Введение к работе
Актуальность темы.
В основе классической гидродинамики лежит закон Ньютона, согласно которому имеет место линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. а = -рТ * 2r\D. т) = const Однако, многие материалы, в частности расплавы и растворы полимеров, суспензии, глинистые растворы, масляные краски, фармацевтические и пищевые продукты, кровь, дают примеры жидкостей, отличных от ньютоновских. Вязкость таких жидкостей, получивших название неньютоновских, является функцией скорости сдвига и температуры. Кроме того, такие жидкости могут проявлять пластические свойства, заключающиеся в наличии некоторого предельного напряжения сдвига, после которого возникает "текучесть среды". Наконец, эти материалы могут проявлять вязкоупругие свойства таким образом, что состояние среды определяется историей ее деформирования.
Вопросы численного моделирования требуют развития теории начально-краевых задач для уравнений неньютоновских жидкостей, а также для различных приближенных моделей, применяющихся для расчета течений вязких несжимаемых жидкостей.
Цель работы. Целью данной работы является изучение начально-краевых задач для модели Олдройда вязкоупругой жидкости, а также для модели обобщенных уравнения Прандтля для ньютоновской и неньютоновской жидкостей.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:
1. Доказано существование глобального решения для модели
вязкоупругой жидкости типа Олдройда в следующих начально-
краевых задачах:
а) в задаче с условиями прилипания на границе,
б) в задаче протекания,
в) в первой краевой задаче для модели неоднородной жид
кости Олдройда.
2. а ) Доказана однозначная разрешимость задачи протекания
для модели обобщенных уравнений Прандтля линеаризованных на течегопш Пуазейля. б ) Осуществлен предельный переход в линеаризованных стационарных уравнениях Навье-Стокса к модели обобщенных уравнений Прандтля. в) Доїсазано суцествованїіб іпщшственность—обобщенного— решения в модели дилатантной жидкости в приближении обобщенных уравнений Прандтля. Все результаты являются новыми.
Методика исследования. Доказательство разрешимости начально-краевых задач для модели жидкости Олдройда проводится на основе идей и методов разработанных А.В.Каадаховым с использованием метода компактности я метода штрафа.
Обобщенные уравнения Прандтля исследуются с помощью метода Гадеркина и метода регуляризации. Однозначная разрешимость в модзли дилатантной жидкости доказывается методом монотонности.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они могут быть использованы для конструирования и обоснования численных методов решения.задач механики жидкости.
Апробашш работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на семинаре по математическим моделям механики сплошных сред в Институте гидродинамики СО РАН под руководством чл.-корр.РАН В.Н.Монахова, на семинаре по математическим вопросам в гидродинамика в Новосибирском государственном университете под руководством проф.А.В.Кажихова, на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте математики СО РАН под руководством проф.А.М.Блохина, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте математики СО РАН под руководством проф.Т.И.Зеленяка, на семинаре в Институте вычислительных технологий СО РАН под руководством проф. В. М. Ковени.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 38 наименований. Материал диссертации изложен на 83 страницах.
