Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейные краевые задачи на собственные значения 18
1.1 Постановка краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла (ТЕ-поляризация) 18
1.2 Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения для дифференциальных уравнений (ТЕ-поляризация) 20
1.3 Постановка краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла (ТН-поляризация) 22
1.4 Сведение к нелинейной краевой задаче на собствен ные значения для дифференциальных уравнений (ТН- поляризация) 22
Глава 2. Исследование разреиїимости задач на собст венные значения 24
2.1 Функция Грина и ее свойства 24
2.2 Сведение краевой задачи к нелинейным интегральным уравнениям 25
2.3 Теоремы о существовании и единственности решений интегральных уравнений 28
2.4 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра 30
2.5 Теоремы о существовании решений дисперсионного уравнения и задачи на собственные значения 32
2.6 Формулировка итерационного метода решения интегрального уравнения 37
2.7 Теорема о сходимости итерационного метода 37
2.8 О некоторых оценках параметров 39
Глава 3. Комплекс программ и результатов расчетов 44
3.1 Алгоритм решения задачи на собственные значения в нулевом и первом приближениях 44
3.2 Алгоритм полного решения задачи на собственные значения 46
Заключение 49
Приложение
- Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения для дифференциальных уравнений (ТЕ-поляризация)
- Сведение к нелинейной краевой задаче на собствен ные значения для дифференциальных уравнений (ТН- поляризация)
- Теоремы о существовании и единственности решений интегральных уравнений
- Формулировка итерационного метода решения интегрального уравнения
Введение к работе
Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур.
Распространение электромагнитных волн в волноводах с заполнением линейной средой (то есть когда диэлектрическая и магнитная проницаемости не зависят от электромагнитного поля) -тема классической электродинамики [9], [28], [29], [30].
В случае волновода кругового сечения и постоянных электрической и магнитной проницаемостей уравнения Максвелла решаются в цилиндрических координатах, при использовании метода разделения переменных появляется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, называемое уравнением цилиндрических функций или уравнением Бесселя, решение которого является комбинацией цилиндрических функций. Собственные функции и собственные значения определяются как решения краевых задач с дополнительными условиями на контуре для решений и их первых производных [9]. С появлением нелинейной оптики предметом изучения в электродинамике стали сильные волновые поля, в которых начинает проявляться нелинейность сред. Качественно новыми эффектами нелинейной оптики стали порождение средой высших гармоник, а также
самовоздействие волнового процесса, распространяющегося в нелинейной среде [9]. При распространении через жидкость или газ волны, создаваемой лазером, учитывают нелинейность поляризации среды, вызываемую целым рядом факторов [9]. Помимо поведения электронов в сильном электромагнитном поле существенно механическое воздействие поля на вещество: возникает давление, пропорциональное средней мощности волны, в результате чего в областях сгущения увеличивается диэлектрическая проницаемость. При распространении резко неоднородной волны — луча лазера -можно сказать, увеличивается оптическая плотность среды в области сильного поля. Иными словами, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию - нечто вроде диэлектрического волновода. Это называется самоканализацией, если канал сужается, наступает так называемая самофокусировка [9].
Исследования данной тематики претерпели значительную эволюцию в течение последних 50 лет, с того времени, как было обнаружено явление самофокусировки электромагнитного поля в нелинейной среде. Впоследствии основным предметом исследователей стали волноводы различных конфигураций и с различным заполнением среды. Эффекты самофокусировки используются в лазерах и оптоэлектронных приборах, для построения устройств обработки сигнала или блокировки моды в волоконных лазерах.
Квантовая теория самофокусировки была разработана Талановым для плазмы и группой американских ученых R.Y.Chiao, Е. Garmire, С.Н. Townes [22] для твердых тел в 1964 году, где исследуются условия, при которых электромагнитный луч может распространяться без затухания в средах с диэлектрической
проницаемостью, возрастающей пропорционально интенсивности электромагнитного поля, и постоянной в его отсутствие. В работе [22] представлено теоретическое объяснение самофокусировки. Если при воздействии электромагнитного поля диэлектрическая постоянная обуславливает критический угол внутреннего отражения, превышающий дифракционный угол отклонения луча, то рассеяние путем дифракции не будет иметь места. Таким образом, при мощности луча (уменьшающейся пропорционально квадрату длины волны), выше некоторого критического уровня этот луч может быть сфокусирован при любом произвольном радиусе. В обычных диэлектрических материалах для достижения самофокусировки достаточно мощности обычного лазерного светового луча, т.е. порядка 108 Вт.
Авторами [22] получено точное решение волнового уравнения в форме линейно поляризованного плоского светового луча и в форме цилиндрически поляризованного луча кругового сечения с поперечной составляющей электромагнитного поля .
Исследование [22] вызвало большой интерес и послужило
толчком к началу многочисленных исследований. Так, например, в
работе [26] советских авторов Д.И. Абакарова, А.А. Акопяна и
С.И.Пекара рассматривается новый вид самофокусирующегося луча,
на этот раз с поперечным сечением произвольной формы и
поперечными размерами, значительно превосходящими длину
световой волны. Применение численных методов в этом случае в
нулевом приближении дает результат [22], а в более высоком
приближении констатируется появление продольного
электромагнитного поля.
Расслоение среды на области, в одних из которых электромагнитное поле поперечно, а в других появляется также и
продольная составляющая, было обнаружено также В.И.Елеонским и В.П.Силиным [20] при исследовании сходной задачи отражения наклонно падающих р - поляризованных волн от среды с нелинейной диэлектрической проницаемостью. Рассматривается отражение плоско-поляризованных волн (вектор электрической составляющей которых лежит в плоскости падения) от полупространства, заполненного средой с нелинейной диэлектрической проницаемостью. Чередование областей с поперечной и продольной составляющими поля объясняется чередованием продольной и поперечной степеней свободы электромагнитного поля в нелинейной среде.
Наряду с рассматриваемыми проблемами плоской геометрии, В.И. Елеонский представил теорию цилиндрических самофокусирующихся волноводов, в основном базирующуюся на качественном анализе фазовых траекторий [25], а также численные расчеты основной и низшей неосновной ТЕ-мод.
Y. Chen, основываясь на вариационной технике, получил аналитические решения для фундаментальной моды в свободном пространстве в нелинейных средах, используя аппроксимацию Гауссовой функцией [17], [24].
R.A.Sammut, C.Pask. [15] использовали вариационную формулировку волнового уравнения для волноводов с произвольной нелинейностью оптического волокна и представили аналитическую аппроксимацию для поля.
Позже D.Sjoberg [23] анализировал распространение электромагнитных волн в нелинейных цилиндрических волноводах методом возмущений, используя коэффициент нелинейности как параметр возмущения.
Для моделирования распространения волн в средах с нелинейностью Керра также используются методы распространяющегося луча [37], метод линий [38], конечно — разностные методы [8].
Наряду с вышеописанными разработками существуют также
направления, посвященные проблемам устойчивости. Изучение
устойчивости распространения волн необходимо при исследовании
возможности практического применения эффекта самофокусировки.
Важными в этой области являются исследования Н. Н. Ахмедиева
[5]» [6], [18], которые посвящены нестационарной проблеме
нестабильности модуляции основной моды цилиндрического
волновода с нелинейным заполнением среды по закону Керра.
Эффект нестабильности модуляции в одномодовом оптическом
волокне к этому времени был уже предсказан, исследован
теоретически и практически наблюдаем [31] - [36]. Рассматривается
распространение высоко- и низкочастотного поля в волноводе
круглого сечения, диэлектрическая проницаемость среды внутри и
вне волновода описывается законом Керра. В одномодовом
оптическом волокне при нелинейных эффектах поперечная
структура пучка определяется самим волноводом в линейном
режиме, а продольная функция для относительно низких частот
определена сочетанием нелинейности и дисперсии волокна. Для
высоких частот или больших радиусов волновода должна также
быть учтена дифракция, и ее влияние при высоких частотах на
нестабильность модуляции исследовано автором. Эффект
нестабильности модуляции вызывает проявление отдельных световых групп, однако, дальнейшее поведение этих групп является открытым вопросом. Наиболее их вероятное поведение в среде с нелинейностью по закону Керра - это пространственно - временное
затухание или коллапс. Таким образом, в результате нестабильности модуляции на выходе оптического волокна имеем затухание в пространстве и времени вибраций. В среде с насыщенной нелинейностью, где также существуют подобные эффекты, световые группы при определенных условиях могут распространяться на достаточно длинные дистанции в виде трехмерных стационарных солитонов.
Вопросу нелинейных волновых взаимодействий посвящена
работа А.П. Сухорукова [60]. Распространение волн в нелинейной
среде в слое изучала группа исследователей под руководством В.П.
Шестопалова [54] — [59], сходной проблемой о плоском трехслойном
волноводе занимались H.W. Shurmann, B.C. Серов и Ю.В.
Шестопалов [1] — [4], в работах которых описываются отражение и
распространение плоской ТЕ-поляризованной волны. Аналогично
случаю, рассматриваемому в настоящей диссертационной работе,
ищутся решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие
условиям непрерывности на границе раздела сред. При этом также используется метод разделения переменных.
Представлено общее аналитическое решение уравнения Гельмгольца, описывающее рассеяние плоской монохроматичной волны в слое с нелинейностью по закону Керра. Все среды предполагаются непоглощающими, немагнитными, изотропными и однородными. Полученные результаты содержат условия существования физически допустимых решений, исследование зависимости решений от различных параметров задачи, проведено сравнение с линейным случаем.
Изучая распространение волн в слое, разные авторы использовали различные подходы, вводя специальные условия по отношению к нелинейной системе Фабри - Перота: J.H.Marburger и
F.S.Felber [39] упростили анализ путем введения граничных условий, предполагающих, что нелинейный слой отделен от линейных сред идеальными зеркалами; J.Danikaert [40] рассматривает реакцию твердого резонатора Фабри — Перота, включающую нелинейное поглощение и наклонное падение поперечно — электрического и поперечно — магнитного полей; M.Haeltermann [41] и G.Vitrant [42] представили объединенную нелинейную теорию для поперечных эффектов резонаторов Фабри -Перота, упростив численные расчеты и хорошо объяснив понятие оптической бистабильности.
Решения нелинейных уравнений Гельмгольца были представлены
(частично, для специальных случаев) в виде эллиптических функций Якоби [43] — [47]. Как показано в работе одного из авторов [48], общее решение более эффективно может быть представлено в форме эллиптических функций Вейерштрасса. Хорошо известно [14], [27], что эллиптические функции, в общем случае, обладают полюсами, однако, в предыдущих исследованиях е общее решение может быть использовано непосредственно для определения критических значений коэффициента отражения в различных случаях. Также отсутствовал анализ неограниченных решений в случае отрицательной константы Керра, в частности, никаких условий для существования таких решений.
В исследованиях [1] - [4] представлено аналитическое решение нелинейного уравнения Гельмгольца в слое, которое используется при анализе физической проблемы. Показано, как линейный случай появляется из нелинейного.
В работах [1] - [4] также проводится анализ так называемой "отсечки". Это случай неограниченной напряженности поля,
который особо выделяется с физической точки зрения, так как ему нет аналогов в линейной оптике. Необходимым условием для существования неограниченной напряженности поля является отрицательное значение коэффициента нелинейности. Как следствие, диэлектрическая проницаемость может равняться нулю внутри слоя. В постановке других физических задач явление неограниченной напряженности поля хорошо известно. По отношению к рассматриваемой ситуации случай неограниченного поля является, скорее всего, артефактом [4]. Существует вероятность, что эта особенность пропадет в случае введения в диэлектрическую проницаемость условий поглощения, но, с другой стороны, нельзя назвать такую диэлектрическую проницаемость нефизичной или искусственной, так как она дает начало многим хорошо известным явлениям нелинейной оптики. С математической точки зрения случай неограниченности поля не нуждается в особом пояснении, так как нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения , к которым сводится задача, обладают особенностью в полюсах. Тем не менее, физическая интерпретация "почти неограниченного" поля, например, для слабо поглощающих сред, пока не изучена [4].
Проводя сравнительный анализ этой работы с предыдущими исследованиями [50], [45], [46], можно отметить, что построение диэлектрической проницаемости є, процедура решения нелинейного уравнения Гельмгольца и формулировка граничных условий являются традиционными, в то время как подход представления решений в виде эллиптических функций Вейерштрасса вместо использующихся ранее Якобиановых является более эффективным и имеет явное преимущество, описывая более общий физический случай.
Тем не менее, и данный подход оказался не универсальным, аналитического решения для общей задачи не было получено. Применение этого метода к изучению задачи о распространении волн в структурах кругового сечения приводит к неразрешимым дифференциальным уравнениям. Изучение задачи в такой постановке потребовало разработки нового математического аппарата. Кроме того, при всем многообразии проведенных исследований, дисперсионные соотношения теоретически не исследованы, не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов, нет базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений, поэтому данная диссертационная работа, в которой проведены такого рода исследования, является актуальной и практически важной.
Работа посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для нелинейного уравнения Гельмгольца, к постановке которой приводит вопрос об изучении распространения собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью по закону Керра. Такого рода задачи так или иначе сводятся к изучению сложной оператор — функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, которое весьма затруднительно традиционными методами теории дифракции. В связи с этим перспективным является метод оператор - функций, впервые примененный к задачам электродинамики в работах А.С. Ильинского и Ю.В. Шестопалова [51] - [53] . Для сведения задачи о собственных волнах к задаче на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра для интегральных уравнений используется метод функции Грина. Впервые для доказательства существования решений краевой задачи
на собственные значения используются методы, базирующиеся на теореме Шаудера и принципе сжимающих отображений. Следует отметить, что такие методы использовались ранее для решения интегральных уравнений [12], но не были использованы в целом при решении задачи на собственные значения. При использовании предлагаемого метода спетральный параметр X изначально не фиксируется, а для каждого его значения решается уравнение краевой задачи, а затем полученное решение подставляется в дисперсионное соотношение. Принцип сжимающих отображений применяется для доказательства существования решений интегральных уравнений. В качестве численного метода предлагается итерационый метод, сходимость которого теоретически обоснована в работе.
Итак, основными целями настоящей работы являются:
Строгая постановка задачи о распространении собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах круглого сечения с нелинейным заполнением среды по закону Керра как краевой задачи на собственные значения для системы уравнений Максвелла.
Разработка математического аппарата для исследования задачи о собственных волнах; доказательство базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений дисперсионных уравнений (относительно спектрального параметра) и интегральных уравнений, отвечающих краевой задаче (относительно собственных функций).
Построение, обоснование и реализация эффективных численных методов для расчета собственных значений и соответствующих им собственных функций для поставленной задачи.
Работа состоит из трех глав и двух приложений.
Первая глава посвящена постановке задачи. Описывается класс волноведущих структур, которые будут рассмотрены в работе, формулируется задача о собственных волнах для однородной системы уравнений Максвелла. Для рассматриваемых двух случаев ТЕ- и ТН- поляризации распространяющихся волн используется единый алгоритм сведения поставленной краевой задачи для уравнений Гельмгольца к нелинейной краевой задаче на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода разделения переменных.
Вопрос о точных решениях полученных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вынесен на отдельное рассмотрение в Приложение 1.
Вторая глава, посвященная исследованию разрешимости задач на собственные значения, содержит основные теоретические результаты. В первом пункте главы с использованием метода нелинейной оператор - функции строится функция Грина для краевой задачи и исследуются ее свойства. Во втором пункте выводятся интегральные уравнения, отвечающие краевой задаче, с помощью построенной функции Грина. Третий пункт содержит утверждения о существовании и единственности решений интегральных уравнений краевой задачи, опирающиеся на принцип Шаудера. Приведена и доказана соответствующая теорема, в которой также дается оценка коэффициента нелинейности, показывающая границы применимости предложенного метода. Четвертый пункт решает вопрос о непрерывной зависимости решения краевой задачи от спектрального параметра. Это утверждение будет одним из ключевых при доказательстве существования нетривиального решения поставленной задачи.
Основной теоретический результат содержится в пятом пункте второй главы, где, после приведения дисперсионного соотношения к нормализованному виду, даются достаточные условия существования ненулевых решений дисперсионного уравнения относительно спектрального параметра. Таким образом, при определенных теоремой условиях, существуют осесимметричные ТЕ- поляризованные волны, распространяющиеся без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.
Это утверждение является обобщением известного соответствующего результата в линейной оптике. В этом же пункте установлено, что спектр рассматриваемой краевой задачи дискретен, границы каждого из m интервалов, внутри которого существует, по крайней мере, одно решение, определены с использованием т-ых положительных корней функций Бесселя Jo, Ji и Jb а условия распространения волн без затухания зависят не только от малости параметра нелинейности, но также и от радиуса и вещественного параметра волновода.
В шестом и седьмом пунктах главы, после того, как установлена непустота спектра, доказывается существование приближенных решений параметра на каждом из рассматриваемых промежутков и корректность определения краевой задачи в п-ом приближении как функции от соответствующего решения спектрального параметра в том же приближении. Далее приводится формулировка численного метода решения интегрального уравнения краевой задачи , в качестве которого используется итерационный метод, и доказывается его сходимость.
При реализации численных расчетов необходимо знать границы выбора параметров, при которых выполняются условия
полученных выше теоретических результатов, в первую очередь, теоремы о существовании решения решений дисперсионного уравнения. Заключительный восьмой пункт второй главы содержит некоторые оценки операторов задачи на собственные значения.
Третья глава посвящена разработке и реализации предложенного итерационного метода, графические результаты расчетов вынесены в Приложение 2.
В первом пункте третьей главы описывается алгоритм решения задачи на собственные значения в нулевом и первом приближениях, причем каждое действие алгоритма обосновано в силу доказанности базовых теоретических результатов о существовании точных и приближенных решений задачи, а также сходимости приближенных решений к точным. Начиная с нулевой итерации собственной функции Uo в формуле итерационного процесса, используется последовательность дисперсионных соотношений (решения которых, являющиеся приближениями собственных значений, сходятся к точным решениям) для получения соответствующего нулевого приближения спектрального параметра. Далее полученные нулевые приближения собственного значения и собственной функции применяются для следующего шага итерационного процесса, то есть первого приближения собственной функции иь и процесс повторяется.
Достоинством этого метода является хорошее приближение собственной функции и собственного значения уже в нулевом приближении (сравнение производится с решением задачи полным методом). Недостаток такого подхода - чрезмерное усложнение дисперсионного соотношения уже на первой итерации.
Во втором пункте третьей главы предложен альтернативный метод полного решения краевой задачи на собственные значения с
заданной точностью. Сначала выбирается интервал поиска собственных значений с учетом условий соответствующих теорем, потом определяется шаг деления рассматриваемого интервала и вычисляются промежуточные собственные значения в каждом узле. Для каждого такого значения параметра решается итерационное уравнение, пока собственная функция не будет определена с требующейся точностью. После этого каждая пара собственного значения и соответствующей собственной функции подставляется в дисперсионное уравнение на предмет проверки знака последнего в узле. Заключительным процессом является нахождение интервала разбиения, на концах которого дисперсионное уравнение меняет знак. Руководствуясь теоремой о непрерывной зависимости от параметра, полагаем корнем среднюю точку отрезка.
Заключение подытоживает основные результаты работы и указывает на возможности применения предложенного подхода в смежных областях.
В заключение приводится список литературы, состоящий из 61 источника, в том числе 8 работ автора работы, включенных в труды конференций и семинаров, в том числе и международных.
Сведение к нелинейной краевой задаче на собственные значения для дифференциальных уравнений (ТЕ-поляризация)
Решения нелинейных уравнений Гельмгольца были представлены (частично, для специальных случаев) в виде эллиптических функций Якоби [43] — [47]. Как показано в работе одного из авторов [48], общее решение более эффективно может быть представлено в форме эллиптических функций Вейерштрасса. Хорошо известно [14], [27], что эллиптические функции, в общем случае, обладают полюсами, однако, в предыдущих исследованиях е общее решение может быть использовано непосредственно для определения критических значений коэффициента отражения в различных случаях. Также отсутствовал анализ неограниченных решений в случае отрицательной константы Керра, в частности, никаких условий для существования таких решений. В исследованиях [1] - [4] представлено аналитическое решение нелинейного уравнения Гельмгольца в слое, которое используется при анализе физической проблемы. Показано, как линейный случай появляется из нелинейного. В работах [1] - [4] также проводится анализ так называемой "отсечки". Это случай неограниченной напряженности поля, который особо выделяется с физической точки зрения, так как ему нет аналогов в линейной оптике. Необходимым условием для существования неограниченной напряженности поля является отрицательное значение коэффициента нелинейности. Как следствие, диэлектрическая проницаемость может равняться нулю внутри слоя. В постановке других физических задач явление неограниченной напряженности поля хорошо известно. По отношению к рассматриваемой ситуации случай неограниченного поля является, скорее всего, артефактом [4]. Существует вероятность, что эта особенность пропадет в случае введения в диэлектрическую проницаемость условий поглощения, но, с другой стороны, нельзя назвать такую диэлектрическую проницаемость нефизичной или искусственной, так как она дает начало многим хорошо известным явлениям нелинейной оптики. С математической точки зрения случай неограниченности поля не нуждается в особом пояснении, так как нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения , к которым сводится задача, обладают особенностью в полюсах. Тем не менее, физическая интерпретация "почти неограниченного" поля, например, для слабо поглощающих сред, пока не изучена [4]. Проводя сравнительный анализ этой работы с предыдущими исследованиями [50], [45], [46], можно отметить, что построение диэлектрической проницаемости є, процедура решения нелинейного уравнения Гельмгольца и формулировка граничных условий являются традиционными, в то время как подход представления решений в виде эллиптических функций Вейерштрасса вместо использующихся ранее Якобиановых является более эффективным и имеет явное преимущество, описывая более общий физический случай.
Тем не менее, и данный подход оказался не универсальным, аналитического решения для общей задачи не было получено. Применение этого метода к изучению задачи о распространении волн в структурах кругового сечения приводит к неразрешимым дифференциальным уравнениям. Изучение задачи в такой постановке потребовало разработки нового математического аппарата. Кроме того, при всем многообразии проведенных исследований, дисперсионные соотношения теоретически не исследованы, не выяснены до конца вопросы, связанные со сходимостью методов, нет базовых теоретических результатов о существовании и единственности решений, поэтому данная диссертационная работа, в которой проведены такого рода исследования, является актуальной и практически важной. Работа посвящена решению нелинейной краевой задачи на собственные значения для нелинейного уравнения Гельмгольца, к постановке которой приводит вопрос об изучении распространения собственных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью по закону Керра. Такого рода задачи так или иначе сводятся к изучению сложной оператор — функции, нелинейно зависящей от спектрального параметра, которое весьма затруднительно традиционными методами теории дифракции. В связи с этим перспективным является метод оператор - функций, впервые примененный к задачам электродинамики в работах А.С. Ильинского и Ю.В. Шестопалова [51] - [53] . Для сведения задачи о собственных волнах к задаче на собственные значения с нелинейным вхождением спектрального параметра для интегральных уравнений используется метод функции Грина. Впервые для доказательства существования решений краевой задачи
Сведение к нелинейной краевой задаче на собствен ные значения для дифференциальных уравнений (ТН- поляризация)
Рассмотрим второй случай поляризации поля. Пусть теперь Е={0; 0; Ez}, Н={НР; Н ] 0}. Тогда уравнения (3)—(8) можно преобразовать к виду: Аналогично, из (24) и (25) находим, что Нр = Нр(р, р) и Hv = Н р(р, р) не зависят от z. Из уравнений (22) и (23) получаем: По аналогии с предыдущим случаем решение проблемы будем искать в виде разделяющихся переменных Ez(p, p) = em(pv(p), где п - дейст вительное число. Вне волновода мы получаем уравнение где к2 = aj2ifi. Если v(p) - действительная функция, то внутри волновода поле описывается уравнением с обозначениями к2 = ш2е/р,, a = cj2a,fp,. Условия сопряжения выглядят так: [EZ\P=R = 0, [Др]р=д = 0, откуда следуют условия [V]P=R = О, [г/]р=д = 0. В этом случае спектральный параметр - п. Эти два случая объединяет то, что они оба могут быть сведены к идентичным дифференциальным уравнениям: где у = и, к = к, п = 1 в первом случае и у = v, к = А; во втором. Линейное дифференциальное уравнение - это уравнение Бесселя. С учетом условий излучения решение этого уравнения может быть записано в виде: где С\ - константа, a Hjp - функция Ханкеля. Заметим, что если действительная часть к, равна 0, то где Кп - действительная монотонная функция Макдональда. При этом Кп {\к\р) — 0 экспоненциально при р —» со. Рассмотрим нелинейное уравнение (18), записанное в виде и линейное уравнение Бесселя Перепишем последнее в операторной форме Используя стандартный метод, построим функцию Грина для краевой задачи Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J[kR ф 0. Запишем уравнение (18) в операторном виде Используя вторую формулу Грина и, полагая v = G, получаем Используя уравнение (37) имеем и получаем интегральное представление решения и(ро) уравнения (18): Принимая во внимание условия сопряжения перепишем уравнение (41) в виде При этом существенно, что f(p) не зависит от и. Из (42) и условий сопряжения u(R — 0) = u(i? + 0) следует дисперсионное соотношение Положим N(p,po) = aG(p,po)p и ра функция Макдональда. При этом Кп {\к\р) — 0 экспоненциально при р —» со. Рассмотрим нелинейное уравнение (18), записанное в виде и линейное уравнение Бесселя Перепишем последнее в операторной форме Используя стандартный метод, построим функцию Грина для краевой задачи Функция Грина существует при таких значениях параметров, что J[kR ф 0. Запишем уравнение (18) в операторном виде Используя вторую формулу
Грина и, полагая v = G, получаем Используя уравнение (37) имеем и получаем интегральное представление решения и(ро) уравнения (18): Принимая во внимание условия сопряжения перепишем уравнение (41) в виде При этом существенно, что f(p) не зависит от и. Из (42) и условий сопряжения u(R — 0) = u(i? + 0) следует дисперсионное соотношение Положим N(p,po) = aG(p,po)p и рассмотрим интегральное уравнение в С[0,І2]: Предполагается, что / Є С[0,#] и J[(kR) ф 0. Нетрудно видеть, что ядро N(p, ро) является непрерывной функцией в квадрате 0 р, ро R. Рассмотрим в С[0, R] линейный интегральный оператор Он ограничен, вполне непрерывен и Роф,Щ JQ Поскольку нелинейный оператор Во(и) = и3(р) ограничен и непрерывен в C[0,R], то нелинейный оператор является вполне непрерывным на каждом ограниченном в С[0, R] множестве [12]. последующих рассуждениях нам понадобится воспомога-тельное числовое кубическое уравнение где норма оператора iV 0 определяется формулой (48), а Рассмотрим уравнение и функцию Функция у (г) имеет только одну положительную точку максимума значение функции в которой равно Тогда, при условии уравнение (52) имеет два неотрицательных ссмотрим интегральное уравнение в С[0,І2]: Предполагается, что / Є С[0,#] и J[(kR) ф 0. Нетрудно видеть, что ядро N(p, ро) является непрерывной функцией в квадрате 0 р, ро R. Рассмотрим в С[0, R] линейный интегральный оператор Он ограничен, вполне непрерывен и Роф,Щ JQ Поскольку нелинейный оператор Во(и) = и3(р) ограничен и непрерывен в C[0,R], то нелинейный оператор является вполне непрерывным на каждом ограниченном в С[0, R] множестве [12]. последующих рассуждениях нам понадобится воспомога-тельное числовое кубическое уравнение где норма оператора iV 0 определяется формулой (48), а Рассмотрим уравнение и функцию Функция у (г) имеет только одну положительную точку максимума значение функции в которой равно Тогда, при условии уравнение (52) имеет два неотрицательных корня г и г , г г , удовлетворяющих нераветствам
Теоремы о существовании и единственности решений интегральных уравнений
Используя принцип Шаудера [12], можно доказать, что для каждого / Є ,%(0) С С[0,Я], где р = Л , существует решение и(р) уравнения (46) внутри шара S = Sr (0). Лемма 2. Если \\f\\ . , то уравнение (46) имеет, по крайней мере, одно решение и \\и\\ г . Доказательство. Так как F{u) абсолютно непрерывен, необходимо только проверить, что F переводит шар S в себя. Предположим, что и Є S . Используя (49), (47), и (48) получаем Это означает, что FS С S . Лемма доказана. Теперь докажем с помощью принципа сжимающих отображений [12], что если выполняется условие (62), то (46) имеет единственное решение в шаре S = Su. Введем обозначение No(p,po) = pG(p,pO), причем N(p,p0) = aN0{p,po) и iV = aiV0. Следует отметить, что Щ(р ро) не зависит от а. (А и не зависит от а),то уравнение (46) имеет единственное решение и, лвляющеесл непрерывной функцией, и Є С[0,Л], и верна оценка \\и\\ г . Доказательство. Если и Є 5 , то Согласно теореме Шаудера, (46) имеет, по крайней мере, одно реше зо ниє, если / Є Sp(Q). Если щ,и2 Є S ,TO Так как a А, то f(po) удовлетворяет условию (62). Поэтому выполняется неравенство (61), откуда 3iVr 1. Следовательно, F отображает 5 в себя и является сжимающим оператором на 5 . Поэтому уравнение (46) имеет единственное решение в S . Теорема доказана. Отметим, что А О и не зависит от а. В дальнейшем нам понадобится утверждение о зависимости репгений интегрального уравнения (46) от параметра. Теорема 2. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (46) непрерывно зависят от параметра Л Є Ло, N{\,p,po) С С(Л0 х [О, Л] х [О, Я]), ДА, А)) С С(Л0 х [О, Л]), на некотором отрезке Ло вещественной числовой оси. Пусть также Тогда решения и(Х, р) уравнения (46) при Л Є Ло существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра X, и{Х,р) С С(Ло х [О, Л]). Доказательство. Рассмотрим уравнение Существование и единственность решений и(Х) при условиях теоремы следует из Теоремы 1.
Докажем непрерывную зависимость этих решений от параметра Л. Нетрудно видеть из формулы (59), что г (Л) непрерывно зависит от Л на отрезке Ло- Пусть г о = та,х\\0г+(Х) и максимум достигается в точке Ло, г (Ао) = го. Далее, пусть Q = max(3rj;(A)iV(A)) и максимум достигается в точке А Є Ло, Q = 3rJ(A)iV(A). Тогда Q 1 в силу условия (64) теоремы. Предположим сначала, что Тогда имеют место следующие оценки: где Q и го не зависят от А. Пусть теперь w(A) г (А + АА). Тогда все предыдущие оценки остаются в силе, если заменить агрументы А на А + АА, а А+ДА на А. Таким образом оценка (66) также остается в силе, откуда следует утверждение теоремы. Теорема доказана. Введем безразмерные переменные и параметры р = /ео/э, z = koz, (є2 Єї), 7 = тАо OL = аСЇ/єо, й — и/Сі, к0 = о;2оА о- Опуская тильду и принимая во внимание (32), дисперсионное соотношение (45) представим в нормализованной форме Из (44) и свойств цилиндрических функций следует, что Подставляя эти формулы в (67), мы можем переписать дисперсионное соотношение в другой форме, Нули функции Ф(7) = g{l) — ocFi f) -это значения 7, для которых существует нетривиальное решение задачи Р, сформулированной ранее. Следующее утверждение дает достаточные условия существования нулей функции Ф. Пусть jom — га-ый положительный корень функции Бесселя JQ, Jim - ТП-ЫЙ ПОЛОЖИТеЛЬНЫЙ КОреНЬ фуНКЦИИ БЄССЄЛЯ Ji, j lm - 7П-ЫЙ положительный корень функции Бесселя J[, т = 1,2, Мы имеем Введем обозначения Теорема 3. Пусть Є\, Єг и а удовлетворяют условиям Є2 и выполняется условие для определенного т 1. Тогда существует, по крайней мере, т значений 7t г = 1,... ,m, Ai 7]2 Аг таких, что задача Р имеет ненулевое решение. Доказательство. Зафиксируем г 1. Хорошо известно, что М hi Іо,»+і и j lt ju іі і+1. Таким образом, получаем joi hi j i,i+v Существует только один ноль j u Є 0 І,І-І,ІІІ)І когда ію = 0. Далее, чередуя нули функций JQ(X) И (Ж), получаем signJo(i2») = (-1) и signJ2(io») = (-l)i+1 где J2i - положительные нули функции Бесселя J2(x). Из 2J[(x) = JQ(X) — J2(#) следует, что fu Є (j2,»-i,io.) (І20 = 0). Так как j u j0i ju jlfi+1 (і 1), то функция Грина существует для Л Є Л. Из (63) и свойств функции
Грина следует, что А = А(Х) - непрерывная функция на интервале Л Є Л. Пусть А\ = тіпЛ(Л) и выберем \а\ А\. В соответствии с теоремой 1, существует единственное решение и = и(Х) уравнения (37) для каждого Л Є Л. Это решение является непрерывной функцией, причем \\и\\ г- = г_(Л). Положим го = maxr_(A). Используя неравенство «7і(ж) 0.6, действительное для неотрицательных ж, и оценивая интеграл (70),получаем І-РДА,R]u)\ Функции Макдональда KQ(X) and К\(х) положительны при положительных х, 7(А) непрерывна, и д(Хц)д(Х2і) 0, і = 1,...,т. Таким образом, уравнение д(Х) = 0 имеет корень Ао» на интервале Л , Обозначим Mi = min (Ац), М2 = min 7(A2j), и М = min{Mi,M2}; М 0 и не зависит от а. Если \а\ 03 Гоа, тогда (g(Xii)-aF(Xli))(g(X2{)-aF1(X2i)) 0. Так как g(X)—aFi(X, R] и) также непрерывная функция, то уравнение д(Х) — aFi(X, R;и) = 0 имеет корень \ на интервале Л , Лі» Х{ А2». Мы можем выбрать ао = min{Ai, 0зд2г 3Ь Теорема доказана. Из теоремы 3 следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространеняющиеся ТЕ-поляризованные волны без затухания в цилиндрических диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных немагнитной, изотропной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра. Этот
Формулировка итерационного метода решения интегрального уравнения
Приближенные решения ип интегрального уравнения (46)могут быть определены с помощью итерационного процесса Последовательность ип равномерно сходится к решению и уравнения (46), вследствие того, что правая часть (73) - сжимающий оператор [12]. Известна также оценка для скорости сходимости итерационного алгоритма (73). Сформулируем эти результаты в виде следующего утверждения. Утверждение 1. Последовательность приближенных решений ип уравнения (46), определяемых посредством итерационнога алгоритма (73), существует и сходится в норме пространства С[0, R] к (единственному) точному решению и этого уравнения, и верна оценка скорости сходимости: где q := 3iVr 1 - коэффициент сжатия отображения F. Тео проблемы Р на интервале [\ц, \2%[ (\ и А,- - корни точного и приближенных дисперсионных соотношений соответственно, і т, т 1. Тогда А$ — АІ — 0 при п — со. Доказательство. Рассмотрим функции Если Ло лежит на интервале, не содержащем точку j lm, то мы получаем При выполнении условий теорем 3 и 4, существуют решения Aj и А,- точного и приближенного дисперсионного уравнений Ф(А) = О и ФП(А) = 0 (п 0). Также при доказательстве теорем 3 и 4 было установлено, что непрерывные функции Ф(А) и ФП(А) меняют свой знак на концах интервала [\ц, Х2Ц. Доказательство следует из оценки (78). Вводя обозначение можно переписать функцию Грина в виде (K2r) р r R \D(к2р)J\{к2г) г p R дальнейшем нам потребуются следующие условия где joi = 2.405... и in = 3.832 Свойства функции s = s(u,U). Пусть тогда и таким образом Можно показать , что если и Є [0, U] и U Є L?oi»Jii]» то существует точно один ноль do(U) функции D(u,U). При этом D(u,U) 0 если и do(U). Можно показать, что если joi U ju, то В соответствии с тем, что максимум s = s(u, U) достигается, если и = U и таким образом, если U — joi-Затем следуют оценки и U = j oi, получаем где pG(p,r)\\ %, К2 (84) ci := IT//- м— /Г dt tJ (t) 2.83214. Далее, мы имеем Л(«2г) JiU n) = 0.581865... Таким образом, А(7,Д) := K\R 1 K\R Ki{mR) КЦкгЯ) K[(KlR) K2R\J[(K2R)\2 \\Ji( R)\\ S S\\pG(ptr)\ K2R\J[(K2R)\ . ,1:-7== (85) Рассмотрим функцию f(x) = при x 0. Далее из условия (1) следует КгЫ КЦХ) / монотонно убывает —Joi «іл — Лі К2 «2 (86) Таким образом, KX{KIR) (87) і(іп) K\R K[(KIR) Кіп) Далее, f(U) = Z7J{(t/) монотонно возрастает на интервале U Є [іоьіи]- рема 4. Пусть существуют є\, Є2, и а,удовлетворяющие условиям Є2 Єї 0 и 0 \а\ ао, где ао определяется соотношением (71), и выполняется условие (72) для определенного т 1.
Тогда для каждого п 0 существует, по крайней мере, т значений А,- , і = 1,...,тп, удовлетворяющих неравенствам Хц А,- Аг» и являющихся корнями уравнения Доказательство. Для каждого п 0 функции ип нерперыв-ны, согласно соотношению (73). Таким образом,для доказательства достаточно повторить доказательство теоремы 3, если заменить и на ип и проверить условия гіп г- = г_(А). Это неравенство выполняется, потому что все итерации лежат внутри сферы S . Теорема 5. Пусть А,- и А$ - соответственно, точное и приближенное собственные значения проблемы Р на интервале [\ц, \2%[ (\ и А,- - корни точного и приближенных дисперсионных соотношений соответственно, і т, т 1. Тогда А$ — АІ — 0 при п — со. Доказательство. Рассмотрим функции Если Ло лежит на интервале, не содержащем точку j lm, то мы получаем При выполнении условий теорем 3 и 4, существуют решения Aj и А,- точного и приближенного дисперсионного уравнений Ф(А) = О и ФП(А) = 0 (п 0). Также при доказательстве теорем 3 и 4 было установлено, что непрерывные функции Ф(А) и ФП(А) меняют свой знак на концах интервала [\ц, Х2Ц. Доказательство следует из оценки (78). Вводя обозначение можно переписать функцию Грина в виде (K2r) р r R \D(к2р)J\{к2г) г p R дальнейшем нам потребуются следующие условия где joi = 2.405... и in = 3.832 Свойства функции s = s(u,U). Пусть тогда и таким образом Можно показать , что если и Є [0, U] и U Є L?oi»Jii]» то существует точно один ноль do(U) функции D(u,U). При этом D(u,U) 0 если и do(U). Можно показать, что если joi U ju, то В соответствии с тем, что максимум s = s(u, U) достигается, если и = U и таким образом, если U — joi-Затем следуют оценки и U = j oi, получаем где pG(p,r)\\ %, К2 (84) ci := IT//- м— /Г dt tJ (t) 2.83214. Далее, мы имеем Л(«2г) JiU n) = 0.581865... Таким образом, А(7,Д) := K\R 1 K\R Ki{mR) КЦкгЯ) K[(KlR) K2R\J[(K2R)\2 \\Ji( R)\\ S S\\pG(ptr)\ K2R\J[(K2R)\ . ,1:-7== (85) Рассмотрим функцию f(x) = при x 0. Далее из условия (1) следует КгЫ КЦХ) / монотонно убывает —Joi «іл — Лі К2 «2 (86) Таким образом, KX{KIR) (87) і(іп) K\R K[(KIR) Кіп) Далее, f(U) = Z7J{(t/) монотонно возрастает на интервале U Є [іоьіи]- Таким образом,
