Введение к работе
Актуальность темы. Моделирование статических и динамических процессов в сложных физических системах часто сводится к исследованию уравнений на стратифицированных множествах (связных объединениях многообразий — стратов различной размерности). Например, задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел или задача о диффузии в слоистой среде. С другой стороны теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах позволяет применять общие методы к различным задачам классической теории дифференциальных уравнений. В частности классические краевые задачи Неймана и Вентцеля для уравнения Лапласа не различимы с точки зрения теории уравнений на стратифицированных множествах.
Теория дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах в настоящий момент активно разрабатывается. Для частных случаев одномерных стратифицированных множеств - графов, построение такой теории ведется с начала 80-х годов прошлого столетия. Задача о диффузии в системе каналов исследована Люмером Г. Уравнения Пуассона для лапласиана на геометрических графах изучались Покорным Ю.В., а также Никезом С, спектральные и полугрупповые свойства лапласиана на графе исследовались Каменским М.И. Волновые процессы и уравнения четвертого порядка на графах изучались Боровских А.В. В настоящее время исследования дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах в общем виде активно проводятся Пенкиным О.М., Никезом С.
Существенной особенностью теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах является то, что для существования решений уравнений, помимо наложения ограничений на гладкость коэффициентов, входящих в уравнение, необходимо вводить ограничения на структуру стратифицированного множества. Доказано, что для существования слабого решения задачи Пуассона для лапласиана нужно накладывать на множество стратов условие прочности, которое означает, что для каждого страта существует цепочка из стратов соединяющая его с границей стратифицированного множества, причем размерности соседних стратов цепочки отличаются не больше чем на 1, и сама цепочка содержит только один страт принадлежащий границе стратифицированного множества. При выполнении условия прочности еще одним важным результатом является то, что расширение по Фридрих-су лапласиана (понимаемого в слабом смысле) является сильно позитивным
производящим оператором сильно непрерывной полугруппы операторов в L2. Прямым следствием последнего является разрешимость уравнения теплопроводности на прочных стратифицированных множествах в слабом смысле.
Роль условий типа условия прочности в задачах диффузии на множествах со сложной геометрией (вплоть до фрактальной), по-видимому, впервые была отмечена Жиковым В.В. В то же время условие прочности является недостаточным для существования классического решения. В связи с задачей о разрешимости в классическом смысле были введены понятия «жесткого»и «мягкого» лапласиана. «Мягкий»лапласиан представляет собой несколько упрощенный оператор в том смысле, что обнуляются дифференциальные соотношения содержащие производные на стратах размерности меньшей, чем размерность самого множества (под размерностью множества понимается максимальная размерность входящих в него стратов). В настоящий момент доказано существование классического решения для «мягкого»лапласиана, при выполнении более строгого ограничения на структуру множества. А именно, классическая разрешимость обеспечивается на стратифицированном множестве, у которого достаточно малая окрестность любого страта, размерность которого меньше на 2 или более максимальной размерности стратов множества, остается связной, если из этой окрестности изъять сам этот страт.
Задача о существовании классического решения дифференциальных уравнений с «жестким» лапласианом на стратифицированных множествах в настоящий момент не решена. Пенкиным О.М. формулировались в качестве гипотезы дополнительные ограничения накладываемые на стратифицированное множество, достаточные для обеспечения существования классического решения для эллиптических уравнений: каждый страт можно соединить с любым другим прочной цепочкой. Предложенный подход при доказательстве классической разрешимости для «мягкого»лапласиана основан на модификации классического метода Перрона и, для переноса его на случай «жесткого»лапласиана, требуется существование классического решения в стратифицированном шаре для «жесткого»лапласиана. Последнее для произвольного стратифицированного шара является нетривиальной задачей, которая в настоящий момент не решена. Частным случаем довольно тривиального стратифицированного множества, состоящего из области и его границы, является задача Вентцеля для оператора Лапласа, классическая разрешимость которой установлена В. В. Лукьяновым и А. И. Назаровым, причем граница множества предполагается гладкой, что является существенным ограничением, поскольку в случае стратифицированных множеств граница страта в виде ломанной линии возникает естественным образом, например, в случае моделирования системы струн
и мембран.
Таким образом дифференциальные уравнения на стратифицированных множествах образуют новый развивающийся раздел уравнений математической физики и задачи о доказательстве существования решений в классическом смысле для дифференциальных уравнений содержащих «жесткий»лапласиан являются безусловно актуальными.
Цель работы: найти достаточные условия на структуру стратифицированного множества обеспечивающие существование и единственность решения в классическом смысле задачи Пуассона на двумерных стратифицированных множествах для уравнений Лапласа и теплопроводности.
Методы исследования. При исследовании применялись теория потенциалов, общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы функционального анализа в пространствах с топологией заданной системой полунорм.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:
Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.
Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.
Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами .
Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.
Практическая ценность работы.Работа носит теоретический характер. Полученные в данной работе результаты могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах. Так же они могут быть использованы в задачах качественного описания процессов в системах составленных из струн и мембран при малых механических перемещениях или процессов теплообмена.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на
Воронежской зимней математической школе «Современные методы тео
рии функций и смежные проблемы», Воронеж, 2011.
Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 2011.
IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», Воронеж 2011.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы, в том числе одна опубликована в журнале из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Все публикации выполнены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 7 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащим 40 источников. Общий объем диссертации - 103 страницы.
