Введение к работе
Актуальность темы. Практически все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как стественные, так и полученные в результате технологических процессов, неоднородны и многокомпонентны H являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физико-химическими свойствами. Соответственно большинство естественных и технологических процессов описываются моделями динамики неоднородных сред. Разнообразие природы процессов и явлений делает невозможным использование единого подхода к построению математических моделей. Проблеме моделирования динамики неоднородных сред J. jl О С jb jifi ЩЄ jhj jbi монографии Р.И. Нигматулина (1987), K.L. Rajogopal и L.Tao (1995), В.Н. Николаевского (1996), R. S. Subramanian и R. Balasubramanian (2001) и многие другие. Постановка корректных начально -краевых задач для моделей движения неоднородных сред занимает центральное место в их математическом исследовании.
Тепломассоперенос в неоднородных средах имеет свои особенности по сравнению с однородными средами, находящие отражение в математическом описании своих основных механизмов. Проблема моделирования фазовых переходов в неоднородных средах актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов на стенках нефтепроводов. Наиболее характерной особенностью таких процессов, из- за которой соответствующие математические модели нелинейны, является наличие неизвестной заранее поверхности раздела фаз или целой многофазной области. Построению и исследованию моделей фазовых переходов jb неоднородных средах, jkjcLjkj неподвижных, TcLjkj и учитывающих движение, посвящено огромное количество работ, среди авторов которых отметим A.M. Мейрманова, А.В. Кажихова и И.А. Каляева, A. Fasano и М. Primicerio.
Из возможных гетерогенных смесей дисперсные смеси, к которым относятся эмульсии, наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регулярной структуре. При этом существует множество моделей их поведения, приводящих к разным классам нелинейных задач. Модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапиллярных сил была предложенная В.В.
Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 году. Особенность модели состоит в форме замыкающего уравнения системы, выражающего разность скоростей несущей и дисперсной фаз в виде суммы двух слагаемых - скорости, вызванной термокапиллярным эффектом, пропорциональной градиенту температуры, и скорости, вызванной микрогравитацией. Вид этого условия приводит к нетривиальной проблеме постановки корректных начально-краевых задач, причем не только в многомерном, но и в одномерном случае движения эмульсии с плоскими волнами.
Особый интерес в последнее время привлекают к себе обратные задачи и задачи управления процессами тепломассопереноса. Разнообразные обратные задачи теплопроводности, в том числе и с фазовыми переходами рассматривались О.М. Алифановым, А.А. Самарским и П.Н. Вабищеви- чем, Г. В. Алексеевым, Ю.Я. Беловым, Jl Гольдманом, С. И. Кабин их иным. D. N. Нао, H.-J. Reihardt, N. Zabaras и др. Метод зонной плавки, предложенный У. Пфанном (W. Pfann) в 1950 году, широко применяется для очистки сплава от примесей. Исследование задачи управления составом вещества, получаемого в процессе затвердевания, обеспечивает теоретическую основу применения таких методов и позволяет выбрать режимы управления с необходимой точностью. Аналогичная задача для термокапиллярного движения эмульсии дает теоретические предпосылки получения в условиях орбитальных станций композитных материалов, характеризующихся значительным отличием плотности компонент. С этой задачей связана также проблема очистки смесей от газовых и жидких включений.
Исследуемые в диссертации модели нелинейны и представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В случае моделирования фазовых переходов в неподвижных средах это параболические системы общего вида со свободной границей для которых при исследовании корректности начально-краевых задач необходима проверка условия дополнительности Лопатинского. В модели термокапиллярного движения эмульсии система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболическое" уравнение сохранения энергии и импульса и "гиперболические" уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, "перевязаны" в главных членах, что существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач и затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред.
11 ("I I II1C * I1111 >ю и исследованные в диссертации автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов.
Диссертация посвящена исследованию вопросов существования и единственности решений краевых задач и задач оптимального управления для некоторых моделей тепломассопереноса в неоднородных средах.
Методы исследования. Используются методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных, в частности априорные оценки, теоремы вложения, теоремы о неподвижных точках, преобразование Фурье, а также методы теории оптимального управления.
Цель работы. Исследование корректности неклассических одномерНЫХ 3clyQ,сЬЧ СО свободными границами, возникающих при моделировании фазовых переходов в неоднородных средах; постановка начально-краевых задач для модели движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил и доказательство их классической разрешимости; построение и исследование корректности модели затвердевания эмульсии; постановка и исследование задач управления составом материала в процессах с фазовым переходом.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.
Исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени для задачи Стефана с переохлаждением и условием 1-го рода на известной границе и задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора. Впервые доказано существование классического решения в малом по времени для задачи со свободной границей для системы уравнений, описывающей перенос примеси в парафинированной нефти и для задачи управления составом пленки в процессе ее роста из тройного раствора. Построены автомодельные решения этих задач. Впервые проведено исследование корректности начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей движение эмульсии в поле термокапиллярных сил и микрогравитации. Впервые сформулированы задачи граничного управления составом материала в процессе фазового 116 р дл я бинарного сплава и для эмульсии и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановке.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:
исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора;
доказано существование классического решения в малом по времени для моделей переноса примеси в парафинированной нефти;
—предложены постановки начально-краевых задач для модели движения эмульсии под действием термокапиллярных сил и микрогравитации и найдены классы их корректности;
—сформулированы задачи управления составом материала в процессе фазового перехода (рост пленки, затвердевание бинарной смеси и затвердевание эмульсии) и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановке;
д^ля всех рассмотренных зсьдct4 построен ряд новых точных решении j имеющих физическую интерпретацию.
Апробация работы. Результаты диссертации и были доложены на следующих международных и Всероссийских конференциях:
V-th International Conference on numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits (Dublin, 1987);
VllВсесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989);
международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990, 2005, 2010);
Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998);
международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations"(Lviv, 1999);
Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2002, 2005, 2008);
международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2007);
International Conference on 21st Century Mathematics (Lahore -Pakistan, 2007);
международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений "(Новосибирск, 2008);
Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2009);
Всероссийской конференции "Успехи M 6XcLH И К И С ПЛОТТТ H ЫХ С р j (В ла- дивосток, 2009);
международной конференции "IV International Topical Team Workshop on two-phase systems for ground and space applications" (Новосибирск, 2009);
а также на следующих научных семинарах:
-семинаре Института математики "Uliss Dini"университета Флоренции (1991, 2001);
-семинаре Института математики Римского университета (2003); -семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.В. Пухначева (неоднократно);
семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.Г. Романова (2010);
семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (2010);
семинаре Университета Восточной Англии (Норидж) 2010;
городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики" (Барнаул) 2009, 2010;
семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета, (Барнаул).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 23 работах, включая монографию. Из них 10 опубликованы в журналах их списка ВАК (2010).
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, завершающихся перечнем основных результатов и разделенных на 12 глав. Текст изложен на 240 страницах, включая рисунки. В списке литературы содержится 147 наименований.
