Начальные краевые задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта, их модификаций и е-аппроксимаций Емельянова, Лиана Владимировна

Введение к работе

Актуальность темы. Хорошо известно, что начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стскса на протяжении многих лет изучались многими выдающимися математиками и механиками. Наиболее полные и законченные математически,строгие результаты по гидродинамике вязкой несжигаемой жидкости получены d работах О. А. Ладмжепсиоіі, С середины 50-х годов, когда Г. Джеффри и Д. Олдройтом были предложены новые реологиче-. сязе.сбВпіоііГсіпш, обобщаю'щие реологические соотношения Пыо-їЬііа,' Ьозпйка^ігео{;і:рдимос^,гь'получегаія таких нее результатов и для уравнений дтЬкеш!/!¹ жидкостей Джеффри-Олдроііта.

Изучение различный' Начально-краевых задач (п работе исследуется задача прилипання и проскальзывания), а именно, иссле^ допаиие разрешимости и устойчивости решений, является весьма' актуальным, отвечает потребностям приложений, и позволяет построить строгие математические модели для течений жидкости Джеффрн-Олдроїіта, а также обосновывает позможность применения численных методов решения отих задач.

Цель работы исследовать разрешимость в целом па полуоси /ї⁺ лвумериых начально-краевых задач для уравнений движения жид (костей Джєффри-Олдроїіта, их модификаций и є- аппроксимаций, а также, модификаций и е-апнроксимациії трехмерных задач.

Провести изучение устойчивости решений этих задач при . f —» со.

Метод исследования. -В работе используются функциональные
методы математической физики, и гидродинамики, предложенные
О. А. Ладыженской. '

⁴ Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разрешимость н целом двумерной началыго-краепой задачи с проскальзыванием для уравнении движения жидкости Джеффрп-Олдройта.

2. Разрешимость и целом трехмерных начально-краевых задач для регуллризованных в смысле О. А, Ладыл<енской уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта.

3. Разрешимость в целом двумерных возмущенных начально-краевых задач для уравнений движения жидкости Джеффри-, Олдройта.

4. Разрешимость в целом трехмерных возмущенных задач
для рсгуляр'їізооаішмх- в смысле О. А. Ладыженской уравнений
ДжеффрИтОлдройта. ,

5. Исследована устойчивость решений начально-краевых задач для уравнений движения жидкостей Джеффри-Олдройта и их регуляризации в смысле О. А. Ладыженской при t -* со.

Перечисленные результаты являются новыми.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы в гидродинамике вязких несжимаемых неиыотонов-ских жидкостей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на 6-ом Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (Ленинград, ЛОМИ им. В. А. Стеклова, в 1989 г.), на заседаїпога Сибирского математического Общества, посвященных 90-летию акад.М. А. Лаврентьева (Новосибирск, институт математгаси СО АН СССР, 1990 г.) и на ежегодных научно-технических конференциях С.-Петербургского Морского Технического Университета в 1987-1993 г.г.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 'роботах [1-5]

Структура и объем диссертации-. Диссертация состоит да вве- дения и пяти глав и содержит 92 страницы машинописного текста. Список литературы включает 84 наименования. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В настоящей работе рассматривается уравнение составного типа, описывающее нестационарные внутренние валян в "нобус-стшесковых" (т.е. сильнострати!ицированных) вращающихся жидкостях. Интерес к пробленам динамики стратифицированных хядкостей обусловлен к»л практическими потребностями, так и большим теоретический содержанием возникающих здесь задач. Конечно, детальное описание волнового процесса в этих еидкостях требует достаточно развитых ыагеиатических иоде-хей, веська слюаных, нелинейных, нногопаравэтряческих, изучение которых эффективно лишь при поиощи численных гжтодов. Однако, очень часто первоначальное качественное представление об изучаемой круге явлений иоано долучить я на основе Солее простих линййшх моделей я аналитических иечодов исследования. Это характерно для задал дияашша страта-фнцпрованных аидкостей. Дате в рамках линейных иоделей ах нат&цатнчес-кив постановки васьш своеобразна и приводят к нестандарты нзчальао-краевыа задачам. Это определяет нараду с ветравиальнцмз фазагшснзкя следствиями и саіюстоятельниа матеиата^ескай интерес к эпш ярсбл&ж*.

Под стратЕфшароваввоа гадкостьа принято поникать вздкость. фази-чвсквв харзктерястка которой в нзвозцущеязш состоянии меняются от точка к точке, в частности, меняется вдоль некоторого направления. Из геофизика известно, что наиболее часто встречатаьгяся в природа стратз-їакация - плотноствая. йснолъзу&яая в данной работе модель гааоякзет валыз двзгеная ввсггзаеша врацащейся згидюста, эксзювенпдальав сгрэ-«гфщарованной во плотности вдоль нанргві&ззш двйстваа сала тяг&ста.

Кооачго. требозаягг ажяшневддальша стргтзфшсгцш сущесшеяяэ /продает ряссуддаши. посаользу в зтоа сяучаэ ургвввяга з macsssx юрэ-взводзых, оввсивавщ&е двягаяжя т&зоз аддшзстя. сткасвается с пшстоеї-шиа коэффапшйятага. йзгсте с тел, с точка зрешля яотигатяч&пЕсй сдет-

ности это обстоятельство компеасируется достаточно высоким порядком рассматриваемого здесь уравнения. Целью работы является выявление различных физических эффектов, возникающих в динамике рассматриваемых жидкостей. Для этого было получено явное представление фундаментального решения уравнения гравитационно-гироскопических волн и на его основе построены явные решения некоторых начально-краевых задач и изучены их свойства.

Возможность такого подхода позволяет отнести рассматриваемый круг проблем к числу задач интенсивно развивающейся в настоящее время математической теории стратифицированных жидкостей.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.. Работа является дальнейшим развитием исследований, выполаеннннх С.А. Габовым, А.Г. Свешниковым и Ю.Д. Плетнаром (физический факультет ИГУ, кафедра математики). На основе выдвинутых ими идей и методов в диссертации впервые в рамках строго математического подхода исследованы нестационарные начально-краевые задачи для полного уравнения гравитационно-гироскопических волн без приближения Буссинес-ка.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Изучение задач, разрешимых в явном вида, играет важную роль в исследовании любой математической модели физических явлений. Это обусловлено, с одной стороны, тем, что эти задачи являются своего рода "эталонами", гозволявдимн глубже понять суть изучаемой модели, а также проводить сравнение и оценку эффективности различных асимптотических и приближенных методов, в частности, численных; с другой стороны, свойства явных решений могут быть изучены в некоторой степени полностью, что позволяет выявить ряд нетривиальных физических эффектов, ускользающих при более, общем рассмотрении.

Полученные здесь результаты могут быть' применены для решения задач геофизики, связанных с изучением движений стратифицированных вра-щавдихоя жидкостей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работа неоднократно докладывались н*--семинаре кафедри математики физического факультета МГУ, а такжэ на Второй Всосовзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Г. Канав, 1991 г.).

Основные результати диссертации опубликованы в работах [1-4].

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и четырех глав, содерззгг 107 страниц твкста, из которых 3 страницы составляют рисунка. Список цитируемой литературы включает'58 работ.

Во введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, дан обзор литературы по текэ диссертации. Кратко излагается основное содержание глав диссертации.

Пврвая глава посвящена построению фундаментального решения уравнения гравитащюшо-гироскотгческих волн, которое в безразмерных переменных можно записать в виде

^М Є = СШ)~¹ 3*1,

и изучению его свойств.

В 5 1.1 дается краткое изложение вывода уравнения (1) из основной векторной системы уравнений гидродинамики в предположениях несжимаемости и невязкости стратифицированной вращающейся яидкости. Приводятся так ate соответствувдие граничные условия основных начально-краевых задач для уравнения (1).

В 5 1.2 вводятся используевдэ в дальшйшеч классы функций: с^г)[о,«) s {cp(t)eC^f2,(o,«): <р(0) = t(0) » о} И

С^^г>[[0,»)₅ C^ta)(D)] * '{u(x,t>eC⁽3>[[0,i)| C<²⁾(D)];

U(x,0) = ll_t(i,0) = o\ ,

гдо DdK³ - открытая область, и приводятся вспомогатвльнаэ результаты,

на основе которых доказывается следувдея лемма.

Ломма 1. функция 0[

+» Гн(х)*1^п_1
а[ф](х.і) = [R(x)*]-¹e-^ft(;">(t) ш У (-1)" ~ - q>(t)

для любой функции 2)[o,oo), принадлежит классу Сд^2>[[0,»); с^(ш,(к^э\о)] и при |х|"0 удовлетворяет в классическом смысле уравнению (1).

Здесь'год R(r)* понимается сверточный по времени оператор, денст-иущий по формуле:

R(x)* - |х| [3(t)*] [3(B(x)t)»]^_

3(bt)* 0,

где e - единичный оператор, J,(С) - Функция Бесселя первого порядка, символ * означает свертку го времени, а

В(х)_Вр[х^,д^]^1/гН ⁺ 4^Г^/г-В 8 1.3 строится фундаментальное решение уравнения (1):

U(x,t) = - 9(t) w(x,t),

где 0(t) ^ функция Хевисайда, равная единице при tzO в нулю при t<0, а

функция w(x,t) опредляется равенством

_W(x,t) ш _L|i(x)*]-V^ficx,*aint. (2)

4*

Для функция n(x,t) доказываются следущие лвідаї, которые помогают лучше представать структуру фундаментального решения KCx.t):

Локма 2. функция w(x,t) при уО удовлетворяет в классическом сьасле уравнению гравитацдонно-гнросконических волн хи = 0, причем

w(x.o) - о. w.(x.o) = 2-— .
' 4*1*1

Лемка 3. Для w(x,t) изет кесто равенство

w(x.t) = w_Q(x,t) + w_t(x,t).

и (x.t) = J- [R(x)*]~¹ aint ,

а для w₁(x,t) справедливы оценки

at"

w,(x,t)

* A(t),

**

at^k <»х,

w, (x.t)

< ^B(t>

0(t)

w^x.t)

|x|<

*^{tk Л}Л,

X = 0,1.2; i.i = 1.2,3; при feO, |x|:A. A>0; A(t),B(t),C(t) - непрерывные неотрицательные функции.

Лемма 4. Для функции *₀(х,t) справедливо представление

w₀(x.t) = j(t)*v₀(x,t).

B(z)t

J_^J_ f j <_c)dC .

4* „2, . |x| J

B^c(x)

v₀(x.t)

j(t)* - сверточный по времени оператор, определенный в J 1.2, J₀(C) -функция Бесселя нулевого порядка.

Необходимо отметить также, что функция v (x.t) являвтся сингулярным решением уравнения гравитационно-гироскопических волн в приближении Буссинеска

-^- A-U + Л,и -I- e²U , = 0. _atZ ^{3 г х}3*3

Кроме того, в этом параграфа выводится некоторый аналог третьей формулы Грина и доказывается

Теорема 1. Если I±tft « A^c1,h> и функция u(x,t) достаточно гладкая и такая, что и(х,о) = u_t(x,0) = о, то

eutx.t) = - I w w dydx + u(y,t) — 2- dr -

J J J *n_y 4it|x-y| Г

on г

?

_{" і І [}^и _{^" * ^"Н**'}

о Г где 0=о при х*П, 0=1/2 при хеГ и 0=1 при xeQ, а через N_tx обозначен

еле дужий оператор на Г:

*и

* ЛИ . 9XS

N. и

Л- -i_ + =!_ _Оов(п ,х.) + 21_ оов(п ,х_) +

*t² *»* **1

(3 )

+ є² оов(п,х_).

В 5 1.4 дается вывод двух интегральных представление фундаментального решения ff(x.t), отличнні от (2). Доказывается Теорема 2. функция w(x,t) представима в виде

w(x.t)

4«?W J (ц^г+в^г)^1/2(ц^г₊1)^1/г |> ц^г.+ 1 J

ф

|х|-¹Г(х,і).

,1/2,

-1/2

(4)

Здесь в Бсаду в дальнейшем предполагается, что 1*е и min(l,e) s В(х) s тах1,е}. Для функции r(x.t), определенша формулой (4) для лхбыххек³. таких, что |х|гО>о в ио, имеют место оценки:

I " L s [о₀(ж) + to,(x)] в ^г

t* ***

„2,1/2,.

~ -ІХ- S [C₀(X) 4- tC^X) + t^SC₃(x)] в ²

k = 0,1,2; l.J = 1,2,3; о_г>0; CjCx) - неотрицательные функции переменной x, конечные при каждом |х|*0.

В этом гв параграфе рассматривается вопрос о характере поведения функции w(x,t) в предельных случаях |х|-»о и t-o. Устанавливается спра-

гадливость следущнх утверждений: а), прн х = (о,о.х₃> и tiO

_W(x,t) = —і в ^J elnt,

4ЖІХ3І

б), пря t-0

t -I^х!
w(x,t) = -і- в (1 + fl(x.t)).

«|x| гдв |0(x,t)| «' ot² и о hb зависит от x и t, _f

В). w(x,t) = —L_f3(t)»l~ p(B(x)t)*lalnt - 1-alnt + w₂(x,t)
44t|x|L J ^L J 4x ^г

и w₂(x,t)-»0 при |x|-0.

Пра дааощя закэнн переквняои из формули (4) получено еще одно

продставленЕэ фушсцна w(x.t)

4^I|xf J 2 - В²)¹'² (1 - p²)^{,/2 L} , ^J

В (5)

Необходимо отстать, что формула (5) справедлива как в случае 1>е, когда esB(x)в(х)>1. В последнем

і/г

случав надо лешь ешть в виду, что

л/г

^{1 р} рв(1.В> р ¹

Соргдулі (4) в (5) является гскомнна прадставхенаяка ягя фуя-дакентальвого рэкеггая а будут использованы вага для изучения шведвшві пря большг врэовваг функции fl(x.t) п решения задачи Нояя.

В главе 2 исследуется асгаагготнчесгсое поведение фундаментального реоензя уравнения грявэтацгонго-гаройгсязических воля (1) пра t-»+» а

|Х| *4«>.

В 5 2.1 проводятся анализ асхзштотическях формул, полученных с ікиющью методов типа стационарной фазы я пвревала, который шказивавт. что ии сталкивавмсл с явлением квазпфроята. состоящего вз эксгоненця-

вльно малого "предвестника" в области |x|>o(e)t и следущего за ним в области |x|

С(є) = (1-В^г) max f ц (1 + Ц^г)^-3/г(ц^г + В^г)~^1/21 s

З (1-В²) (1+ЗВ^г)~^1/г является по своему смыслу безразмерной скоростью распространения квазифронта и моЕвт быть приближенно задана формулой с(є) * (і-є^г)віп^г6, где Є - угол шжду ортом ₃ и вектором х. Тем самым, как и в случае стратифицированной жидкости без вращения, поверхность квазифронта |х|= = c(e)t оказывается весьма далекой от сферической. Кроме того, наличие вращения замедляет распространение квазифронта.

Для получения более детального представления о характере и форме ВТого квазифронта в 2.2 приведены результаты численного исследования.

В третьей главе строится явное решение задачи Коши для уравнения гравитацвонно-гироскопичеких волн (1) и, кролю того, обсувдается вопрос о поведении решения задачи Коши при больших временах и о его выходе на режим установившихся колебаний.

В 5 3.1 дается постановка задачи Коши для уравнения (1) и вводятся следующие классы функция. Для функции v(x,t), определенной в области к³х[о,о) и приаадлвхющей классу функций c^tk)[[o,«>); с^Сш)(к³)]. будем говорить, что v(x,t)eiHg'^k, если при любом teo и |х|~+о» справедлива оценка

|^ct ^ v(x.t)| s c(t) e'^x(, где 14fe; p+q s m; i,j = 1,2,3; C(t) - непрерывная положительная функция, своя для каждой v(x,t), в ъ^ш о/ох. Аналогично определяется класс функций Ид для функций переменной х.

С учетом сказанного ваше формулировка задачи Коши звучит слэдую-

щнм образом:

Задача Кош. Найти функции u(x,t), определенную "при (x,t) е к³х х[0,оо), принадлэгвщуи іслассу m^>² при oWO.1/2) и удовлетворяющую в классическом смысле уравнению

и начальным условиям ' . .

U(x,0) = lyz), U_t(x.O) = U, (і).

' Кроме того, в этом параграфе на основе формулы (3).из 5 1.3 гл. 1
доказывается . .-

Теорема, 2. Белл ^(х),^ (х)сш^ и функция rfx.t)^'¹ при 00<17г, то классическое решение задачи Копи существует, единственно и дается'

формулой

^{,., = -] J}

- nCx-y.tjLu/y) - іуу) dy -

R³ R³

U(x,t) = - I w(x-y.t-x) f(y.t) dyctt - .' .(7)

6VU-y,t) at

dy.

VoW- V*>

В 5 3.2 рассматривается поведение решения задачи Кош пря больших временах как с неоднородными начальными условиям и финитной по времени правой часты), так и с однородными начальными данными и правой частью, не зависящей от времени.

В первом случае показано, что для любого компакта как³ справедлива оценка решения задачи Коли при временах t>T в зирр f(x,t)

. . :, t ,

|U(x,t)| 5 С (К) Г^,/г , где ctK) - константа, зависящая от компакта К, а также от функций и_о(х). tyx) и r(x,t).

Теорема 2 доказана в предположениях, чтои₀(х),п, (х) « с^'е?³) и

функция J(r,t)eC⁽⁰⁾[lo,»); с^Чк³)] и финитна по времени.

Bo-втором случае, т.е. случае. когда ^(1)=^(^)=0 в f(x,t)st(x)e0) (к³), доказывается теорема, согласно которой при больших временах происходит стабилизация решения задачи Коши и выход его на стационарный режим, причем справедлива оценка скорости сходимости |u(s,t) - v((x)| s с t^_1/2.

Функция v(x) a liiaUU.t) прннадлвЕгг классу c(ir³) в удовлетворя-

t-wo 6т КЛйССКЧбСКСЫ С&НСЛЭ УраБНЄши>

v+ ^Ь^ -^т) =^Ш)-

3.3 посвящен рассмотренш) общей задачи Кщ, когда функция f(x,t), стоящая в правой части уравнения (6), зависит от времени гармонически, т.е. f(x.t)sT)(t)f(x)e~^luJt, где fUM^V³), u>0, а TKtJec^'to,*») и является функцией переходного реима, вполне произвольной при t, меньшем некоторого т>о, в равной тождественно единице при t>T.

Показано, что при приведенных выше условиях относительно функции f(x,t) и при ы « 1,е для решения U(x,t) при больших временах существует предельная амплитуда, определяемая формулой

'V(x) в 11m Utx.tje¹^*

и удовлетворяющая в классическом сшсле уравнению установившихся колв-башгаЗ

(i-u²)^ + (е ²-<^)(v - ^т) = *^(х>-Таким образом, при ш » і,є доказано существования режима установившихся колебаний в задаче Кц, причем более штерасшм и сдояннм оказался "гиперболический" случай ше(є,і), когда уравнение установившихся колвОання является гиперболическим и корректная постановка соот-ветствувщен задачи для предельной амплитуда вшивает затруднения. Рассмотрение нестационарной начально-краевой задачи позволило в рамках

строгой математической постановки изучить "гиперболический" режим

установившихся колебаний.

В J 3.4 доказывается существование локально суммируемой мажоранты

для разретавдего ядра Hyfx.t) задачи к^, определенного в вида

BJx.t) = w(x.t-i) е^1ыт dt.

о '

где для функция n(r,t) используется представление (5). Эта гіаяорантная

оценка необходима для обоснования существования режима^: установившихся

колебаний, рассматриваемого в 5 3.3. , .

В четвертой главе строятся динамические потенциалы для уравнения гравнтациошю-гироскопичеашх волн (1) п исслэдуется на их основе классическая разрепзшость внешней п внутр9ннва задач Дирихле.

5 4.1 посвящен построению и изучении динамических потенциалов.

Пусть Г - замкнутая поверхность класса A^(1,h), ограничивающая : область GdR³. На этой поверхности вводятся в рассштренпэ слодувдие

поверхностные потенциалы:

A|Vj{x.t> = f V(y,t) -±. ^Є '~" dT_

*п_у At |x-j| ?

B[K]{x,t) « J J V(y,%) y(l-7,M) dT_ydX ,

7[v](x,t) =lj v(y.T) v(x-y.t--t) dT_ydt ,.

о Г

г* і"¹ . T(r,t) = jj(t)*j W(x,t) a (E - S(t)*)w(x,t),.

ГД8 v(x^t) « с^^г)[(о.»): с⁽⁰⁾(Г)]_ё оператор и_ау определен (З*).

Отмэтта, что потенциал a[v] является хороио изученным-потопцяплом двойного .слоя для уравнения Гельмгольца, зависящим от времени как от

параметра.

Путем непосредственной проверки показано, что динамический потенциал vjv](3,t) и линейная комбинация A[v](x,t) + B[v]

Для введенных ваше потенциалов доказывается

'їеорома 3. Если v(x,t) е <с^^г)[Ю.ю);с^СО)(Г)] и Т*к ^,h), то

B_±[v](x.t) =.± -ls(t)* v(x.t) + B[v](x,t), (8а)

[N_txV[v]] (x.t) = ±'[tE - S(t)*) V(x.t) + (86)

t
+ f Г v(y,i) N. v (x-y.t-t) dT

a ₆-|«-y|

«n 4ic|x-y|

о Г Г *

где сверточный по времени оператор s(t)* определен в 1.2 гла- вы 1. Правые части формул (8) принадлежат классу Cq^2,[[0,oo); <с^(0>(Г)]. Здесь индексами "+" и "-" обозначены предельные значения в точке хеГ при стремлении к ней по нормали изнутри и извне области О соответственно.

В 5 4.2 рассматриваются внутренняя и внешняя задачи Дирихле для уравнения (1) в ограниченной области с достаточно гладкой границей:

Задача Д*. Найти, функцию U(x,t), удовлетворяющую в классическом смысле при t>0 в области О уравнению (1). начальным условиям

'U(x.O) = U_t(x,0) = О VxeQ

и граничному условию

U₊X6l, = <}>(x,t)|_xeI, vt*o.

Задача Д". Найти функцию U(x.t), определенную при хєСҐеж³\п и teO, регулярную на бесконвчноста и удовлатворявдую в классическом смысле при t>o в области ОТ уравнанию (1), нулевым начальным условиям и граничному условию:

и_<х.П|_хеГ « ф(х,і)|_хеГ V t>0.

Используя результаты предыдущего параграфа, доказывается

Теорема 4. Если 4>(x,t) «? с^г,[[о,со); «^С0)(Г)], то задачи Д⁺ и Д" разрешимы в классическом скисло, причем решение задач Д* имэот вид:

U(x,t) = A[v](x.t) 4 B[v](x,-t), гдо потенциалы A[v](x,t) и B[v](x,t) определены в предыдущем параграфе.

Для доказательства едаяствзиности решений рассмотренных задач получено энергетическое равенство ДОЯ уравнения (1).

Резюмируем кратко новые научные результата, полученные в настоящей работе.

1. Построено фундаментальное решение полного уравнения гравитационно-гироскопических волн и изучены его свойства. Кроме того, для него получены два интегральных прэдставлэшш, необходимых для дальнейших исследований.

. 2. Показано, что в яесгшаемоп стратифицированной вращагщейся гадости нестационарные волны от точечного источника мгновенного дей-* ствия обладашр гравитационны!,! фронтом, енвпцем вид квазпфронта.. Кроме, того, вращение обусловлнвшт ноше особенности волн: в отличии от случая стратпфзциров8нной падкости без 'вращения '"nuieftj"„осцилляции ЕЬїзвт вид супэрпозшпга "бистрах" п "медленных*' осцилляции, а тага» ' затадляет распространение квазпфронта.

3. Построено явное решениэ задачи Кошт для полного уравнения гравитационно-гироскопических волн. Исследовано поведение решения при больших временах. Показано, что при ненулевых начальних условиях- и 5шпггно« по врегзани юзбуаденин для решения задачи Кони справедливе оценка

|U(z.t)| SC(K) t^_,/2 для точек левого кокпакта KcR³. Установлено такгэ, что при возбуждении вида r.x,t)=f(x) решение задача Коша стабилизируется и выходят па стационарная рсаим. В общем случае, когда возбуждение зависит от времени гармонически, т.е. f(x,t)sT)(t)f(x)e~^Iut,, для решения задачи Коти

при больших врекенах существует предельная амплитуда . V(x) ш limV(x.t)e^iut, .

т.е. для задачи Каши существует реши установившихся колебаний. Предельная амплитуда v(i) при ш *і,є удовлетворяет в классической смасле уравнению установившихся колебаний, которое получается из псходаого уравнения законов каздой частной производной по времени t ннокнте-

лец (-ІШ).

4. Построены динамические потенциалы для уравнения гравитационно-гироскопических волн. С их 'помощью изучена классическая разрешимость внешней и внутренней задач Дирихле.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Сундукова А.В. фундаментальное решение уравнения гравитационно-ги
роскопических волн и разрешимость внутренней и внешней задач Дарих-

. ле //Ж. внчисл. натем. и иатеа. фзз. 1991. Т.31, Л 10. С.1544-1551.

2. Сундукова А.В. Фундаментальное решение уравнения гравитационно-гироскопических волн и явное решение задачи Коши //Ыатериалы 2 Всесоюзной конференции "Проолеьи стратифицированных течений". Канав. 1991. Т.1. С.72-73."

3. Красногон А.В., Плетнэр Ю.Д. О поведении при t-»» решения задачи Коши для уравнения гравэтавдовно-гароскопических волн //И. вачисл. матом, н матек. фзз. »994. Т.Э4, & 1. С.78-87.

4. KpacHOZOH А.В., Плетпер Ю.Д., Соловьев И.А. О распространении ква-зифронта в стратифицированной вращающейся аздкостп //В. внчисл. ва-тем'. и иатем. фаз. 1994. Г.34, » 2. С.310-315.

Похожие диссертации на Начальные краевые задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта, их модификаций и е-аппроксимаций

Начальные краевые задачи для уравнений движения жидкости Джеффри-Олдройта, их модификаций и t-аппроксимацийЕмельянова, Диана Владимировна

Задача Коши для системы уравнений, описывающих движение суспензии в жидкостиАнощенко, Ольга Алексеевна

Сингулярные краевые задачи и их аппроксимация для обыкновенных дифференциальных уравненийДжумабаев, Дулат Сыздыкбекович

Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смесиПапин, Александр Алексеевич

Начально - краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смесиАхмерова, Ирина Геннадьевна

Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими даннымиКазенкин Константин Олегович

Качественные свойства решений уравнений волновых движений двухслойной жидкостиМальцева Жанна Львовна

Конечномерная аппроксимация обратных задач математической физикиТоктосунов, Мирбек Бердибекович

Полиэдральные аппроксимации в задачах гарантированного управления и оценивания Костоусова Елена Кирилловна

Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводностиХакимова Олима Хафизовна