Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Оценки скорости сходимости спектральных разложений 11
1. Формулировка результата 11
2. Основное равенство 14
3. Оценки величин 18
4. Оценки величин 27
5. Оценка величины 42
6. Доказательство теоремы 47
Глава 2. Точность оценок скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений 48
1. Точность оценки скорости сходимости при < х <о/- р 49
2. Точность оценки скорости сходимости при MjUjL-g 55
3. Точность оценки скорости сходимости при М-' > 62
Глава 3. Сильная суммируемость средних Рисса .66
1. Суммы Валле-Пуссена 66
2. Точность оценок для сумм Валле-Пуссена 71
3. Абсолютная суммируемость рядов Фурье 80
Литература 84
- Основное равенство
- Оценка величины
- Точность оценки скорости сходимости при MjUjL-g
- Точность оценок для сумм Валле-Пуссена
Введение к работе
Проблеме сходимости спектральных разложений, связанных с различными эллиптическими операторами, посвящены многочисленные исследования ряда математиков. Подробную библиографию и обзор современного состояния этих вопросов можно найти в [ij .
В настоящей диссертации получены точные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в //--мерной области _)- , //'^^ . С помощью этих оценок изучаются сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений функций из класса Никольско-го На . В одномерном случае такие виды сходимости изучаются, например, в монографии Г.Алексича f2J .
Рассмотрим самосопряженное расширение оператора Лапласа -Л в А/—мерной области jd с дискретным спектром. Из работы Л. Гординга ["4 J следует, что хотя бы одно такое расширение всегда существует. Обозначим через [ Цц(*)$ полную ортонормированную систему его собственных функций, через Хи—соответствующие собственные числа. Введем средние Рисса порядка -Ъ^О функции f-M из Lz($c) следующим образом
Здесь Ти ~ (Ь У") —коэффициенты Фурье функции {-С*} по системе / Ць(г)}.
Заметим, что все рассуждения справедливы и для произвольной фундаментальной системы функций оператора Лапласа в Я. , без конечных точек сгущения. Это понятие было введено В.А.Ильиным в работе [Ъ ] . Полная ортонормированная в система функций [4Н] называется фундаментальной, если и^Ые С1(2) и для некоторого числа Хн>,0 удовлетворяет в 2 уравнению дЦ* i-W* -О,
4 Пусть число 9>0 и {й« j —неубывающая последовательность целых чисел, удовлетворяющая условию: О.^- і , <3n+i~ ^и^ 1 Будем говорить, что средние Рисса порядка А^О разложения в ряд Фурье по полной ортонормированной системе / Ц«] функции j-fr) сильно суммируются к -^(т) , если величина
(0.1)
стремится к нулю при и—* о~ . Vxa еще называют суммой Валле-Пуссена функции f(oc) .
Средние Рисса абсолютно суммируются, если сходится интеграл
Jxr(4(^-^/&f
(0.2)
Здесь 4*0, в> О , Ґ>0 .
В одномерном случае оценки для сумм \Л, получены при помощи оценок скорости сходимости тригонометрических рядов, хорошо известных [З] . В случае /f^X для изучения (0.1) и (0.2) перед автором возникла необходимость в получении оценок скорости сходимости спектральных разложений. Эта задача вплотную примыкает к проблемам локализации и сходимости спектральных разложений. Изложим кратко историю вопроса.
В работе С.Бохнера [ЬJ изучались разложения функций в Некратный тригонометрический ряд с круговыми суммами. В этой работе установлен точный порядок средних Рисса -4= (М-1)/Л, при котором справедлив принцип локализации для произвольной функции }М из L-x
Б.М.Левитан [*7,8j перенес результат С.Бохнера на случай эллиптических операторов второго порядка. Я.Петре распространил его
на случай произвольного эллиптического оператора с постоянными коэффициентами [9J , а Л.Хермандер [I0J —для произвольного эллиптического оператора.
Дальнейшие уточнения заключались в наложении условий на разлагаемую функцию. )В работе [її] Б.М.Левитан доказал, что для локализации средних Рисса тригонометрических рядов целого порядка -5 < [//?$ J достаточно интегрируемости с квадратом всех производных разлагаемой функции порядка [_МУЦ\ - 4 . В.А.Ильин в работах [5,12-14] установил окончательное в классах Соболева W условие локализации по собственным функциям оператора Лапласа
В этих работах впервые была доказана окончательность полученных условий локализации. В.А.Ильин доказал теоремы о существовании функций из класса С при
для спектральных разложений которых не имеет места локализация. Раньше таких теорем не было даже для кратного тригонометрического ряда.
Для локализации справедлива следующая оценка скорости сходимости средних Рисса. Пусть -}(*)-О в строго внутренней подобласти & области ? и {Сх) принадлежит классу Никольского Тогда равномерно на каждом компакте К из 6г справедлива оценка
u*;= о (я * ~*~*)я
(0.3)
которая легко получается из работы В.А.Ильина и Ш.А.Алимова l8j, В случае at- О , т.е. когда j~(*) принадлежит /g^SP/из результатов авторов [l9-2lj следует равномерная на каждом компакте К из Ъс оценка
fa,*)* ft"*'*- OU). (0.4)
В работе [22 J В.А.Ильин доказал точность оценки (0.4) в том смысле, что вместо ОШ нельзя поставить никакую фиксированную бесконечно малую при \-*оо величину.
В случае равномерной сходимости дело обстоит следующим образом. С.Бохнер в [23J доказал, что для сходимости разложений в кратный интеграл Фурье функции -f достаточно, чтобы средние этой функции по сфере радиуса Т. с центром в точке X имели при Т%0 суммируемую производную порядка (//t<)/ . В дальнейшем эти условия уточнял Б.М.Левитан fll~] . Точные условия равномерной сходимости спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в области установил В.А.Ильин в работах 5,13,14J . Они имеют вид
p>i, dp>Af\ ск> & - (Qe5)
При выполнении условий (0.5) спектральное разложение функции из класса Соболева Иу сходится равномерно на каждом компакте
из biz . Для средних Рисса порядка О*-5 * СУ-*1Ц условия равномерной сходимости имеют вид
Р>4, <ір>АҐ, *** * ~jT ' (0-б)
Точность условия (0.6) доказана В.А.Ильиным в работе /~247 В
работе fl8j В.А.Ильина и Ш.А.Алимова было доказано, что условие
(0.6) обеспечивает равномерную сходимость на каждом компакте fc
области средних Рисса порядка -3 спектрального разложения
финитной функции j-Ы) из класса Никольского Нр . Затем
этот результат был обобщен на случай произвольного эллиптического дифференциального оператора второго порядка в работе 25 J тех же авторов.
Ш.А.Алимов fl6,I7j рассмотрел случай общих эллиптических дифференциальных операторов порядка УА. . В работе [ 16 J им установлено, что условия (0.6) обеспечивают равномерную сходимость средних Рисса спектральных разложений функций из классов Лиувил-ля /./> , а в flTjf этот результат был распространен на функ-ции из класса Никольского tip
Переходим к изложению результатов диссертации. В первой главе диссертации устанавливаются равномерные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений функций из классов Никольского Н* (it-/ Из-за того, что класс Яр является самым широким из классов Соболева \А/р , Бесова 8р& , Лиувилля/^ оценки скорости сходимости будут верны и для этих классов. Сформулируем полученный результат. Введем новые обозначения /**=/,» уи = /X" . Средние Рисса обозначим таким образом
(0.7)
Пусть выполняются следующие условия
0 <.*<&, f«**JL' ^-^>0
(0.8)
и финитная в области Sd функция ^<х) принадлежит классу Никольского Нр (с) . Тогда равномерно на каждом компакте /< из области ъ2 справедлива оценка
lfy(ix)-№hciiH^{Q)(pL у,' ./Tj. (0.9)
Обратим внимание, что по сравнению с оценкой (0.3) для локализации, появляется член порядка ^Ур -d . Как будет показано ни-
8 же, он будет определять скорость сходимости в случае, когда
Л- "< л** - ^ (оло)
Во второй главе диссертации доказывается точность полученных оценок. В случае, когда выполняется неравенство (0.10) строится функция из класса И/» (R) , для которой в некоторой точке Хс области 52 выполняется неравенство
Цт--е(і.ть)/-» С м ?~^
Если выполнено противоположное (ОЛО) неравенство
л**-л% < ^-^
то точность оценки (0.9) доказывается при помощи теорем резонансного типа f26j . При доказательстве использовалась методика В.А.Ильина получения теорем негативного типа и результат Ш.А.Алимова [ 27J об изоморфизме классов дифференцируемых функций дробными степенями эллиптического оператора.
В третьей главе диссертации изучается сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Вообще, толчок к изучению сильной суммируемости дала работа В.А.Йльина [28 j! , где исследовались вопросы сходимости почти всей последовательности частичных сумм для почти всех точек области . Когда область является прямоугольником, получаются результаты для кратных рядов Фурье.
В одномерном случае сильная суммируемость изучалась многими авторами [29-32] . В 1963г. Г.Алексич и Д.Кралик доказали следующий результат. Если їє-С^ІО, iV] , 01
-л
JL ^- IQM ,,„, / ^ n > если^<4
Здесь OjM — "0—частичная сумма ряда Фурье по тригонометрической системе. В дальнейшем Л.Лейндлер (~30,31 ] обобщил этот результат и в 1976г. в работе [32,] доказал для функций из класса С Сг ^3 , <<*< і следующее неравенство
(jfc,) -И~ , если J-9<*
[it l^-^fjlcJ Ui^^f» івч
Здесь 9>0 , J>>~ fy , ff/>-* , <Г*О0 —средние Чезаро.
В случае и/>$ в третьей главе для функций из классов Ни-
Кольского Hf> доказаны равномерные на каждом компакте К из
области оценки
A..
И , если &$*<
lit i^-i^c-Jh^ «"
Здесь &>0, %>d , - **іч {«M-^, *-^ 4j . (O.II)
Доказано, что эти оценки являются точными в том смысле, что вместо постоянной С нельзя поставить У1 для любого сколь угодно
10 малого числа > О .
Из этих оценок следует, что при выполнении условия > О средние Рисса порядка -6 сильно суммируются к функции -ft*) , равномерно на каждом компакте К из _>-
В 3 третьей главы исследуется сходимость интегралов такого вида
Jc frlfi*)-fy(i*)/ ^- > (0.12)
где \>0 ,4*0, 6>0 .
Найдены точные условия равномерной по X из компакта fccR сходимости этого интеграла для функций из классов Но (2) . Пусть число Ж определяется равенством (0.11) и Ж>0 . Тогда, если К&> X , то интеграл (0.12) сходится. Построен контрпример, показывающий, что неравенство &> jf нельзя ослабить.
Основное равенство
Проблеме сходимости спектральных разложений, связанных с различными эллиптическими операторами, посвящены многочисленные исследования ряда математиков. Подробную библиографию и обзор современного состояния этих вопросов можно найти в [ij .
В настоящей диссертации получены точные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в //--мерной области _)- , // . С помощью этих оценок изучаются сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений функций из класса Никольско-го На . В одномерном случае такие виды сходимости изучаются, например, в монографии Г.Алексича f2J .
Рассмотрим самосопряженное расширение оператора Лапласа -Л в А/—мерной области jd с дискретным спектром. Из работы Л. Гординга ["4 J следует, что хотя бы одно такое расширение всегда существует. Обозначим через [ Цц( )$ полную ортонормированную систему его собственных функций, через Хи—соответствующие собственные числа. Введем средние Рисса порядка -Ъ О функции f-M из Lz($c) следующим образом
Здесь Ти (Ь У") —коэффициенты Фурье функции {-С } по системе / Ць(г)}. Заметим, что все рассуждения справедливы и для произвольной фундаментальной системы функций оператора Лапласа в Я. , без конечных точек сгущения. Это понятие было введено В.А.Ильиным в работе [Ъ ] . Полная ортонормированная в система функций [4Н] называется фундаментальной, если и Ые С1(2) и для некоторого числа Хн ,0 удовлетворяет в 2 уравнению дЦ i-W -О, Пусть число 9 0 и {й« j —неубывающая последовательность целых чисел, удовлетворяющая условию: О. - і , 3n+i и 1 Будем говорить, что средние Рисса порядка А О разложения в ряд Фурье по полной ортонормированной системе / Ц«] функции j-fr) сильно суммируются к - (т) , если величина стремится к нулю при и— о . VXA еще называют суммой Валле-Пуссена функции f(oc) . Средние Рисса абсолютно суммируются, если сходится интеграл В одномерном случае оценки для сумм \Л, получены при помощи оценок скорости сходимости тригонометрических рядов, хорошо известных [З] . В случае /f X для изучения (0.1) и (0.2) перед автором возникла необходимость в получении оценок скорости сходимости спектральных разложений. Эта задача вплотную примыкает к проблемам локализации и сходимости спектральных разложений. Изложим кратко историю вопроса. В работе С.Бохнера [ЬJ изучались разложения функций в Некратный тригонометрический ряд с круговыми суммами. В этой работе установлен точный порядок средних Рисса -4= (М-1)/Л, при котором справедлив принцип локализации для произвольной функции }М из L-x Б.М.Левитан [ 7,8j перенес результат С.Бохнера на случай эллиптических операторов второго порядка. Я.Петре распространил его на случай произвольного эллиптического оператора с постоянными коэффициентами [9J , а Л.Хермандер [I0J —для произвольного эллиптического оператора. Дальнейшие уточнения заключались в наложении условий на разлагаемую функцию. )В работе [її] Б.М.Левитан доказал, что для локализации средних Рисса тригонометрических рядов целого порядка -5 J достаточно интегрируемости с квадратом всех производных разлагаемой функции порядка [_МУЦ\ - 4 . В.А.Ильин в работах [5,12-14] установил окончательное в классах Соболева W условие локализации по собственным функциям оператора Лапласа В этих работах впервые была доказана окончательность полученных условий локализации. В.А.Ильин доказал теоремы о существовании функций из класса С при для спектральных разложений которых не имеет места локализация. Раньше таких теорем не было даже для кратного тригонометрического ряда.
Оценка величины
В работе [22 J В.А.Ильин доказал точность оценки (0.4) в том смысле, что вместо ОШ нельзя поставить никакую фиксированную бесконечно малую при \- оо величину.
В случае равномерной сходимости дело обстоит следующим образом. С.Бохнер в [23J доказал, что для сходимости разложений в кратный интеграл Фурье функции -f достаточно, чтобы средние этой функции по сфере радиуса Т. с центром в точке X имели при Т%0 суммируемую производную порядка (//t )/ . В дальнейшем эти условия уточнял Б.М.Левитан fll ] . Точные условия равномерной сходимости спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа в области установил В.А.Ильин в работах 5,13,14J . Они имеют вид При выполнении условий (0.5) спектральное разложение функции из класса Соболева Иу сходится равномерно на каждом компакте из biz . Для средних Рисса порядка О -5 СУ- 1Ц условия равномерной сходимости имеют вид Точность условия (0.6) доказана В.А.Ильиным в работе / 247 В работе fl8j В.А.Ильина и Ш.А.Алимова было доказано, что условие (0.6) обеспечивает равномерную сходимость на каждом компакте fc области средних Рисса порядка -3 спектрального разложения финитной функции j-Ы) из класса Никольского Нр . Затем этот результат был обобщен на случай произвольного эллиптического дифференциального оператора второго порядка в работе 25 J тех же авторов. Ш.А.Алимов fl6,I7j рассмотрел случай общих эллиптических дифференциальных операторов порядка УА. . В работе [ 16 J им установлено, что условия (0.6) обеспечивают равномерную сходимость средних Рисса спектральных разложений функций из классов Лиувил-ля /./ , а в flTjf этот результат был распространен на функ-ции из класса Никольского tip Переходим к изложению результатов диссертации. В первой главе диссертации устанавливаются равномерные оценки скорости сходимости средних Рисса спектральных разложений функций из классов Никольского Н (it-/ Из-за того, что класс Яр является самым широким из классов Соболева \А/р , Бесова 8р& , Лиувилля/ оценки скорости сходимости будут верны и для этих классов. Сформулируем полученный результат. Введем новые обозначения / =/,» уи = /X" . Средние Рисса обозначим таким образом Пусть выполняются следующие условия и финитная в области Sd функция х) принадлежит классу Никольского Нр (с) . Тогда равномерно на каждом компакте / из области ъ2 справедлива оценка Обратим внимание, что по сравнению с оценкой (0.3) для локализации, появляется член порядка Ур -d . Как будет показано ни 8 же, он будет определять скорость сходимости в случае, когда Во второй главе диссертации доказывается точность полученных оценок. В случае, когда выполняется неравенство (0.10) строится функция из класса И/» (R) , для которой в некоторой точке Хс области 52 выполняется неравенство Если выполнено противоположное (ОЛО) неравенство то точность оценки (0.9) доказывается при помощи теорем резонансного типа f26j . При доказательстве использовалась методика В.А.Ильина получения теорем негативного типа и результат Ш.А.Алимова [ 27J об изоморфизме классов дифференцируемых функций дробными степенями эллиптического оператора. В третьей главе диссертации изучается сильная и абсолютная суммируемость средних Рисса спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Вообще, толчок к изучению сильной суммируемости дала работа В.А.Йльина [28 j! , где исследовались вопросы сходимости почти всей последовательности частичных сумм для почти всех точек области . Когда область является прямоугольником, получаются результаты для кратных рядов Фурье.
В одномерном случае сильная суммируемость изучалась многими авторами [29-32] . В 1963г. Г.Алексич и Д.Кралик доказали следующий результат. Если їє-С ІО, iV] , 01 t і , то
Точность оценки скорости сходимости при MjUjL-g
Эта оценка остается верной и при ct - -р -і , но доказательство использует теорию приближений и будет совершенно другим. Поэтому нам удобно будет провести доказательство в конце 4 этой главы. Из доказанных в этом параграфе леммм вытекает оценка для вели чин 1„ при /и=4 ,?,.$... - , где число определяется равенством В этом параграфе будут получены оценки величин L „ , М-1,%,Ъ... 5 аналогичные (1.32). Всюду в этом параграфе функция -jr принадлежит классу Н { 2) и финитная в .fftj , fs r.. , 0 rup і . Для оценки величины воспользуемся следующим асимптотическим представлением для функций Бесселя [37, с.230] Ъ suH -?)PW)- Wr-VVoc «?/, u -34) где PCrtyJ) и (9 Cry) интегралы такого вида Функции PCW/ и QC\ J могут быть представлены в виде ряда, но это нам не понадобится. . (г- щ) Q(ri)]. /- "- sMM dr. (1.35) Обозначим =-%[-f , ПІ) J W+ -y iL n cc»j . (1.36) Используя равенство r + J fiM(/ w)prt-Zb(/ r )qr)] dr 1±-ЛЇА +IZ. (i.37) Ґ В первом интеграле в (1.37) сделаем замену переменных Г--6+ — i ft f (Гґ 1 Г В последних двух интегралах сделаем снова замену переменных. Второй интеграл в (1.37) преобразуем также как и первый, делая замену Г - . Получим равенство, аналогичное (1.38) У/ Подставим теперь в (1.37) вместо А и 1, их выражения (1.38) и (1.39) и воспользуемся формулой (1.3). Получаем равенство ll ffrf Jy (/« ) А1 f (f) - --,(/ » ) АІ С Ґі-Обозначим f[-C/ и оценим интеграл ІГ / Н " """ S" M Mr (I.4I) Как и в лемме 2.1 представим Ь (?) в виде суммы где Такое представление всегда возможно, так как у функции -f-fr) компактный носитель в S2. л. А Далее используем асимптотическую формулу для функции Бесселя а затем сделаем замену переменных Г- & к . Получим / - Л?/ 27 ) [c b(vt-ct i-V )1-0(. -U . 7 /Vtf-CK Введем новую функцию / равенством f« /Є f- 2+A, jc=qtr..n. (1.42) Интеграл J запишется в таком виде hl±/ \ nM M-Vc lte (1.43) Для оценки интеграла (1.43) используем вложение tlf -+ lipt , f / и неравенство Гельдера с показателями Д и - . При этом сначала в интеграле (1.43) перейдем к декартовым координатам, а затем в интеграле от функции W-f-J опять вернемся к угловым. В итоге получим неравенство
Точность оценок для сумм Валле-Пуссена
Разобьем последнюю сумму на две - р М А. и -pQd i. . В первой используем неравенство -ЗЛ«?с їх/, во второй заменим синус единицей. Получим p k±± pa4i i
Вычислим суммы, используя тот факт, что #/2 1 . fi-i Лемма доказана. Лемма 3.3. Пусть р 0 произвольное число и Qfi 4. J , / - целое число, О ,1 О. 1 . Тогда Доказательство Из леммы 2.3 следует, что достаточно доказать принадлежность функции j-(r) указанному классу на отрезке fiT-Cfij. Это, в свою очередь, будет следовать из принадлежности указанному классу функции it(r)=f_ f f f Є Ґ« (Р -«- і) г. Опять заметим, что случай f d. доказывается также, как и случай , поэтому ограничимся последним. Запишем приращение функции / (г) Разобъем сумму по р на две 2L nq { и Z. о«4 4 Для оценки первой используем неравенство \-%in Xfc {X/ , во второй заменим синус единицей. Получим aft-jO __ -«р f % l рЧ 1 Вычислим суммы, используя тот факт, что otp р и QS +-J, Получим неравенство а Лемма доказана. " СА У1 Лемма 4.3. Пусть В 0 и число / такое, что выполняется неравенство Тогда справедлива оценка (4(0) - 1L т Д С/7 (3.19) Доказательство. Вычислим коэффициент Фурье функции У по системе / Uufv)j , tf«fr) р . Для этого преобразуем внутреннюю сумму в выражении (3.17) для функции -ff J . Умножим ее на -р -Я и г/ » а результат обозначим через Sp , Во второй сумме заменим индекс суммирования -- и . 1 76 После этого выражение для функции &) запишется в таком виде 4/г) = 2Г (iU +Л Z в) "Uau І- ирч,) . (3.20) Всякий номер коэффициента Фурье функции ;/ можно представить в виде /и -С , где At и С- целые числа, причем 0 ?/У -См-і). Из вида функции / (3.20) следует іл О Если определить функцию /0 t, і.) следующим образом 1 если -0 то выражение для коэффициента Фурье запишется в таком виде а и ()=л /А . «.si) Обозначим - . yjo) и заметим, что Вычислим суммы -—± и X Z_ " Z - . = 1L S„. Сумму Окт вычислим используя формулу (3.21) для коэффициента Фурье функции -j-Cr) и равенство f to) ІЛ Так как (An всегда четное число, то справедливы два равенства У_ЄО = i Z Єі)ЄС--- - (3.22) Используя равенства (3.22) получим, что ом-0 , а значит и Вычислим теперь сумму JZ-i . Заметим, что число / можно представить в следующем виде л =/? - уи , где OuL /n (м-і)-і Обозначим -[{/ ! - целая часть числа .
