Введение к работе
Актуальность тема. Ряд задач'физики и техники приводят к итегральным уравнениям с разностными ядрами, или алгебраическим истемаи с теплицевыми матрицами. Таковыми являются, например» адачи оптимального синтеза, рассеяния света, дифракции, движения рыла под водой и т.д..
1 Первые глубокие результаты об интегральных уравнениях на элуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов, были получе-л в 1931 г. Н. Винером и Э. Хопфом". При этом основным эппара-эи явилось преобразование Фурье, сводящее интегральное уравнение ядром, зависящим от разности аргументов, к задаче сопряжения ля пар аналитических (соответственно в верхней и нижней полу-юскостях) функций. Наиболее важным моментом при решении таких адач, является факторизация определенных фугас--й (матриц-тнкций). Эти задачи активно изучаются начиная с 40-х годов низшего столетия. Для скалярного случая, к настоящему времени порчены исчерпывающие результаты. Для матричного случая задача со-рязения, в частности, исследована Н.П. Еекуаг>. При этом, для нучая рациональной матрицы-функции, строятся эффективная факто-азация, позволяющая находить как факторы, так и частные индексы.
N. Wiener and Е. Норі, Uber elne Кіавєе singularer bitegral-
gleichungen, Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wis-
eenschaiten, 1931, стр. 696.
Н.П. Векуа. Системы сингулярных интегральных уравнений. М., Наука, 1970
Первая 1Л.-ЗЯ настоящей работы посвящена иаучешю новой задг чи сопряжения д.чн двух-пар Функций, аналитических, соответствеї
НО, В ВерХїіеЙ (ШЖігеЙ) ПОЛУПЛОСКОСТИ И БНУ'ГрИ (ВН6) ЄДЙНИЧНОІ
круга (см. пике (І)). Зта задачи эквивалентна факторизации 2x2 оператор-функции.
?Л Т^ппчцсьм матует* являются объектом многочисленшх ИССЛІ дований последних четырех десятилетий. Сій встречаются как nj решении алгебраически* (конечных «ли бесконечных) систем, так при дискретизации интегральных уравнений с разностным ядром- А гебраичеокий аспект этой проблемы изучен,, в частности, Г. Хабн wi к К. Foot1'. В работе В.М. Адукова" рассматривается цепоч прпмоуголыгых теплицевых патриц и строятся специальные многочл ь.і пространства которых изоморфны пространствам ядер cootbs ствущнх «атоиц в цепочке. Во второй главе диссертации Teoj В.М. Ддукоьа распространяется на матрицы более общего вида. ' Ш^ь^а&оты. Диссертация посвящена:
й) исследованию на разрешимость новой задачи сопряжения, ( ответствующнй задаче решения дискретно-континуальной системы ті Бинури-Хопфа нри определенных условиях на ядра. . '
б) исследованию алгебраической структуры ядер матриц обобі ного теплицева и обобщенного теплщево-ганкелева типов, а ' та
" G. Heinig and К. Rost. Algebraic Methods for Toeplitz-li matrices and „operators,'Aksderolc-yerlag, Berlin and ВІгЙз s«?r Basel, Boston, Stuttgart, 1984. "''
B.W. Адукой. Структура ядра и обращение теплицевых и ганкеі
' r<*ix матриц. Известия ВУЗов, N7, 1S8G, 3-8.
строению матриц, обратных к вышеуказанным, в случае обратимости юледких.
Научная новизна. Теоретическая и практическая ценность. Все ;новные результаты диссертации являются новыми. Работа носит те-іетический характер и результаты ее первой главы могут быть ис->льзованы для дальнейших исследований в области задач сопряжения [Я векторнозначных функций,а также при исследовании' на разреши->сть дискретных и континуальных уравнений типа Викера-Хопфа.
Результаты второй главы диссертации могут быть использованы [я получения быстрых алгоритмов обращения обощенных теплицевых и ющенных теплицево-ганкелевых матриц.
Методика исследования. В диссертации используются метода іаничной задачи Ркмана для краевых задач аналитических функций в тетании с теорией функций комплексной переменной, методы иссле->вания на разрешимость интегральных уравнений с ядрам теплицева па, а также метода линейной алгебры.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Ип-итуте Математики НАН Республики Армения на семинаре отдела диф-ренциальшх уравнений, а тзкне на механико-математическом фа-льтете Ереванского Государственного Университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ботах [І, 2, 31. Результаты совместных с А.Б. Керсесяном . работ «надлеяат авторам в равной мере. " '.'
Объем работы. Диссертация состоит из введения и двух гнав. каждой главе по четыре параграфа. Библиография содержит 24 ной- кования. Общий объем работы - 110 страниц.
- б -
