементов тонкостенных конструкций. Алгоритмы оптимизации могут применяться при проектировании пластин и оболочек, удовлетворяющих определенному критерию качества.
Результаты работы реализованы в виде расчетных методик, которые используются в ряде организаций. Некоторые программы зарегистрированы в Госфонде алгоритмов и программ СССР.
В соответствии с Программой стандартизации по надежности, прочности и износостойкости на I98I-I985 гг., утвержденной Госстандартом СССР разработаны методические рекомендации "Расчеты и испытания на прочность. Метод и программа расчета на ЭВМ гибких пластин и пологих оболочек с планом в виде прямоугольника в упругой и упруго-пластической области деформирования".
Основные научные положения.
Автором защищаются следующие основные научные положения:
- основные соотношения теории гибких пологих неоднородных упруго-пластических оболочек и пластин переменной жесткости; уравнения позволяют исследовать деформирование пластин и оболочек на основе деформационной теории пластичности, теорий течения и теории двухзвенных процессов;
- новые алгоритмы исследования упруго-пластического деформирования гибких оболочек и пластин;
- сравнительный анализ эффективности построенных алгоритмов и рекомендации по их применению;
- методика расчета пластин и оболочек при сложном нагружений, реализованная на основе теории двухзвенных процессов и методе СН-ЭВМ; вычислительные аспекты, связанные с анализом сложного нагружения пластин и оболочек;
- методы решения задач упруго-пластической устойчивости при поперечном, продольном и комбинированном нагруяении;
- результаты численного решения широкого класса новых актуальных задач упруго-пластического деформирования, имеющих теоретическое и прикладное значение;
- алгоритмы оптимизации и результаты решения задач проектирования гибких упруго-пластических оболочек и пластин.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: на Уїї, УШ, IX, XI Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластинок (Днепропетровск, 1969; Ростов-на-Дону, 1971; Ленинград, 1973; Харьков, 1977); ІУ, 7 Всесоюзных конференциях по численным методам в теории упругости и пластичности (Тбилиси, 1975; Караганда, 1977); І, П Поволжских конференциях по нелинейным задачам теории пластин и оболочек (Саратов, 1972, 1974); конференции "Очередные задачи речного фяота" (Горький, 1973); Ш, 17 Всесоюзных школах-симпозиумах по механике деформируемого твердого тела (Куйбышев, 1976, 1977); научно-технических конференциях и конференциях ШЗ Куйбышевского политехнического института (Куйбышев, 1969-1972, 1977, 1982); научно-технической конференции Куйбышевского авиационного института (1970); научных семинарах по теории оболочек Казанского физико-технического института КФАЕ (1969, 1971, І973-І98І); семинаре по механике твердого деформируемого тела Казанского государственного университета (1974); семинаре по вычислительной математике под руководством члена-корреспондента АН ССОР Н.С.Бахвалова (Москва, МГУ, 1977); семинаре "Методы вычислительной математики" под руководством академика АН СССР Г.И.Марчука (Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1978); семинаре по механике твердого деформируемого тела Куйбышевского университета (1978); научно-исследовательском семинаре кафедры "Теория упругости" МГУ под руководством члена-корреспондента АН СССР А.А.Ильюшина (Москва, 1978); симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980); научно-исследовательском семинаре в институте механики МГУ (Москва, 1981); Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение долговечности и надежности машин и приборов" (Куйбышев, 1981); семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством члена--корреспондента АН СССР Э.И.Григолюка (Москва, 1981); Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Набережные Челны, 1982).
В окончательном виде работа докладывалась: на научно-исследовательском семинаре кафедры "Теория упругости" МГУ под руководством члена-корреспондента АН СССР А.А.Ильюшина (Москва, 1983); семинаре по механике твердого деформируемого тела под руководством члена-корреспондента АН СССР Э.И.Григолюка (Москва, 1983); семинаре в ВЦ АН СССР (Москва, 1983); в Калининском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора технических наук, профессора В.Г.Зубчанинова (Калинин, 1983); в Казанском инженерно-строительном институте на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством заслуженного деятеля науки и техники ТАССР, доктора физико-математических наук, профессора її.Г.Тєрегулова (Казань, 1983);. семинаре по механике деформируемого твердого тела Казанского государственного университета (Казань, 1983).
Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в 43 научных статьях автора.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, выводов по диссертации, заключения и списка литературы.
Результаты главы 5 получены на основе работ А.А.Ильюшина, В.С.Ленского, Р.А.Васина и других авторов.
Глава 5 является результатом совместной работы с Р.А.Васиным, причем, основной вклад автора относится к численной реализации этой работы, а Р.А.Васина - к алгоритмической.
Автор приносит искреннюю благодарность члену-корреспонденту АН СССР А.А.Ильюшину и профессору М.С.Корнишину за постоянное внимание и ценные советы, высказанные ими в процессе выполнения работы.
Вариационное уравнение. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в смешанной форме и в перемещениях
Широкое распространение в технике получили оболочки, для которых можно положить Ai9A2 1 , cLi -X , olz-y . В этом случае полная система уравнений принимает вид 1W дхЩ 0 І ЩГ г д& dxi dflf fa2 d2de n d2deb . d2de2 , д Ш ) f d2(K2dv» ЛЩ. dW + 1"21Щ дхг df дхг dfoty tedy д2Щ d2dv д2№ d2drt ,J =n . (tf-CWd$ +CWd9, (2.65) dR»Clildc+№ t (2.66) dT0-3KkdeCo, dM9-0,25Kh5d , (2.67) ty t % - значения функции прогиба и Функции усилий, накоп-ленные за ь этапов нагружения, ь - симметричные матрицы, элементы которых вычисляются по (2.47). Система в приращениях (2.64)-(2.67) описывает напряженно-деформированное состояние гибких неоднородных упруго-пластических оболочек и пластин переменной жесткости и кривизны.
При решении нелинейных задач в целых функциях усилия и моменты (2.37) представляются в виде суммы "упругого" слагаемого и дополнительного - учитывающего неоднородность и упруго-пластические свойства материала, наличие разгрузки, вторичных пластических деформаций, переменности нагружения. ty 1 ] , Mtj-MiJ+uMlj, l,J-/,2. (2.68) =5(6 6,), rj-sfe+hb), lUHc)e l (2-69) Mfafa +\ oc 2z\ Мн-Ъ( и + «), M№1 - b) . (2 70) fish J,5h ф udijdl, йМу tfljldl. (2.71) &0ij вычисляется согласно (2.29), (2.30), a tc и Voc - (2.33) Выражая из (2.68), (2.69) деформации срединной поверхности при hi 9- 2=f , ctf=x , оігшУ , из системы уравнений (2.62) с учетом (2.35) и (2.58), получаем
Члены в (2.72) с символом 4 выражают физическую нелинейность и неоднородность свойств материала по толщине оболочки, индексы X и и внизу обозначают соответствующие производные.
Система дифференциальных уравнений (2.72) является обобщением системы уравнений технической теории оболочек В.З.Власова / 51, 52 / на случай неоднородного материала с учетом физической и геометрической нелинейности. В частном случае при П-Const , 1 = 0,5 из (2.72) следуют уравнения Н.Ф.Ершова / 122 /, а также уравнения геометрически линейной задачи, учитывающие физическую нелинейность, которые получили И.А.Цурпал и Н.А.Щрльга / 391 /. Система дифференциальных уравнений в целых функциях для неоднородных гибких упруго-пластических оболочек приводится в / 154 /, с учетом поперечных сдвигов для упругого материала в / 365 /, а для упруго-пластического - в / 203 /.
Выведем уравнения для оболочки в перемещениях и граничные условия, исходя из вариационного принципа. Вариация полной энергии деформированной оболочки (2.49)-(2.51) выражается в виде B=dnH-dffpv d$ dffMatf d2. с р Обозначим через М . (fir, Рй вариации перемещений точек срединной поверхности по направлениям X , и , .
Выражая деформации срединной поверхности в (2.51) через перемещения (2.35), интегрируя по частям и варьируя перемещения, получим с учетом равенства прогиба нулю на контуре Выражая изменения кривизн срединной поверхности в (2.50) через перемещения (2.35) после интегрирования по частям и варьирования функции прогиба V)- , получим
Система в приращениях (2.76) сотіестно с матричными уравнениятли (2.45), (2.46) и соотношениями (2.48) образует полную систему разрешающих уравнений в перемещениях. Ввиду громоздкости выражений усилий и моментов через перемещения здесь и далее системы (2.75), (2.76) в развернутом виде не приводятся. Аналогично системе уравнений в смешанно $$рмб ПрбДОТаВВМ усилия и моменты в (2.75) в виде суммы "упругого" слагаемого и дополнительного - согласно (2.68)-(2.71). В этом случае (2.75) при АішАгЧ , di-, 2 У примет вид
Полученные системы уравнений (2.72), (2.77) используются и при расчете слоистых оболочек. При этом принимается гипотеза недеформируемой нормали для всего пакета в целом и учитывается, что слои обладают соизмеримой жесткостью на сдвиг.
Двухступенчатый метод и его реализация в задачах изгиба пластин со свободной кромкой
Сравнение двухступенчатого метода с шаговым на примере расчета гибкой квадратной шарнирно опертой пластинки показывает, что на 34 шага по "времени" в методе предиктор-корректор требуется 40 машинного времени БЭСМ-б, а при решении задачи двухступенчатым методом для 12 значений нагрузки - 16 . Расчет проводился до прогибов в центре ЯА = 3,33.
Двухступенчатый метод реализован в двух вариантах, отличающихся заданием основного параметра нелинейной системы: в первом варианте в качестве основного параметра взята интенсивность нагрузки, во втором - прогиб в центре М» . При этом решение одной и той же задачи по первому варианту требует для пластинок и оболочек кривизны Лу 20, Кг 20 примерно в 2 раза, а для оболочек большей кривизны в 3-4 раза меньше машинного времени, чем по второму варианту.
Метод общей итерации в сочетании с методом Ричардсона с чебышевским ускорением сходится примерно в 9 раз быстрее, чем метод простой итерации.
При реализации метода общей итерации в сочетании с методами матричной прогонки, Р.П.Федоренко, требуемый объем памяти дШ больше, чем в двухступенчатом методе и общей итерации в сочетании с методом Ричардсона.
Наиболее сложен в реализации метод общей итерации в сочетании с методом Р.П.Федоренко.
Из анализа решений большого числа нелинейных задач различными методами можно сделать ряд выводов. На сетках 8x8, 10x10 расчет пластинок и оболочек при симметрии напряженного и деформированного состояния относительно осей, проходящих через центр, целесообразно проводить методом общей итерации в сочетании с обращением матрицы.
При решении несимметричных задач упруго-пластического детивным является метод общей итерации в сочетании с матричной прогонкой. Однако, реализация его связана с большей подготовительной работой, чем для двухступенчатого метода.
С увеличением числа разбиений сетки возрастает эффективность двухступенчатого метода по сравнению с методом общей итерации, используемым в сочетании с другими методами.
Шаговые методы предпочтительнее применять при расчете пластинок и оболочек на основе теорий пластичности с дифференциальной связью мезду напряжениями и деформациями.
При исследовании нелинейных задач теории оболочек в той или иной мере используются методы решения систем линейных уравнений. В связи с этшл представляет интерес численная реализация и экспериментальное сравнение ряда итерационных методов для решения больших систем линейных разностных уравнеюїй, возникающих при аппроксимации краевых задач в прямоугольнике для эллиптических уравнений четвертого порядка /116 /.
Сравнивались следующие методы: I) двухступенчатый метод / 112 , ИЗ /, основанный на использовании операторов,эквивалентных по спектру, и метода переменных направлений в качестве внутреннего итерационного процесса - метод А, 2) метод переменных направлений - метод Б / 112 , 310 /, 3) метод Ричардсона -метод В / 210 , 310 /, 4) метод Р.П.Федоренко / 376 /, использующий различные взаимосвязанные сетки - метод Г. В методах А, Б, В использовалось чебышевское ускорение.
С теоретической точки зрения наилучшим среди известных ме тодов по асимптотике затраты вычислительной работы для нахождения решения с нужной точностью является метод А.
Наиболее детальное сравнение проводилось на примерах решения задач изгиба пластинок при граничных условиях заделки и шарнира, проведен ряд расчетов также и для условий свободного края.
В работе построены алгоритмы и составлены программы на языке АЛГОЛ для указанных методов. Сравнение методов производилось на основе затрат реального времени на машине БЭСМ-6, необходимого для достижения заданной точности.
Помимо вариации различных итерационных параметров, таких, как число чебышевских параметров в методах А-В. или число внутренних итераций в методе А, в экспериментах варьировались также: типы граничных условий, параметр удлиненности пластинки, характер нагружения, точность решения.
Упруго-пластический изгиб пластин и оболочек
Хорошо известно, что в случае краевых условий зацелки и шарнира оператор L эквивалентен по спектру оператору А . /113 /: C,A L bA, С,-/, Сг = / А . (3.25) Неравенства (3.25) справедливы в дифференциальном случае и для остальных вариантов граничных условий. Не входя в детали, считаем их выполненными во всех рассматриваемых разностных задачах и используем эти константы С1 и С2 в итерационных методах. Двухступенчатый метод. Оператор А , как известно, имеет вид A=Af Az, (3.26) где Аі = АЇ 0, Аг=А г 0 и Ае( - одномерный в смысле / 112/ разностный оператор, действующий по - . При этом А А2 А2А,, (3.27) если краевые условия не содержат условий свободного края.
При условии же свободного края,при я = 0,условие (3.27) уже не выполняется. Поэтому, следуя / 113 , 115 /, заменим оператор А оператором 6-Р,А=3 бг, (3.28) где Pj - диагональная матрица, элементы которой, соответствующие узлам на свободной кромке, равны 2, а остальные элементы равны I; одномерные разностные операторы Ві и 4г перестановочные и являются самосопряженными в пространстве //$ со скаляр где - единичный оператор, d О, выполнены условия применимости метода переменных направлений в коммутативном случае / 112 /. При этом нижняя граница спектров оператора /? А может считаться совпадающей с нижней границей спектра оператора Л , а верхняя граница увеличивается в 2 раза.
Рассматриваемый двухступенчатый метод решения (3.20) имеет вид: DW""-V n) fn(Lb n-f), (3.30) где Я" А (В/т) , В - тождественный оператор, Тт - оператор сокращения погрешности за ITI итераций во внутреннем итерационном методе переменных направлений решения уравнения l?t lf. (3.31) //77 является самосопряженным оператором в пространствах Hjij и Нл \\Ч\р?-\Тт\\ и f-fO ). (3.32) Оператор Я является самосопряженным в Н , положительным оператором / 115/, эквивалентным по спектру оператору L : Cfl) L&b2, Ci bLi-Q), Cz C2( q). (3.33)
Оценки (3.33) позволяют применить чебышевское ускорение с оптимальными параметрами: Ь 2[(С4 Ъ)-(Сг-Ь)Со$—г] , ПН (3.34) в порядке нумерации, рекомендованной в / 210/. Алгоритм реали 112 зации метода (3.30) следующий: 1) по известному ТІЇ вычисляется 2) для решения (3.31) применяется метод переменных направлений с начальным приближением, равным 0; 3) /77-ая итерация в методе переменных направлений совпадает с -1& ,
Метод переменных направлений брался в форме где Ь - номер внутренней итерации, cs , fs - оптимальные параметры Вакспресса, вычисляемые,исходя из границ спектра Si , Bz , т = I, 2, 4, 8.
Результаты численного исследования эффективности двухступенчатого метода в сравнении с другими методами подробно изложены в работе / 116 /. Здесь приведена лишь часть результатов. Результаты счета и их анализ. В таблицах приняты обозначе ния: I) столбец Рр определяет вид граничных условий (I - задел ка, 2 - шарнир, 3 - три кромки пластины заделаны, а одна - «2V = = 2 шарнирно оперта); 2) столбец / определяет вид нагружения (I - равномерно распределенная нагрузка, 2 - нагрузка-, распреде ленная по малой площадке , располо женной в окрестности узла Nifty , Nz/ty ); 3) - точность; итерационный процесс заканчивался при выполнении условия И, где \\г[\-{Щ{й КГ йшЛ(Ґі)(4(А %)Ґ Б методе В - Я-Х/У/І U)f ; 6) т - число внутренних итераций в методе Л; 7) Т - машинное время; 8)/1
9) 111 - максимальный прогиб: 4- для граничных условий I, 2; 10) 6 - максимальное напряжение: б=бяг о- для граничных условий 2 и б=бссг,в для условий I (рис.3.2) при равномерно распределенной нагрузке; II) і (Q и Л (Zj - нижняя и верхняя границы спектра оператора L ; 12) оператор А&П [Е + тАг) , используемый в методе Б.
В методе Г К обозначает число вспомогательных сеток, А»- число итераций на основной сетке, Пі - на первой вспомогательной, / - на второй вспомогательной; (I - число итераций метода Г. Кандая такая итерация состоит из ПФ + 2ПІ +2nz итераций на основной и вспомогательных сетках плюс итерации на наиболее крупной вспомогательной сетке до получения заданной точности. При реализации всех методов на ЭВМ БЭСМ-6 внешние запоминающие устройства не использовались.
Исследование вычислительных аспектов метода СН-ЭБМ в задачах прочностного расчета пластин и оболочек
Задача (3.41) определения поправки # проще исходной задачи (3.20), так как известно, что - гладкая функция. Вследствие этого для определения из (3.41) можно приближенно рассматривать такую же задачу на сетке вдвое крупней, которая при четных /V/ и А/г является подсеткой основной сетки 4А Й/в , Й//Га4 (3.42) )} где R = % в узлах вспомогательной сетки, совпадающих с узлами основной сетки. Найти W на сетке с шагом, большим шага основной сетки, легче, так как такая сетка имеет меньше узлов и сходимость итераций на ней лучше. Кроме того простые итерации на вспомогательной сетке проводим с jf 9І$Л , что ведет к более быстрому погашению низкочастотной составляющей. Решение задачи (3.42) обозначим через W . Используя функцию IV , линейным интерполированием получаем функцию W , определенную на основной сетке. Затем исправляем функцию: Ifi : W -1$ -1& Использование вспомогательной сетки позволяет существенно уменьшить низкочастотную составляющую невязки. Однако функция 2 с точки зрения нормы невязки хуже К? : \\ъ Ц \\Ъ \\ ; это объясняется внесением при интерполяции погрешности, которая носит не-гладкий характер, и % состоит в основном из негладких собственных функций. Поэтому, проделав несколько итераций (3.37) на исходной сетке, получаем существенное уменьшение невязки.
Использование одной вспомогательной сетки и итерационного процесса (3.37) может оказаться недостаточным для ускорения схо димости. В этом случае целесообразно применение нескольких вспомогательных сеток.
Программа, блок-схема которой представлена на рис.3.3, позволяет производить расчет на прямоугольных сетках / х г с достаточно большими /1 ,/ и с любым числом вспомогательных сеток. В программе реализована идея общего оператора, который в процессе работы программы настраивается как на основную сетку, так и на любую из вспомогательных.
В качестве основного итерационного процесса брался метод простой итерации и метод Зейделя. Оказалось, что метод простой итерации приводит к более быстрой сходимости процесса. Шаг вспомогательной сетки брался в два раза большим, чем шаг основной сетки. Результаты расчета пластин методом Р.П.Федоренко - метод Г - приведены в таблице 3.20 и на рис.3.4-3.8.
Влияние числа итераций на основной сетке - П0 и на вспомогательной - ПІ на расходы машинного времени для пластин с Л = I, р = 10, /V, 4= 48x48, Пг = 25, /Л = 13,4, К = = 3 при нагружении I показано в таблице 3.20. Оптимальное в смысле машинного времени По зависит ОТ ЧИС ла разбиений сетки А/ , Л/г и от граничных условий. В варианте 5 критерий выхода из итерационного процесса был выбран в виде і ,лн) (у. ft -гЛ ,0-7
Это условие выполнялось во всех узлах основной сетки, и невязка //Тт)// уменьшилась с 13,4 до 0,192. Использование такого критерия не позволяет на сетках 48x48 получить невязки I11 // меньше 0,192 вследствие конечности разрядной сетки. На мелких сетках необходимо критерий точности выбирать в виде /р W E . На рис.3.4-3.8 приводятся результаты для квадратной пластины, защемленной по всем кромкам и находящейся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивности Р = 10 (точность на основной сетке & = ОД«10 ); рассмотрены два варианта: а) основная сетка 48x48, вспомогательные - 24x24, 12x12, 6x6; б) основная сетка 16x16, вспомогательные - 8x8,
В случае а) решалась система 2209 линейных разностных уравнений. На рис.3.4, 3.5 для основных сеток 48x48 и 16x16 при различных Пв приведены графики изменения невязки в зависимости от общего числа итераций У на основной сетке. Здесь для Л о - 100 представлен сплошной линией истинный характер изменения невязки в процессе итераций, а построение графиков для По - 10, 15, 25, 50 осуществлялось так: наносилась невязка II \\ начального приближения; затем невязка, полученная после По итераций на основной сетке; далее значение невязки, полученное после работы на вспомогательных сетках и /г итераций на основной сетке и т.д. Полученные точки соединялись кривой.
