Содержание к диссертации
Введение
1 Разрешимость уравнений баротропных течений сжимаемой жидкости Бингама 18
1.1 Постановка задачи и основные результаты 18
1.2 Построение приближённых решений 21
1.3 Равномерные оценки галёркинских приближений 28
1.4 Сходимость приближённых решений 29
1.5 Глобальные априорные оценки 31
1.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния 36
1.7 Единственность сильного обобщённого решения 39
1.8 Существование слабого решения 41
2 Разрешимость уравнений сжимаемой теплопроводной жидкости Бингама 48
2.1 Постановка задачи и основной результат 48
2.2 Построение приближённых решений 51
2.3 Равномерные оценки галёркинских приближений 57
2.4 Сходимость галёркинских приближений 58
2.5 Глобальные априорные оценки 59
2.6 Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния 64
2.7 Единственность сильного обобщённого решения 66
Список литературы 70
- Сходимость приближённых решений
- Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния
- Построение приближённых решений
- Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния
Введение к работе
Общие положения и обзор известных результатов
Движение сжимаемой теплопроводной жидкости, занимающей объём Q С Ш.п, описывается ([1]-[3]) системой, состоящей из уравнения неразрывности (баланса массы)
pt + div(pu) = 0, (x,t)GOx(0,T), (0.1)
уравнения изменения импульса
рщ + ри- Vu = divP+pg, (x,t) Є0х (0,Т), (0.2)
и уравнения баланса энергии
p{et + и Ve) = divh + Р : + ps, (х, t) Є О х (0, Т). (0.3)
Здесь х - радиус-вектор точки пространства, [0,Т] - промежуток времени, на котором рассматривается движение, р = /э(х, ) - плотность, u = и(х,) - вектор скорости, Р(х,) - тензор напряжений, g(x, t) -вектор массовых сил, є = є(х, t) - удельная энергия, h = h(x, t) -вектор теплового потока,
^ 1 (дм (дп\\
- тензор скоростей деформаций, s = s(x,t) - плотность поступления тепла. Уравнения (0.1)-(0.2) иногда называют ещё уравнениями Навье-Стокса сжимаемой жидкости.
При изучении движений определённой сплошной среды уравнения (0.1)-(0.3) дополняются заданием вектора массовых сил g, плотности поступления тепла 5 и определяющих термодинамических и реологических соотношений.
Термодинамические соотношения связывают вектор теплового потока її с термодинамическими параметрами (удельной энергией є и плотностью р). Зависимость тензора Р от є, р и тензора D определяют реологические соотношения.
Актуальность математических исследований уравнений (0.1)-(0.2) основывается на разнообразии их приложений, стимулируется потребностями развития индустриальных технологий. Результаты и методы, разрабатываемые при изучении проблем механики сплошных сред, имеют своё место в теории дифференциальных уравнений, и, соответственно, представляют самостоятельный научный интерес. Исследования корректности указанных задач способствуют разработке вычислительных методов для их решения.
Введём в рассмотрение температуру среды 9 = #(х, t). Выразим удельную энергию є через р и в и зададим вектор теплового потока законом Фурье h = kV#, где к = к(р,9) - теплопроводность. Тогда уравнение (0.3) переписывается в виде уравнения для температуры
cvp{9t + и V0) = div(/cV0) + Р : D + />s, (0.4)
де где cv = cv(p,9) = -^{p-,9) - теплоёмкость.
Реологическое соотношение задаётся равенством Р = — pi + Р', где р = р(р,9) - давление, а Р' - вязкая часть тензора напряжений, которая в следствие неравенства Клаузиуса-Дюгема должна удовлетворять неравенству
Р': Ю> > 0.
В большинстве математических исследований по данной тематике Р' выражается функцией от /э, 9 и В, которая для изотропных сред имеет вид
р'=^а;1У, (0.5) '
где скаляры aj могут зависеть от р, 9 и инвариантов Ji(P),..., Jn(E}>) тензора ED. Жидкости, в которых соотношению (0.5) соответствует запись
P' = \Ji(B)I + 2p,
где коэффициенты вязкости Л и р (р > 0 и ЗА + 2р > 0), возможно, зависят от термодинамических параметров, называются ньютоновскими. Все остальные зависимости между Р, Р, р и 9 называются ненью- ^ тоновскими, поскольку подразумевают нелинейную связь тензоров Р и "
Р. Физические аспекты нелинейной зависимости между Р и D рассмо- " трены в [4, 5, 6].
Произведён широкий спектр исследований корректности одномерных моделей движений сжимаемой жидкости [7]-[18]. Первоначально изучались баротропные течения жидкости, т.е. течения без учёта температуры, описывающиеся уравнениями (0.1)-(0.2). Имеющиеся результаты различаются по гладкости решений, по законам для давления и напряжённого состояния (в том числе, когда коэффициенты вязкости зависят от плотности). Однако, во всех этих исследованиях предполагалась линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций. В работах о корректности одномерных моделей вязкого теплопроводного газа вязкость считалась постоянной.
Известные на сегодняшний день результаты о корректности многомерных моделей сжимаемой жидкости относятся к баротропным течениям. В первых опубликованных в этой области работах [19, 20] доказывается единственность классического решения соответствующих уравнений. Затем удалось установить существование решений этих уравнений в предположениях о малости отклонения начальных данных от состояния равновесия [21, 22] или локально по времени [23].
Исследования уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости в целом по времени [24]-[28] привели в 1994 году к доказательству корректности двумерной модели [29], когда вязкости являются степенными функциями от плотности. Причём, в этой работе было доказано как существование и единственность классического и сильного обобщённого решений, так и существование слабого обобщённого решений. После этого были опубликованы работы о разрешимости многомерных моделей, в которых вязкости являлись степенными [30] или экспоненциальными [31, 32] функциями от компонент тензора скоростей деформаций. В первой из этих работ [30] было введено понятие мерозначного решения и доказано его существование, а во двух других [31, 32] установлено существование слабого обобщённого решения для модели Бюргерса (с постоянным давлением). Изучение уравнений с экспоненциальной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформаций продолжилось доказательством существования слабого обобщённого решения для модели с давлением, линейно зави-
сящим от плотности [33, 34].
С начала исследований в этой области наибольший интерес проявлялся к разрешимости классической модели (где коэффициенты вязкости Л и ft константы), и в 1998 году были получены соответствующие результаты [35].
Также в 1990-х начали публиковаться работы о корректности различных приближённых многомерных моделей для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости [36]-[40].
Однако существует большое количество природных и искусственных сплошных сред для которых запись закона напряжённого состояния в виде (0.5) неприемлема в силу неоднозначного определения тензора Р' по заданным Ю), р и 9. Например, существуют материалы, которые текут как обычная вязкая жидкость только при интенсивности напряжений (р(') большей чем предельное значение Tq = const > 0 (зависящее от материала). А в областях течения этих сред, где р(Р') < то предполагается жёсткое течение, задающееся уравнением Р = 0. Такие материалы называются жидкостями Бингама [41, 42]. Примерами подобных сред являются суспензионные потоки с большой плотностью твёрдых частиц [43], неочищенные нефти, цементы [44].
Первым описание таких явлений произвёл Бингам [41]. Он рассматривал одномерные движения несжимаемой жидкости в слое 0 < Х\ < 1 с вектором скорости вида u = (0,^2(^1),0) (естественным образом, предполагалось, что размерность пространства п равна 3). В этом случае все компоненты тензора Р' = р'^ за исключением р'12 и р'21 равны нулю. Тоже самое справедливо и для компонент тензора Р. При дщ/дх\ > 0 и р'12 > 0 Бингам постулировал следующие соотношения
— = 0 при рп < т0 и fi— = ри - т0 при рп > т0,
где (і - вязкость. Затем Хохенемсер и Прагер [45, 46] обобщили закон Бингама для произвольного течения несжимаемой жидкости, полагая
Ю> = 0 при р(Р') < г0 и 2рМ = {1- то/<р('))№ при р(Р') > г0,
где (р(Р') неотрицательная функция, первого порядка однородности, являющаяся инвариантом относительно поворота системы координат
(например, ^(Р') — у |Р' : ^0- Для сжимаемой жидкости эти соотношения модифицируются в уравнения
Р = 0 при ^(Г) < г0 и , ,
A7i(D)I + 2^Р = (1 - г0/^(Г))Г при ^(Г) > т0, [ ' }
из которых в силу свойств функции <р(№') следует выражение для Р' при Р ^ О
Р' = (1 + /л г/Jtt о ^1 (АЛ(О)Е + 2//Р).
Математические исследования модели жидкости Бингама производились ранее лишь для модели несжимаемых течений. В [47, 48] изучалась корректность задачи о многомерных течениях несжимаемой жидкости Бингама. Имеются результаты об одномерных течениях несжимаемой жидкости Бингама в цилиндрических координатах [49, 50].
В первой главе настоящей диссертации установлена однозначная разрешимость (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) в целом по времени и существование слабых обобщённых решений (в смысле интегральных тождеств) начально-краевой задачи о баро-тропном течении сжимаемой жидкости с законом напряжённого состояния, удовлетворяющим некоторым условиям. Данные условия выполняются, в частности, для закона напряжённого состояния Бингама. Указанные выше работы о корректности моделей баротропных течений сжимаемой жидкости не допускают законы напряжённого состояния, рассматриваемые в главе 1. Результаты главы 1 опубликованы в [59, 60, 61, 62, 63].
Во второй главе обоснованы теорема существования и теорема единственности обобщённого решения (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) начально-краевой задачи о течении нелинейно вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости, чей закон напряжённого состояния удовлетворяет ряду условий. Требования, налагаемые в теоремах главы 2, различаются, но в обоих случаях допускается закон напряжённого состояние Бингама. В главе 2 используется схема получения глобальных априорных оценок, предложенная В.А. Вайгантом
[15]. Следует отметить, что результат второй главы является первым опубликованным [64] результатом о корректности модели теплопроводной сжимаемой жидкости с нелинейным законом напряжённого состояния.
Постановка задач, исследованных в диссертации
В диссертации рассматриваются уравнения, описывающие одномерные вертикальные движения горизонтальных слоев жидкости. Среда занимает область 0 = {0 <#х со скоростью и. Все искомые величины, находятся функциями от X и t, определёнными в замыкании Q области Q = Q х (О,Г). В этом случае тензор скоростей деформаций имеет единственную нетривиальную компоненту Dn = их. Из (0.6) следует, что тензор Р' тоже имеет лишь одну ненулевую компоненту Р'п, которую в дальнейшем будем обозначать а. Предполагается, что Ли//, указанные в (0.6), являются константами. Соответственно, закон Бингама (0.6) принимает форму
их = 0 при \а\ < сг0 и их = (1 — cr0/|cr|)
Здесь положительные константы uq и v определяются константами Л, /і, го и свойствами конкретной функции (р(№'), используемой в (0.6).
Например, в случае <>(Р;) = J|Р': Р' значения ctq и v находятся из следующих равенств
а0 = а/2г0, v = \ + 2[i.
Выражая в (0.7) а через их, получим соотношения
а = сто sign^) + vux при их ф 0, и \и\ < а0 при их = 0. (0.8)
Для удобной, с математической точки зрения, записи монотонных разрывных зависимостей типа (0.8) поступим по аналогии с задачей Стефана для уравнения теплопроводности [51, 52, 53]. Введём в рассмотрение выпуклую функцию F(s) : Е 4 1и запишем соотношение между сг и их в виде
aedF(ux), (z,t)Q, (0.9)
где dF(s) = {а Є R| a( - s) < F() - F(s) V^Gl}- субдифференциал функции F(s).
Цель данной диссертации заключается в нахождении условий на функцию F(s), достаточных для существований и единственности решений некоторых начально-краевых задач, полученных добавлением начальных и краевых условий к редуцированным уравнениям (0.1)-(0.3). Все условия, налагаемые на функцию F(s) в данной диссертации, допускают F(s) вида F(s) = cr0|s| + i/s2/2, для которой запись (0.9) соответствует закону (0.8).
В рассматриваемых предположениях об одномерности движения, уравнение неразрывности (0.1) принимает вид
Л + Мі = 0, (x,t)eQ. (0.10)
Отбрасывая из векторного уравнения (0.2) тривиальные компоненты и предполагая отсутствие внешних массовых сил, приходим к уравнению
р(щ + иих) = ах -рх, (x,t)eQ. (О.П)
Аналогично, не учитывая воздействие внешних источников тепла, выводим из (0.4) уравнение
pcv(6t + u6x) = (квх)х-рих + (гих, {x,t)eQ. (0.12)
Далее будем предполагать, что cv и к - положительные константы. Дополним уравнения краевыми условиями прилипания
u = 0, {x,t) едП х (0,Г) (0.13)
и термоизоляции
вх=0, (ї,і)еШх(0,Г), (0.14)
а также начальными условиями
г/,(х,0) = щ(х), р(ж,0) = ро(х), жеО, (0.15)
0(ж,О) =0о(я), хеП (0.16)
с заданными функциями щ(х) : Q —> IR, ро(х) : U —> Ш и 6q(x) : Q —t R. В настоящей диссертации исследуется корректность следующих задач.
Задача А (о баротропном течении нелинейно вязкой сжимаемой жидкости)
Пусть давление р является заданной функцией р(р) плотности р, функции начальных данных (/)0,^0)(^) : ^ —> R2 заданы, dF(s) - субдифференциал заданной функции F(s) : R —> М.
Найти тройку функций (р, u, a) : Q —> Ш3, удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10), (0.11), краевым условиям (0.13) и начальным условиям (0.15).
Задача Б (о течении теплопроводной нелинейно вязкой сжимаемой жидкости)
Пусть давление р задаётся соотношением р = Rp9 (R = const > 0), функции начальных данных (ро>щ,6)(х) : О —> R3 заданы, dF(s) является субдифференциалом заданной функции F(s) : Ж —> Ш..
Найти четвёрку функций (р,и,9,а) : Q —» 1R4, удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10)-(0.12), краевым условиям (0.13), (0.14) и начальным условиям (0.15), (0.16).
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих соответственно 8 и 7 разделов и списка литературы из 63 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое -номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Основные постановки, формулировки и ряд обозначений излагаются в тексте диссертации по нескольку раз с той целью, чтобы было возможно читать введение, первую и вторую главы независимо друг от друга. Предпоследний раздел введения содержит список основных обозначений, используемых в работе.
Содержание главы 1
Сходимость приближённых решений
Рассматривается задача об одномерных движениях сжимаемой теплопроводной нелинейно вязкой жидкости в следующей постановке. Пусть Q = {0 х 1} - область, занимаемая жидкостью, Т О - произвольное число. Обозначим Q = Q х (0,Т). По заданным функциям начальных данных UQ(X) : Q — Ж, 9Q(X) : Q — R+ и ро(х) : Q — IR+ необходимо найти функции скорости и : Q —у Ж, плотности р : Q — R+, температуры в : Q — Ж+ и вязкой части тензора напряжений сг : Q — R, что выполнены следующие уравнения где dF(s) = {а Є Щ a(-s) F()-F(s) V(R}- субдифференциал F(s). Выражение Rpd в уравнениях (2.2) и (2.3) называется давлением и далее часто обозначается буквой "р".
Величины R, cv и к предполагаются заданными положительными константами. Определение 2.1 Сильным обобщённым решением задачи (2.1)-(2.6) называется четвёрка функций (и,р,9,а) таких, что уравнения (2.1)-(2.3) и включение (2.6) выполняются почти всюду в Q, начальные условия (2.4) почти всюду на Q, а краевые условия (2.5) - почти всюду на dQ х (0,Т) и справедливы следующие неравенства и включения Результаты данной главы состоят в доказательстве теоремы существования и теоремы единственности сильного обобщённого решения задачи (2.1)-(2.6). Теорема 2.1 Пусть для функций начальных данных щ, р$, в$ выполняются следующие условия щ W01,2(«), ре #о Wl 2{Q): р0 0, #о 0. (2.7) Пусть также Т 0 - произвольное число, а функция F(s) удовлетворяет приведённым ниже требованиям. 1. Для всех s Є Ш и всех а Є dF(s) выполнено неравенство as 0. 2. Существует и 0 такое, что для всех S\, s i Є К и всех сгг- Е dF(si) справедливо неравенство 3. Существуют А 0 и В 0 такие, что для всех s Є Ш и всех Є dF(s) выполнено неравенство Тогда существует сильное обобщённое решение задачи (2.1)-(2.6) в смысле определения 2.1. Следствие 2.1 Из условий 1 и 2 теоремы 2.1 для всех s Є К- и всех о Є dF(s) вытекает неравенство vs2 as. (2.8) Замечание 2.1 Очевидно, что функция F(s) — ao\s\ + vs2/2, соответствующая модели жидкости Бингама, удовлетворяет условиям 1-3 теоремы 2.1. Теорема 2.2 Пусть функция F(s) удовлетворяет следующим условиям 1. Существует, v 0 такое, что для всех s\, s2 Є К и всех о І (Е dF{s;) справедливо неравенство (а1 - o-2){s\ - s2) v{si - s2f. 2. Существует М 0 такое, что для всех s\, s2 Є К и всех U{ Є dF(.Sj) справедливо неравенство (aisi - a2s2f M(l + s\ + s22){(Ji - a2)(si - s2). Тогда, если (uj,pj, ,(7,-), і = 1,2 - сильные обобщённые решения задачи (2.1)-(2.6), то справедливы равенства и\ = и2, р\ = р2, 9\ = 92 и и\х — а2х. Замечание 2.2 Функция F(s) = cr0s + 52/2, соответствующая модели жидкости Бингама, удовлетворяет условиям 1-2 теоремы 2.2, причём константа М в условии 2равна max{2 , 2а2р 1}. Это утверждение легко проверить, заметив справедливость для данной функции F(s) неравенства \assi - a2s2\ (а0 + фі + s2\)\si - s2\ Vsb s2 Є M. a{ Є dF(s{). Следствие 2.2 В условиях теоремы 2.2 функция а очевидным образом определяется однозначно по ах в каждый момент времени to, если г/.(-,о) Ф 0. В разделах 2.2-2.6 установлена справедливость теоремы 2.1, а в разделе 2.7 доказана теорема 2.2.
Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния
Математические исследования модели жидкости Бингама производились ранее лишь для модели несжимаемых течений. В [47, 48] изучалась корректность задачи о многомерных течениях несжимаемой жидкости Бингама. Имеются результаты об одномерных течениях несжимаемой жидкости Бингама в цилиндрических координатах [49, 50].
В первой главе настоящей диссертации установлена однозначная разрешимость (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) в целом по времени и существование слабых обобщённых решений (в смысле интегральных тождеств) начально-краевой задачи о баро-тропном течении сжимаемой жидкости с законом напряжённого состояния, удовлетворяющим некоторым условиям. Данные условия выполняются, в частности, для закона напряжённого состояния Бингама. Указанные выше работы о корректности моделей баротропных течений сжимаемой жидкости не допускают законы напряжённого состояния, рассматриваемые в главе 1. Результаты главы 1 опубликованы в [59, 60, 61, 62, 63].
Во второй главе обоснованы теорема существования и теорема единственности обобщённого решения (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) начально-краевой задачи о течении нелинейно вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости, чей закон напряжённого состояния удовлетворяет ряду условий. Требования, налагаемые в теоремах главы 2, различаются, но в обоих случаях допускается закон напряжённого состояние Бингама. В главе 2 используется схема получения глобальных априорных оценок, предложенная В.А. Вайгантом [15]. Следует отметить, что результат второй главы является первым опубликованным [64] результатом о корректности модели теплопроводной сжимаемой жидкости с нелинейным законом напряжённого состояния.
В диссертации рассматриваются уравнения, описывающие одномерные вертикальные движения горизонтальных слоев жидкости. Среда занимает область 0 = {0 # !}, течение происходит вдоль оси х со скоростью и. Все искомые величины, находятся функциями от X и t, определёнными в замыкании Q области Q = Q х (О,Г). В этом случае тензор скоростей деформаций имеет единственную нетривиальную компоненту Dn = их. Из (0.6) следует, что тензор Р тоже имеет лишь одну ненулевую компоненту Р п, которую в дальнейшем будем обозначать а. Предполагается, что Ли//, указанные в (0.6), являются константами. Соответственно, закон Бингама (0.6) принимает форму их = 0 при \а\ сг0 и их = (1 — cr0/cr) T/V при сг его- (0.7) Здесь положительные константы UQ И v определяются константами Л, /і, го и свойствами конкретной функции (р(№ ), используемой в (0.6). Например, в случае (Р;) = JР : Р значения CTQ И V находятся из следующих равенств Выражая в (0.7) а через их, получим соотношения а = сто sign ) + vux при их ф 0, и \и\ а0 при их = 0. (0.8) Для удобной, с математической точки зрения, записи монотонных разрывных зависимостей типа (0.8) поступим по аналогии с задачей Стефана для уравнения теплопроводности [51, 52, 53]. Введём в рассмотрение выпуклую функцию F(s) : Е 4 1и запишем соотношение между сг и их в виде где dF(s) = {а Є R a( - s) F() - F(s) V Gl}- субдифференциал функции F(s). Цель данной диссертации заключается в нахождении условий на функцию F(s), достаточных для существований и единственности решений некоторых начально-краевых задач, полученных добавлением начальных и краевых условий к редуцированным уравнениям (0.1)-(0.3). Все условия, налагаемые на функцию F(s) в данной диссертации, допускают F(s) вида F(s) = cr0s + i/s2/2, для которой запись (0.9) соответствует закону (0.8). В рассматриваемых предположениях об одномерности движения, уравнение неразрывности (0.1) принимает вид с заданными функциями щ(х) : Q — IR, ро(х) : U — Ш и 6Q(X) : Q —t R. В настоящей диссертации исследуется корректность следующих задач. Задача А (о баротропном течении нелинейно вязкой сжимаемой жидкости) Пусть давление р является заданной функцией р(р) плотности р, функции начальных данных (/)0, 0)( ) : — R2 заданы, dF(s) - субдифференциал заданной функции F(s) : R — М. Найти тройку функций (р, u, a) : Q — Ш3, удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10), (0.11), краевым условиям (0.13) и начальным условиям (0.15). Задача Б (о течении теплопроводной нелинейно вязкой сжимаемой жидкости) Пусть давление р задаётся соотношением р = Rp9 (R = const 0), функции начальных данных (ро щ,6)(х) : О — R3 заданы, dF(s) является субдифференциалом заданной функции F(s). Найти четвёрку функций (р,и,9,а) : Q —» 1R4, удовлетворяющих включению (0.9), уравнениям (0.10)-(0.12), краевым условиям (0.13), (0.14) и начальным условиям (0.15), (0.16). Структура диссертации Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих соответственно 8 и 7 разделов и списка литературы из 63 названий. Используется общая нумерация формул, определений, лемм, теорем и т.д. Нумерация констант обособлена внутри каждой из глав. Номера формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоят из двух чисел: первое -номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Основные постановки, формулировки и ряд обозначений излагаются в тексте диссертации по нескольку раз с той целью, чтобы было возможно читать введение, первую и вторую главы независимо друг от друга. Предпоследний раздел введения содержит список основных обозначений, используемых в работе.
Построение приближённых решений
Произведён широкий спектр исследований корректности одномерных моделей движений сжимаемой жидкости [7]-[18]. Первоначально изучались баротропные течения жидкости, т.е. течения без учёта температуры, описывающиеся уравнениями (0.1)-(0.2). Имеющиеся результаты различаются по гладкости решений, по законам для давления и напряжённого состояния (в том числе, когда коэффициенты вязкости зависят от плотности). Однако, во всех этих исследованиях предполагалась линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформаций. В работах о корректности одномерных моделей вязкого теплопроводного газа вязкость считалась постоянной.
Известные на сегодняшний день результаты о корректности многомерных моделей сжимаемой жидкости относятся к баротропным течениям. В первых опубликованных в этой области работах [19, 20] доказывается единственность классического решения соответствующих уравнений. Затем удалось установить существование решений этих уравнений в предположениях о малости отклонения начальных данных от состояния равновесия [21, 22] или локально по времени [23].
Исследования уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости в целом по времени [24]-[28] привели в 1994 году к доказательству корректности двумерной модели [29], когда вязкости являются степенными функциями от плотности. Причём, в этой работе было доказано как существование и единственность классического и сильного обобщённого решений, так и существование слабого обобщённого решений. После этого были опубликованы работы о разрешимости многомерных моделей, в которых вязкости являлись степенными [30] или экспоненциальными [31, 32] функциями от компонент тензора скоростей деформаций. В первой из этих работ [30] было введено понятие мерозначного решения и доказано его существование, а во двух других [31, 32] установлено существование слабого обобщённого решения для модели Бюргерса (с постоянным давлением). Изучение уравнений с экспоненциальной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформаций продолжилось доказательством существования слабого обобщённого решения для модели с давлением, линейно зависящим от плотности [33, 34].
С начала исследований в этой области наибольший интерес проявлялся к разрешимости классической модели (где коэффициенты вязкости Л и ft константы), и в 1998 году были получены соответствующие результаты [35]. Также в 1990-х начали публиковаться работы о корректности различных приближённых многомерных моделей для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости [36]-[40].
Однако существует большое количество природных и искусственных сплошных сред для которых запись закона напряжённого состояния в виде (0.5) неприемлема в силу неоднозначного определения тензора Р по заданным Ю), р и 9. Например, существуют материалы, которые текут как обычная вязкая жидкость только при интенсивности напряжений (р( ) большей чем предельное значение TQ = const 0 (зависящее от материала). А в областях течения этих сред, где р(Р ) то предполагается жёсткое течение, задающееся уравнением Р = 0. Такие материалы называются жидкостями Бингама [41, 42]. Примерами подобных сред являются суспензионные потоки с большой плотностью твёрдых частиц [43], неочищенные нефти, цементы [44].
Первым описание таких явлений произвёл Бингам [41]. Он рассматривал одномерные движения несжимаемой жидкости в слое 0 Х\ 1 с вектором скорости вида u = (0, 2( 1),0) (естественным образом, предполагалось, что размерность пространства п равна 3). В этом случае все компоненты тензора Р = р за исключением р 12 и р 21 равны нулю. Тоже самое справедливо и для компонент тензора Р. При дщ/дх\ 0 и р 12 0 Бингам постулировал следующие соотношения где (і - вязкость. Затем Хохенемсер и Прагер [45, 46] обобщили закон Бингама для произвольного течения несжимаемой жидкости, полагая
Ю = 0 при р(Р ) г0 и 2рМ = {1- то/ р( ))№ при р(Р ) г0,
где (р(Р ) неотрицательная функция, первого порядка однородности, являющаяся инвариантом относительно поворота системы координат, (Р ) — у Р : 0- Для сжимаемой жидкости эти соотношения модифицируются в уравнения из которых в силу свойств функции р(№ ) следует выражение для Р при Р О
Математические исследования модели жидкости Бингама производились ранее лишь для модели несжимаемых течений. В [47, 48] изучалась корректность задачи о многомерных течениях несжимаемой жидкости Бингама. Имеются результаты об одномерных течениях несжимаемой жидкости Бингама в цилиндрических координатах [49, 50].
В первой главе настоящей диссертации установлена однозначная разрешимость (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) в целом по времени и существование слабых обобщённых решений (в смысле интегральных тождеств) начально-краевой задачи о баро-тропном течении сжимаемой жидкости с законом напряжённого состояния, удовлетворяющим некоторым условиям. Данные условия выполняются, в частности, для закона напряжённого состояния Бингама. Указанные выше работы о корректности моделей баротропных течений сжимаемой жидкости не допускают законы напряжённого состояния, рассматриваемые в главе 1. Результаты главы 1 опубликованы в [59, 60, 61, 62, 63].
Во второй главе обоснованы теорема существования и теорема единственности обобщённого решения (в смысле выполнения уравнений почти всюду в области) начально-краевой задачи о течении нелинейно вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости, чей закон напряжённого состояния удовлетворяет ряду условий. Требования, налагаемые в теоремах главы 2, различаются, но в обоих случаях допускается закон напряжённого состояние Бингама. В главе 2 используется схема получения глобальных априорных оценок, предложенная В.А. Вайгантом [15]. Следует отметить, что результат второй главы является первым опубликованным [64] результатом о корректности модели теплопроводной сжимаемой жидкости с нелинейным законом напряжённого состояния.
Предельный переход к разрывному закону напряжённого состояния
Интегрируя его по времени от 0 до достаточно малого г, выводим неравенство которое, в частности, влечёт оценку на Ut в L2(0, г; L2(Q,)). В силу компактности вложения пространства И-/1,2(0,г) в пространство С(0,г) компактность оператора А в А (г) установлена. Выбирая в (2.17) (р = 2U, а в (2.18) ф = 26 и складывая полученные равенства и учитывая (2.12), находим Отсюда интегрированием по времени приходим к соотношению Поскольку из (2.21) следует оценка на 9t в L2(0, г; L2(Q)). Это вместе с (2.10) даёт выбором малого т оценку неравенство в 0. Тогда, из (2.22), находим, что 2Wlli A)«)2+ 20,, 1 . Применяя оценку (2.2), при малых г выводим неравенство / wr) eN lT(l2 — 1), из которого, вновь используя малость т, получаем неравенство 71х(т) 5: - Таким образом оператор Л отображает В/ в себя. Осталось проверить непрерывность Л. Пусть по и\,и2 Є Вг, построили соответственно (/9i, Ui,9\) и (/02, С 2т 2)- Обозначим w = wi — г 2, р = р\— Р2-, U = U\ — U2, 6 = в\ — $2- Для функции /9 получаем равенства из которых, учитывая оценки на /ог- и ггг-, аналогично лемме 1.1 находим t Mt)\\l C6f\\u(s)\\lds. о Из уравнений для U{ выводим соотношение h Аналогично для из уравнений для #,- следует равенство Оценивая слагаемые в правых частях последних двух соотношений по неравенствам Гёльдера, Юнга и (2.11) с учётом оценок (2.2), (2.21), (2.22) на pi, 9j, Uj и щ и их производные, приходим к оценке которая и доказывает непрерывность оператора Л в В\. Таким образом, оператор Л удовлетворяет условиям теоремы Шау-дера. Следовательно, существует неподвижная точка этого оператора, которая вместе с соответствующими р и 9 является решением задачи (2.12)-(2.15). Лемма доказана. 2.3 Равномерные оценки галёркинских приближений Лемма 2.2 Существуют такие положительные числа cj и г, независящие от N (здесь N таково, что выполнено (2.10)), что для решений (р,и,9) задачи (2.12)-(2.15), таких, что справедливо следующее неравенство \\P\\L{Q,T;W {Q)) + \\Рі\\ь{0,т;ЬЦП)) + 1//9IIL (QT) + 141 (0, .2(0)) + IMU2(0,r;WV(fl)) + HL2(QT) + 11011 (0,7- .2(0)) + і2(0,г;І Я.2(О)) + U2(Qr) C7 Доказательство. Полагая p — iif — urx в (2.13) и ф = 9\ — 9XX в (2.14). и вводя обозначения о n приходим к равенству f(ux)uxOxx + рг/.х. - pux9xx)dx. (2.23) Из (2.12) аналогично лемме 1.2 получаем оценку Кроме того, дифференцируя (2.12) по х и обозначая v = 1/р, находим Отсюда и из (2.24) несложно понять, что /9z()2 с$еС9Ш. Используя это неравенство и применяя к правой части (2.23) неравенства Юнга и Гельдера, заключаем, что для є 0 выполнено неравенство Выбирая здесь 0 є 1 и применяя лемму Гронуолла, получаем требуемые оценки. Следствие 2.3 Л силу равномерной по х и А7 отделённости от нуля функций 9Q (х) и равномерной по N ограниченности функций 9t в L (QT) легко понять, что существует, т,акое т 0; что при О t г функция 9{x,t) неотрицательна. 2.4 Сходимость галёркинских приближений Напомним, что пока предполагаем /(s) непрерывно дифференцируемой функцией, следовательно, (2.6) понимается в смысле выполнения почти всюду в Qr равенства a = f(ux). Обозначим через (pN\uN,9N) решение задачи (2.12)-(2.15), Полученные в лемме 2.2 оценки позволяют выделить -слабо сходящиеся подпоследовательности Покажем, что тройка (/э, и,#, т), где a = f(ux) является решением (2.1)-(2.6) при Т = т. Легко понять, что предельные функции удовлетворяют начальным условиям (2.4) и краевым условиям (2.5). Из равномерных оценок pN в L(0, г; И 2(П)) и р? в L(0, т; L2(Q)) по теореме Арцела-Асколи [57] получаем сходимость подпоследовательности pN - р сильно в C{[0,T],L2{9.)). (2.27) Аналогично, равномерная ограниченность и (в ) в пространстве L(0, т; W1,2(Q)) и и1} [9 ) в L2(QT) даёт возможность выделить сильно сходящиеся подпоследовательности uN -» u, 9N - 9 сильно в С([0,г],L2(fi)). (2.28) Из ограниченности м (9 ) в L2(QT) следуют равномерные оценки на utx і@їх) в пространстве L2(0,r; И/Г_1,2(0)), что вместе с оценками и ! (6х) в L2(0, г; И/1,2(0)) приводит [57] к сходимости подпоследовательности uf - иж, 0 - 6 х. сильно в L2(Qr). (2.29) Фиксируя в (2.13) функцию (р, а ф в (2.14) и устремляя N - со, с помощью (2.25)-(2.29) переходим к пределу в уравнениях (2.13)-(2.14). В слагаемых с f(u ) это удаётся произвести в силу (2.29) и непрерывности функции /. Так как линейные комбинации { fk} и {фк} плотны в L2(fi), уравнения (2.12)-(2.14) выполняются для всех р,ф Є C([0,rL2(Q)). Тогда на основе соответствующих оценок заметим, что почти всюду в QT функции /9, и, 9 удовлетворяют уравнениям (2.1)-(2.3) с о = f(ux). Здесь окончено доказательство существования решений в условиях теоремы 2.1 для дважды непрерывно дифференцируемых функций F(s) в малом по времени. 2.5 Глобальные априорные оценки Как было доказано в предыдущем разделе, в условиях теоремы 2.1 и дважды непрерывной дифференцируемости функции F(s), для некоторого т 0 существует решение задачи (2.1)-(2.6) с Т = т. В данном разделе, предполагая вновь выполнение условий теоремы 2.1 и дважды непрерывной дифференцируемости F(s), установим разрешимость задачи (2.1)-(2.6) в целом по времени путём получения априорных оценок решений задачи для произвольного Т 0.
