Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ волновых процессов в задачах теплопроводности гиперболического типа 12
1.1 Уравнение теплопроводности гиперболического типа 12
1.2 Волновые процессы в полупространстве, возникающие при тепловом воздействии на границе
1.2.1 Тепловой поток на границе зависит от времени как 6-функция Дирака 15
1.2.2 Тепловой поток на границе зависит от времени как функция Хевисайда 17
1.3 Волновые процессы в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла 19
1.3.1 Мощность внутренних источников зависит от времени как (5-функция Дирака 20
1.3.2 Мощность внутренних источников зависит от времени как функция Хевисайда 32
1.4 Заключение 38
2 Анализ дисперсионных соотношений в связанной задачи термоупругости гиперболического типа 42
2.1 Сводка основных уравнений связанной задачи термоупругости 42
2.2 Анализ дисперсионных соотношений 43
2.3 Фазовая и групповая скорость в термоупругой среде
2.4 Распространение плоских гармонических волн в термоупругом полупространстве 60
2.4.1 Анализ графиков термических и акустических волн 63
2.5 Заключение 66
3 Анализ волновых процессов в задачах термоупругости гиперболического типа 68
3.1 Уравнение движения несвязанной термоупругости 68
3.2 Перемещения в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла в несвязанной термоупругости
3.2.1 Границы слоя закреплены 70
3.2.2 Границы слоя свободны от нагрузок
3.3 Температура и перемещения в слое, возникающие под воздействием короткого лазерного импульса в связанной задаче термоупругости 76
3.4 Заключение 81
Заключение 83
Литература 85
- Волновые процессы в полупространстве, возникающие при тепловом воздействии на границе
- Мощность внутренних источников зависит от времени как (5-функция Дирака
- Распространение плоских гармонических волн в термоупругом полупространстве
- Перемещения в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла в несвязанной термоупругости
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Исследование волнового переноса тепла актуально для многих развивающихся технологий. Внутренние источники наноразмерного масштабного уровня (например, размер современного транзистора составляет всего несколько нанометров) вызывают более интенсивный рост температуры, чем предсказывает классическая теория, что повышает требования к будущим системам охлаждения. Температурные эффекты вносят значительные изменения в механические свойства нанопла-стин, так как чем тоньше пластина, тем она чувствительнее к изменениям температуры. Исследования процессов волнового переноса тепла могут быть полезны для изучения термомеханических характеристик объектов микро-и нано- масштабного уровня: тонких пластин и стержней, используемых в микро- и нано- электромеханических устройствах (MEMS и NEMS).
Область применимости классического уравнения теплопроводности ограничена тем, что оно не позволяет учесть конечную скорость распространения температурных возмущений. Широко известно, что классическому уравнению теплопроводности свойственны некоторые парадоксы, например: бесконечная скорость распространения тепла и бесконечный поток тепла в начальный момент времени.
Для получения более точных результатов в задачах, где учет скорости распространения тепла становится актуальным, например: в задачах нагревания металлов короткими лазерными импульсами, высоких скоростей движения источников тепла и быстрого движения границ фазового перехода, при рассмотрении систем, размеры которых сопоставимы с расстоянием свободного пробега частиц (например электронов, фононов) или если характерные времена процессов имеют порядок величины релаксации теплового потока в среде, используют гиперболическое уравнение теплопроводности на основе обобщенного закона Фурье.
Обобщенный закон Фурье был предложен в работах авторов: С. Cattaneo, P. Vernotte, А.В. Лыкова. В отличии от классического закона, он учитывает инерционность процессов теплопереноса, которая характеризуется постоянной релаксации теплового потока.
Экспериментальным определением величин релаксации теплового потока занимались: R.H. Matsunaga, I. Santos, W. Kaminski, К. Mitra et. al., A. Grabmann, F. Peters, H. Herwig, K. Beckert, W. Roetzela et. al.
На основании обобщенного закона Фурье в работе Е.Б. Попова впервые получено гиперболическое уравнение связанной термоупругости, в линейном приближении учитывающее конечность скорости распространения тепла. Более общая модель термоупругости была предложена в работе авторов Н. Lord, A. Shulman. Термоупругость Лорда-Шульмана (LS) является предметом изучения в данной работе. Обзор по теоретическим основам неклассической тер-
моупругости и теплопроводности представлен в статьях и книгах авторов: А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, СЮ. Яновский, В.А. Ковалев, Ю.Н. Радаев, Д. Жоу, X. Касас-Баскес, Дж. Лебон, J. Ignaczak, D.S. Chandrasekharaiah.
Исследованием плоских гармонических волн, распространяющихся в термоупругой среде с релаксацией теплового потока занимались: А.Н. Nayfeh, S. Nemat-Nasser, Ю.К. Энгельбрехт, P. Puri, И.М. Штер, Ф.В. Семерак, Ц. Иванов, Ю.К. Энгельбрехт, Р.Х. Швец, А.А. Лопатьев. Результаты некоторых из перечисленных исследований приводятся в книгах авторов: А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, СЮ. Яновский, А.Д. Коваленко, Я.С Подстригай, Ю.М. Коляно.
В исследование гиперболической задачи теплопроводности значительный вклад внесли: А.Г. Шашков, В.А. Бубнов, СЮ. Яновский, В.А. Ку-динов, Д. Жоу, X. Касас-Баскес, Дж. Лебон, K.L. Baumeister, T.D. Hamill, M.N. Ozisik, M. Lewandowska, D. Zhang, B.S. Yilbas.
Следующие авторы исследовали задачи распространения термоупругих волн LS типа в среде, подверженной воздействию теплового импульса: F.R. Norwood, W.E. Warren, Г.А. Кильчинская, А.Н. Nayfeh, S. Nemat-Nasser, М. Balla, P.M. Jordan, P. Puri, LA. Abdallah, N. Sarkar, E.F. Henain, J.С Strikwerda, A.M. Scott, H.M. Youssef, A.S. Al-Felali.
Экспериментальным исследованием термоупругих напряжений при неравновесных процессах теплообмена занимались: Н.В. Вовненко, Б.А. Зимин, Ю.В. Судьенков, K.V. Poletkin, G.G. Gurzadyan, J. Shang, V. Kulish, О.В. Wright, V.E. Gusev и др.
Целью данной работы является изучение поведения термоупругой среды, описываемой уравнениями Лорда-Шульмана, под воздействием периодических и импульсных возмущений.
Задачи исследования:
-
Исследовать распространение термоупругих волн в широком диапазоне значений постоянной релаксации теплового потока. Данная задача представляется актуальной, поскольку теоретическая оценка постоянной релаксации в металлах, согласно фононной теории, составляет несколько пикосекунд (10~12с). В то время как экспериментальные данные дают разброс результатов, отличающихся от теоретической оценки на несколько порядков: от 10~8с до 10_11с.
-
Дать рекомендации по экспериментальному определению постоянной релаксации теплового потока, основываясь на результатах проведенного исследования. По причине расхождения экспериментальных данных между собой, можно предположить, что существующие методы экспериментального определения релаксации теплового потока нуждаются в дальнейшем усовершенствовании.
-
Сравнить две модели импульсного лазерного воздействия на среду. Первая модель: среда нагревается источниками тепла, заданными на границе, вторая модель: среда нагревается источниками тепла распределенными в объеме.
-
На примере высокоскоростного теплового воздействия установить насколько заметные поправки вносит учет связанности в решения динамических задач гиперболической термоупругости.
Научную новизну работы представляют следующие положения, выносимые на защиту:
-
В задаче гиперболической термоупругости впервые предложена параметрическая форма представления выражений для зависимости волнового числа, коэффициента затухания, фазовых и групповых скоростей от частоты. Получены аналитические формулы для горизонтальных и наклонных асимптот дисперсионных кривых.
-
В результате анализа характера поведения дисперсионных соотношения в зависимости от времени релаксации т обнаружено, что существует такое го, что при т < той при т > то характер дисперсионных соотношений качественно отличается. Величина то выражена через термомеханичкес-кие параметры среды.
-
В задаче гиперболической теплопроводности для полупрозрачного слоя, облучаемого коротким лазерным импульсом, найдено условие существования участка охлаждения.
-
Установлено, что в задаче гиперболической термоупругости могут быть два участка охлаждения, в то время как в гиперболической теплопроводности и классической термоупругости — не больше одного участка охлаждения.
-
Обнаружено, что если постоянная релаксации теплового потока меньше установленного значения, то квазитермические составляющие распространяются быстрее квазиакустических. Если релаксация теплового потока больше данного значения, то квазиакустические составляющие распространяются быстрее.
-
Установлено, что при скоростях воздействия, при которых необходим учет гиперболичности, принципиально важным является учет связанности.
Практическая и теоретическая значимость работы. Практическую значимость представляет исследование задач гиперболической термоупругости и теплопроводности с распределенными источниками тепла и интенсивным тепловым потоком на границе, что может помочь прогнозировать
процессы теплообмена на наноразмерном масштабном уровне, осуществлять эффективное охлаждение логических элементов (нанотранзисторов). Исследование связанных задач термоупругости дает возможность предсказывать реакцию деталей MEMS и NEMS на термическое воздействие, оценивать их работоспособность. Результаты исследования задачи связанной гиперболической термоупругости о взаимодействии лазера и слоя конечной толщины могут быть использованы для бесконтактного определения термомеханических свойств нанообъектов.
Теоретическую значимость представляет исследование волновых эффектов в широком диапазоне термомеханических параметров, что позволяет описывать динамические явления термоупругости в метаматериалах. Результаты исследования зависимости волнового числа и коэффициентов затухания термоупругих волн от частоты могут быть полезны для экспериментального определения постоянной релаксации теплового потока.
Методы исследования. Основные результаты работы получены аналитически с использованием широко известных методов математической физики: метода Эйлера, метода функций Грина, метода преобразования Лапласа и метода Гринберга.
Достоверность и апробация результатов. Достоверность изложенных в работе результатов обусловлена строгостью формулировок задач математической физики, использованием фундаментальных принципов механики, а также сравнением с результатами, полученными ранее. Основные результаты работы доложены на: XLI, XL и XXXVIII International Summer School Conference «Advanced Problems in Mechanics» (Россия, С.-Петербург, 2013, 2012 и 2010 гг.), International Conference «Days on Diffraction» (Россия, С.-Петербург, 2013 и 2012 гг.), VI Поляховские чтения (Россия, С.-Петербург, 2012), 2nd International Conference on Material Modelling (Франция, Париж, 2011), на Санкт-Петербургском Семинаре по Вычислительной и Теоретической Акустике Научного Совета РАН по Акустике (руководитель проф. Д.П. Коузов, С.-Петербург, 2009, 2010, 2011 и 2012 гг.), на Городском семинаре по механике (руководитель чл.-корр. РАН, проф. Д.А. Индейцев, С.-Петербург, 2013 г.)
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 7 — в сборниках тезисов докладов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объем диссертации 102 страницы текста с 26 рисунками и 3 таблицами. Список литературы содержит 93 наименований.
Волновые процессы в полупространстве, возникающие при тепловом воздействии на границе
При достаточно малых временах протекания процессов теплопроводности целесообразно [10] использовать обобщенный закон Фурье (закон Каттанео-Вернотте): rh + h = -AVT (1.1) где г — постоянная релаксации теплового потока, точкой обозначается производная по времени t, h — вектор теплового потока, V — оператор Гамильтона, Т — отклонение от отсчетной температуры То; точкой обозначается производная по времени t. От классического закона Фурье, закон Каттанео-Вернотте отличается учетом постоянной релаксации теплового потока т, наличие которой означает, что тепловой поток не возникает и не исчезает мгновенно с появлением или исчезновением градиента температуры [10]. От величины т зависит скорость распространения тепловых возмущений в среде: с = у/\/(рСут). Значения постоянной релаксации варьируется в пределах от 10_12с до 10_8с для однородных материалов в различном агрегатном состоянии [70]. В случае, если временной масштаб эксперимента сравним со временем релаксации в материале, то рекомендуется [10] использовать обобщенный закон Фурье. Рассмотрим теплопроводящую, недеформируемую среду. Тогда уравнение баланса энергии имеет вид: pU = _V-h + /?g (1.2)
Здесь р — плотность материала, U - плотность внутренней энергии, q - скорость подвода тепла в объем. Без учета деформаций в среде связь внутренней энергии и температуры формулируется следующим образом: U = CVT (1.3) где Cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме. Используя обобщенный закон Фурье (1.1), можно записать систему дифференциальных уравнений относительно температуры и вектора теплового потока [74]: \pCvt=-V-h + pq lh + rh = -AVT Начальные условия для системы (1.4) имеют вид : Ti=0 = /(s); ht=(J = g(s); (1.5) где s - радиус-вектор, определяющий пространственное положение точек среды. Путем исключения из системы (1.4) вектора теплового потока получается уравнение относительно температуры: pCv(f + тТ) - ЛАГ = p{q + rq) (1.6) Уравнение (1.6) является частным случаем телеграфного уравнения, описывающего распространения волн с потерями. Его предельными случаями являются классическое уравнение теплопроводности, если слагаемым тЪ. можно пренебречь и волновое уравнение, если rh Э h.
Дополнительное начальное условие на первую производную температуры по времени находится из известного значения теплового потока в момент времени t = 0 и первого уравнения системы (1.4). Сформулируем начальные условия для уравнения (1.6): rU = - ;V-g + i-g; Г(_ = /(в); (1.7)
Начальное условие на тепловой поток является альтернативой условию на скорость нагрева Т. При контактном способе измерения температуры, определение Т затруднено, так как снятие показаний осуществляется после достижения термодинамического равновесия, при неизменности значения температуры во времени. Существует ряд других способов измерения температуры. Одним из них является метод лазерной термометрии, который позволяет проводить регистрацию температуры и теплового потока как на поверхности, так и в объеме образца бесконтактным способом. Данный метод позволяет осуществлять наблюдение за неравновесными процессами теплопереноса благодаря высокому разрешению по времени (порядка 10-12с) и координате (порядка 10_3м). Разрешающая способность по температуре оценивается величиной 0.3С [75], [76]. Зададим значение температуры на границе 9Г2: T\dn = ip(t,s); sedQ (1.8)
Для однозначного нахождения распределения температуры, вместо (2.36) можно задать проекцию вектора теплового потока на нормаль к границе области hn\dn = {t,s); зедП (1.9) где hn = n h - проекция вектора теплового потока h на нормаль п к 9Г2. В описанном случае, когда граничные условия ставятся на тепловой поток, может оказаться удобнее сначала найти h(s,), исключив из системы (1.4) температуру. Получится уравнение относительно вектора теплового потока, аналогичное (1.6): pCv(h + тіл) - AW h = XpVq (1.10) Дополнительное начальное условие для h можно найти из второго уравнения системы (1.4). Выпишем начальные условия для уравнения (1.10): hL0 = - V/-ig; h(=0 = g(s); (1.11)
Мощность внутренних источников зависит от времени как (5-функция Дирака
В первой главе получены и исследованы решения задач гиперболической теплопроводности для слоя, находящегося под воздействием лазерного импульса. На ряде примеров показано, что при малых временах порядка постоянной релаксации теплового потока t г и, следовательно, на расстояниях от облучаемой поверхности порядка s ст (где с = y/\/(pCvr) - скорость распространения тепла в среде) решение гиперболического уравнения теплопроводности похоже на решение волнового уравнения. При временах на порядок больших т, решение практически неотличимо от классического.
Для удобства сравнения с экспериментальными данными, построены графики зависимости температуры от времени и от координаты для частных случаев решения уравнений теплопроводности: температура на границах слоя в зависимости от времени и распределение температуры в толщине слоя, равномерно нагреваемого лазером.
Рассмотрены два типа задач, моделирующих воздействие лазера на материал (Таблица 1.1). Первый тип задач - лазерное излучение нагревает только поверхность материала (тепловой поток задан на границе). Второй тип - лазерное излучение проникает в приграничный слой, толщину которого характеризует коэффициент поглощения (3 (задано распределение источников тепла в объеме). Если на границе среды задается тепловой поток, зависящий от времени как
Сравнение задач нагрева среды на границе и в тонком слое вблизи границы Вид воздействия T на фронте Т за точкой излома h\s=0 = S(t - 0) со 0 q(s,t) = I06{t - O)exp(-Ps) конечна 7 0 h\s=0 = Hit - 0) конечна 0 q{s, t) = I0H{t - Q)exp(-0s) конечна 7 -функция, то на волновом фронте решения наблюдается температурный скачок. В слое с распределенными источниками тепла, мощность которых зависит от времени как -функция, вместо температурного скачка на фронте наблюдается точка излома. Рассмотрены задачи, где тепловой поток на границе среды и мощность внутренних источников тепла зависят от времени как функция Хе-висайда. Показано, что в граничной задаче график температуры обрывается на волновом фронте, тогда как в задаче с объемным воздействием значение температуры постепенно убывает до нуля. При условиях идеального теплообмена
Сравнение задач теплопроводности. Короткое объемное воздействие: q(s, t) = Io6(t — 0)ехр(—j3s) Теплопроводность ГУ Т 0 Экстремум в точке излома Гиперболическая h\s=0 i = 0 всегда т т Гиперболическая Тв=0 / = 0 т т есть Классическая h\s=o,i = 0 всегда нет Классическая Т\3ми = 0 всегда нет Таблица 1.3: Сравнение задач теплопроводности. Длительное объемное воздействие: q(s,t ) = /o# 1 [t - 0)exp(-/?s) Теплопроводность ГУ T 0 Экстремум в точке излома Гиперболическая h\8=0ti = 0 всегда есть Гиперболическая T\a=Q,l = 0 всегда нет Классическая h\s=Q}i = 0 всегда нет Классическая TUcu = о всегда нет на границе, появляются области, где температура опускается ниже начальной (рис. 1.5а, 1.5b, 1.5d и l.lOd) или области, где волновой профиль температуры имеет два экстремума (рис. 1.10а). Решения гиперболического уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями заметнее отличаются от аналогичных классических решений и дольше сохраняют свои отличия, чем с граничными условиями термоизоляции (Таблица 1.2, 1.3).
Исследовано поведение решения вблизи облучаемой лазером границы среды, где температура на непродолжительное время (порядка постоянной ре 40 лаксации т в среде) опускается ниже своего начального значения То. Время существования таких областей возрастает с увеличением постоянной релаксации теплового потока и равно нескольким величинам постоянной релаксации теплового потока. Абсолютный минимум температур в = minT(s,t), достигаемый вблизи облучаемой границы, тем меньше, чем больше значение т. Как показывает численный анализ, для заданного г можно подобрать оптимальное значение постоянной поглощения лазера в среде 7 таким образом, чтобы величина в была минимальной. Области охлаждения могут обнаруживаться или не обнаруживаться в зависимости от соотношения между постоянной релаксации теплового потока в среде г и величиной т = 1/(472), характеризующей глубину проникновения лазера в материал. Если т т , тогда # принимает отрицательные значения, если г т , то $ принимает только положительные значения вблизи облучаемой границы слоя. Величина т зависит от частоты лазерного излучения и в пределах от ЮГГц до 1ТГц изменяется в диапазоне от Ю-9 до 10_11с для типичных металлов (алюминий, золото, медь, серебро). Области охлаждения вблизи облучаемой границы не наблюдаются при задании теплового потока или температуры на границе, а так же при аппроксимации временного профиля лазерного импульса функцией Хевисайда.
Экспериментальное определение постоянной релаксации теплового потока г представляет значительные трудности. Ряд авторов [4]- [9] приводят противоречивые результаты измерения, различающиеся на несколько порядков. В статье [9] приводится обзор публикаций, посвященных экспериментальному определению постоянной т и сравнительная таблица экспериментально полученных значений т в работах [5]- [8]. Значения т, приведенное в данных работах, варьируются в пределах от нескольких секунд до десятков секунд. С другой стороны, существует теоретическая оценка времени релаксации теплового потока, полученная на основе фононной теории [84]. Согласно этой оценке, значения г оказываются на десять порядков меньше, чем в приведенных выше публикациях. Например, для алюминия тді 10_11с. В этом случае тепловая волна будет проходить за время t — т расстояние s«3x 10_8м, что на пять порядков меньше существующего разрешения по координате (10-3м) у современных
Распространение плоских гармонических волн в термоупругом полупространстве
Затухание квазиупругих и квазитепловых составляющих решения по отдельности характеризуется, соответственно, акустическими и тепловыми ветвями дисперсионных соотношений. При рассматриваемых граничных условиях (температура на границе поддерживается постоянной), в гиперболической термоупругости в диапазоне частот до Г2 и всюду в классической термоупругости, основной вклад в значения амплитуд перемещений и температуры дают квазиупругие составляющие. Следовательно поведение решения (2.46), (2.47) будет определятся акустической ветвью дисперсионных соотношений.
При частотах больших Г2 вклад квазитепловых составляющих становится существенным и на графиках решения видно модуляцию (рис. 1(в, г)). В данном случае график гиперболической термоупругости (показан сплошными линиями) заметно затухает за небольшое число периодов и его можно изобразить без помощи огибающих линий. Затухание графиков классической термоупругости (показаны пунктирной линией) происходит значительно медленнее. Поведение решения гиперболической термоупругости будет определятся как акустической, так и тепловой ветвями дисперсионных соотношений. В гиперболической термоупругости в диапазоне частот до Г2 , амплитудная модуляция не заметна (рис. 4(а, б)) ввиду того, что квазитепловые составляющие малы по сравнению с квазиупругими.
Численное исследование показывает, что при увеличении времени релаксации т, амплитуда термических волн может несколько возрастать. Анализ дисперсионных соотношений показывает, что с увеличением времени релаксации, уменьшается затухание акустических волн, что увеличивает дальность проникновения как акустических так и термических волн в материал.
Максимальное сближение [93] ветвей дисперсионных соотношений достигается при значении релаксации теплового потока то и частоты Г2 для гиперболической термоупругости и при значении коэффициента объемного расширения «о и частоте и для классической термоупругости (рис. 2). С ростом частоты расстояние между тепловыми и акустическими ветвями дисперсионных соотношений классической термоупругости увеличивается быстрее, чем в гиперболической термоупругости за счет того, что в классической термоупругости существует только одна асимптота, либо тепловой, либо акустической ветви. Следовательно, с ростом частоты, амплитуды температурных волн будут убывать заметнее в классической термоупругости, что видно на рис. 4(г).
При других граничных условиях, если перемещения на границе положить равными нулю u\s=o — О, а температуру на границе менять по закону T\S=Q = 7osin(u;); решение будет вести себя аналогично.
В работе получены и исследованы дисперсионные соотношения, а именно зависимость волнового числа от частоты д(и), зависимость характеристики скорости затухания от частоты (и) и зависимость характеристики скорости затухания от волнового числа 7( )- Проведено сравнение результатов, полученных в рамках гиперболической термоупругости (учитывающей релаксацию теплового потока), с результатами, полученными в рамках классической термоупругости. Найдены выражения для горизонтальных и наклонных асимптот, произведен их анализ: установлены закономерности их взаимного расположения в зависимости от параметров среды. Рассмотрены случаи пересечения акустической и тепловой ветвей дисперсионных зависимостей. Установлены соотношения параметров среды, при которых возникают значительные расхождения между графиками, соответствующими гиперболической и классической термоупругости. На примере конкретного материала показано, что полученные эффекты не выходят за рамки физической применимости.
В работе получены в удобной для аналитического исследования форме фазовые и групповые скорости, как для случая классической термоупругости так и для случая гиперболической термоупругости. Найдены аналитические выражения для критического значения релаксации теплового потока т$ и критическое значение объемного коэффициента теплового расширения а?о- Рассмотрены два различных варианта поведения фазовых и групповых скоростей; указаны зоны аномальной дисперсии термических и акустических волн. Установлено что асимптоты фазовых и групповых скоростей совпадают, для них найдено выражение в аналитическом виде.
Использованы два способа оценки частотных границ применимости континуальной модели к описанию рассматриваемых эффектов. Из сравнения длин волн и межмолекулярного расстояния, оценка верхней границы диапазона частот составляет 800ГГц; из сравнения с частотами дебаевского спектра, верхняя граница диапазона составляет 7550ГГц [88].
В сравнении с классической теорией, исследовано поведение амплитуд термических и акустических волн: в гиперболической термоупругости термические волны, возникающие за счет связанности, имеют большую амплитуду, чем в классической.
Перемещения в слое, возникающие под воздействием внутренних источников тепла в несвязанной термоупругости
Всегда выполняется соотношение: С\ С2. Значения скорости упругих волн са и скорости тепла сн лежат в интервале (С2,С{). При коэффициенте теплового расширения равном нулю а = 0, выполняются соотношения: С\ = са и. С2 = Ch, если т го (см. формулу (2.30)), и если т го, то наоборот: С\ — Ch VL С2 = са-Расхождение скорости упругих волн са со скоростью квазиупругой составляющей термоупругой волны, а также скорости тепловых волн с со скоростью квазитепловой составляющей термоупругой волны не превышает 2% (в расчетах использованы термомеханические параметры алюминия, взятого в качестве примера типичного металла; значение постоянной релаксации принято равным т = 10-пс).
Если г го, то скорость распространения квазитепловой составляющей термоупругой волны, равная С2, будет меньше скорости распространения квазиакустической составляющей С\ (рис. 3.5,г,д,е). Если г го, то скорость квазитепловой составляющей термоупругой волны С\ будет больше скорости квазиакустической составляющей термоупругой волны С2 (рис. 3.6,гДе).
В случае классической термоупругости, если г = 0, то значение Сі обращается в бесконечность, а значение С2 становится равным скорости упругих волн в среде са.
Коэффициенты затухания квазитепловых и квазиакустических составляющих термоупругой волны в связанной задаче термоупругости находятся по формулам (2.20): Аъ(а - 6) А3{а + Ь) 71 2а 2(Аг+А2-аУ Ъ 2а /2(Аі + А2 + а) При т то коэффициент 7i является характеристикой затухания квазитермических составляющих термоупругой волны, а 72 квазиакустических; при т то наоборот. Если положить коэффициент теплового расширения а равным нулю, то будут выполняться следующие соотношения: 71 — lh и 72 = 0 при Т То ИЛЕ 71 = 0 И 72 = lh ПРИ т то Рисунок 3.6: Профили распределения температуры Т, напряжения о и перемещения и в слое в зависимости от координаты s в момент времени порядка т при г TQ. Графики а, б, в соответствуют задачам термоупругости в несвязанной постановке, графики г, д, е — задачам в связанной постановке. Тонкими линиями показаны графики классической термоупругости, толстыми линиями показаны графики гиперболической термоупругости. Графики температуры, построенные с использованием связанной гиперболической термоупругости (рис. 3.5,3.6,г) отличаются от графиков, построенных с использованием гиперболической теплопроводности (рис. 3.5,3.6,а) скоростями распространения волн, характеристиками их затухания, минимальным и максимальным значением Т, количеством температурных пиков. Все перечисленные отличия вносит учет механических слагаемых в уравнение теплопроводности.
Установлено, что в решении задачи гиперболической теплопроводности может быть один участок охлаждения, в то время как в задаче гиперболической термоупругости могут наблюдаться два участка охлаждения, один из которых соответствует квазитепловой составляющей термоупругой волны, другой соответствует квазитермической составляющей термоупругой волны. Участок понижения температуры, соответствующий квазитермической составляющей термоупругой волны, не будет наблюдаться, если постоянная релаксации теплового потока меньше некоторого значения т . Величина т (определяется численно) тем ближе к значению т , установленному в первой главе, чем меньше коэффициент теплового расширения в среде а. Принято считать [10], что при решении задачи теплопроводности необходимо выбирать положительный профиль отклонения от начального значения температуры Т от ее отсчетного значения. Данное требование накладывает ограничение на величину постоянной релаксации теплового потока: т г в рассмотренной задаче термоупругости и г г в задаче теплопроводности.
Проведено сравнение задач связанной и несвязанной гиперболической термоупругости. Установлено, что решения задач различаются скоростями распространения составляющих термоупругой волны и характеристиками затухания.
Обнаружено, что если постоянная релаксации теплового потока меньше установленного значения, то квазитермические составляющие распространяются быстрее квазиакустических. Если релаксация теплового потока больше данного значения, то квазиакустические составляющие распространяются быстрее. Если исходить из предположения, что тепло не может распространятся быстрее акустических волн в среде, то релаксация теплового потока должна быть больше значения то, полученного во второй главе т TQ.
На основании исследований проведенных во второй и третьей главе установлено, что при скоростях воздействия, при которых необходим учет гиперболичности, решение задач термоупругости в связанной и несвязанной постановке качественно различаются. На основание этого можно утверждать что при данных скоростях воздействия необходим учет связанности.
