Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обобщенный метод плоских волн и анизотропные фотонные кристаллы 30
1.1 Анизотропные фотонные кристаллы. Постановка задачи 30
1.2 Обобщенный метод плоских волн для периодических сред с анизотропией материала 32
1.3 Симметрия дисперсионной поверхности анизотропных фотонных кристаллов 37
1.4 Важность корректного определения неприводимой части зоны Бриллюэна 57
1.5 Управление шириной и положением фотонных запрещенных зон в анизотропных фотонных кристаллах 53
1.6 Заключительные замечания 56
Глава 2. Преломление света на границе изотропных и анизотропных фотонных кристаллов 58
2.1 Преломление на границе фотонного кристалла. Постановка ад ачи 58
2.2 Собственные волны в изотропном двумерном фотонном кристалле 60
2.3 Метод изочастот 63
2.4 Преломление в изотропных фотонных кристаллах. Основные результаты расчетов 65
2.5 Преломление в анизотропных фотонных кристаллах. Основные результаты расчетов 75
2.6 Заключительные замечания 77
Глава 3. Нелинейные фотонно-кристаллические волокна с полой сердцевиной 79
3.1 Полые фотонно-кристаллические волноводы. Постановка задачи 79
3.2 Распространение импульсов и расчет дисперсии фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной 82
3.3 Моды фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной 83
3.4 Коэффициент нелинейности фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной
3.5 Оценка параметров фундаментальных солитонов в фотонно-кристаллическом волноводе с полой сердцевиной 92
3.6 Заключительные замечания 98
Глава 4. Трехмерные фотонные кристаллы с дефектами 100
4.1 Дефекты в фотонных кристаллах. Постановка задачи 100
4.2 Два типа дефектов 104
4.3 Схема эксперимента 110
4.4 Зависимость резонансной частоты от размера дефекта фотонного кристалла 114
4.4.1 Параллельная поляризация поля относительно ориентации дефекта 115
4.4.2 Перпендикулярная поляризация поля относительно ориентации дефекта 118
4.5 Эффективная схема передачи энергии на базе резонансного пропускания фотонного кристалла 121
4.6 Заключительные замечания 129
Заключение 132
Благодарности 135
Список использованных источников 136
- Обобщенный метод плоских волн для периодических сред с анизотропией материала
- Собственные волны в изотропном двумерном фотонном кристалле
- Распространение импульсов и расчет дисперсии фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной
- Два типа дефектов
Введение к работе
Актуальность. Диссертационная работа посвящена исследованию актуальных вопросов современной оптики и фотоники. В работе теоретически и экспериментально изучены важные аспекты физики изотропных и анизотропных фотонных кристаллов и нелинейных фотонно-кристаллических волокон.
Фотонные кристаллы [1-3] - периодические диэлектрические структуры - стали настоящей находкой в задачах по управлению светом ввиду своей способности демонстрировать фотонные запрещенные зоны и нетривиальную дисперсию для различных диапазонов длин волн, причем оптические характеристики фотонных кристаллов могут быть настроены изменением геометрии структуры без необходимости подбора новых диэлектрических материалов.
Спектр свойств фотонных кристаллов очень широк, и до сих пор остаются неисследованными многие аспекты физики данных структур. Настоящая работа посвящена таким ранее недостаточно изученным вопросам, как дисперсионные свойства анизотропных фотонных кристаллов, преломление света на границе фотонных кристаллов, распространение электромагнитных волн в нелинейных фотонно-кристаллических волокнах с полой сердцевиной и резонансное пропускание в трехмерных фотонных кристаллах с дефектами. Перечисленные вопросы, объединенные в настоящей работе, актуальны и важны с практической точки зрения. Каждый из них решался в момент повышенного интереса научной общественности к похожим или логически предшествующим задачам.
Первый из перечисленных вопросов - изучение анизотропных фотонных кристаллов — тесно связан с задачей управления свойствами последних. Подобные идеи закономерно возникают в ходе развития практически любых объектов и устройств. Естественно, управление свойствами фотонного кристалла с помощью внешнего воздействия - важная цель, поскольку такое управление востребовано всюду, где используются фотонные кристаллы. Фотонные кристаллы с элементами, содержащими анизотропные материалы, или анизотропные фотонные кристаллы, представляют интерес именно ввиду их необычных и управляемых дисперсионных свойств, а также возможности создания перестраиваемых устройств на их основе [4-8].
В первых работах, связанных с перестраиваимыми фотонными кристаллами и специализировавшихся в основном на фотонно-кристаллических волокнах [9], авторы предлагали заполнять воздушные пространства фотонного кристалла полимерами [10], жидкостями с высокими показателями преломления [11] и жидкими кристаллами [12-16]. Управление свойствами фотонных кристаллов производилось путем нагревания устройства, то есть с использованием термо-оптического эффекта, приводящего к изменению показателей преломления перечисленных выше веществ. Кроме того, в работах [15,16] было предложено использовать внешнее электрическое поле вместо нагревания для управления свойствами жидких кристаллов. Например, в работе [15] показано, что путем перестройки ориентации жидкого кристалла можно добиться смены принципа действия фотонно-кристаллического волновода: локализация поля посредством полного внутреннего отражения может быть заменена на локализацию, обусловленную наличием фотонной запрещенной зоны в оболочке волокна.
Одной из актуальных проблем в данной теме является то, что во многих работах [7,17,18], посвященных анизотропным фотонным кристаллам, используются методы и алгоритмы расчета дисперсионных характеристик, являющиеся некорректными для такого рода периодических структур ввиду особенностей симметрии дисперсионной поверхности последних. Именно свойствам дисперсии анизотропных фотонных кристаллов, а также методу расчета последних и посвящена часть данной работы.
Второй из перечисленных задач данной работы является исследование преломления на границе двумерных периодических сред. Указанная тема привлекает внимание ученых на протяжении уже более 50 лет [19,20]. В основном научный интерес вызывает способность фотонных кристаллов демонстрировать нетривиальные законы преломления, меняющиеся в зависимости от частоты падающего света. В частности, самым ярким и привлекательным с практической и общенаучной точки зрения проявлением необычной дисперсии периодических сред, или фотонных кристаллов, является отрицательная рефракция [21-23] - рефракция, при которой вектор групповой скорости преломленной волны образует острый угол с тангенциальной компонентой волнового вектора падающей волны. Рефракция такого рода типична для так называемых «левых» сред или сред с отрицательной электрической и магнитной проницаемо стями [24-31]. Фотонный кристалл в отличие от последних способен демонстрировать отрицательную рефракцию, имея положительные значения эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей и обладая периодом, сравнимым с длиной волны, для которой наблюдаются указанные эффекты.
Отрицательная рефракция дает дополнительную свободу в манипулировании преломленными лучами, что в перспективе позволяет использовать этот эффект вместе с нормальной рефракцией в сложных системах управления светом. Одним из самых известных приложений данного явления является создание идеальной плоской псевдолинзы [32,33], использующей отрицательный угол рефракции для фокуссировки изображения.
Отдельную роль в формировании закона преломления играет ориентация границы раздела однородной среды и фотонного кристалла. Как известно в теории кристаллооптики [34-37], при определенной ориентации границы кристалла по отношению к его геометрической структуре возможно наблюдение многолучевой рефракции. Если граница раздела однородного диэлектрика и фотонного кристалла не параллельна ни одному из векторов трансляции последнего, то расщепление мод фотонного кристалла, соответствующих различным зонам Бриллюэна, приводит к возникновению многолучевой рефракции.
Однако, помимо уже известных отрицательной и многоволновой рефракции, существуют и другие неизученные и достойные внимания особенности преломления на границе фотонного кристалла, которые исследуются в настоящей работе.
Третья из перечисленных задач, решаемых в данной работе, связана с фотонно-кристаллическими волокнами с полой сердцевиной [38,39]-структурами, использующими дефект в двумерном фотонном кристалле для локализации света и его распространения вдоль сердцевины волокна. В отличие от волокон с твердой сердцевиной, фотонно-кристаллические волокна с полой сердцевиной в существенной мере свободны от ограничений, задаваемых материалом сердцевины. В силу отсутствия последнего, распространяющаяся в основном в воздухе мода не подвергается сильному влиянию материальной дисперсии, нелинейности или диссипации [38,39]. Таким образом, в данных волокнах возможна передача сигналов высокой мощности при поперечном размере сердцевины волокна порядка 10 - 20/мп [40]. В работе [41] продемонстрировано распространение в полом фотонно-кристаллическом волноводе фемтосекундного импульса мегаваттной мощности на длине волны 1550нм, что практически невозможно реализовать в обычных волокнах из-за рамановского преобразования частот и фазовой самомодуляции. Благодаря способности передавать импульсы высокой мощности, полые фотонно-кристаллические волокна стали объектом интенсивного изучения в нелинейной оптике [42]. Недавно было продемонстрировано, что данные волокна способны значительно усиливать такие нелинейные эффекты, как вынужденное Рамановское рассеяние [43,44], четырехволновое взаимодействие [45], когерентное антистоксово комбинационное рассеяние [46] и фазовая самомодуляция [47].
В данной работе теоретически изучаются нелинейные свойства фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной, рассматривается возможность образования в них солитонов.
Несмотря на то, что моды, поддерживаемые полыми фотонно-кристаллическими волокнами, распространяются в основном в воздухе, в рассматриваемом типе волокон возможно образование солитонов [48-51]. В работе [48] продемонстрирована возможность передачи образование солитонных фемтосекундных импульсов на длине волны порядка &00нм на расстояния в несколько метров. С практической точки зрения солитонные режимы в полых фотонно-кристаллических волокнах очень важны, так как передача импульсов высокой мощности может применяться для решения многих технологических [51,52] и биомедицинских задач [53].
Последняя из перечисленных выше задач данной работы заключается в исследовании трехмерных фотонных кристаллов с дефектами [1-3]. Как уже было отмечено выше, дефекты в периодических структурах способны локализовывать электромагнитное поле, когда резонансная частота дефекта принадлежит области фотонной запрещенной зоны данного конкретного фотонного кристалла в отсутствие дефектов. Благодаря рождению нового фотонного состояния на выделенной частоте возможно селективное пропускание электромагнитных волн сквозь фотонный кристалл. Данный эффект явился основой для создания таких объектов, как полосовые фильтры [54,55] и резонансные детекторы [56]. Учитывая способность фотонно-кристаллических дефектов локализовывать энергию электромагнитного поля внутри малых объемов, можно успешно использовать такие неоднородности периодических структур для повышения эффективности работы лазеров [57-59]. В работах [56,60] отмечено интересное применение дефектов периодических структур - так называемый «hopping» или «перепрыгивание», заключающееся в передаче энергии посредством связи мод дефектов фотонного кристалла, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. Такой способ распространения энергии внутри фотонного кристалла позволяет задавать ей произвольную траекторию, что, бесспорно, представляет интерес с технологической точки зрения. Кроме того, резонансное пропускание фотонных кристаллов может быть использовано и для элегантных решений известных классических научных и технологических задач. Например, благодаря свободе в выборе «маршрута» электромагнитной энергии, в работе [61] было предложено использование hopping-эффекта для создания интерферометра Маха-Цендера.
В то время как одномерные и двумерные фотонно-кристаллические структуры с дефектами к настоящему времени довольно подробно изучены теоретически и экспериментально [59, 61, 62-67], остается множество нерешенных вопросов, касающихся аналогичных трехмерных объектов. В настоящей работе рассматривается актуальный вопрос выявления связи между резонансной частотой фотонных кристаллов с дефектом и характеристиками самих дефектов, то есть их формой, размерами и положением и ориентацией относительно периодической структуры и поляризации поля.
Цель работы:
1. Теоретическое исследование свойств периодических диэлектрических структур с материальной анизотропией и разработка методов расчета дисперсионных свойств последних с учетом произвольной ориентации и распределения анизотропного материала.
2. Теоретическое исследование явлений, наблюдаемых при преломлении света на границе изотропных и анизотропных фотонных кристаллов.
3. Теоретическое исследование нелинейных фотонно-кристаллических волокон с полой сердцевиной, а именно изучение возможности образования солитонов в данном типе структур.
4. Теоретическое и экспериментальное исследование резонансного пропускания в трехмерных фотонных кристаллах с дефектами и создание эффективной схемы передачи энергии на базе таких структур.
Научная новизна работы:
1. Впервые векторный метод плоских волн обобщен для периодических структур с произвольной геометрией и размерностью, содержащих элементы с тензорными величинами диэлектрической проницаемости, в том числе зависящими от пространственных координат.
2. Впервые установлено влияние анизотропного материала на симметрию дисперсионной поверхности анизотропного фотонного кристалла и проведена его классификация для двумерного случая. Впервые определен характер изменения формы неприводимой части зоны Бриллюэна с изменением ориентации анизотропного материала внутри фотонного кристалла.
3. Впервые с помощью метода изочастот теоретически предсказаны некоторые нетипичные законы преломления на границе фотонного кристалла: полное внутреннее отражение при малых углах падения света; многоволновая рефракция, при которой среди разрешенных направлений распространения преломленной волны присутствуют направления, соответствующие как положительной, так и отрицательной рефракции.
4. Впервые с помощью обобщенного метода плоских волн и метода изочастот показана возможность управления преломлением света на границе анизотропного фотонного кристалла.
5. Уточнено выражение для оценки коэффициента нелинейности полых фотонно-кристаллических волноводов с учетом поляризационных поправок.
6. Впервые дано теоретическое обоснование и экспериментальное подтверждение роста, падения или насыщения резонансной частоты трехмерных фотонно-кристаллических структур с дефектом в зависимости от типа дефекта и поляризации поля падающей волны.
Научно-практическая значимость работы. Результаты, полученные в настоящей работе, представляют практический интерес для проектирования и расчета устройств на основе изотропных и анизотропных, линейных и нелинейных фотонных кристаллов, в частности, нелинейных фотонно-кристаллических волокон, устройств на базе фотонных кристаллов с дефектами (таких как сенсоры и преобразователи частоты) и управляемых устройств на основе фотонных кристаллов с анизотропными (жидкокристаллическими) включениями.
Отдельный практический интерес представляют следующие результаты:
1. Разработанный в данной работе обобщенный метод плоских волн позволяет рассчитывать дисперсионные свойства одномерных, двумерных и трехмерных изотропных и анизотропных фотонно-кристаллических структур с произвольным геометрическим строением, в том числе с неоднородным распределением ориентации анизотропных материалов.
2. Теоретическое предсказание существования в фотонных кристаллах полного внутреннего отражения, проявляющегося на малых углах; многоволнового преломления с одновременной возможностью положительной и отрицательной рефракции; а также возможности управления направлением распространения преломленной волны с помощью использования анизотропных материалов в фотонных кристаллах.
3. Уточненная в данной работе формула оценки коэффициента нелинейОности фотонно-кристаллических волокон может быть использована при проектировании волокон и для расчета параметров солитонов, образуемых в конкретном волокне.
4. Изученные в работе особенности зависимости резонансной частоты дефекта в трехмерном фотонном кристалле типа «поленница» от размера дефекта могут быть использованы на практике для подстройки частоты указанного фотонно-кристаллического резонатора.
Достоверность результатов. Достоверность численных результатов данной работы подтверждена сравнением с работами других авторов и с результатами, полученными иными численными методами. Результаты экспериментальной части работы можно считать достоверными ввиду их воспроизводимости и соответствия теоретическим обоснованиям и численным расчетам.
Защищаемые положения и результаты:
1 Обобщенный метод плоских волн, позволяющий учитывать наличие элементов с тензорными величинами диэлектрической проницаемости, в том числе зависящими от пространственных координат, в рассчитываемых периодических структурах с произвольной геометрией и размерностью.
2. Симметрия дисперсионной поверхности анизотропных фотонных кристаллов определяется пересечением группы симметрии решетки фотонного кристалла и группы симметрии, определяемой ориентацией молекул анизотропного материала относительно векторов трансляции и/или плоскостей периодичности фотонного кристалла, что соответствующим образом определяет неприводимую часть зоны Бриллюэна.
3. При преломлении света на границе однородного диэлектрика и двумерного фотонного кристалла теоретически возможно наблюдение полного внутреннего отражения при малых углах падения и многоволновой рефракции с одновременно разрешенными направлениями распространения преломленной волны, соответствующими положительной и отрицательной рефракции.
4. Уточненное выражение для коэффициента нелинейности фотонно-кристаллических волокон с полой сердцевиной и результаты оценочных расчетов параметров солитонов в фотонно-кристаллических волокнах с полой сердцевиной.
5. Экспериментальное и теоретическое обоснование эффекта роста резонансной частоты фотонного кристалла типа «поленница» с дефектом акцепторного типа, образованным путем удаления части бруска, с увеличением размера дефекта.
6. Оптимальная схема передачи энергии через ограниченный фотонный кристалл типа «поленница» с акцепторным дефектом, основанная на добавлении в структуру фотонного кристалла дополнительных акцепторных областей.
Апробация работы. Результаты работы были представлены на следующих всероссийских и международных конференциях и семинарах: 7я школа-конференция "Saratov Fall Meeting 03", Саратов, 7-10 октября 2003; 7я школа-конференция «Нелинейные Дни в Саратове», Саратов, 8-13 октября 2003; Конференция "Мы - будущее российской науки", Москва, 18 марта 2004; Школа-семинар «Волны 2004» Звенигород, 24-29 мая 2004; Третья междисциплинарная научная конференция НБИТТ-21, Петрозаводск, 21-23 июня 2004; 8я школа-конференция "Saratov Fall Meeting 04", Саратов, 21-24 сентября 2004; 8я школа-конференция «Нелинейные Дни в Саратове», Саратов, 2-6 ноября 2004; Международная школа-семинар «Квантовые измерения и физика мезоскопических систем», Суздаль, 2-4 февраля 2005; 20th anniversary conference on Advanced Solid State Photonics, Вена (Австрия), 6-9 февраля 2005; Международная конференция «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics ICONO/LAT 2005», Санкт Петербург, 11-15 мая 2005; Зй международный семинар "Quantum Physics and Communication", Дубна, ЗО июня-3 июля 2005; 9я школа-конференция "Saratov Fall Meeting 05", Саратов, 27-30 сентября 2005; 9я школа-конференция «Нелинейные Дни в Саратове», Саратов, 1-7 ноября 2005; 13я школа-конференция «Нелинейные волны», Нижний Новгород, 1-7 марта 2006; Конференция «Молодые ученые России», Москва, 21 апреля 2006; Третья международная конференция «Стеклопрогресс-XXI», Саратов (Россия), 22-25 мая 2006; Школа-семинар «Волны 2006», Москва, 22-27 мая 2006; Зя международная конференция «Laser Optics 2006», Санкт Петербург, 26-30 июня 2006; 13 международный студенческий семинар «Microwave Applications of Novel Physical Phenomena», Рованиеми (Финляндия), 24-25 августа 2006; Международная конференция «2nd EPS-QEOD EUROPHOTON CONFERENCE», Пиза (Италия), 10-15 сентября 2006; 10я школа-конференция "Saratov Fall Meeting 06", Саратов, 26-29 сентября 2006; 10я школа-конференция «Нелинейные Дни в Саратове», Саратов, 1-2 ноября 2006; Международная конференция «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics ICONO-2007», Минск (Беларусь), 28 мая — 2 июня 2007; 14й международный студенческий семинар International «Microwave Applications of Novel Physical Phenomena», Белфаст (Великобритания), 23-24 августа 2007; школа-конференция "Saratov Fall Meeting-07", Саратов, 25-29 сентября 2007; Международный семинар "Fiber Lasers 2008" Саратов, 1-4 апреля 2008; Международная конференция "Photonics Europe", Страсбург (Франция), 7-11 апреля 2008; Школа-конференция «Distributed European Doctoral School on Metamaterials, 10th Edition, "Women in Photonics», Париж (Франция), 13-18 апреля 2008; 15й международный студенческий семинар "Microwave and Optical Applications of Novel Physical Phenomena", Санкт Петербург, 19-22 мая 2008; 4й международный семинар «4th Workshop on Numerical Methods for Optical Nano Structures», Цюрих (Швейцария), 7-8 июля 2008.
Выступления на конференции «Laser Optics 2006» (г. Санкт-Петербург, 26-29 июня 2006) и международном семинаре «15th Student Seminar on Microwave and Optical Applications of Novel Physical Phenomena», (г. Санкт-Петербург, 19-22 мая 2008) были отмечены дипломами за лучшую работу.
Публикации. По теме диссертации было опубликовано 24 печатные работы, в том числе 5 статей в рецензируемых российских и международных журналах, рекоммендованных ВАК, и 19 статей в сборниках трудов международных и всероссийских конференций.
I. Статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК:
1. Мельников Л.А., Хромова И.А. Преломление света в двумерных фотонных кристаллах// Оптика и Спектроскопия. 2005. Т. 98. № 6. С. 850-855;
2. Хромова И.А., Мельников Л.А. Нелинейные свойства фотонно-кристаллических волноводов// Известия Академии Наук. Серия Физическая. 2006. Том 70. №3. С. 436-439;
3. Хромова И.А., Мельников Л.А. Дисперсионные характеристики полых фотонно-кристаллических волокон //Письма в журнал "Физика элементарных частиц и атомного ядра". 2007. Т.4. №2. С. 176-179;
4. Хромова И.А., Мельников Л.А., Собственные электромагнитные волны в анизотропных фотонных кристаллах: метод и особенности расчета, симметрия дисперсионной поверхности для двумерного кристалла// Известия ВУЗов. Прикладная Нелинейная Динамика. 2008. Т. 16. № 1. с. 81-98;
5. LA. Khromova, L.A. Melnikov. Anisotropic photonic crystals: generalized plane wave method and dispersion symmetry properties //Optics Communications. 2008. V. 281. N. 21. pp. 5458-5466;
II. Статьи в иных периодических изданиях и сборниках трудов научных конференций:
1. LA. Khromova, L.A. Melnikov. Refraction In Two-Dimensional Photonic Crystals //Proc. SPIE. Vol. 5476. 2003. pp.49-56;
2. L.A. Melnikov, LA. Khromova. Refraction of Light at an Interface of Homogeneous-Dielectric and Photonic Crystal //Proceedings of "Waves - 2004". Section "Electrodynamics and Electronics", pp. 40-42;
3. Хромова И.А, Мельников Л.А. Преломление света на границе фотонного кристалла//Материлы конференции НБИТТ-21. 2004. С.51-52;
4. Irina A. Khromova, Leonid A. Melnikov. Hollow Core Photonic Crystal Fiber Soliton Parameter Estimation //Proc. SPIE Vol. 5773. 2004. pp. 65-68;
5. Хромова И.А. Реализация солитонных режимов в полых фотонно-кристаллических волноводах //Нелинейные дни в Саратове - 2004. Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж". 2004. С. 180-184;
6. Хромова И.А. Нелинейные свойства фотонно-кристаллических волноводов //Квантовые измерения и физика мезоскопических систем. Тезисы докладов. С. 53;
7. Irina A. Khromova, Leonid A. Melnikov. Estimation of the Hollow Core Photonic Crystal Fiber Nonlinearity Factor// Technical Digest of "ASSP 2005". TuB28;
8. Irina A. Khromova, Leonid A. Melnikov. Estimation Of The Hollow Core Photonic Crystal Fiber Nonlinearity Factor// OSA Trends in Optics and Photonics Series 98. pp. 531-535;
9. Andrey I. Konuchov, Leonid A. Melnikov, Irina A. Khromova. Modelling Of Transverse Beam Dynamics In Photonic Crystal Surface-Emitting Laser// OSA Trends in Optics and Photonics Series 98. pp. 339-343;
10. Irina A. Khromova, Leonid A. Melnikov. Hollow Core Photonic Crystal Fibers Nonlinearity// Technical Digest of ICONO/LAT 2005, IWL5;
11. L. Melnikov, I. Khromova, A. Scherbakov, N. Nikishin. Soft-Glass Hollow-Core Photonic Crystal Fibers //Proc. SPIE. 5950. 2005. pp. 243-251;
12. Хромова И.А. Фотонно-кристаллические волокна с анизотропными элементами //Нелинейные волновые процессы. Нижний Новгород: Редакционно-издательская группа ИПФ РАН. 2006, С. 163-164;
13. Хромова И.А. Расчет запрещенных зон и мод стеклянных микроструктурных волокон с анизотропией. //«Стеклопрогресс-ХХ1»:Научные доклады. Саратов: «ООО Приволжское Издательство». 2007. СС. 242-247;
14. LA. Khromova, L.A. Melnikov. Band Gaps and Modes Dispersion Characteristics in Liquid Crystal Infiltrated Photonic Crystal Fibers //Proceedings of "Waves - 2006". Section "Coherent and Fiber Optics", pp.20-23;
15. Irina A. Khromova, Leonid A. Melnikov. Liquid Crystal Infiltrated Photonic Bandgap Fibers: Dispersion and Mode Characteristics Calculation //Technical Digest of Conference "LOYS-2006". 2006. ThS7-03. p. 99;
16. LA. Khromova, L.A. Melnikov. Dispersion Properties of Photonic Crystals and Photonic Band Gap Fibers with Anisotropic Elements //Proceedings of Student Seminar on Microwave Applications of Novel Physical Phenomena. 2006. pp.38-40;
17. LA. Khromova, L.A. Melnikov. Dispersion and symmetry properties of anisotropic photonic crystals //Proc. of the 14 International Student Seminar on Microwave Applications of Novel Physical Phenomena. 2007. pp. 32-34;
18. И.А. Хромова, JI.A. Мельников. Применение анизотропных материалов в фотонно-кристаллических волокнах с полой сердцевиной: расчет дисперсионных свойств //Труды 2 семинара по волоконным лазерам. 2008. С.16-17;
19. LA. Khromova, I. Ederra, R. Gonzalo. 3D EBG Cavities: resonance frequency and effective resonant transmission scheme //Proc. of the 15th International Student Seminar "Microwave Applications of Novel Physical Phenomena". 2008. pp. 10-12.
Работа выполнена в Саратовском государственном университете (г. Саратов, Россия), и в Общественном университете Наварры (г. Памплона, Испания).
Личный вклад автора. Лично автором проведены все расчеты и эксперименты и интерепретирована основная часть полученных в работе результатов. Постановка задач проводилась либо лично автором, либо совместно с научным руководителем и коллегами из Общественного университета Наварры.
Гранты. Результаты данной работы использовались при выполнении проектов: по гранту РФФИ 06-02-17343-а "Исследование усилительных и генерационных свойств фотонно-кристаллических волокон, изготавливаемых из многокомпонентных стекол, активированных редкоземельными элементами" (2006-2007); "METAMORPHOSE: MetaMaterials Organized for radio, millimeter wave, and Photonic Superlattice Engineering" NMP3-CT-2004-50252, спонсированного Европейским союзом, Программа NMP (2004-2008); Европейского космического агентства "Design of Photonic Crystals Front-End, RFQ/3-11128/04/NL/JA" (2006-2008). Работа И.А. Хромовой поддерживалась стипендиями и персональными грантами CRDF REC-006 и ФНП «Династия».
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, благодарностей и списка использованных источников. Работа изложена на 146 страницах машинописного текста и содержит 53 рисунка и 4 таблицы. Список использованных источников содержит 117 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава посвящена анизотропным фотонным кристаллам -искусственным периодическим диэлектрическим средам, компоненты которых изготовлены из анизотропного материала.
В п. 1.1 дано краткое введение в проблему и обоснование актуальности и важности исследуемого объекта. Настоящее исследование направлено на создание метода расчета характеристик и полей анизотропных фотонных кристаллов и на изучение их дисперсионных свойств. Проблема расчета указанных структур связана с необходимостью учета тензорной величины диэлектрической проницаемости.
В п. 1.2 представлен разработанный автором векторный метод плоских волн для расчета периодических диэлектрических сред (как изотропных, так и анизотропных) с произвольной геометрией и размерностью.
Предлагаемый метод является обобщением векторного метода плоских волн [1, 68-72] и учитывает тензорность диэлектрической проницаемости элементов фотонного кристалла, а также позволяет рассчитывать структуры с неоднородным распределением ориентации анизотропного материала. В работе предложенный метод был реализован в виде алгоритма на языке программирования «ФОРТРАН».
П. 1.3 содержит результаты исследования симметрии дисперсионной поверхности анизотропных фотонных кристаллов. Показано, что симметрия зоны Бриллюэна [73] данных структур в отличие от изотропного случая определяется как симметрией геометрического строения фотонного кристалла (симметрией решетки), так и симметрией тензора диэлектрической проницаемости анизотропного материала в системе координат, связанной с решеткой рассматриваемого фотонного кристалла.
На примере двумерных периодических структур с гексагональной решеткой типа кагоме [74], заполненных одноосным анизотропным материалом (например, жидким кристаллом), проведена классификация возможных ориентации директора жидкого кристалла (нематика) относительно векторов решетки фотонного кристалла. Каждому из выделенных в работе случаев соответствует определенная симметрия зоны Бриллюэна и, соответственно, та или иная форма неприводимой части зоны Бриллюэна.
Правильное определение неприводимой части зоны Бриллюэна играет существенную роль в расчете дисперсионных диаграмм фотонных кристаллов, так как, в случае наличия некоторой симметрии дисперсионной поверхности, для определения границ запрещенных зон не обязательно рассматривать все значения векторов Блоха в пределелах зоны Бриллюэна. Таким образом, можно значительно сэкономить время, отводимое на расчеты.
В изотропном случае симметрия решетки полностью определяет симметрию дисперсионной поверхности фотонного кристалла. То есть, например, структура с гексагональной решеткой имеет гексагональную симметрию обратного пространства, что позволяет учитывать в расчетах диаграммы запрещенных зон только одну шестую часть (треугольник) гексагональной зоны Бриллюэна.
В работе установлено, что анизотропия материалов добавляет свою группу симметрии, которая в пересечении с группой симметрии решетки фотонного кристалла дает полную группу симметрии анизотропного фотонного кристалла для конкретной ориентации молекул анизотропного материала.
В п. 1.4 обоснована значимость достоверных сведений о симметрии дисперсионной поверхности анизотропных фотонных кристаллов. Во многих работах, например [7,17,18], вместо учета тензорности анизотропной среды либо используется скалярное приближение, либо тензор диэлектрической проницаемости анизотропного материала считается строго диагональным, либо в расчетах запрещенных зон используется неприводимая часть зоны Бриллюэна, определяемая симметрией аналогичного фотонного кристалла в отсутствие анизотропии. В п. 1.4 показано, насколько важно грамотное определение неприводимой части зоны Бриллюэна при расчете дисперсионных диаграмм анизотропных фотонных кристаллов, а именно продемонстрировано, что, выбирая неприводимую часть зоны Бриллюэна согласно алгоритму, предложенному в п. 1.3, в отличие от стандартного «изотропного» метода, можно избежать значительных ошибок при расчете дисперсионных свойств анизотропных фотонных кристаллов.
В п. 1.5 с помошью предлагаемого в работе обобщенного метода плоских волн и алгоритма выбора неприводимой части зоны Бриллюэна продемонстрировано управление шириной и положением запрещенных зон на диаграмме запрещенных зон с помощью изменения ориентации анизотропного материала в составе фотонного кристалла, например, с помощью внешнего электрического поля в случае использования жидкого кристалла.
Краткие выводы изложены в п. 1.6.
Во Второй главе изложено описание и результаты исследования преломления на границе двумерных фотонных кристаллов, проведенного с помощью метода изочастот [75] .
В п. 2.1 объясняется причина интереса к решаемой задаче и обозначается место настоящего исследования среди работ других авторов, выполненных в рамках данной тематики. Данная работа направлена на изучение особенностей преломления на границе изотропных и анизотропных фотонных кристаллов.
В п. 2.2 поясняется понятие собственных волн в двумерных фотонных кристаллах. Здесь же приведен метод плоских волн [1,68-72], использованный в работе для расчета дисперсионного соотношения в двумерных изотропных фотонных кристаллах. Данный метод заключается в представлении решения уравнения Гельмгольца, описывающего поведение вектора поля в исследуемой среде, в виде суперпозиции плоских волн. Для решения задач, связанных с преломлением света на границе анизотропных фотонных кристаллов, был использован обобщенный метод плоских волн, описанных в главе 1, п. 1.3.
В п. 2.3 описан метод изочастот [76-78], использованный в данной работе для исследования законов преломления на границе фотонного кристалла и однородного диэлектрика. Настоящий метод основан на построении поверхностей волновых векторов [35] граничащих сред. Указанные поверхности по аналогии с изоэнергетическими поверхностями в физике твердого тела называются изочастотами - поверхностями равной частоты. Олицетворяя собой графическое представление дисперсионного соотношения, они позволяют наглядно и быстро находить решение последнего, отвечающее условиям непрерывности тангенциальной компоненты поля на границе раздела сред в отсутствие поверхностных зарядов. Метод изочастот применим для любых длин волн, в том числе для величин порядка периода фотонных кристаллов.
В работе метод изочастот был реализован в виде алгоритма в программе "Mathematica" с использованием описанного выше алгоритма по расчету собственных волн в фотонных кристаллах, написанного на языке «ФОРТРАН».
В п. 2.4 приведены основные результаты исследования преломления электромагнитных волн на границе двумерного фотонного кристалла и однородного диэлектрика. К ним относится демонстрация нетривиальных законов рефракции, наблюдаемых на границе периодических сред.
В частности, описана возможность возникновения полного внутреннего отражения от границы фотонного кристалла при больших углах падения. Такое поведение отмечено в первой зоне пропускания двумерного фотонного кристалла вблизи нижней границы запрещенной зоны. В таких случаях преломленная волна возникает при уменьшении угла падения света.
Показано, что отрицательная рефракция может проявляться как вблизи верхней границы запрещенной зоны фотонного кристалла, то есть во второй полосе пропускания, так и вблизи нижней границы запрещенной зоны, то есть уже в первой полосе пропускания. Условием наблюдения последней является достаточная оптическая плотность среды, из которой свет падает на фотонный кристалл.
Рассмотрен случай наклонной ориентации границы раздела однородного диэлектрика и фотонного кристалла по отношению к векторам трансляции решетки последнего. Показана возможность наблюдения многоволновой рефракции — возникновения нескольких направлений распространения преломленной волны. Такая множественность связана с невырожденностью нескольких решений дисперсионного уравнения, являющихся вкладами от соседних зон Бриллюэна. При этом в наборе разрешенных направлений распространения могут одновременно присутствовать как волны, являющиеся результатом положительной рефракции, так и волны, являющиеся результатом отрицательной рефракции. Количество возможных направлений при многоволновой рефракции зависит от угла наклона границы раздела сред к векторам трансляции прямой решетки фотонного кристалла.
В п. 2.5 продемонстрировано, что использование анизотропного материала в составе фотонного кристалла позволяет управлять преломлением света, например с помощью внешнего электрического поля, перестраивающего молекулы анизотропного материала.
Краткие выводы по второй главе приведены в п. 2.6.
Третья глава посвящена фотонно-кристаллическим волокнам с полой сердцевиной [38,39] - структурам, использующим дефект в двумерном фотонном кристалле для локализации света и его распространения вдоль сердцевины волокна. В главе исследуется возможность образования в таких волокнах солитонов и приводится оценка мощности и длительности последних, а также уточняется формула для расчета коэффициента нелинейности полых фотонно-кристаллических волокон.
В п. 3.1 объясняется, почему данные волокна представляют особый интерес: в отличие от волокон с твердой сердцевиной, они в существенной мере свободны от ограничений, задаваемых материалом сердцевины.
В п. 3.2 изложено математическое представление процесса распространения импульсов в полых фотонно-кристаллических волокнах. Показан способ расчета дисперсии и мод волокна в приближении медленно меняющейся амплитуды огибающей и узкого спектра импульса, когда профиль моды (поперечного распределения поля в волокне) не зависит от частоты. Предполагается, что расчет дисперсионных характеристик волокна может производиться в линейном приближении.
П. 3.3 посвящен расчету дисперсии и мод фотонно-кристаллических волокон с полой сердцевиной. Задача на собственные значения, определяющая модовый состав волокна и его дисперсию решается методом плоских волн [1,68-72] на суперрешетке [79], когда сечение волокна периодически продлевается в двух направлениях и образует «решетку в решетке».
С помощью данного численного метода, реализованного в виде алгоритма на языке программирования «ФОРТРАН», продемонстрированы различные виды мод полых фотонно-кристаллических волокон: моды сердцевины, в которых поле локализовано внутри дефекта, моды оболочки, распространяющиеся в оболочке, и поверхностные моды, распространяющиеся вблизи оболочки и затухающие вглубь оболочки и в направлении центра сердцевины.
В работе [48] показано, что в установлении солитонного режима существенную роль играет не только нелинейность материала (кварцевого стекла), но и нелинейность воздуха. При оценках вклада нелинейности кварца в работе [48] было использовано приближенное выражение для коэффициента нелинейности волокна, основанное на эффективной площади моды [80]. В п. 3.4 уточняется выражение, определяющее коэффициент нелинейности фотонно-кристаллического волокна путем учета векторной структуры моды волновода. Несмотря на то, что в работе рассматривалась только нелинейность стекла, при необходимости в уточненную формулу можно добавить также нелинейность воздуха.
В п. 3.5 приводится способ оценки параметров солитонного импульса, образующегося в полых фотонно-кристаллических волокнах. Указанный способ основан на сравнении нелинейности волокна, рассчитанной с помощью предложенного в работе выражения для коэффициента нелинейности волокна, и дисперсии групповой скорости волокна.
В работе оценениваются параметры солитонов, образование которых возможно в тех или иных конфигурациях волокна.
В п. 3.6 приведены основные выводы по главе 3.
В Четвертой главе изложены результаты исследования, проведенного автором совместно с научной группой отделения электрической и электронной инженерии Общественного университета Наварры (Испания) и посвященного трехмерным фотонным кристаллам с дефектами.
В п.4.1 объясняется мотивация данной работы и научный и технический интерес к фотонным кристаллам с дефектами: создаваемое дефектом разрешенное фотонное состояние на выделенной частоте обуславливает селективное пропускание электромагнитных волн сквозь фотонный кристалл.
Настоящее исследование было выполнено автором в рамках проекта RFQ/3-11128/04/NL/JA "Design of Photonic Crystal front-end" Европейского Космического Агентства ESA, направленного на разработку преобразователя частоты на базе фотонного кристалла. Указанное устройство предназначено для преобразования входящего сигнала на субмиллиметровой длине волны в сигнал на разностных частотах в пределах 1-5ГГц путем смешивания первого с сигналом локального осциллятора на частоте 90ГГц. В процессе работы над указанным проектом возникла необходимость изучения возможных схем подачи сигнала локального осциллятора через фотонный кристалл, в частности схем и принципов резонансного пропускания фотонных кристаллов, осуществляемого с помощью резонансного дефекта структуры. В дальнейшем в данной работе все периодические структуры, сходные с принципом действия с фотонным кристаллом и функционирующие на частотах, не принадлежащих оптическому диапазону, будут также называться фотонными кристаллами.
В данной работе основное внимание уделяется трехмерным фотонным кристаллам, а именно структуре под названием «поленница» (woodpile) [81,82] с дефектом акцепторного типа, образованного путем удаления части бруска.
П. 4.2 посвящен теоретическому изучению вопроса зависимости резонансной частоты воздушного дефекта фотонно-кристаллической структуры от размера дефекта. Существуют две точки зрения на эффект резонансного пропускания фотонных кристаллов: первая говорит о его схожести с появлением дополнительных электронных уровней в кристаллах с дефектами [1,73]; вторая сравнивает его с возбуждением моды резонатора, окруженного отражающими стенками [83]. В данном исследовании показано, что оба этих взгляда верны, но соответствуют различным ситуациям, а именно различному типу дефекта структуры. Показано, что полость, не нарушающая периодичность окружающей ее структуры, соответствует обратной зависимости резонансной частоты от размера дефекта, что характерно для обыкновенных резонаторов с отражающими стенками. Увеличение размера такой полости производится путем «отодвигания» в стороны фотонно-кристаллических стенок. В то же время дефект, нарушающий периодичность окружающей его структуры, дает прямую зависимость резонансной частоты от размера полости, то есть одновременный рост указанных величин, что соответствует поведению отталкивающего потенциала в кристаллах [63,73,84]. Данный эффект связан с уменьшением эффективной диэлектрической проницаемости среды внутри резонатора с неизменными размерами, а увеличение размера такого рода дефекта производится путем удаления дополнительного объема диэлектрика без смещения всей фотонно-кристаллической структуры. В «поленнице» образование воздушного дефекта на практике возможно только вторым из перечисленных путей, а именно удалением части составляющего структуру бруска. Таким образом, теоретически предсказан рост частоты с ростом полости в исследуемой трехмерной фотонно-кристаллической структуре.
Изложенные выше теоретические выводы в данной работе были подтверждены экспериментально.
В п. 4.3 приведена схема эксперимента, в котором измерялось пропускание трехмерной фотонно-кристаллической структуры типа «поленница» с воздушным дефектом и отслеживалось поведение резонансной частоты с ростом размера полости. В эксперименте используется одна из стандартных схем передачи энергии на базе резонансного пропускания. фотонного кристалла [56,62,85]: последний помещается между двумя металлическими волноводами, подключенными к сетевому анализатору спектра.
В п. 4.4 представлены результаты вышеупомянутого эксперимента и их сравнение с численным моделированием рассматриваемой системы. В п. 4.4.1 рассматривается параллельная поляризация поля относительно ориентации дефекта «поленницы», то есть ориентации бруска, часть которого удалена и образует дефект структуры. Установлено, что при такой ориентации электрического поля резонансная частота дефекта растет с увеличением размера (длины удаленной части бруска). Этот факт подтверждает выводы, сделанные в п. 4.3. В п. 4.4.2 рассматривается перпендикулярная поляризация поля относительно ориентации дефекта «поленницы». В данном кристалле полость, перпендикулярная поляризации поля, не поддерживает резонансную моду внутри запрещенной зоны. Поэтому в эксперименте и в моделировании помимо указанной полости, в систему вводился еще один дефект, параллельный поляризации поля и расположенный на соседнем вертикальном (по направлению распространения поля) слое «поленницы». Оставляя неизменными параметры этой параллельной полости, в эксперименте и численном моделировании варьировался размер дефекта, ориентированного перпендикулярно поляризации поля. Результаты исследования показали, что поведение резонансной частоты с увеличением размера дефекта фотонного кристалла отличается от наблюдаемого в случае параллельной поляризации поля. В отличие от непрерывного возрастания, данная зависимость характеризуется насыщением. Такое поведение связано с тем, что в некоторый критический момент продольный размер дефекта превышает размеры эффективного резонатора (моды) и дальнейшее увеличение полости перестает влиять на эффективную диэлектрическую проницаемость внутри эффективного резонатора, то есть перестает влиять на резонансную частоту.
В п. 4.5 представлена предложенная в данной работе эффективная схема передачи энергии на базе резонансного пропускания фотонного кристалла. Основная ее идея заключается в использовании на входе и на выходе закрытых фотонно-кристаллических волноводов [86-88], выполненных внутри фотонного кристалла («поленницы») и передаче энергии на определенной частоте путем связи между этими волноводами и дефектом. По сравнению со стандартными конфигурациями, предложенная схема уменьшает потери на входе и на выходе и позволяет локализовать поле на выходной поверхности фотонного кристалла, что немаловажно при использовании диодов или волноводов для вывода переданной энергии.
В данном исследовании результаты эксперимента хорошо согласовывались с данными, полученными путем численного моделирования с помощью программы Anson. HFSS, основой которой является метод конечных элементов.
П. 4.6 содержит основные выводы по главе 4.
В Заключении сформулированы основные выводы настоящей работы:
1. Проведено теоретическое исследование дисперсионных свойств анизотропных фотонных кристаллов. Разработан обобщенный метод плоских волн, позволяющий учитывать наличие в рассчитываемой периодической структуре с произвольной геометрией и размерностью элементов с тензорными величинами диэлектрической проницаемости, в том числе и і зависящими от пространственных координат. Установлено, что симметрия дисперсионной поверхности анизотропных фотонных кристаллов определяется пересечением группы симметрии решетки фотонного кристалла и группы симметрии, определяемой ориентацией молекул анизотропного материала относительно векторов трансляции и/или плоскостей периодичности фотонного кристалла, что соответствующим образом определяет неприводимую часть зоны Бриллюэна. Проведена подробная классификация возможных вариантов взаимной ориентации одноосного анизотропного материала и двумерного фотонного кристалла и соответствующих им форм неприводимой части зоны Бриллюэна. Показано, что корректный выбор неприводимой части зоны Бриллюэна при расчете дисперсионных диаграмм анизоторпных фотонных кристаллов позволяет избежать значительных ошибок. На примере двумерного фотонного кристалла показано, что анизотропный материал в его составе позволяет управлять положением и шириной запрещенных зон.
2. Проведено теоретическое исследование особенностей преломления света на границе однородного диэлектрика с изотропными и анизотропными фотонными кристаллыми. Установлено, что при преломлении света на границе однородного диэлектрика и двумерного фотонного кристалла теоретически возможно наблюдение полного внутреннего отражения при малых углах падения и многоволновой рефракции с одновременно разрешенными направлениями распространения преломленной волны, соответствующими положительной и отрицательной рефракции. Рассчитаны некоторые законы рефракции в анизотропных фотонных кристаллах и показана возможность управления направлением распространения преломленной волны с помощью анизотропных материалов.
3. Проведено теоретическое исследование нелинейных свойств фотонно- кристаллических волокон с полой сердцевиной. Получено уточненное выражение для коэффициента нелинейности фотонно-кристаллических волокон с полой сердцевиной. Показано, как путем сравнения дисперсионных и нелинейных длин можно оценить параметры солитонов в фотонно- кристаллических волокнах с полой сердцевиной. Конкретные расчеты проведены для двух различных волокон.
4. Проведено теоретическое и экспериментальное исследование резонансного пропускания в фотонных кристаллах с дефектами. Теоретически обоснован и экспериментально подтвержден эффект увеличения резонансной частоты фотонного кристалла типа «поленница» с дефектом акцепторного типа, образованным путем удаления части бруска, с ростом размера дефекта. Теоретически и экспериментально показан различный характер зависимости резонансной частоты «поленницы» с дефектом от размера дефекта для разных поляризаций поля. На базе проведенного исследования предложена оптимальная схема передачи энергии через ограниченный фотонный кристалл типа «поленница» с акцепторным дефектом, основанная на добавлении в структуру фотонного кристалла дополнительных акцепторных областей.
Обобщенный метод плоских волн для периодических сред с анизотропией материала
Для расчета фотонно-кристаллических структур традиционно выделяют несколько групп методов: методы, в которых решаются непосредственно интегральные уравнения [91]; методы, представляющие решения в виде локализованных функций [92]; методы, связанные с разложением поля внутри структуры по плоским волнам [1, 68-72, 93-96].
Наиболее приемлемым при поиске локализованных мод (например, в структурах с дефектами) является метод локализованных функций. Однако при расчете дисперсии идеальной фотонно-кристаллической структуры как бесконечной среды он требует значительных временных затрат.
На фоне этого, метод разложения по плоским волнам является выгодным решением для расчета дисперсии бездефектных периодических сред. В частности он удобен для предварительного расчета запрещенных зон при моделировании сложных структур на базе периодических диэлектрических сред.
Анизотропность материалов, используемых при изготовлении фотонных кристаллов, осложняет расчеты, так как в дисперсионном уравнении появляется векторная величина диэлектрической проницаемости. При этом становятся неприменимыми скалярные приближения (см., например, [97,98]), так как они дают довольно грубое приближение решений (как показано ниже) и, кроме того, не позволяют рассчитывать структуры с неоднородным заполнением анизотропными материалами.
В данной работе построен и применен метод плоских волн, позволяющий рассчитывать структуры с произвольной геометрией, размерностью и произвольными материалами (включая анизотропные).
Рассмотрим бесконечную периодическую структуру, изготовленную в произвольном случае из изотропных и анизотропных материалов, например из стекла с жидкокристаллическим заполнением.
В случае однородного распределения ориентации анизотропного материала, когда ориентация молекул, а соответственно, и локальные диэлектрические свойства не зависят от координат (в пределах участков структуры, заполненной анизотропным материалом), fja (F) = f/a, все Фурье-преобразование производится над функцией профиля /(F) (1.2.3), (1.2.4).
Решение задачи на собственные значения (1.2.9) для некоторой структуры дает набор собственных чисел (обратных значений длин волн) для каждого отдельного значения вектора Блоха к . Значение вектора к задается в пределах зоны Бриллюэна рассматриваемой фотонно-кристаллической решетки. В случае, когда для некоторого диапазона частот не существует ни одного действительного значения векторов Блоха, то есть нет ни одного разрешенного направления распространения, говорят о наличии фотонной запрещенной зоны.
Предложенный метод позволяет рассчитывать положение запрещенных зон в диапазоне длин волн для фотонных кристаллов с произвольной геометрией, размерностью и диэлектрическими свойствами.
Результаты, приведенные в данной главе, получены с помощью разработанного обощенного метода плоских волн, реализованного в виде алгоритма на языке программирования «ФОРТРАН».
Для нахождения запрещенных зон фотонного кристалла необходимо рассчитать частоты (длины волн), между которыми нет ни одного действительного решения задачи на собственные значения (1.2.9). Для простоты рассмотрим двумерный случай - диэлектрическую структуру, периодическую с точки зрения диэлектрических свойств в двух направлениях и постоянную в третьем. Такие структуры используются наиболее часто и являются важными объектами для оптики и фотоники. В них не существует абсолютных запрещенных зон, поскольку вектор Блоха становится двумерным, в то время как волновой вектор имеет три компоненты.
Собственные волны в изотропном двумерном фотонном кристалле
Под двумерным фотонным кристаллом понимается среда, показатель преломления которой периодически изменяется в двух направлениях и остается неизменным в третьем. Это может быть, например, оболочка фотонно-кристаллического волокна [9, 103] из диэлектрика проницаемостью ег (вмещающей среды) с цилиндрическими отверстиями, заполненными другим диэлектриком ЕХ є2 и расположенными вдоль оси волокна.
В зависимости от расположения цилиндров в сечении, перпендикулярном плоскости периодичности, можно выделить различные конфигурации двумерного фотонного кристалла. В настоящей главе рассматривались квадратная и треугольная (гексагональная) фотонно-кристаллические решетки .
Двумерный фотонный кристалл с а) квадратной решеткой, б) гексагональной решеткой. Для описания свойств периодических сред удобно представить пространственное распределение показателя преломления (диэлектрической проницаемости) в виде ряда Фурье: где г± = (х, у) — координата в поперечном сечении фотонного кристалла (в плоскости периодичности); smn - коэффициенты Фурье пространственного распределения диэлектрической проницаемости; Gmn— вектор обратной решетки фотонного кристалла.
Таким образом, представив диэлектрическую проницаемость гладкой функцией координат и считая, что падающая волна линейно поляризована и распространяется в плоскости периодичности фотонного кристалла (так называемое распространение in-plane), можно записать уравнения для электрического и магнитного полей ТМ и ТЕ волн соответственно.
Соотношение (2.2.6) позволяет судить о наличии или отсутствии пропускания фотонного кристалла на той или иной частоте падающей волны. Для ТЕ-волн запрещенные зоны могут быть достаточно широкими и появляться уже при относительно небольших перепадах показателя преломления в фотонном кристалле (при малых различиях єх и є2), в то время как запрещенные зоны для ТМ-волн значительно уже и образуются лишь при очень большой разнице.
Для получения закона преломления был использован метод изочастот, проиллюстрированный на рис.2.3.1. Данный метод основан на построении поверхностей волновых векторов [35] граничащих сред. Указанные поверхности по аналогии с изоэнергетическими поверхностями в физике твердого тела называются изочастотами - поверхностями равной частоты. Олицетворяя собой графическое представление дисперсионного соотношения, они позволяют наглядно и быстро находить решение последнего, отвечающее условиям непрерывности тангенциальной компоненты поля на границе раздела сред в отсутствие поверхностных зарядов. Метод изочастот применим для любых длин волн, в том числе для величин порядка периода фотонных кристаллов. Каждая изочастота (линия уровня дисперсионной характеристики), построенная для некоторой среды, характеризует разрешенные направления распространения волны с соответствующим значением частоты. Метод изочастот. Жирная кривая соответствует изочастоте фотонного кристалла, тонкой кривой обозначена изочастота внешней однородной среды. При прохождении электромагнитной волны через границу двух сред тангенциальная компонента волнового вектора сохраняется к\г) = к$ = к$ Согласно граничным условиям тангенциальная компонента волнового вектора не претерпевает изменений при преломлении волны на границе двух сред к?=к\ (2.3.2) где к} , kdz) - тангенциальные компоненты волновых векторов падающей и преломленной волн соответственно. Таким образом, метод изочастот сводится к решению дисперсионного уравнения (2.2.6) при заданных К и kdx) относительно нормальной компоненты волнового вектора преломленной волны kdx).
Графически эти решения определяются пересечением изочастоты фотонного кристалла с нормалью к границе раздела сред, проведенной из конца волнового вектора падающей волны. В общем случае нормаль может пересекать изочастоту несколько раз, то есть заданным частоте и тангенциальной компоненте волнового вектора могут соответствовать несколько значений k(dn). Как показано в данной работе, их число зависит от угла падения волны и взаимной ориентации границы раздела сред и векторов трансляции фотонного кристалла. В частности, если граница фотонного кристалла параллельна одному из векторов трансляции кристалла, то существуют два решения дисперсионного уравнения kff и kd"} (рис.2.3.1). Однако физический смысл имеет лишь решение, соответствующее волне, в которой вектор групповой скорости, ответственный за перенос энергии и определенной как vgr=grad-kw[k\ узу) где w - частота волны, образует острый угол с нормалью п границы раздела сред - kff на рис.2.3.1 (прямые волны). Второе решение kd"l отвечает обратной, нераспространяющейся волне, поскольку энергия, переносимая ей, стремится выйти обратно во внешнюю среду. 2.4 Преломление в изотропных фотонных кристаллах. Основные результаты расчетов. В ходе работы с помощью приведенного выше метода построены различные картины преломления света на границе однородного диэлектрика и фотонного кристалла. При расчетах в выражениях (2.2.4) и (2.2.5) учитывалась 441 Фурье-гармоника, что позволило достаточно точно получить дисперсионное соотношение (2.2.6). Рассмотрены квадратная и гексагональная фотонно-кристаллические решетки с безразмерными параметрами г/а = 0.4, а=\. Здесь г - радиус отверстий, а - период структуры. Собственные значения волнового числа нормировались на а \ Расчеты проведены для ТЕ-моды падающей волны, так как для нее наблюдаются запрещенные зоны при значениях диэлектрических проницаемостей сред гг = 1, є2 = 1.5.
Распространение импульсов и расчет дисперсии фотонно-кристаллических волноводов с полой сердцевиной
Рассмотрен случай наклонной ориентации границы раздела однородного диэлектрика и фотонного кристалла по отношению к векторам трансляции решетки последнего. Показана возможность наблюдения многоволновой рефракции — возникновения нескольких направлений распространения преломленной волны. Такая множественность связана с невырожденностью нескольких решений дисперсионного уравнения, являющихся вкладами от соседних зон Бриллюэна. При этом в наборе разрешенных направлений распространения могут одновременно присутствовать как волны, являющиеся результатом положительной рефракции, так и волны, являющиеся результатом отрицательной рефракции. Количество возможных направлений при многоволновой рефракции зависит от угла наклона границы раздела сред к векторам трансляции прямой решетки фотонного кристалла.
Показано, что использование анизотропных материалов в фотонных кристаллах позволяет управлять картиной преломления с помошью переориентации анизотропных молекул относительно решетки фотонного кристалла.
По результатам данной главы сформулировано следующее защищаемое положение: при преломлении света на границе однородного диэлектрика и двумерного фотонного кристалла теоретически возможно наблюдение полного внутреннего отражения при малых углах падения и многоволновой рефракции с одновременно разрешенными направлениями распространения преломленной волны, соответствующими положительной и отрицательной рефракции.
Как отмечено во введении, дефекты, образуемые нарушением периодичности фотонного кристалла, способны локализовывать электромагнитную энергию. Данная глава рассматривает один из возможных вариантов использования таких дефектов, а именно, применение последних в создании фотонно-кристаллических волноводов: при распространении электромагнитной волны в направлении, перпендикулярном плоскости периодичности двумерного фотонного кристалла вдоль дефекта решетки фотонного кристалла, возможно получение волноведущего эффекта. Разделяют два типа фотонно-кристаллических волноводов: волноводы с дефектом донорного типа [9,103,107], то есть волноводы с сердцевиной из материала, оптически более плотного, чем оболочка, и волокна с дефектами акцепторного типа [9,103,108], то есть волноводы с сердцевиной из материала, оптически менее плотного, чем оболочка, обычно речь идет о полых сердцевинах [ 109,ПО].
Фотографии поперечных сечений а) обыкновенного волокна б) фотонно-кристаллического волокна в) фотонно-кристаллического волокна с полой сердцевиной. Фотография опубликована в статье [103]. Первый тип волноводов работает на полном внутреннем отражении [104], при этом фотонно-кристаллическая оболочка таких волноводов служит в основном для улучшения их дисперсионных характеристик. Второй тип волноводов использует эффект отражения от фотонно-кристаллической оболочки в пределах фотонной запрещенной зоны. Эффективность работы данного типа устройств существенно зависит от аккуратности изготовления периодической структуры оболочки.
Особый интерес представляют фотонно-кристаллические волокна с полой сердцевиной, так как в отличие от волокон с твердой сердцевиной, они в существенной мере свободны от ограничений, задаваемых материалом сердцевины. В силу отсутствия последнего, распространяющаяся в основном в воздухе мода не подвергается сильному влиянию материальной дисперсии, нелинейности или диссипации [38,39]. Таким образом, в данных волокнах возможна передача сигналов высокой мощности при поперечном размере сердцевины волокна порядка 10- 20 jum [40]. В работе [41] продемонстрировано распространение в полом фотонно-кристаллическом волноводе фемтосекундного импульса мегаваттной мощности на длине волны 1550нм, что практически невозможно реализовать в обычных волокнах из-за рамановского преобразования частот и фазовой самомодуляции. Благодаря способности передавать импульсы высокой мощности, полые фотонно-кристаллические волокна стали объектом интенсивного изучения в нелинейной оптике [42]. Недавно было продемонстрировано, что данные волокна способны значительно усиливать такие нелинейные эффекты, как вынужденное Рамановское рассеяние [43,44], четырехволновое взаимодействие [45], когерентное антистоксово комбинационное рассеяние [46] и фазовая самомодуляция [47].
Несмотря на то, что моды, поддерживаемые полыми фотонно-кристаллическими волокнами, распространяются в основном в воздухе, в рассматриваемом типе волокон возможно образование солитонов [48-50]. В работе [48] продемонстрирована возможность передачи образование солитонных фемтосекундных импульсов на длине волны порядка SOOHM на расстояния в несколько метров. С практической точки зрения солитонные режимы в полых фотонно-кристаллических волокнах очень важны, так как передача импульсов высокой мощности может применяться для решения технологических [51,52] и биомедицинских задач [53].
В работе [48] показано, что в установлении солитонного режима существенную роль играет не только нелинейность материала (кварцевого стекла), но и нелинейность воздуха. При оценках вклада нелинейности кварца в [48] было использовано приближенное выражение для коэффициента нелинейности волокна, основанное на эффективной площади моды [80]. В данной работе было уточнено выражение для коэффициента нелинейности фотонно-кристаллического волокна путем учета векторной структуры моды волновода, а также был предложен способ оценки параметров солитонного импульса, образующегося в полых фотонно-кристаллических волокнах. Указанный способ основан на сравнении нелинейности волокна, рассчитанной с помощью предложенного в работе выражения для коэффициента нелинейности волокна, и дисперсии групповой скорости волокна. Коэффициент дисперсии рассчитывался с помощью метода плоских волн на суперрешетке [79] - бесконечной периодической структуре, образованной периодическим продолжением поперечного сечения волокна.
В данной главе рассматривается возможность образования и распространения солитонов в фотонно-кристаллических волноводах с полой сердцевиной, изготовленных из слабонелинейного стекла (например, ВК7). Нелинейность подобных структур мала из-за высокого коэффициента заполнения, поэтому в настоящей работе учтена нелинейность Керра, результатом которой является возникновение поправки к локальному показателю преломления материала, пропорциональной интенсивности поля.
Два типа дефектов
Ввиду сложности и многообразия трехмерных структур кажется невозможным записать полезное выражение для определения резонансной частоты произвольной полости в произвольной структуре. Некоторые идеи о том, как резонансная частота зависит от параметров дефектов фотонных кристаллов даны в работах [62, 83, 84, 117]. Авторы части из этих работ рассматривают воздушную полость как настоящий резонатор, окруженный стенками, отражающими за счет эффекта запрещенной зоны [83]. Согласно данному подходу, акцепторный дефект аналогичен металлическому резонатору, что, соответственно, предполагает падение частоты с ростом размера полости.
Авторы других работ [62,84] придерживаются аналогии, существующей между поведением фотонов в фотонных кристаллах и электронов в кристаллах. В рамках этого подхода воздушный дефект схож: с отталкивающим потенциалом (в то время, как донорный дефект аналогичен притягивающему потенциалу). Таким образом, следуя идеям данного взгляда, можно считать, что увеличение размера дефекта соответствует усилению потенциала, то есть росту резонансной частоты. С помощью метода матриц передачи [104], реализованного в виде алгоритма на языке программирования «ФОРТРАН», были построены спектры отражения/пропускания рассматриваемой структуры для различных типов и размеров воздушных дефектов. В качестве примера одномерного фотонного кристалла (рис.4.2.1) выбрана периодическая структура, состоящая из чередующихся слоев стекла и воздуха одинаковой толщины а{=а2= р. Диэлектрическая проницаемость стекла положена равной s f2s = 2.25.
В данной работе выделено два различных типа воздушной полости в фотонном кристалле: первый соответствует раздвиганию фотонно-кристаллических стенок по мере роста полости, что не нарушает периодичности структуры, окружающей дефект; второй тип нарушает периодичность окружающей его структуры, то есть с увеличением размера такого дефекта окружающая его периодическая структура остается неподвижной и при этом для удаляется все большее количество диэлектрика.
Первый способ соответствует обыкновенному резонатору, что предполагает уменьшение резонансной частоты с ростом размеров полости. На рис.4.2.2 представлены рассчитанные методом матриц передачи спектры отражения рассматриваемого одномерного фотонного кристалла для различных размеров дефекта, не нарушающего периодичность структуры вокруг себя. Интервалы длин волн (волновых чисел), где абсолютная величина коэффициента отражения принимает значение единицы, соответствуют запрещенным зонам. Резонансы внутри запрещенных зон, проявляющиеся в резком падении значения абсолютной величины и скачка фазы коэффициента отражения, соответствуют модам дефекта. На рис. 4.2.2а приведен спектр отражения структуры без дефекта, поскольку ширина дефектного слоя равна ширине всех остальных воздушных слоев структуры. По мере увеличения размера дефекта видно, как резонансы появляются вблизи верхней (высокочастотной) границы запрещенной зоны и двигаются по направлению к нижней (низкочастотной) границе. Таким образом, резонансная частота падает с ростом размера дефекта.
В отличие от рассмотренного типа акцепторных дефектов, второй из отмеченных видов, предполагающий нарушение периодичности структуры вокруг полости, не меняет размер эффективного резонатора по ходу роста. В свою очередь, увеличение размера такой полости приводит к падению эффективной диэлектрической проницаемости внутри неизменного в размерах эффективного резонатора. Таким образом, в зависимости от типа акцепторного дефекта фотонного кристалла, резонансная частота всей системы может либо увеличиваться, либо уменьшаться с ростом размера полости.
Поскольку наиболее распространенный и практически удобный метод формирования воздушного дефекта в трехмерной структуре типа «поленница» заключается в удалении части одного из составляющих ее брусков, что относится ко второму из рассмотренных выше случаев, теоретически предсказан одновременный рост частоты и размера дефекта. В работе данная гипотеза подтверждена численно и экспериментально.
Использованная в эксперименте «поленница» была изготовлена послойно из пластинок материала толщиной 1.27мм, так что две пластинки образовывали один слой фотонного кристалла. Бруски вырезались на фрезерном станке LPKF ProtoMat 93 s с точностью сверления 2мкм, Края пластин сохранялись для создания рамки, поддерживающей бруски. Были изготовлены только два типа слоев, остальные два соответствовали первым, повернутым на угол 90. После послойной сборки структуры углы рамки скреплялись болтами. Общий размер структуры 166.4мм х 166Амм х 50.8лш, то есть 20 х 20 х 5 периодов в поперечных и вертикальном направлении соответственно.
Поведение резонансной частоты согласуется с прогнозом, данным в п. 4.2 (рис. 4.4.1.2). Поскольку эффективным резонатором является целая элементарная ячейка (группа ячеек) фотонного кристалла, содержащая дефект, удаление диэлектрика приводит к уменьшению эффективной диэлектрической проницаемости внутри резонатора.
Аналогичные измерения и моделирование были проведены для перпендикулярной поляризации падающего поля относительно ориентации бруска с дефетом. В данном фотонном кристалле полость, перпендикулярная вектору электрического поля падающей волны, не поддерживает резонансные моды в запрещенной зоне фотонного кристалла. Однако ее размер существенно влияет на резонансную частоту составного дефекта в виде самой рассматриваемой полости и дефекта, выполненного в соседнем слое «поленницы» в бруске, параллельном электрическому полю.
