Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые положения нелинейной теории упругости. Ударные волны 16
1.1 Элементы геометрии евклидова пространства 16
1.2 Универсальные модельные соотношения нелинейно-упругой среды 18
1.3 Элементы тензорного анализа на поверхности в евклидовом пространстве 20
1.4 Кинематика поверхности Е.
1.5 Дельта-производные геометрических характеристик поверхности Е() 30
1.6 Условия на ударных волнах 34
2 Возможные скорости и типы одномерных цилиндрических ударных волн 43
2.1 Система уравнений в разрывах на ударной волне 44
2.2 Скорости возможных ударных волн 53
3 Лучевой метод решения одномерных задач ударного деформирования
3.1 Цилиндрическая продольная ударная волна 61
3.2 Сферическая продольная ударная волна 69
4 Построение приближенных решений за одномерными поперечными ударными волнами 74
4.1 Одномерная задача антиплоского ударного деформирования 74
4.2 Скручивающий удар по цилиндрической полости 78
4.3 Цилиндрическая волна постоянной интенсивности 83
5 Двумерная задача антиплоского деформирования 89
5.1 Постановка задачи. Исходные модельные соотношения . 89
5.2 Лучевой метод решения двумерной задачи 93
5.3 Геометрия ударной волны 99
Заключение 104
Список литературы 107
- Элементы тензорного анализа на поверхности в евклидовом пространстве
- Система уравнений в разрывах на ударной волне
- Цилиндрическая волна постоянной интенсивности
- Лучевой метод решения двумерной задачи
Введение к работе
Явление возникновения поверхностей разрывов скоростей (ударных волн) в твердых телах в процессе их интенсивного деформирования является принципиально нелинейным и должно изучаться на основании нелинейным математических моделей. К последним относится и модель нелинейно-упругого материала, которая положена в основу задач, рассматриваемых в данной работе.
Основы теории упругости, как и механики сплошных сред вообще, были заложены в XIX веке и связаны с именами Л. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Копій, Дж. Грина и др. Эти основы изначально нелинейны, но в дальнейшем и до начала прошлого столетия развивался линейный вариант теории упру-гости(Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркип, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. Основные направления исследований в то время связаны с разработкой математических методов решения краевых задач. Отметим здесь выдающийся вклад отечественных ученых Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савина, С.К. Соболева, М.А. Лаврентьева.
Первой фундаментальной работой по нелинейной теории упругости является монография Ф.Д. Мурнагана [124]. Детальная разработка основ нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову [76], Л.И. Седову [89, 90], А.А. Ильюшину [56], В. Прагеру [79], А. Грину и Д. Ад-кинсу [41], Л.А. Толокошшкову [92], Е.М. Черных [100, 101, 102], А.И. Лурье [70], Д.Д. Ивлеву [54, 55], К. Трусделлу [95], Л. Трелоару [94], Г.С. Тарасьеву [91]. Здесь не упомянуты работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов указана в обзоре В.В. Новожилова, Л.А. Толоконникова и К.Ф. Черных [77]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности ле-
жит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [14, 45], нелинейная акустика [49, 87] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.
К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [110, 111, 112], Чжу Бо-Те [114, 115] и Е.М. Черных [100, 101, 102]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в ледеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В [112] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [13], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде.
В нашей стране также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отмстить работы Е.М. Черных [100, 101, 102]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [100] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающего большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси и учетом нелинейности во всех кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследования послужили работы А.Д. Чернышева [103] и Г.Ф. Филатова [96, 97, 98]. В них получены условия существования ударных волн с учетом предварительных дефор-
маний и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.
В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличие от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [42]. Важными следует признать работы А.А. Буренина и А.Д. Чернышова [21, 22, 28], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемпле-на для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [37, 42, 43, 48, 71, 96, 97, 98, 111, 117, 122, 134, 137]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.
Чжу-Бо-Те [114,115] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды. Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой ре-
зины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [15, 65, 66, 67, 6S, 80, 81, 116].
Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А.Г. Куликовский и Е.И. Свешникова [60, 61, 62, 63]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюциоппости разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика в краевых задачах с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [136].
Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [120] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [105] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г.И. Бы-ковцевым и его учениками [10, 12]. В [88] исследуются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [99] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию.
Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 19, 20, 21, 26, 88, 46, 57, 62, 65, 66, 101, 17], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных задач используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У.К. Нигул и Ю.К. Энгельбрехт исследовали
[106, 73, 74, 75] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений на основе решения эволюционных уравнений, предложен А.А. Бурениным и В.А. Шарудой [27] и обобщен в работах В.Е. Рагозиной и Ю.Е. Ивановой [80, 51, 52, 53]. В [81] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.
Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Лучевой метод известен с 50-х годов прошлого века и является признанным мощным инструментом решения волновых задач, включающих нестационарные поверхности (объемные волны) или линии (поверхностные волны) сильных и слабых разрывов. Для этого используются одночленные или многочленные степенные ряды, коэффициентами которых служат скачки производных искомых функций. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в статье Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [128]. Эту статью они посвятили светлой памяти своего учителя, выдающегося ученого-механика Г.И. Быковцева.
Лучевые разложения можно разделить на два основных типа. Первые используются преимущественно для аппроксимации физических полей регулярных функций, вторые для аппроксимации физических полей сингулярных функций. В России разработкой лучевого метода, основанного на разложениях первого типа активно занимались ученые-механики Ленинградской научной школы, идейным руководителем которой был Г.И. Пет-рашень. Этот метод используется преимущественно в задачах отражения, преломления и дифракции волн, популярен в сейсмологии и сейсморазведке. Метод развивался в работах В.М. Бабича, А.С. Алексеева и Б.Я. Гельчинского при вычислении интенсивностей волновых фронтов в неста-
ционарных задачах теории упругости [3, 4], включая случай неоднородной анизотропной среды [5], а также в работе Ю.Н. Подильчук и Ю.К. Рубцова [78] для определения напряжений вблизи различных полостей в упругой среде. Впоследствии В.М. Бабич, B.C. Булдырсв и И.А. Молотков [7] использовали разложения первого типа при исследовании волновых процессов различной природы.
Второй тин лучевых разложений используется при решении одномерных, плоских и трехмерных краевых задач, включающих поверхности сильных и слабых разрывов. Метод основан на теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Дж. Адамара [119], который заметил, что разрывы величин на движущихся поверхностях не могут быть произвольными, но связаны ограничениями, следующими из геометрии таких поверхностей и их кинематики. Обобщение соотношений Дж. Адамара на случай разрывов производных от функций, терпящих разрыв на движущихся поверхностях, осуществил Т. Томас [93]. Выписанные им ограничения на разрывы производных были названы им геометрическими и кинематическими условиями совместности первого порядка. С их помощью Т. Томас [93] исследовал распространение и затухание криволинейных волн в однородной упругой изотропной среде. Теория рекуррентных условий совместности разрывов функций и их производных, обобщающая представления Т. Томаса, была разработана Г.И. Быковцевым и его учениками для параметрического задания движения в прямоугольной декартовой системе координат [32].
Объединение лучевой теории и теории разрывов Т. Томаса позволило двум группам исследователей, Дж. Ахенбаху и Д. Редди [107, 109] и Воронежской школе под руководством Г.И. Быковцева [9], независимо друг от друга и в различных формах предложить метод построения приближен-
ных решений за поверхностями разрывов в линейных средах, названный авторами лучевым методом по аналогии с [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают рекуррентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Подход, предложенный Г.И. Быковцевым оказался наиболее перспективным. В дальнейшем Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [9, 10, 12, 48, 69, 84, 113, 129, 106].
Н.А. Заварзина и В.М. Бабич развили лучевой метод для динамических задач в гипоупругой среде в случае ударных волн [47] и волн ускорений [8]. Г.И. Быковцев и А.Г. Шаталов рассмотрели задачу о влиянии теплового потока па границу термоупругого полупространства с учетом конечной скорости распространения тепла и термоупругой связи [34]. Для трех типов термоупругих волн были получены рекуррентные соотношения на коэффициенты лучевого ряда. В работах Ю.А. Россихина и др. рассмотрены задачи о распространении плоских волн сильных разрывов в анизотропном термоупругом полупространстве [83] и анизотропной пластине постоянной толщины [130], об ударе абсолютно жесткой сферы но границе упругого изотропного полупространства [125]. Таким образом, лучевые разложения второго типа удобны при решении задач, связанных с кратковременным приложением нагрузки к границам рассматриваемых тел, а также ударным воздействием, термическим ударом и т.д.
А.В. Чигарев [104] рассматривал распространение ударных воли в стохастически неоднородной упругой среде. Ю.А. Россихин [126, 85] изучал распространение поверхностей сильных разрывов произвольной формы в
упругой слабо анизотропной среде с произвольной симметрией, в том числе, с кубической и гексагональной симметрией. В 1989 г. Ю.А. Россихин [86] указал способ регуляризации волновых характеристик, которые оказались неравномерно пригодными в области существования волнового решения. Дж. Ахенбах [108] изучал движение поверхностей сильных разрывов в термоупругой среде с конечной скоростью распространения тепла. Было показано, что две поверхности сильных разрывов: квазиупругая и квазитермическая, обладают экспоненциальным характером затухания.
Дж. Эриксен [118] изучал распространение эквиволюменальных поверхностей слабых разрывов в несжимаемых упругих материалах и показал, что для гладко изменяющихся полей внешних сил и тепловых источников, волны третьего и более высоких порядков в несжимаемой упругой среде подчиняются тем же законам, что и волны ускорений. К. Трусделл [135] обобщил этот результат на весь класс упругих материалов. Волнам ускорении в упругих средах посвящены также работа Р. Хилла [121] и др.
М.А. Гриифельд [43] рассматривал поверхности слабых разрывов (волны ускорений) и слабые ударные волны в нелинейном гипоупругом теле. Для таких волн были получены нормальные скорости и уравнения переноса, описывающие изменения разрывов производных произвольного порядка от искомых функций по нормали к волновой поверхности вдоль лучей. Слабые ударные волны в деформированной нелинейно-упругой среде рассматривали также Н.А. Заварзина и Г.Ф. Филатов [48]. Авторы получили систему рекуррентных уравнений, определяющую характер распространения и затухания слабых ударных волн.
Исследования, посвященные распространению и затуханию слабых и сильных разрывов в упруговязкопластической среде, проводили Г.И. Бы-ковцев и Н,Д. Вервейко [29], а также Россихин [82]. Позднее Г.И. Быковцев и др. [30] рассматривали движение ступенчатой нагрузки со сверхзвуковой
скоростью по границе упруговязкопластического полупространства. Исследованию лучевым методом пространственных динамических задач упруго-вязконластичности и одномерных динамических задач течения реальной жидкости в трубах посвящена монография Н.Д. Вервейко [36]. В ней изложены основы лучевого метода решения пространственных задач и приведены примеры применения лучевого метода к распространению пластических волн нагрузки и разгрузки, волн гидроудара в гидролиниях переменного сечения. В [59, 58] рассматривались вопросы построения аналитического или численного решений динамических волновых задач в упруговязкопла-стических средах.
Распространение волн ускорений в трехмерных упругопластических телах рассматривали Т. Томас [93], Р. Хилл [121], Г.И. Быковцев и др. [33]. Были получены три типа волн ускорений и вычислены их скорости. Были исследованы распространение и изменение со временем интенсивности пластических волн, волны разгрузки, и волны нагрузки. Теория разрывов применялась также для исследования волн разрывов в стержнях, слоях, пластинах, и оболочках [123, 35], а также поверхностных волн сильных и слабых разрывов в нелинейно-упругих и упругопластических средах [11, 10] и поверхностных волн вдоль поверхностей кристаллических тел с конечной анизотропией [127]. Также одночленные лучевые разложения часто применяются в задачах об ударном взаимодействии, например в [131].
В краевых задачах, в которых решение необходимо строить во всей области движения волны, т.е. от фронта волны до граничной поверхности в фиксированный момент времени, или когда необходимо определить временную зависимость интересующих нас величин в фиксированной точке поля в данный момент времени, необходимо использовать многочленные лучевые разложения. Ю.Н. Подильчук и Ю.К. Рубцов [78] рассматривали задачи о распространении нестационарных волн в бесконечной изотропной
упругой среде, возникающих при мгновенном нормальном нагружении на границе сферических и цилиндрических полостей в среде. В данном случае для построения временных зависимостей напряжений в каждой фиксированной точке граничной поверхности понадобилось вычислить около 20 членов лучевого ряда. Что касается приближения по пространственной переменной в фиксированный момент времени, то этот вопрос изучался в работах Дж. Ахенбаха и Д. Редди [107], СТ. Sun [133], Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [131] и др.
Лучевой метод, предложенный в [9], непригоден для нелинейных сред при наличии ударных волн. Связано это, главным образом, с тем, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде, не удается получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов лучевого ряда на каждом шаге. Однако видоизменение методики, предложенное в [25], позволяет использовать лучевой метод и в этом случае. Идея заключалась в разложении коэффициентов лучевого ряда в степенные ряды в окрестности начального момента времени. На основе этого предложения был решен целый ряд одномерных задач динамики деформирования [113, 16, 132]. Построенные таким способом приближенные прифронтовые разложения могут использоваться в схемах численных расчетов краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Разработкой этого направления сейчас активно занимаются А.А. Буренин, П.В. Зиновьев, В.Е. Рагозина [18, 50] и интерес к таким задачам все возрастает.
Предлагаемая работа посвящается развитию лучевого метода решения существенно нестационарных задач нелинейной динамики деформирования на основе обобщения теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях в нелинейно-упругих средах. Работа состоит из пяти глав.
В первой главе строится замкнутая теория условий совместности разрывов при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат. По сути она является обобщением теории Г.И. Быковцева и его учеников, у которых все изложение проводится в декартовой пространственной системе координат.
С целью получения аналогичных условий совместности для произвольной криволинейной системы координат потребовалось, прежде всего, обобщение операции дельта-дифференцирования тензорного ноля, которая определяется по-разному в зависимости от типа тензорного поля (пространственный, поверхностный или смешанный). Но в каждом случае дельта-производная должна определять тензорный объект, а для предельного перехода от криволинейных координат к декартовым дельта-производные не должны противоречить друг другу.
Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т.д. Вычислены дельта-производные основных геометрических характеристик движущейся поверхности.
Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка. Также в первой главе рассматривается модель нелинейно-упругой среды, приводятся некоторые необходимые сведения из тензорного анализа в евклидовом пространстве и соотношения на ударных волнах.
Вторая глава посвящена изучению закономерностей распространения одномерных цилиндрических ударных волн в нелинейно-упругих средах. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квази-продольиая и две квазипоперечные волны, вычислены их скорости в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций. Из литературы хорошо известны описания таких процессов для плоских волн. Важ-
ным результатом здесь явилось разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную ударную волну (волну круговой поляризации). Оказывается, что это справедливо только для данного идеального случая, наличие кривизны волнового фронта не допускает такого эффекта, т.е. в представленной здесь задаче на каждой поперечной волне меняется не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций.
Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат. Таким способом в третьей главе получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта.
В четвертой главе получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности.
В пятой главе получено приближенное решение двумерной задачи об ан-тиилоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы. На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на А;-ом шаге построения лучевого разложения разрыв к + 1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованной задачи). Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей
и геометрия волнового фронта.
В работе применяется тройная нумерация формул. Первый номер обозначает главу, второй — параграф. На протяжении параграфа нумерация сквозная, рисунки помещены в тексте.
Элементы тензорного анализа на поверхности в евклидовом пространстве
Лучевой метод, предложенный в [9], непригоден для нелинейных сред при наличии ударных волн. Связано это, главным образом, с тем, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде, не удается получить обыкновенные дифференциальные уравнения для коэффициентов лучевого ряда на каждом шаге. Однако видоизменение методики, предложенное в [25], позволяет использовать лучевой метод и в этом случае. Идея заключалась в разложении коэффициентов лучевого ряда в степенные ряды в окрестности начального момента времени. На основе этого предложения был решен целый ряд одномерных задач динамики деформирования [113, 16, 132]. Построенные таким способом приближенные прифронтовые разложения могут использоваться в схемах численных расчетов краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Разработкой этого направления сейчас активно занимаются А.А. Буренин, П.В. Зиновьев, В.Е. Рагозина [18, 50] и интерес к таким задачам все возрастает.
Предлагаемая работа посвящается развитию лучевого метода решения существенно нестационарных задач нелинейной динамики деформирования на основе обобщения теории условий совместности разрывов на движущихся поверхностях в нелинейно-упругих средах. Работа состоит из пяти глав. В первой главе строится замкнутая теория условий совместности разрывов при задании движения деформируемой среды в произвольной криволинейной системе координат. По сути она является обобщением теории Г.И. Быковцева и его учеников, у которых все изложение проводится в декартовой пространственной системе координат.
С целью получения аналогичных условий совместности для произвольной криволинейной системы координат потребовалось, прежде всего, обобщение операции дельта-дифференцирования тензорного ноля, которая определяется по-разному в зависимости от типа тензорного поля (пространственный, поверхностный или смешанный). Но в каждом случае дельта-производная должна определять тензорный объект, а для предельного перехода от криволинейных координат к декартовым дельта-производные не должны противоречить друг другу.
Рассмотрены некоторые свойства дельта-производных, такие как правило дифференцирования прямого произведения, перестановочность с операцией свертывания и т.д. Вычислены дельта-производные основных геометрических характеристик движущейся поверхности.
Получены рекуррентные условия совместности разрывов производных произвольного порядка. Также в первой главе рассматривается модель нелинейно-упругой среды, приводятся некоторые необходимые сведения из тензорного анализа в евклидовом пространстве и соотношения на ударных волнах.
Вторая глава посвящена изучению закономерностей распространения одномерных цилиндрических ударных волн в нелинейно-упругих средах. Показано, что в нелинейно-упругой среде могут распространяться квази-продольиая и две квазипоперечные волны, вычислены их скорости в зависимости от их интенсивности и предварительных деформаций. Из литературы хорошо известны описания таких процессов для плоских волн. Важ ным результатом здесь явилось разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную ударную волну (волну круговой поляризации). Оказывается, что это справедливо только для данного идеального случая, наличие кривизны волнового фронта не допускает такого эффекта, т.е. в представленной здесь задаче на каждой поперечной волне меняется не только интенсивность, но и направляющие предварительных сдвиговых деформаций.
Рекуррентные условия совместности разрывов позволили обобщить методику построения лучевых разложений решения краевых задач, поставленных изначально в криволинейных системах координат. Таким способом в третьей главе получены приближенные решения задач о нормальном ударе по цилиндрической или сферической полости в нелинейно-упругой среде. Отмечены особенности получаемых решений, связанные с изменением кривизны волнового фронта.
В четвертой главе получены лучевые разложения решений задач с поперечными ударными волнами: цилиндрической задачи антиплоского деформирования в нелинейно-упругой несжимаемой среде, задачи о скручивающем воздействии на границе цилиндрической полости. На примере задачи о скрутке исследованы особенности применения лучевого метода в задачах с ударными волнами постоянной интенсивности.
В пятой главе получено приближенное решение двумерной задачи об ан-тиилоском деформировании полуограниченного несжимаемого пространства, границей которого служит правая ветвь гиперболы. На данном примере указаны особенности обобщения метода лучевых разложений на случай, когда лучи криволинейные и расходящиеся. Предлагается заменить на А;-ом шаге построения лучевого разложения разрыв к + 1-го порядка его линейным приближением (решением линеаризованной задачи). Таким способом совместно с полем перемещений определяется конструкция лучей и геометрия волнового фронта.
В работе применяется тройная нумерация формул. Первый номер обозначает главу, второй — параграф. На протяжении параграфа нумерация сквозная, рисунки помещены в тексте.
Система уравнений в разрывах на ударной волне
Движение поверхности Е() в Е3 с изменением времени t представимо функциональной зависимостью хг — x%(yajt). Будем предполагать достаточную гладкость этих функций от времени t. Очевидно, что все введенные в предыдущем параграфе геометрические характеристики поверхности становятся функциями t. Остановимся несколько подробнее на выборе системы криволинейных координат на движущейся поверхности. Отметим, что в общем случае каждой движущейся точке Е в произвольный момент времени можно приписать различные координаты уа. Для дальнейшего удобно произвести специальный выбор системы координат уа на подвижной поверхности, который однозначно определяется выбором системы координат на поверхности Е(0), то есть в начальный момент времени. Пусть траектория произвольной точки М Є Е такова, что касательный вектор к пей в любой момент времени направлен по нормали vl(ya,t). Эта линия называется лучом, а координата s вдоль нее — лучевой координатой.
При таком выборе системы координат где G(ya,t) — скорость движения Е() в направлении нормали. Во многих задачах механики и математической физики часто необходимо определить изменение тензорного поля с течением времени в данной точке (). Это поле может быть задано во всем пространстве Е3 или только на (). Количественной характеристикой такого изменения служит дельта-производная по времени, обозначаемая j. Если пространственная система координат совпадает с zl, то -производная вычисляется по формулам, представленным, к примеру, в [32, 93]. Например, для функции f(zi,i), заданной в Е3 производная по времени в данной точке поверхности Е имеет вид
Однако есть много случаев движения неплоских поверхностей S, для которых особенности решения удобнее изучать в пространственных криволинейных координатах. Один из простейших примеров — движение одномерных цилиндрических или сферических волн. Но формула (1.4.2) не учитывает изменение локального базиса, т.к. в декартовой системе координат он постоянен. Для решения таких задач необходимо определить понятие J-производной для произвольной системы хг. Это определение должно отвечать ряду требований: результат дифференцирования должен быть тензорным объектом, в частном случае координат zl операция сводится к той же, что и в [32, 93]. В зависимости от типа тензорного поля -производная определяется по-разному. Остановимся на этом подробно. I. Пусть задано поле тензора, имеющего индексы только пространственного типа, к примеру АгЛхк, t). На () необходимо рассмотреть сужение данного поля Аг (хк{уа, і), t) = Alj(ya, t). По своему смыслу 5-производ-ная должна вычисляться при условии постоянства только координат уа. Поэтому, дифференцируя по времени инвариантный объект А1 ё{ (ё и ё7 Отметим, что (1.4.4) может быть сведена к (1-4.5), поскольку Л (хк (уп, t) ,t) = Aj (yQ, t), поэтому в качестве основной формулы будем использовать (1.4.5), она определяет производную по времени вдоль траектории выделенной точки поверхности S. III. Рассмотрим тензорное поле, определенное только на () и имеющее индексы только поверхностного типа, к примеру, аар, Ьар, сар и т.д. Для таких полей аксиоматически определим 5-производную формулой IV. Задано тензорное поле, имеющее индексы поверхностного и пространственного типа. Примером таких тензоров могут быть касательные векторы хга. Обобщением (1.4.5) и (1.4.6) будет для них формула.
Цилиндрическая волна постоянной интенсивности
Тогда из (1.2.12) следует = 0, т.е. энтропия для каждой точки среды сохраняет постоянное значение. Однако уравнение (1.2.12) теряет силу при переходе через ударную волну. В этом случае энтропия возрастает и остается неизменной, пока через частицу среды не пройдет новая ударная волна. Таким образом, при наличии ударных волн адиабатическое приближение является кусочно изэнтропическим. Это позволяет сократить число независимых переменных для функции W = W (ctij), она будет зависеть только от деформаций. Будем считать среду изотропной, тогда упругий потенциал можно рассматривать как функцию инвариантов тензора деформаций W = W (Іі,І2,Із)- Будем предполагать малость деформаций, как предварительных, так и возникающих в результате ударного деформирования. Это позволяет представить функцию W ее разложением в ряд Тейлора в окрестности свободного состояния:
Коэффициенты в разложении (1.6.24) определяются упругими свойствами конкретного материала и называются его упругими модулями: А, [і — упругие модули второго порядка; /, т, п — модули третьего порядка; , г/, х, \ — модули четвертого порядка. В литературе имеются экспериментальные сведения об упругих модулях 2-го и 3-го порядков. О модулях 4-го порядка данных почти нет, однако если для анализа нелинейных продольных волн достаточно учесть в разложении (1.4.12) члены до 3-го порядка по а , то для анализа нелинейных поперечных волн необходимо сохранить члены 4-го порядка. Отметим, что представление (1.6.24) соответствует среде с малой нелинейностью.
В аналогичных условиях для несжимаемой упругой среды W = W (Ii, h), а в представлении степенным рядом в котором учтено, что при деформировании несжимаемой среды всегда h 0, її 0, поэтому перед некоторыми слагаемыми в (1.6.25) выбран знак „-", а все упругие постоянные fi, а, Ь, х, в, I, d, к положительны.
Эта глава посвящена демонстрации возможности применения полученных ранее соотношений для -дифференцирования, а также геометрических и кинематических условий совместности разрывов для вычисления скоростей возможных ударных волн в сжимаемых нелинейно-упругих средах. Явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн) в твердом теле является принципиально нелинейным. Но, если в газовой динамике ударная волна изначально рассматривалась как нелинейный процесс, то в твердом теле появление наряду с деформациями изменения объема (как в газовой динамике) деформаций изменения формы существенно усложняет изучение данного явления с математической точки зрения. Приближение линейной модели упругого тела позволяет выделить два типа волновых процессов, один из которых связан с объемным деформированием (продольные волны), второй — со сдвиговым (поперечные волны). В линейной модели процессы распространения деформаций изменения объема и формы не влияют друг на друга, в то время как в общем случае нелинейной модели они оказываются взаимозависимыми. В частности, для задач, включающих поверхности сильных разрывов в работах [13, 28, 48, 64, 60] было показано, что в таком материале возможны три типа волн: квазипродольная волна и две квазипоперечных. Их название определено тем, что на каждой из волн присутствуют основная составляющая разрыва и дополнительная, имеющая более высокий порядок малости, но влияющая на взаимодействие сдвиговых и объемных деформаций, т.е. фактически, определяющая комбинированный характер разрыва. Однако, для принятой в диссертации модели адиабатического нелинейно-упругого тела условия существования и закономерности распространения комбини-рованных разрывов деформаций в полной мере описаны только для плоских волн [13, 28, 64]. Важным результатом здесь стало разделение фронта деформаций изменения формы на квазипоперечную ударную волну и нейтральную волну (волну круговой поляризации). Дальнейшие исследования в этой области логично продолжить в предположении ненулевой кривизны поверхности разрывов, в частности, ответить на вопрос, все ли свойства плоских волн присущи волнам произвольной геометрии. С этой целью рассмотрим случай одномерных цилиндрических ударных волн.
2.1 Система уравнений в разрывах на ударной волне
Будем рассматривать одномерные движения нелинейно-упругой среды, т.е. такие, все характеристики которых зависят лишь от одной пространственной переменной и от времени. Полагаем, что в результате некоторого динамического воздействия возмущение распространяется в среду в виде цилиндрически симметричных ударных волн. Цель настоящей главы — вычислить скорости и установить закономерности распространения таких ударных волн. Все вычисления удобно провести в цилиндрической системе координат х1 = г, х2 = ф, х3 = z. Компоненты вектора перемещений иг зависят только от г, t, причем это выполнено как для предварительных деформаций, так и для послеударного процесса. В силу цилиндрической симметрии положение ударных волн с течением времени должно быть задано уравнениями вида г = r(t). Ко- и контравариаитные компоненты метрического тензора в цилиндрической системе координат принимают вид соответственно: дц = д11 = 1, #22 — г 2, О22 = г 2, 9зз = 733 = 1- Остальные компоненты равны нулю. Отличными от нуля символами Кристоффе-ля будут: Г22 = —г, Гі2 = Гі = г-1.
Лучевой метод решения двумерной задачи
До сих пор был оставлен открытым вопрос о том, какая из квазипоперечных волн движется быстрее. С целью ответа на него рассмотрим два наиболее типичных случая предварительных деформаций в среде. Предположим, во-первых, что до момента ударного воздействия в среде есть объемные и антиплоские деформации, т.е. до прохождения Е7 «+ ф 0, и+ ф 0, vX = 0. Из (2.2.1) в этом случае получим Тф = м7 = 0, т.е. за Е7 по-ле деформаций не меняет своего типа. Провести точный сравнительный анализ G11 и G111 невозможно, поскольку предварительные деформации, входящие в формулы для них в (2.2.5) вообще говоря различные. Тем не менее, известно, что на каждой из этих воли тг меняется очень мало. Для послеударных времен, когда Е77 не отходит далеко от Е777 это позволяет приближенно считать и \ и « М ЕШ и и+г\„л и г\Е1И. Тогда, отбрасывая в формулах скоростей квадратичные слагаемые, получим откуда можно считать Gn G111, если только иг 0 ( т.е. для ударных волн сжатия ). Полученная оценка будет справедлива не только для рассматриваемого частного случая предварительных деформаций. В соответствии с ней квазипоперечная волна, на которой в основном меняется антиплоская деформация, движется быстрее, чем волна, которая изменяет прежде всего кручение среды. Пусть теперь для нашего случая за Е7 идет Е777; учитывая, что ut = 0, из (2.2.9) получим
Теперь остановимся на вопросе о возможности существования нейтральных волн для нашей задачи. Напомним [13, 64, 16], что в теории плоских одномерных волн нейтральной названа волна, на которой г = 0 и предварительный сдвиг меняет свое направление, не меняя при этом интенсивности. Для таких волн скорость распространения зависит только от предварительных деформаций среды. Нейтральной волне предшествует волна, изменяющая интенсивность предварительного сдвига, не меняя направления. В нашей задаче 777 действительно меняет только интенсивность сдвига. Проверим, может ли волна Е77 быть нейтральной в смысле приведенного выше определения. Если это так, то кроме (2.2.7) необходимо считать ф = Н,г + и\т] = - Из Условия «+. = и+ = 0 и из (2.2.4) это эквивалентно требованию тг = 0. Но совместное выполнение (2.2.7) и Ф = 0 приводит к тому, что Тфі и = TZ\-U = 0, что невозможно. Таким образом, для приведенной задачи невозможно появление нейтральной волны.
Рассмотрим еще один вариант предварительного деформирования, считая теперь и$ ф 0, и\ ф 0, и+ = 0. Здесь на Е7 остается тот же вариант деформаций, что и перед ней. Но теперь у нас нет квазипоперечной волны, меняющей только направление сдвига: действительно, за Е7 идет Е777, на которой из (2.2.9):
Поэтому за Е7// появляются все виды деформаций. Тогда на следующей волне Е77 имеем условие (2.2.7). Ни одна из этих волн не может быть нейтральной, поскольку в нашем случае условие тг = О означает, что Ф = Тф — 0 и тем самым т2 = 0. Если же ослабить требования и считать, что на нейтральной волне наряду с поворотом предварительного сдвига может присутствовать слабое изменение продольного скачка тг, то все равно получаем, рассматривая остальные требования, очень жесткие условия на предварительные деформации, скачки и модули среды, связанные, кроме того, с текущим положением волны. Эти условия вряд ли можно выполнить при наличии произвольного ударного воздействия. Проведенное исследование позволяет говорить о том, что для одномерных цилиндрических ударных волн понятие нейтральной волны ( ударной волны круговой поляризации) не должно иметь место и в общем случае.
В математическом моделировании динамических процессов в твердом теле выделяют класс задач, приводящих к распространению нестационарных поверхностей сильных и слабых разрывов. Для исследования таких поверхностей и построения приближенных решений соответствующих краевых задач широко используется метод лучевых рядов. Наиболее полный и квалифицированный обзор работ, посвященный этому методу, представлен в [128].
Идея лучевого метода заключается в замене точного решения в прифронтовой области рядом типа ряда Тейлора за подвижной поверхностью разрывов. Ряды включают зависимость от времени и от лучевой координаты. Последняя представляет собой расстояние, отсчитываемое от поверхности разрывов до данной точки пространства по соответствующему этой точке лучу. Коэффициентами этих рядов будут разрывы производных искомых функций. В такой форме лучевой метод был впервые предложен в [107, 9] для построения приближенных решений краевых задач в линейных средах. Подход, разработанный профессором Г.И. Быковцевым и его учениками, получил дальнейшее развитие в задачах идеальной пластичности [31], гиперболической теории теплообмена [106], динамики линейной [129] и нелинейной [10] упругой среды. В его основе лежит использование бесконечной системы дифференциальных уравнений для коэффициентов лучевого ряда, полученной с помощью геометрических и кинематических условий совместности разрывов. В линейной теории упругости или в задачах со слабыми волнами такая система оказывается рекуррентной и, следовательно, поддается поочередному интегрированию. Для задач с ударными волнами прямое интегрирование невозможно, но модификация метода, предложенная профессором А.А. Бурениным [25, 16] позволяет и в этом случае получить решение, когда послеударное время мало. Таким образом были получены решения ряда одномерных краевых задач с плоскими ударными волнами [25, 16, ИЗ]. Однако эту методику можно с успехом перенести на задачи с криволинейными граничными поверхностями, что и будет продемонстрировано в настоящей главе па примере цилиндрических и сферических ударных волн. Одномерные задачи - наиболее простые по наглядности получаемых здесь результатов и являются отправной точкой для перехода к более сложным многомерным. Применение лучевого метода в этих задачах опирается на теорию условий совместности в случае задания движущейся поверхности разрывов в криволинейной системе координат, т.е. на результаты главы 1.
Похожие диссертации на Метод построения лучевых разложений решений краевых задач нелинейной динамической теории упругости
