Введение к работе
Диссертационная работа посвящена нахождению и исследованию приближенных аналитических решений второй краевой задачи для прямоугольных пластин конечных размеров, сплошных и ослабленных круговым отверстием, методом быстрых разложений.
Актуальность темы исследования обусловлена сложностью математической модели плоской задачи теории упругости, представляющей собой систему дифференциальных уравнений в частных производных. Существующие частные решения показывают возможность успешного применения рядов Фурье к задачам механики деформируемого твердого тела, но эти решения ограничены первоначальными допущениями, чаще всего, о конкретном виде граничных условий. Метод быстрых разложений позволяет представить искомые решения в виде суммы граничной функции и ряда Фурье таким образом, что используемый ряд допускает многократное (в зависимости от вида граничной функции) почленное дифференцирование и обладает свойством быстрой сходимости. Эти свойства обеспечивают независимость метода от вида функций, задающих граничные условия, размеров пластин и положения отверстия относительно границ.
Применение метода быстрых разложений к решению задач теории упругости является актуальным, поскольку позволяет получить приближенные решения для пластин конечных размеров в аналитическом виде с достаточной для инженерных расчетов точностью.
Степень разработанности темы исследования. Существующие в настоящее время методы решения задач теории упругости можно разделить на эмпирические, аналитические и численные. Эмпирические и численные методы применимы к широкому кругу задач механики, отличающихся сложностью постановок, но имеют существенные недостатки. Традиционные экспериментальные методы часто обладают недостаточной
чувствительностью и точностью, а проведение испытаний, помимо финансовых и временных затрат, требует специального оборудования и лабораторных условий. Недостатком вычислительных методов является то, что многие из них являются скорее экспериментальными, чем теоретически обоснованными, а полученные результаты требуют проверки достоверности и оценки погрешности и не предоставляют возможностей для аналитического исследования решений. Кроме того, решения, полученные эмпирическими и численными методами не могут быть исследованы методами функционального анализа, что затрудняет их обобщение.
Наиболее универсальными для получения решений задач механики в аналитическом виде являются методы теории функций комплексного переменного, малого параметра, граничных состояний, быстрых разложений.
Разработкой и реализацией аналитических методов решения задач механики сплошной среды в разное время занимались Н. И. Мусхелишвили, Шарафутдинов, И. В. Кучеренко, Д. В. Головин, Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов, А. Н. Спорыхин, А. И. Шашкин, Т. Д. Семыкина, Н. В. Минаева, А. П. Соколов, В. Б. Пеньков, Д. А. Иванычев, А. Д. Чернышев, С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер и другие ученые.
Цели и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является разработка методов решения краевых задач определения напряженно-деформированного состояния в рамках плоской деформации различных упругих пластин конечных размеров при переменном внешнем воздействии. Для достижения поставленной выполняются следующие задачи:
-
Определение зависимости погрешности приближенного решения, полученного методом быстрых разложений от вида приближаемой функции и количества слагаемых, учитываемых в рядах Фурье для функции одной переменной.
-
На основе численных экспериментов сделать предварительные выводы о количестве слагаемых в рядах Фурье, необходимых для приближения
функций напряжений и перемещений в зависимости от ГУ в двумерных задачах механики деформируемого твердого тела.
-
Получить аналитическое решение задач о плоской деформации сплошной упругой пластины конечных размеров и упругой пластины конечных размеров с круглым отверстием методом быстрых разложений.
-
Проанализировать решения, варьируя количество слагаемых в рядах Фурье, размеры пластин, виды функций, задающих напряжения на границах.
Научная новизна работы:
получено аналитическое решение задачи плоской деформации прямоугольной упругой пластины конечных размеров под действием нормальных усилий, являющихся функциями пространственных переменных;
проведено аналитическое исследование напряженно-
деформированного состояния упругих пластин, ослабленных произвольно расположенным круговым отверстием;
использование предложенного метода быстрых разложений позволяет рассматривать конечномерные пластины с отверстиями любой формы при двуосном растяжении (сжатии) переменными воздействиями;
разработан программный комплекс, реализующий метод быстрых разложений функций двух переменных, в котором входящими параметрами являются размеры пластины и отверстия, координаты отверстия и вид функций, определяющих нормальные напряжения на границах.
Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные результаты могут быть использованы для расчета и исследования полей напряжений, перемещений и деформаций в плоских упругих пластинах. Разработанный программный комплекс позволяет варьировать размеры пластин, исследовать пластины, изготовленные из различных материалов в пределах теории упругости, а также проводить вычисления для случаев
кругового отверстия произвольного размера и расположения. Могут рассматриваться случаи, когда нормальные напряжения на границе задаются функциями различного вида.
Методология и методы исследования. Решения получены методом быстрых разложений и исследованы с помощью методов математического анализа. Все вычисления и построение графиков проводятся в Maple 9.5.
Положения, выносимые на защиту.
-
Определение напряженно-деформированного состояния сплошной упругой конечномерной пластины под воздействием нормальных напряжений, заданных в виде констант и линейных функций.
-
Решение задачи о плоской деформации упругой конечномерной пластины с круговым отверстием под воздействием нормальных напряжений на границах, заданных в виде констант и линейных функций.
-
Разработка приближенного метода быстрых разложений для решения плоских задач теории упругости
-
Реализация предложенного подхода в виде программного комплекса, позволяющая рассматривать пластины различной формы, ослабленные нецентрированными отверстиями произвольной формы.
Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность научных положений обеспечивается использованием фундаментальных соотношений теории упругости, физически корректных формулировок математических моделей, корректным применением математического аппарата рядов Фурье и согласованностью полученных решений с результатами других авторов. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:
-
Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Воронеж. 20-22 сентября 2010 г.
-
Отчетная научная конференция преподавателей и научных сотрудников ВГУИТ за 2011 г.
