Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Самосопряженность сильно эллиптических дифференциальных операторов второго порядка в l2(G) и метод исправляющих потенциалов 42
1.1. Основные локальные условия 42
1.2. Построение исправляющих потенциалов 44
1.3. Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном 59
1.4. Самосопряженность в существенном неполуограниченных эллиптических операторов в Li{G) 72
1.5. Случай оператора Шрёдингера 79
ГЛАВА 2. Многомерная теорема Г. Вейля и замыкание в метрике обобщенного интеграла дирихле 98
2.1. Теорема Вейля для многомерного случая 99
2.2. Накрывающие семейства и самосопряжённость в существенном оператора М. 103
2.3. О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле 111
ГЛАВА 3. О самосопряженности в существенном полуограничеіи1ых эллиптических операторов высших порядков 122
3.1. Условия полумаксимальности двучленного эллиптического оператора порядка 2т 122
3.2. Пример позитивного опертора (-А) + q(x) с ненулевыми и 11 дексам и дефекта 131
ГЛАВА 4. Эллиптические системы произвольного порядка 138
4.1. Локальное строение области определения рассматриваемых операторов. Принцип расщепления 138
4.2. Операторы в частных производных как суперпозиция одномерных 144
4.3. Некоторые вспомогательные результаты 148
4.4. Основные теоремы о совпадении минимального и максимального операторов 153
4.5. Простейшие следствия из основных теорем о совпадении Lm и LAI 162
4.6. Условия совпадения минимального и максимального операторов в терминах ограничении на символ дифференциального выражения 176
4.7. Критерии существования регулярной точки и дискретности спектра 184
4.8. О самосопряженности эллиптических операторов, неудовлетворяющих условиям Титчмарша-Сирса 195
Литература 207
- Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном
- О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле
- Условия полумаксимальности двучленного эллиптического оператора порядка 2т
- Локальное строение области определения рассматриваемых операторов. Принцип расщепления
Введение к работе
Работа посвящена условиям самосопряжённности и некоторым вопросам спектрального анализа эллиптических дифференциальных операторов в пространствах L2(G) и L G), где G - открытое множество в R . Рассматриваются операторы, как второго, так и произвольного порядка, как являющиеся симметрическими, так и нет.
Эллиптические операторы играют исключительно важную роль в современной математике и физике, особенно в краевых задачах, квантовой механике и теории колебаний. Известно, например (см. [89, гл.8, §11]), что в квантовой механике физические соображения позволяют выбрать формальное выражение для гамильтониана как некоторого эллиптического оператора. При этом область определения не устанавливается. Обычно нетрудно найти область, на которой данное формальное выражение есть корректно определенный симметрический оператор. Одна из основных математических проблем состоит в доказательстве самосопряжённости в существенном полученного оператора, а если оператор не обладает этим свойством - в исследовании различных его самосопряжённых расширений. При этом одной из важнейших задач является нахождение точных и эффективных условий существенной самосопряженности. Несмотря на то, что вопросам самосопряжённости эллиптических операторов посвящено большое количество работ, здесь остается немало нерешенных проблем. Так, со для симметрических операторв L (DL=C0 (G)) второго порядка общего вида вопрос о самосопряжённости относительно хорошо изучен в случае G=R (см., например, обзор [10]). При G R" наиболее точные достаточные условия самосопряжённости известны лишь для оператора Шрёдингера в области G=R"\V, где V - множество меры нуль того или иного частного вида. Гак, известная теорема Кальфа-Вальтера-Шминке -Саймона (см. [89], теорема Х.ЗО) относится к оператору Шрёдингера в области G=R \{ 0} и
даст наименее жесткие из известных условия самосопряжённости в терминах расстояния до dG= { 0}. Первые подобные результаты для п 1 принадлежат Иоргенсу [135], а сама теорема установлена Саймоном [163], обобщившим теоремы Кальфа-Вальтера [141] и Шминке [157]. Для п= 1 подобная теорема принадлежит Фридрихсу [131] (см. также [89], теорема Х.10). Близость условий Фридрихса к необходимым отмечена Сирсом [160]. Ряд аналогов теоремы Кальфа-Вальтсра-Шминке-Саймоиа для некоторых видов множества К содержится в работах [122, 111, 112, 148]. Для эллиптических операторов общего вида с произвольной областью G вопросы самосопряжённости изучались в работах [135, 132, 155], однако для оператора Шрёдингера при G=R W они дают значительно более слабіле результаты, чем [122, 111, 112, 148].
В последнее время появился ряд работ (см., например, [79, 126, 161, 162], а также обзор [16] и монографию [124]), в которых исследуются условия самосопряжённости эллиптических операторов на римановых многообразиях. Однако и эти интересные результаты описанный выше пробел не заполняют.
Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела, то есть, получение таких условий самосопряжённости для эллиптических операторов общего вида в произвольной области G, которые бы генерировали обобщения известных аналогов теоремы Кальфа - Вальтера -Шминке-Саймона.
В работе при исследовании самосопряжённности эллиптических операторов второго порядка общего вида в произвольном открытом множестве Gc R" обосновывается принцип, согласно которому но матрице //(.v) старших коэффициентов оператора L и области G всегда можно построить такую функцию q t(x), что из полуограниченности операторов L и L-cj ,(х) вытекет самосонряжённность L. Предложен ряд конструкций для функции q.,(x), называемой исправляющим потенциалом. При этом для некоторых построенных пиже в конкретных примерах qA{x) при любом є 0 функции (\-z)qA(x) исправляющими потенциалами уже не являются. Физически исправляющий потенциал qA(x) 0 играет роль добавочного потенциального барьера, удерживающего квантовую частицу в пределах области G, когда полуограниченный оператор энергии НФН .
В диссертации разработана также специальная техника, которая позволяет при известном исправляющем потенциале доказывать критерии самосопряжённности, вообще говоря, неполуограниченного эллиптического оператора в терминах поведения его коэффициентов. Полученные результаты не только охватывают теорему Кальфа-Вальтера -Шминке-Саймона и ряд ее известных аналогов, но позволяют получать новые признаки самосопряженности для не изученных ранее операторов.
Ещё одной проблемой является перенос на эллиптические операторы второго порядка в G известной теоремы Г.Вейля [170] о самосопряжённости в существенном оператора Штурма-Лиувилля Lu = -(p(x)u) +q(x)u, г I I О,=С0 (R ) в L2(R ) ири/;(.г) 0, q{x) const. Этот классический результат не допускает простого переноса на многомерный случай, что показывают примеры, построенные в работах [107, 59]. Тем пе менее, известны многомерные аналоги теоремы Г. Вейля ([125, 95]), относящиеся к довольно частным видам матрицы-функции А(х) старших коэффициентов эллиптического оператора. В диссертации установлено непосредственное многомерное обобщение теоремы Вейля, содержащее известные многомерные аналоги и, в отличие от них, относящиеся к области G, которая может быть собственным подмножеством R .
Среди вопросов о самосопряжённости эллиптических операторов особую роль играет вопрос о связи полуограниченности сильно эллиптического оператора с его самосопряжённостью в существенном. В
многомерном случае эта связь была обнаружена в известной теореме Л.Я. Повзнера [88] о самосопряженности в существенном полуограпиченного оператора Шрёдингера с непрерывным потенциалом q(x). В качестве гипотезы эта теорема была высказана И.М. Глазманом , а также Ф.Реллихом, который доказал и ее одномерный вариант в работе [150] , а в своем докладе на Математическом конгрессе в Амстердаме [151] предположил справедливость этого утверждения и в многомерном случае. Простое доказательство теоремы Л.Я. Повзнера было предложено Е. Вингольцем [171]. Одним из оснований упомянутой гипотезы явилась теорема Карлемана-Фридрихса [120], [130] о самосопряжённости оператора Шрёдиигера при ограниченности снизу его потенциала (q(x) const). Теорема Карлемана-Фридрихса сохраняется и для эллиптического оператора Z,=(-A)"f- y(.Y), D[ = C0(R ), Inw/(.Y)=0, q(x)eC(R"), действующего в пространстве L2(R ). Поэтому естественно возникает вопрос о справедливости гипотезы Глазмана-Реллиха и для этого оператора. В диссертации установлена несправедливость этой гипотезы при т 1. Точнее, приведен пример позитивного о ератора М=—т + ЯІх) dx • і і (Dj = C0(R )) в L2(R ), имеющего ненулевые индексы дефекта. В этом примере минимальный оператор Т0(М), порожденный выражением М на полуоси (0,со) имеет индексы дефекта (4,4). Тем самым одновременно дан положительный ответ на вопрос, содержащийся в докладе В.Н.Эвсрита [128] на международной конференции в Упсале (1977) и в работах [147, 127, 69], о возможности оператору Т0(М) иметь индексы дефекта (4,4).
Приграничное поведение потенциала полуограниченного эллиптического оператора, обеспечивающее его самосопряжённость в существенном
Эллиптические операторы играют исключительно важную роль в современной математике и физике, особенно в краевых задачах, квантовой механике и теории колебаний. Известно, например (см. [89, гл.8, 11]), что в квантовой механике физические соображения позволяют выбрать формальное выражение для гамильтониана как некоторого эллиптического оператора. При этом область определения не устанавливается. Обычно нетрудно найти область, на которой данное формальное выражение есть корректно определенный симметрический оператор. Одна из основных математических проблем состоит в доказательстве самосопряжённости в существенном полученного оператора, а если оператор не обладает этим свойством - в исследовании различных его самосопряжённых расширений. При этом одной из важнейших задач является нахождение точных и эффективных условий существенной самосопряженности. Несмотря на то, что вопросам самосопряжённости эллиптических операторов посвящено большое количество работ, здесь остается немало нерешенных проблем. Так, для симметрических операторов L (DL=C0 (G)) второго порядка общего вида вопрос о самосопряжённости относительно хорошо изучен в случае G=R (см., например, обзор [10]). При G R" наиболее точные достаточные условия самосопряжённости известны лишь для оператора Шрёдингера в области G=R"\V, где V - множество меры нуль того или иного частного вида. Гак, известная теорема Кальфа-Вальтера-Шминке -Саймона (см. [89], теорема Х.ЗО) относится к оператору Шрёдингера в области G=R \{ 0} и даст наименее жесткие из известных условия самосопряжённости в терминах расстояния до dG= { 0}. Первые подобные результаты для п 1 принадлежат Иоргенсу [135], а сама теорема установлена Саймоном [163], обобщившим теоремы Кальфа-Вальтера [141] и Шминке [157]. Для п= 1 подобная теорема принадлежит Фридрихсу [131] (см. также [89], теорема Х.10). Близость условий Фридрихса к необходимым отмечена Сирсом [160]. Ряд аналогов теоремы Кальфа-Вальтсра-Шминке-Саймоиа для некоторых видов множества К содержится в работах [122, 111, 112, 148]. Для эллиптических операторов общего вида с произвольной областью G вопросы самосопряжённости изучались в работах [135, 132, 155], однако для оператора Шрёдингера при G=R W они дают значительно более слабіле результаты, чем [122, 111, 112, 148].
В последнее время появился ряд работ (см., например, [79, 126, 161, 162], а также обзор [16] и монографию [124]), в которых исследуются условия самосопряжённости эллиптических операторов на римановых многообразиях. Однако и эти интересные результаты описанный выше пробел не заполняют.
Одной из целей настоящей работы является устранение этого пробела, то есть, получение таких условий самосопряжённости для эллиптических операторов общего вида в произвольной области G, которые бы генерировали обобщения известных аналогов теоремы Кальфа - Вальтера -Шминке-Саймона.
В работе при исследовании самосопряжённности эллиптических операторов второго порядка общего вида в произвольном открытом множестве Gc R" обосновывается принцип, согласно которому но матрице //(.v) старших коэффициентов оператора L и области G всегда можно построить такую функцию q t(x), что из полуограниченности операторов L и
L-cj ,(х) вытекает самосонряжённность L. Предложен ряд конструкций для функции q.,(x), называемой исправляющим потенциалом. При этом для некоторых построенных пиже в конкретных примерах qA{x) при любом є 0 функции (\-z)qA(x) исправляющими потенциалами уже не являются. Физически исправляющий потенциал qA(x) 0 играет роль добавочного потенциального барьера, удерживающего квантовую частицу в пределах области G, когда полуограниченный оператор энергии НФН .
В диссертации разработана также специальная техника, которая позволяет при известном исправляющем потенциале доказывать критерии самосопряжённности, вообще говоря, неполуограниченного эллиптического оператора в терминах поведения его коэффициентов. Полученные результаты не только охватывают теорему Кальфа-Вальтера -Шминке-Саймона и ряд ее известных аналогов, но позволяют получать новые признаки самосопряженности для не изученных ранее операторов.
Ещё одной проблемой является перенос на эллиптические операторы второго порядка в G известной теоремы Г.Вейля [170] о самосопряжённости в существенном оператора Штурма-Лиувилля Lu = -(p(x)u) +q(x)u, О,=С0 (R ) в L2(R ) ири/;(.г) 0, q{x) const. Этот классический результат не допускает простого переноса на многомерный случай, что показывают примеры, построенные в работах [107, 59]. Тем пе менее, известны многомерные аналоги теоремы Г. Вейля ([125, 95]), относящиеся к довольно частным видам матрицы-функции А(х) старших коэффициентов эллиптического оператора. В диссертации установлено непосредственное многомерное обобщение теоремы Вейля, содержащее известные многомерные аналоги и, в отличие от них, относящиеся к области G, которая может быть собственным подмножеством R .
Среди вопросов о самосопряжённости эллиптических операторов особую роль играет вопрос о связи полуограниченности сильно эллиптического оператора с его самосопряжённостью в существенном. В многомерном случае эта связь была обнаружена в известной теореме Л.Я. Повзнера [88] о самосопряженности в существенном полуограпиченного оператора Шрёдингера с непрерывным потенциалом q(x). В качестве гипотезы эта теорема была высказана И.М. Глазманом , а также Ф.Реллихом, который доказал и ее одномерный вариант в работе [150] , а в своем докладе на Математическом конгрессе в Амстердаме [151] предположил справедливость этого утверждения и в многомерном случае. Простое доказательство теоремы Л.Я. Повзнера было предложено Е. Вингольцем [171]. Одним из оснований упомянутой гипотезы явилась теорема Карлемана-Фридрихса [120], [130] о самосопряжённости оператора Шрёдиигера при ограниченности снизу его потенциала (q(x) const). Теорема Карлемана-Фридрихса сохраняется и для эллиптического оператора Z,=(-A)"f- y(.Y), D[ = C0(R ), Inw/(.Y)=0, q(x)eC(R"), действующего в пространстве L2(R ). Поэтому естественно возникает вопрос о справедливости гипотезы Глазмана-Реллиха и для этого оператора.
О замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле
Для выражения Л/=(-А) + Q(x) (г=1, а = 2///)с комилекснозначной функцией Q(x) в 4.7 доказана чистая дискретность спектра оператора М„, при ослабленных, по отношению к теореме 4.7.2, условиях на регулярность поведения Q(x) (теорема 4.7.3). Для выражения j + Q(x ) с сіх комплексным Q(x) условия дискретности спектра изучались в работах М.А. Наймарка [76], Н.1 . Лидскго [64], Е.С. Биргера [11], и Л.Г. Лленипьіна [3]. Вытекающий из теоремы 4.7.3 для этого выражения признак дискретности спектра близок к полученному в работе Л.Г. Лленицына [3]. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [17-30] и неоднократно докладывались автором па конференциях и семинарах, в том числе, на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения II.Г. Петровского (Москва, май 2001г.), на Международной конференции по теории функцій"! и математической физике, посвященной 100-летию II.II. Лхиезера (Харьков, август 2001г.), на Международной конференции по функциональному анализу (Киев, август 2001г.), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Л.II. Колмогорова (Москва, июнь 2003г.), на семинарах в МГУ (руководители проф. Л.Г. Костюченко и проф. А.А. Шкаликов), па Харьковском общегородском семинаре (руководитель акад. П.А. Марченко). Некоторые результаты опубликованных но теме диссертации работ отражены в ряде монографий и обзоров других авторов (в книге [86], в монографиях [85], [99] и обзорах [152-154]). В этой главе рассматриваются эллиптические дифференциальные операторы в пространстве L2(G), записываемые в следующих двух формах: Здесь A(x) - положительная эрмитова матрица-функция, b(x) - n компонентпая исктор-функция с вещественными компонентами, q(x) вещественная функция, G- произвольное открытое множество в R". Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [21 ]—[24], [27]. 1.1. Основные локальные условии Отметим, что для компонент вектор-функции f(x)e Lip (G) частные производные первого порядка существуют почти всюду в G (см. [104], с.295). Поэтому операторы L и Л/ являются корректно определенными на С0 (G) при условиях которые всюду ниже считаются выполненными. Обозначим через DliK{L) множество функций neL2loc(G), для каждой из которых найдется такая функция geL2loc(G), что при всех рєС0 (G) справедливо равенство (//,/.ф) = ( ,ф),-где , - скалярное произведение в /„2(supp(p). В частности, D, czDloc(L ). Помимо условий (1.1.1) мы предполагаем коэффициенты оператора L имеющими такие локальные свойства, что выполнено Условие А. Для всякой функции u(x)eDloc(L ) // любой ограниченной области Q (Q с G)существует последовательность {ит}т,1 функций из С (G), для которой ин- и в L2(Q) и Jim Rc(vLum,um), ia)=Rc(\\igtu)L(n) при любой вещественной функции VJ/ є C0(Q). Нетрудно показать, что условие Л реализуется, если au{x)eC\G), bj(x)eCl(G)t q(x)eL„loc(G). Заметим, что дифференциальное выражение М вида (1.0.2), всегда можно записать в форме выражения L вида (1.0.1) с той же матрицей Л{х), но с другими Ь(х) и q{x). Следующее предложение даст достаточный признак реализации условия А при L=M. Предложение 1.1.1.. Пусть в операторе М вида (1.0.2) А(х) -положительная симметрическая {вещественная) матрица-функция, причем ,.( ) є C(,,a)(G), bj(x)eC\G), (1.1.2) а вещественная функция q(x)eL2loc(G) локально ограничена снизу. Тогда условие А выполнено с L=M. Доказательство. По оператору Ми ограниченной области ClaG построим дифференциальный оператор Л/0, действующий в пространстве L2(R"). Пусть Q0 и Q, такие ограниченные открытые множества, что, QcQ,„ QocQ,, Qi с (/.Обозначим через / ,( ), 5{(х) и qx(x) функции, определенные в R \ совпадающие с А(х), Е(х) и q(x) на Q, и равные нулю вне Q,. Пусть 0 0(х) 1 - функция из С (/?"), причем 0(х) = 1 при дгєО0, и 0(дг) = О прихgQ,. Рассмотрим в L2(R ) оператор Здесь Л0(лг)=0(х)/1,(л-)+(1-0(д:))/н, ln - единичная пхп матрица. М0 -эллиптический оператор, удовлетворяющий всем условиям теоремы 1 из работы [125]. В силу этой теоремы он является самосопряжённым в существенном. Пусть u(x)eDloc(M ), тогда при xeQ. g=Mu=MQu. Пусть функция ф(л-)єС (/?"), (р(л:)=1, при xeQ. и (p(x) O при xgQ0. Если м, = м при xeQQ и 7/, = 0 при x Q0, то функция (рм, eL2(lt"). Воспользовавшись адаптацией метода Като [145] получаем, что фи, eD = D . Поэтому существует последовательность {ит} элементов С0 (R ) такая, что ит—»фи, и Л/0г/И — Л/0(Фг/,) в L2(R ). Поскольку при xeQ. Mo(ipul)=Mu=g, Л/0//,,,= ///,,,, то получаем //„,- м, Мит- Ми в Z,2(Q). Отсюда следует справедливость условия Л. Предложение доказано. Замечание 1.1.1. Если условие Л выполнено для оператора L, то оно выполняется для оператора T=L+p(x), где р(х) є Lmloc(G). В частности в предложении 1.1.1 q(x) можно считать локально ограниченным снизу в существенном.
Условия полумаксимальности двучленного эллиптического оператора порядка 2т
Эта последовательность областей определяет последовательность телесных слое» П=П2к\П2к-\ ( 1,2,..-), каждый из которых может состоять из некоторого количества связных р компонент (7 = (JТ[ ). С ростом к каждая компонента "прижимается" к своей /=i связной части 8G или к бесконечно удаленной точке, а, может быть, к тому и другому, если компонента границы области неограниченна. В дальнейшем мы считаем слой 7д связным открытым множеством, опуская индекс / , если это не может привести к недоразумениям. Обозначим через щ(х) определенную в Тк гармоническую (Дгц=0) функцию, удовлетворяющую краевым условиям гц( )1ю 0, ЛАМІП =1-Такая функция всегда существует (см.[103]). Свяжем также с каждым слоем 7) определенную при / є [0,1] неотрицательную функцию а (/)є/л/?([0,1]), удовлетворяющую условиям а (0) = аД 1)=0. В случае, когда Тк не является связным множеством, считаем функции гц(лс) и Сч(0 сопоставленными каждой компоненте связности в отдельности. Теорема 1.3.4. Пусть в операторе S bj(x)eC\G), а потенциал и локально ограничен снизу. Пусть в каэ/сдой компоненте связности 7) выполняются неравенства где С, К, а, Р 0, с 0 - независящие от к константы. Если, кроме того, Gt{t) const при всех t и к, а таю/се w« оператор S полумаксішалеп. Для доказательства теоремы понадобится Лемма 1.3.1. Для каждой функции ф(х) є Lipl(JC{Tk), обращающейся в ноль па д Тк, справедливо неравенство Доказательство. Достаточно доказать неравенство (1.3.11) для (p(.v)eC0(G). ГЗ общем случае оно элементарно выводится предельным переходом. Воспользуемся неравенством (1.3.1) в случае A(x)=In, G=Tk с векторным полем Дх) = -K(VTU (x))-ctgnr\k (х). у,, итывая гармоничность функции цк(х) получим Из неравенства (1.3.1) вытекает справедливость леммы 1.3.1. Доказательство теоремы 1.3.4. При наших условиях выполнено условие А. Построим функции р(х) и о(х) с которыми выполняются условия (1.2.3), (1.2.4), (1.2.7). Из теоремы 1.2.2 (пункт 1) отсюда будет следовать полумаксимальпость оператора S. Предположим вначале, что все слои Тк одпоевязиые множества . Определим при каждом к функции рДдг) следующим образом: рл(х)=0 при х&&2к-\ , Рк(х)= щ(х) при хеТк; РА(Х)=1 при хе G\ Q . Положим а также он(х)=ак(цк(х)) при хеТк; ац(дг)=0 при хеТк, При каждом л сумма для р(дг) содержит конечное число слагаемых, а сумма для a(.v) - лишь одно. Эти функции принадлежат Lip}Jc(G), и удовлетворяют (1.2.2).Условие (1.2.3), очевидно, следует из (1.3.8), а (1.2.7) тоже выполняется, если в качестве JLI(JC) взять функцию В силу условия (1.3.10) ц(х)- х при x- dG. Осталось доказать справедливость неравенства (1.2.4). Из леммы 1.3.1 следует, что (1.2.4) будет выполняться, если почти всюду в G справедливо неравенство которое заведомо выполнено при x\JTk. При л єТд а(л:)=ахОіА( )), &,c(A )=(t (a+c)aA0iA(x))+a (tiA(x)))2ViiA2. Поэтому, в силу условия (1.3.9), неравенство (1.3.12) выполняется почти всюду в 7Ї с С=0, С?=К и теорема доказана для последовательности односвязных слоев. В общем же случае рассуждение, по сути, не меняется, только при построении функций р(л) и о(х) мы построим их, как и раньше, для каждой компоненты и получим функции р (л) и а (х). Далее следует положить p(x)=Zp (.x), O(X)= G (X). Теорема 1.3.4 доказана. Конкретным выбором функций Oi(t) в теореме 1.3.4 можно получить сравнительно простые следствия. Возьмем в качестве примера оператор S в области G/t ={ х: х є/?3, () л #}. При этом случай R= x не исключается. Здесь мы рассмотрим две последовательности концентрических шаровых слоев, одна из которых с ростом к сжимается к началу координат, а вторая -к поверхности сферы л= R или уходит на бесконечность при R=co. Формулируемые ниже условия относятся к каждой из этих последовательностей в отдельности.
Локальное строение области определения рассматриваемых операторов. Принцип расщепления
В 2.1, 2.2 настоящей главы рассматривается вопрос о самосопряжённости в существенном эллиптического оператора М вида D4=C0(G). Здесь G - открытое множество в R , А(х) - позитивная симметрическая (вещественная) матрица-функция, В (х) - «-компонентная вектор-функция с вещественными компонентами, a q(x) - вещественная функция, удовлетворяющая почти всюду в G условию Известная теорема Г. Вейля [170] равносильна тому, что оператор Штурма-Лиувилля Lu=-(p(x)u y+q(x)u, D,-C0(R ) с достаточно гладкими функциями /;(л") 0, q(x) const самосопряжён в существенном в пространстве L2(R ). Примеры, построенные в работах [107, 59] показывают, что при G=R и /; 3 оператор Л/вида (2.0.1), (2.0.2) может иметь ненулевые индексы дефекта даже при b (х)= 0, q(x)=const. С другой стороны, работы [125], [95] содержат многомерные аналоги теоремы Вейля для матриц А(х) некоторых частных видов. 2.1, 2.2 посвящены расширению класса матриц А(х), для которого справедливо обобщение теоремы Вейля. Наша многомерная теорема Вейля (теорема 2.1.1) выводится из более общей теоремы 2.2.1, для установления которой развит особый метод накрывающих семейств, подсказанный оригинальным приемом работы [125]. В 2.1 и 2.2, как и в главе 1, считаем выполненными локальные условия а также условие A. В 2.3 рассматривается связанный с теоремой Вейля вопрос о замыкании множества финитных функций в метрике обобщенного интеграла Дирихле. Основные результаты главы 2 опубликованы в работах [25], [26]. 2.1. Теорема Всйля для многомерного случая Рассмотрим область вида где открытые множества Gc Л у («=//). При XGG будем писать JC={.VI ,х2,...,хк }, где Xj є Gj. Основные ограничения относятся к множеству G\Q, где область a Q. - ограниченные открытые множества в R"J, такие, что Q.aG-. Ниже для функции/(.v.), определенной в Gj\Q j, условие /(Jc.)- co при Xj- dGj означает, что для любого N 0 в G, существует такой компакт RN (Qj RiX), что при XjGGj\RN выполнено неравенство [f(x)\ N. Теорема 2.1.1. Пусть для определенной в G вида (2.1.4) симметрической позитивной матрицы-функции А(х) найдется такая областъ(2 вида (2.1.5), что npuxeG\Q А(х) имеет блочпо-диагональный вид где х. є Gj\Q , а,(-) - определенные в R положительные функции из С (R ), JLI .r(.v.) - такие функции из С (GjXQj), что Vu-y. 0 и a Bj (Xj) - матрицы-функции размера /;.х/;. с элементами из LipUoc(Gj\Q .), удовлетворяющие неравенствам V{Bj V\ij) О, почти всюду в Gj\Qr (2.1.8) Тогда при выполнении условий (2.0.3) и условия А оператор М вида (2.0.1), (2.0.2) с такой матрицей А{х) самосопряжён в существенном в пространстве L2{G). Отложив доказательство теоремы 2.1.1 до 2.2, рассмотрим простейшие следствия из нее. Следствие 2.1.1. Пусть G=R . Если в операторе М матрица Л(х) при A yV 0 имеет вид A{x)=diag{ax (дг,), а2(х2),..., а„(х„)}, где а () - положительные функции одной переменной из С (R ), то при выполнении условий (2.0.3) и условия А оператор М (2.0.1), (2.0.2) самосопряжён в существенном. Доказательство состоит в непосредственной проверке условий теоремы 1 с Gj -R и функциями M-,(.v.)= .v , а также 1x1 матрицами й/л-)=1. Отметим, что частный случай следствия 2.1.1 с четными функциями а.(-) и с условиями гладкости предложения 1.1.1 сформулирован без доказательства в работе [125]. В этой же работе при тех же условиях гладкости установлена самосопряжённость в существенном оператора М (2.0.1), (2.0.2) с матрицами следующих двух видов: где а.(-), (З(-) - положительные функции соответственно на [0,оо) и единичной сфере в R", а В0 - позитивная постоянная симметрическая матрица. Этот результат является частным случаем теоремы 1 при /:=1, во втором. Действительно, Поэтому в обоих случаях выполнено (2.1.8). Условие же (2.1.9) в обоих случаях очевидно. Следствие 2.1.2. Пусть G=R . Если матрица А(х) в операторе М при ;v yV 0 имеет вид функция ц(х)є СГ(ІҐ \{х: \x\ N} ) такова, что и. (д-)- оо при\х\— оо и Д 12(д:) 0, 0 Уц сош/, то при выполнении условий (2.0.3) и условия А оператор М (2.0.1), (2.0.2) самосопряжён в существенном. Доказательство является непосредственной проверкой условий теоремы 1 с k=\, B(x)=Itl. Пусть связная область (7 =/? является полным римановым многообразием с метрическим тензором В (х), где симметрическая матрица-функция В(х) 0. Рассмотрим семейство геодезических, проходящих через некоторую точку х0. Пусть эти геодезические не имеют точек пересечения (кроме д-0). Они покрывают область G (см. [54, стр.167, теорема 4.2]). Если s -канонический параметр на геодезической, то в области G можно определить векторное иоле
