Содержание к диссертации
В в е д е н и е 4
Глава I. Краевые задачи в теории многоскоростного
пограничного слоя 18
I. Модель Рахматулина. Существование и единствен
ность сильного решения 18
1. Постановка задачи и основные результаты. 2. Вспомогательные задачи. 3. Оценки, равномерные по .4. Существование сильного решения основной задачи. 5. Единственность. 2. Тепловой пограничный слой в многокомпонентном потоке. ( Многоскоростная и многотемпературная
модель.) 47
1. Краевые задачи. 2. Регуляризирующее семейство краевых задач. 3. Интегральные оценки, равномерные по .4. Существование слабого решения основной задачи. 5. Доказательство теоремы 2.2. 6. Теорема единственности.
Глава II. Начально-краевые задачи одномерного не
стационарного течения многокомпонентной
смеси 72
I. Корректность постановки задач для многоскорост
ной модели баротропных жидкостей 72
I? Постановка задачи.2. Априорные оценки. 3. Оценки сверху и снизу Pi . 4. Оценки производных решения и гельдеровские оценки. 5. Не-
однородная краевая задача. 6. О задаче Коши.
2. Основные краевые задачи взаимопроникающего дви
жения совершенных газов 85
1. Постановка смешанных краевых задач. 2. Первые энергетические оценки. 3. Оценка сверху и снизу Рі , Ті .4. Оценки производных решения. 5. Другие граничные задачи. 6. Оценки норм Гельдера решения. 7. Задача Коши. 8. О локальной разрешимости задач. Единственность решений.
иложение . Модели гидродинамики многокомпонент
ных жидкостей 108
1. Общие уравнения механики многоскоростного континуума. 2. Модель одномерного взаимопроникающего движения совершенных газов. 3. Барот-ропные жидкости. 4. Стационарный многоскоростной пограничный слой ( Модель Рахматулина ). 5. Тепловой пограничный слой в многокомпонентном потоке. 6. Переменные Лагранжа и Мизеса.
т е р а т ур а 122
Введение к работе
Современное состояние механики многокомпонентных (многофазных) систем характеризуется интенсивным развитием теоретических и экспериментальных исследований. Большое разнообразие и сложность структуры движения различных смесей отражается в многочисленности созданных математических моделей. Среди них модели, описывающие движение многоскоростных континуумов, которым посвящено множество работ как отечественных, так и зарубежных авторов: Х.А.Рахматулин [25] , К.Трусделл [55] , С.Coy [ЗІ] , Р.И.Нигматулин [19] и многие другие. В монографиях [31] , [19] содержится подробный обзор и обширная библиография работ.
В диссертационной работе рассматриваются вопросы корректности постановок краевых задач для некоторых частных моделей гидродинамики смесей, а именно а) модели стационарного плоскопараллельного движения в пограничном слое двухкомпонентной несжимаемой жид кости (модели Рахматулина), б) многоскоростной и многотемпературной модели, обоб щающей первую, в) моделей одномерного нестационарного взаимопроника ющего движения газовых сред.
Исследование первых двух моделей примыкает к математическим задачам теории пограничного слоя, основопологающими уравнениями которой явились уравнения, предложенные Л.Прандтлем в 1904 г.. Вопросами существования, единственности, устойчивости и дифференциальных свойств решений для системыуравнений Прандтля занимались Г.Вейль, Н.С.Пискунов, Дж.Серрин, К.Никель, О.А.Олей- - 5 -ник , Т.Д.Джураев, Н.Д.Введенская, Н.В.Хуснутдинова и др. Система уравнений стационарного плоскопаралельного пограничного слоя, как известно, в результате преобразования Мизеса приводится к одному, вырождающемуся на границе течения, параболическому уравнению. Существование решения этого уравнения, имеющего непрерывные производные во внутренних точках области течения, было доказано Н.С.Пискуновым в 1943 г. [23] . Наиболее полные результаты о существовании и единственности решений краевых задач для уравнений Прандтля получены О.А.Олейник в 1963 г. [20] . Ею же в последствии была исследована система Прандтля с использованием преобразования Крокко, причем как для стационарных, так и нестационарных течений [21] . Корректность краевых задач для полной системы уравнений стационарного сжимаемого теплового пограничного слоя рассмотрена Н.В.Хуснутдиновой [37-40] . В [37,39] также была исследована диффузионная модель погранслойного течения многокомпонентной смеси, в которой уравнения переноса масс компонент записываются на основе закона диффузии Фика. Более общий случай представления диффузионных потоков тепла и масс компонент был рассмотрен М.С.Сопла [28-30] . В этих работах использовался переход к переменным Дородницина (аналога переменных Мизеса для сжимаемого случая).
Для модели Рахматулина, которую можно рассматривать как обобщение уравнений Прандтля на случай многоскоростного движения, теорема существования, аналогичная [39] , была доказана автором [57]. Вопрос единственности рассматривался ранее в работе К.Никеля [52]. Отметим, что при переходе к новым переменным, связанным с функциями тока компонент, получается система, каждое уравнение в которой записано в своих координатах, а в членах взаимодействия присутствует функциональная зависимость, определяемая формулами, связывающими различные переменные. - б -
В указанных работах решения уравнений пограничного слоя строились в классах гладких функций. Исследованию обобщенных решений в кассах Соболева была посвящена работа О.А.Олейник [22] , в которой для уравнений погранслоя, записанных в переменных Крокко, доказаны существование и единственность решения, обладающего производными из пространства Lz . В системе теплового пограничного слоя, когда число Прандтля принимается равным единице, глобальное существование обобщенного решения установлено Н.В.Хуснутдиновой [40] . В данной работе исследование многоскоростных моделей пограничного слоя также проводится в пространствах Соболева.
Наряду с моделями пограничного слоя в диссертации рассматриваются модели одномерного нестационарного взаимопроникающего движения вязких сред. Они относятся к простейшим моделям, в которых уравнения для компонент составляются по аналогии с однородными жидкостями. Взаимодействие компонент учитывается членами, пропорциональными относительным скоростям и разности температур. Замкнутые системы уравнений многоскоростного течения вязких жидкостей без учета теплопроводности компонент приведены в монографиях Д.Ф.Файзуллаева [33, 34] . Замыкание модели взаимопроникающего движения смеси совершенных газов с привлечением уравнений энергии предложено В.И.Мароном и В.А.Медведевым [18]. Полученные ими уравнения представляют собой сложные системы, обобщающие уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости на случай многоскоростного движения.
Краевые задачи для системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости изучались Дж.Серриным, Дж.Нэшем, В.А.Солонниковым, А. Тани, Н.Итая, А.И.Вольпертом и С.И.Худяевым, Я.И.Канелем, А.Ма-цумурой и Т.Нишидой, А.В.Кажиховым и др., Обзор их исследований приведен в монографии [i] . Теоремы существования и единственное- ти для трехмерных движений доказаны в локальной постановке (на малом промежутке времени или при малых: начальных данных, [51, 27, 481 ). В случае одномерного движения установлена глобальная разрешимость как задачи Коши, так и смешанных краевых задач. В работах [47,54] рассмотрена модель Бюргерса (когда давление считается постоянным), в [10] модель баротропной жидкости (когда давление зависит от плотности). Для полной системы одномерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости (с учетом теплопроводности) корректность начально-краевых задач исследовал А.В.Кажи-хов Ез-7] .
В предположении постоянства плотностей и концентраций для многоскоростных моделей "типа Навье-Стокса" теоремы существования и единственности сформулированы в работах Й.Ферсте [44] , [45] . Надо заметить, что в общем случае движения средние плотности компонент, которые фигурируют в уравнениях многоскоростного континуума (см., например, [19] ), переменны даже тогда, когда составляющие смеси несжимаемы (т.е. их истинные плотности постоянны). В настоящей работе рассмотрены одномерные модели для сжимаемой смеси баротропных жидкостей и смеси вязких совершенных газов. Для них доказаны нелокальные теоремы, аналогичные [3, 9 J, 16] .
Приведем основные результаты диссертации.
Диссертационная работа состоит из двух глав и приложения. В приложении приведены изучаемые модели гидродинамики многокомпонентных жидкостей и основные допущения при которых эти модели рассматриваются. Здесь же выписаны формулы преобразования Мизе-са и Лагранжа для случая многокомпонентных систем, которые используются при решении задач.
