Содержание к диссертации
Введение
1. Усреднение нелинейных вариационных задач в некото рых моделях сред с двойной пористостью 25
1. Вспомогательные вопросы 25
2. Основные теоремы о двухмасштабной сходимости . 43
3. Постановка задачи. Классическое усреднение 45
4. Вариационные модели двойной пористости 52
2. Усреднение монотонных операторов 64
1. Постановка задачи 64
2. Теорема усреднения 70
3. Усреднение в некоторых моделях сред с двойной пористостью 76
Литература 85
- Основные теоремы о двухмасштабной сходимости
- Постановка задачи. Классическое усреднение
- Вариационные модели двойной пористости
- Усреднение в некоторых моделях сред с двойной пористостью
Введение к работе
1. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам усреднения для уравнений с частными производными. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными возник в основном за последние 30 лет и имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.
Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.
При рассмотрении математических моделей микронеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а(є~гх), где є > 0 - малый параметр. При этом функция а(х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициен- ты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.
Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова, Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.
Рассмотрим одну модельную постановку задачи усреднения в перфорированной области
ПЕ - Q П Fe, (0.1) где Q - фиксированная ограниченная область в ШЛ, множество Fc = єР = {єх,х Є F} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества F С ЇЇІ^. Для наглядности можно представить себе, что F - это внешность периодически расположенной системы шаров в JRN.
В области (0.1) рассмотрим простейшее эллиптическое уравнение
I j&lnnw. = 0, (0.2)
К u\6QnFt = 0 с условием Неймана на части Q Л dF границы области (0.1) и условием Дирихле на остальной части границы.
Уравнение (0.2) понимается в следующем смысле. Пусть Cq(Q) - множество всех гладких финитных в области П функций. Введем соболевское пространство Wc как замыкание Со(П) по норме (\и\2 + \Vu\2) dx пе
Тогда по определению иє Є W называется решением задачи (0.2), если выполнено интегральное тождество: We) fvue-V
Смысл усреднения состоит в том, что решение «е, определенное только в перфорированной области Оє, должно в определенном смысле сходиться к решению "усредненного" уравнения, заданного уже во всей области Q.
Введем в Ш, меру dfi = p(x)dx с положительной плотностью /?, р{х) = { lnJ І0 в: 1 в F
0 вне F. Соболевское пространство W определим теперь как замыкание Cq(Q) по норме (/(l»|2 + |Vu|2)rf^)5, где dps ~ p(e~lx)dx.
Тогда исходная задача (0.3) запишется в виде
Интегрирование ведется фактически только по перфорированной области Qc.
При усреднении в перфорированных областях используются различные методы, в том числе известный метод продолжения. На этой идее базируются многочисленные работы (см., например, работы Е.Я. Хруслопа [7], D.Cioranescu, J.Saint-Jean-Paulin [8], В.В. Жикова [9], О.А. Олсйник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева [5], [10], Е.АсегЫ, V.Chiado Piat, G.Dal Maso, D.Percivale [11] и др.).
Метод продолжения встречает определенные затруднения для областей общего вида, особенно случайных. Например, для нелип-шицевых областей операторы продолжения могут не существовать.
В 1985 году в связи с некоторыми задачами из прикладной теории вероятностей В.В. Жиков и СМ. Козлов высказали гипотезу: для доказательства свойств усреднения операторы продолжения не нужны вообще, а достаточно обычной связности в JRN. Обоснование этой гипотезы было дано В.В.Жиковым в 1993 году (см. [12]) применительно к линейным эллиптическим задачам в перфорированных областях. При этом выяснилось (см. [13], [14]), что условие связности можно ослабить.
Речь идет о так называемом условии р-связности множества F, которое определяется следующим образом.
Пусть Cpr(d) - множество всех гладких периодических функций, заданных на торе (ячейке) периодичности = [0,1)^. Введем пространство W*g(Q) как замыкание множества C^r(Q) по соболевской ( V* норме / (\и\р + \Vu\p) dx
Определение 0.1. Открытое периодическое множество Q называется р-связним на торс периодичности, если и Wp(Q)f Vu = 0 п.в. на Q =$> и = const п.в, па Q .
Очевидно, что обычная связность Q на торе влечет р-связность при любом р > 1. Обратное, вообще говоря, неверно (см. [14]).
Отметим, что теорема усреднения для нелинейных вариационных задач в перфорированных областях в предположении р-связности Q доказана В.В.Жиковым в работах [15], [16],
Дальнейшие исследования привели к естественному обобщению понятия р-связности множества до понятия р-связности произволь- ной периодической борелевской меры ft (которое означает, что функция есть константа, если она принадлежит Соболевскому пространству периодических функций и имеет нулевой градиент) и к общей формулировке задач усреднения в терминах мер.
Это новое развитие техники усреднения, предложенной В.В. Жи-ковым в 1993 году, нашло отражение в работах [14], [16] и в зарубежной литературе получило название "measure approach".
Теория усреднения требует предварительного исследования фундаментальных свойств соболевских пространств, отвечающих данной мере. По сравнению с классическим случаем, когда dfi есть мера Лебега, здесь имеется много особенностей. В частности, нет единственности градиента.
В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая G. Nguet-seng [17] и развитая в работах G. Allaire [18] применительно к мере Лебега, Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Damlamiarx, U. Hormrng [19], М. Neuss-Radu [20] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой ft (см. [21]), объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой ^-связности. Им также найдено другое - двойственное - определение Соболевского пространства (см. [22]), отвечающего борелевой мере, что позволило существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости.
Главные свойства двухмасштабной сходимости обнаруживаются при совместном рассмотрении последовательности функций (решений исходной задачи) и последовательности их градиентов. Здесь основную роль играет понятие ^-связности меры.
Целью настоящей диссертации является применение техники р- связности и двухм ас штабной сходимости к усреднению нелинейных краевых задач второго порядка, формулируемых п терминах мер. При этом изучаются различные постановки: усреднение нелинейных вариационных задач и усреднение нелинейных монотонных операторов. Кроме того, целью данной работы было дальнейшее развитие указанного нового подхода применительно к усреднению нелинейных задач п некоторых моделях сред с двойной пористостью (так называемые модели double-porosity), а также разработка соответствующих примеров.
Остановимся на этом подробнее. Пусть все пространство разбито на две непересекающиеся периодические части - жесткую и мягкую фазы, имеющие малый период. Можно рассматривать их как отдельные пористые среды со своей внутренней структурой и изучать, например, фильтрацию в такой композитной системе. Если коэффициент проницаемости, отвечающий данной системе, равен 1 на жесткой фазе и квадрату периода - на мягкой, то получаем простейшую модель double-porosity. Если коэффициент проницаемости положить равным нулю на мягкой фазе, то данная система становится перфорированным пространством. В частности, когда перфорация отсутствует, мы имеем дело с усреднением во всем пространстве.
Как правило, жесткая фаза F является связной в евклидовом пространстве RN. Весьма интересен случай, когда она состоит, скажем, из к связных компонент F\,...Fk, тогда получаем модель к параллельных потоков, связь между которыми осуществляется через мягкую фазу 7*0« В этом случае получаем предельное уравнение, имеющее многофазный характер.
Усреднению в моделях double-porosity посвящено много работ (см. Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [23], [24], Г.В. Сандраков [25], [26] и др.), где предполагается, что жесткая фаза не только связна, но представляет из себя достаточно гладкую область.
В рамках данной диссертации используется общая версия модели "параллельных потоков", описываемая в терминах произвольной периодичекой меры. Дается обоснование основных свойств усреднения без ограничений гладкости на жесткие фазы. Требуется лишь их р-связиость. На мягкую фазу не накладывается никаких ограничений. Это становится возможным благодаря применению метода двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой р-связности.
Приведем соответствующий пример.
Пример 2,1(Два параллельных слабо связанных потока). Пусть Fi и F2 ~ две непересекающиеся решетки в ЇЇ13, FQ = IR3 \ F\ U F2. Коэффициент проницаемости равен 1 на каждой из жестких фаз F{ = fi,F! = sF2 и є2 на мягкой фазе F0 (см. рис. 6).
Рис. 6.
Установлено, что в типичной модели double-porosity усредненное уравнение имеет "двухмасштабный" характер, то есть последовательность решений исходной задачи сходится не к функции и(х) из классического Соболевского пространства, а к функции вида u(a;,y), существенно зависящей от компоненты у. В связи с этим пришлось ввести и изучить соответствующее функциональное пространство, на котором можно определить решение усредненного уравнения.
Указанная техника двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой ^-связности позволила доказать в диссертации основные свойства усреднения: сильную двухмасштабную сходимость решений и сходимость энергий в вариационной постановке, а также слабую сходимость hotokod и сильную двухмасштабную сходимость решений в невариационной постановке (усреднение монотонных операторов).
2. В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("measure approach"). Классическая теория усреднения таких задач имеет дело с простейшим случаем dfi = dx. Подходящим выбором меры fi получаются и другие хорошо известные постановки: об усреднении в перфорированных областях, об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений, об эффективной проводимости электрических цепей и др.
В 1 рассмотрены вспомогательные вопросы сходимости в Соболевских пространствах, связанных с периодической мерой, приведены определения слабой и сильной двухмасштабной сходимости, а также их основные свойства.
Итак, пусть // - периодическая б о ре лев а мера на ШЛ, D = [0,1)^ - ячейка периодичности, / dfi — 1.
Лля постановки задачи усреднения введем меру /<е равенством (i{B) — eNfi(e~lB) для любого борелевского множества В С ШЛ. Мера /ic имеет период є и слабо сходится к мере Лебега: dfi —± dx.
Соболевское пространство W^g ~ Wp(ntdfi) определяется как замыкание множества пар {(<,?,V<^), tp є СТ(П)} в произведении
1/(0,(1(1) x If(n,dp)N (см. [16], [21], [27]). Элементами этого замыкания служат пары (u,v)t где и - функция, v - вектор, причем
3<РпЄСт(Я), Jlu-^dfi^Q, j\v-V9n\4n^0.
Компонента v обозначается V« и называется градиентом функции и. Иногда первую компоненту и называют функцией из соболевского пространства. Тогда, в отличие от классического случая, когда /і есть мера Лебега, эта функция может иметь много градиентов.
Определим также пространство потенциальных векторов Vp0t = V,fot(D,dft) как замыкание множества {V
Из определения ясно, что («,v«)ew;=5>v«evst) т.е. градиент функции из соболевского пространства есть потенциальный вектор. Обратное утверждение справедливо лишь при некоторых дополнительных условиях, в частности, таким условием служит неравенство Пуанкаре J'Ші* < С J \V9\4^ *>ЄС~г(0), J
Здесь же приводится эквивалентное определение соболевского пространства, позволяющее существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости. Доказывается теорема о совпадении этого пространства с определенным ранее.
Рассмотрим последовательность и, ограниченную в ^(2,^/^), и введем для нее понятие двухмасштабной сходимости (см., например, [27]).
Определение 1,4. Последовательность и слабо двухмасштабпо сходится в /(0, dfic) к функции и = и(х,у) Є /(0 х U,dx х dft), иє(х) —> и(х,у), если lim І Ф(х,є~1х)иє(х)(1^е ~ і і Ф(х,у)и(х,у) dx dfi(y) для любой пробной функции Ф вида Ф(х,у) = (р(х)Ь(у), где <р Є 0()),
Дадим теперь определение сильной двухмасштабной сходимости.
Определение 1.5. Ограниченная в LP(Q,dne) последовательность щ сильно двухмасштабно сходится в 1/(0,, dfic) к функциии = и(х,у) Є LP(Q X ), и(х) —* и(х,у), если lim / ue(x)zs(x) dfte = u(x)y)z(x)y)dxdfi(y) как только zs ограничена в LP (Q,dfie) и ze[x) —* z(x,y) в LP (f2,d/ic),
Указаны некоторые примеры р-связных мер (перфорированное пространство, шахматная структура, квадратная сетка, а также составная структура).
Следующие теоремы, приведенные в 1, 2, обобщают главные результаты по двухмасштабной сходимости, полученные G. Nguetseng, G. Allaire и В.В. Жиковым на случай произвольного р > 1.
Теорема 1.6. Пусть иє Є С($І) ииє, eVuc ограничены в L?(Q,dits).
Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем щ(х) -L и{х,у) Є I/{Q,W^(utdfi))t eVu(x) — Vyu(x,y).
Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную В.В.Жиковым в [16] и доказываем основные свойства усреднения, опираясь на свойство р-связности.
Определение 1.7. Мера ft называется р-связной, если любая функция и Є W"p^(n,rf/j), обладающая нулевым градиентом, есть константа [1-П.в.
Отметим, что достаточным условием р-связности является выполнение неравенства Пуанкаре (0.4).
Определение 1.8. Мера ft называется певироокде?іной, если inf / | + Vw\pdfi > с0||р, с0 > 0.
Следующая теорема даст ответ на вопрос, когда двухмасштаб-ный предел не зависит от у.
Теорема 1.11. Пусть ліера fi р-связна и выполнены условия і) щ(х) -^и{х,у);
И) e\\Vu\\LP{n,dtie) -* 0. Тогда двухмасштабный предел не зависит от у, т.е. и(х,у) = и(х).
Теорема 1.12. Пусть мера ft р-связпа и нсвыролсдснпа. Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем Vw(x) - Vu(x) + v(xt у), где v Є L"(fi, V*ot). где If(Q, K^) - это me векторы v Є V(Q x ), для которых v(x,') Є ^pot(D) $ля п-в- x Є П-
В 3 с помощью двухмасштабной сходимости устанавливаются основные свойства усреднения для нелинейных вариационных задач. В ограниченной липшицевой области Q рассматривается вариационная задача Дирихле вида: Je = inf f[f{e-lx,Vu) + \uY-gu]dn, (0.6) где д Є C(S1), лагранжиан f{x,) - периодический и //-измеримый по х, выпуклый по и подчиненный следующему условию роста по Klpp+l, J»>1 (0.7) и условию /(#,0) = 0.
В частности, можно взять /(z,) = ^4(#)||р-2*, где А(х) -периодическая //-измеримая симметрическая матрица, удовлетворяющая условию ограниченности и эллиптичности: <*№ < М t < а-1^2, <*>0, ^MN.
Чтобы определить решение задачи (0,6), введем пространство W"01,p(fi, е) как замыкание множества пар {(^з,VV), <р Є Cq(Q)} в произведении If(Q, due) х V(U, dfi)N. Тогда задача (0.6) примет вид /Е= min [[f(e-lx,Vu) + \u\p-gu]dfiCi и из общей теории следует, что решение этой задачи (минимизант) существует в пространстве WQ'p(Q,d(i).
Свойство усреднения состоит в том, что при є —* 0 энергии Iе и решения и данной задачи сходятся к энергии /hom и решению и усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега: /hom = min f[fhom{Vu) + \и\р - ди] Аг, (0.8) где fhom - усредненный лагранжиан, определяемый однозначно для каждого Є ЬЯ^ с помощью вспомогательной вариационной задачи на ячейке периодичности fhom «) = inf , л [ /(*, Є + Vw) dfi = min [f(x,t + v)dfl.
В этих условиях доказана следующая теорема.
Теорема 1.14. Пусть мера ft является р-связной и невырожденной, ие - решение задачи (0,6) и и - решение усредненной задачи (0.8). Тогда при є —+ 0 имеют место (і) слабая сходимость решений: lim / <рщ dfis =
Отмстим, что свойства (0.9) и (0.10) в совокупности означают сильную сходимость функций в переменном пространстве Iffoidfic),
В 4 изучаются вариационные задачи в некоторых моделях сред с двойной пористостью (double-porosity).
Пусть ft - периодическая борелевская мера в Ж,^. И допустим, что пространство ЩЛ разбито на две уьизмеримые периодические части m.N = FeU F
Часто жесткая фаза F не является связной в Щ.^ и распадается на отдельные связные компоненты, например, F = F\ U F2, где F\, F2 - непересекающиеся решетки в Щ3 (см. рисунок в примере 2.1).
Основное предположение: сужение /г|/7( есть р-связная невырожденная мера.
Распространим вышесказанное на общий случай, когда имеется к жестких компонент. Жесткую фазу F = F^ UF2 U.. . U-Fj. определим как объединение периодических /i-измеримых множеств, непересекающихся в том смысле, что (І) вдея^дп,^), VS;|f = 0, E{\fj = 5ij - символ Кронекера.
Это условие очевидно выполнено, если, например, FiC\F3- = 0 (г ^ j). Кроме того, мы будем предполагать, что (и) меры /і|ґ(, (г = 1,...,&) р-связны и нсвырожденны.
Мягкую фазу определим как дополнение F0 = ЩЛ \ F, На нее не накладывается никаких условий, кроме ft(FQ) > 0.
Обозначим, как и выше, через F? = eF-x, г — 0,1,... к гомотстиче-скис сжатия множеств F;. Область П распадается на части: Qf = СІП Ff (і = 1,2,,.. к) — жесткие фазы, Q = Q П Fq — мягкая фаза.
Отметим, что мы требуем невырожденности мер //|/л (г = 1,..., к) только ради упрощения формулировки; требование р-связности этих мер - существенно.
В области Q рассмотрим задачу Дирихле
I= inf / іі(є~1х, V«) dfie + / /о(<Г Ч eVu) Лцє+ '"4 ні (0.12) + І \u\pdpe- / 0ud/ieL где лагранжианы /;(x, ) (і = 0,1,... k) - периодические и /^-измеримые по а; Є ПІ^, выпуклые по Є Ш^ и удовлетворяющие условию роста (0.7).
Доказывается сходимость энергий Is и решений its(x) к энергии jhom и рСшению и(х,у) усредненной задачи к jhom _ min Q Q F0 J- J fhom (Vu.} dx + j J f0(y, Vytt) rfx rf/|+ 1=1 О П Fe + JJ(\u\P-9u)dxdfi , (0.13) где /,-() - усредненный лагранжиан вида
Пространство V здесь определяется следующим образом: ueW(Q,W}*), u\Fi = UieW^(Q). Полезно записать функцию и Є V в виде и(х*У) = 5ZWfta;)'''(y) + iiotx'y)' С0-14) где Еі - разделяющие функции (0.11), щ Є І/(Ї7,Х), X = {AlV^(n,d/i): ft|F = 0}.
Укажем плотное в V множество пробных функций <р(х, у), удовлетворяющих условию Каратеодори, именно: ІхіУ) = J2 Лемма 1.15. Линейная оболочка функций (0,15) плотна в пространстве V. Единственность представления (0.14) следует из легко проверяемых неравенств [ \щ\рdx < — J I \и\р dxdfiп п п J f |u0|prf^/i<(2Jfc)p(l + — + — + ... + — J J f\u\pdxdft,ft F0no її a где Wi = |D C\Fi\. Пусть щ - решение задачи (0.12). Тогда из условий, накладываемых на лагранжианы /,* и /0, следуют оценки: Em / \u\pdft < С, Ш [ \Vu,\pdfi < С, Шр f \VuApdfts < С. є-+0 J с~+0 J є—*0 J її nj OJ В частности, ие, Vue ограничены в 1/(П,?/і) и, по теореме 1.6, (х) ± и(х, у) є i/(Q, Wi*), eVtie(a:) - Vyu. Сформулируем основной результат этого параграфа. Теорема 1.16. Пусть мера ft является р-связной и невырожденной, ие - решение задачи (0,12) ий- решение усредненной задачи (ОЛЗ). Тогда при є —* 0 имеют место (г) сильная двухмасштабная сходимость решений: us — и(х,у); (и) сходимость энергий: 1ітІє = /hom. 3. Вторая глава диссертации посвящена усреднению нелинейных монотонных эллиптических уравнений второго порядка. В 1 приводятся некоторые сведения из теории монотонных операторов и ставится задача усреднения. Пусть Q — ограниченная липшицева область в IR . Рассматривается нелинейное эллиптическое уравнение вида: - div(a(-4 V«e)) + КГЧ = ge, (0.1С) дополненное краевым условием Дирихле uc\oq = 0. Предполагается, что д —* д в I/ (П, (//^), а функция а(у,) - каратеодориева (см. [28]) и подчинена оценке И^ОІ^сіШ'-' + І) VlR". (0.17) Кроме того, а(?/,) удовлетворяет следующим условиям строгой монотонности и коэрцитивности: (а(у,Ы - а(ї/,6)) & -6) > 0 для //-н.в. у Є JRN и V& ^ 6 Є ШЛ; в(»,О > соКГ, с0 > 0, для /х-п.в. у є Н* и V Є lit*; а(у,0)=0. В качестве примера функции a(r, ) укажем функцию а(х,) = А(х), где матрица А(х) = (а»;(а:)), не обязательно симметрическая, такова, что а) ау Є Ь(Ш,^) Vi, j = 1,..., N; б) Зс0 > 0, такое, что А(у) f > c0|j2 для п.в. у Є ЛІ* и Vf Є IR*. Непосредственно проверяется, что определенная таким образом функция а(х,) удовлетворяет условиям 1) - 3) с р = 2. Решение щ Є Wq'p(Q, d}i) уравнения (0.1G) понимается в смысле интегрального тождества: j (a(e-lx,Vuc)-Vip + \u\p~2u(p)dfts= j getpdpe V9 Є C0(ft), (0.18) в котором Vue - некоторый градиент функции ие. Левую часть (0.18) (при фиксированных («е, Vue)) иможно рассматривать как некоторый элемент X* - пространства, сопряженного с X, т.е. пространства непрерывных линейных функционалов над X. В качестве X здесь выступает пространство Wq,p(Q,dftc). Другими словами, мы имеем оператор Л : X — X*, который, как несложно проверить, будет монотонным, коэрцитивным и удовлетворяющим *> подходящим условиям роста, так что согласно теории монотонных операторов решение задачи (0.16) существует и единственно. Отмстим, что усреднение монотонных операторов во всей обла сти П (F — 1RN, перфорация отсутствует) изучалось многими автора ми, см. работы L.Tartar [29], N.Fusko, G.Moscariello [30], V.Chiado Piat, A.Defranceschi [31], А.А.Панков [32]. По поводу общих свойств моно- * тонных эллиптических операторов см. Ж.-Л.Лионе [33], Ю.А.Дубин- ский [34], И.В.Скрыпник [35]. В 2 в теореме усреднения устанавливаются вес основные свойства сходимости решения исходной задачи к решению и усредненной задачи, связанной уже с мерой Лебега: «о Є 1У01,Р(П), -div(a(Vu)) + \и\р-2и = д. (0.19) Здесь усредненная функция а() определена равенством: в котором v(y) ~ v(y,) - решение вспомогательной периодической задачи: v Є Vt , Ja(yt + v) Vywd(i = 0 V«/ Є Разрешимость этой задачи также следует из теории монотонных операторов. В данном случае X = Vppot (,dfi), а оператор А : X — X* определяется следующим образом (Av,tp)= I а(у, + v(yj) (pdfi Vp Є X В силу строгой монотонности функции а(у,) задача на ячейке имеет единственное решение. «< Пусть и - решение задачи (0.1G). Возьмем <р — иЕ в интегральном тождестве (ОЛ8). Тогда с помощью условия коэрцитивности 2) легко получить оценку limsup / (|Vu|p + |u|p)d/i < со. c-*Q J її Переходя, если это необходимо, к подпоследовательностям, по те-т ореме 1.12 имеем сходимость (0.5). Последовательность a(e~lx, V«e) ограничена в в силу (0.17). Поэтому можем считать, что ре(х) = а(є_1:г, Уие(я)) 1*р{х,у) 6 If'{VI х U)N. Теорема 2.6. Пусть мера (і является р-связиой и невырожденной, * ис - решение исходной задачи (0.16), и - решение усредненной задачи(0.19). Тогда имеет место сильная сходимость решений и —* и и слабая сходимость потоков а^е^х, Vwe) —* a(V«). 3 посвящен усреднению нелинейных монотонных операторов второго порядка в средах с двойной пористостью. Будем использовать обозначения, введенные в 4 главы I. Пусть а(у,) - каратеодориева вектор-функция, удовлетворяющая (0.17) и указанным ранее услови- * ям 1) — 3). Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение - div т(х) + K|p-2uE = дє в О, (0.20) [ а(є-гх,ЧиЕ) в Q\Q0, т(х) = < I ea(e~1x1eVuc) в Qq, дополненное краевым условием Дирихле «е|эп = 0. Предполагается, что дс{х) -^ д{х,у) в 1/'(П, dfic). Из теории монотонных операторов следует, что задача (0.20) имеет единственное решение ие Є W01,p(fi, d/iff). По определению оно удовлетворяет интегральному тождеству yyj I a(e~lx,Vuc) Viftdfis + є / a(~lx,eVuc) Vipd[ts+ + J \ue\p-2uej>dpg = Jge1>dpe Щ G C0(Q), в котором Vu - некоторый градиент функции иє. Наша цель - перейти к пределу в этом интегральном тождестве и получить усредненное уравнение. Двухмасштабным пределом решений иЕ будет уже не функция и{х) Є WQ,P(Q), как это было ранее, а функция вида и(х,у), существенно зависящая от у. Опишем соответствующее функциональное пространство. Определение 2.7. Скажем, что и = и(х,у) Є V, если ueV(ntW}*(ntdp)) u\Fi = щ(х) G\Vi'p(n) (f = l,2....fc). С каждой жесткой фазой Ff свяжем свой усредненный оператор fli(0= / a(y^ + v\y))dfi (1 = 1,2,...,/:), где v% = u*(y,) - решение периодической задачи на ячейке: »'е%Р,Й J a(y,t + v{).Vywdfi = 0 VwCT(a). ar\Fi Здесь V^((n,d/i') определяется как замыкание множества {V Є C(a)}BI{Ur(n,d/iT- Определение 2.8. Скажем, что и 6 V есть решение усредненгшй задачи, если для любой пробной функции (р Є V выполнено интегральное тождество У^ / ai(Vui) - V(pi dx + / а(у, Vy«) Vy(pdxdfi-\- i=1 « fi nn/o (0.21) + // \u\p~2u(pdxdfi =11 gpdxdfi,Q па в котором Vyu - некоторый градиент функции и. Существование и единственность решения как пары (u, Vyw) легко следует из теории монотонных операторов. Благодаря условиям, наложенным на функцию а(у,), для решений щ задачи (0.20) справедливы оценки: limsup / \щ\рйцє < оо, limsup / |Vue|pd/ze < со, limsupe^ [\Vue\pdftt є-+0 У Сформулируем основной результат второй главы. Теорема 2.10. Пусть иє - решение исходной задачи (0.20). Тогда имеет место сильная двухмасштабная сходимость иє(х) —* и(х,у), где и - решение усредненной задачи (0.21). Несколько слов о структуре диссертации. Каждая глава начинается с небольшого введения, в котором ставится задача и намечаются методы ее решения. Вспомогательные вопросы, как правило, выносятся в отдельный параграф. Нумерация теорем, лемм и формул независимая в каждой главе, причем первая цифра указывает на номер главы, а вторая - на порядковый номер теоремы, леммы или формулы. Список литературы составлен в порядке цитирования и оканчивается работами автора [4G] - [50] по теме диссертации. В заключение, автор выражает благодарность научному руково дителю, доктору физико-математических наук, профессору Василию 4 Васильевичу Жикову за постановку задачи, руководство и постоян- ное внимание к работе. Это новое развитие техники усреднения, предложенной В.В. Жи-ковым в 1993 году, нашло отражение в работах [14], [16] и в зарубежной литературе получило название "measure approach". Теория усреднения требует предварительного исследования фундаментальных свойств соболевских пространств, отвечающих данной мере. По сравнению с классическим случаем, когда dfi есть мера Лебега, здесь имеется много особенностей. В частности, нет единственности градиента. В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая G. Nguet-seng [17] и развитая в работах G. Allaire [18] применительно к мере Лебега, Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Damlamiarx, U. Hormrng [19], М. Neuss-Radu [20] и других авторов. В.В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой ft (см. [21]), объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой -связности. Им также найдено другое - двойственное - определение Соболевского пространства (см. [22]), отвечающего борелевой мере, что позволило существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости. Главные свойства двухмасштабной сходимости обнаруживаются при совместном рассмотрении последовательности функций (решений исходной задачи) и последовательности их градиентов. Здесь основную роль играет понятие -связности меры. Целью настоящей диссертации является применение техники р связности и двухм ас штабной сходимости к усреднению нелинейных краевых задач второго порядка, формулируемых п терминах мер. При этом изучаются различные постановки: усреднение нелинейных вариационных задач и усреднение нелинейных монотонных операторов. Кроме того, целью данной работы было дальнейшее развитие указанного нового подхода применительно к усреднению нелинейных задач п некоторых моделях сред с двойной пористостью (так называемые модели double-porosity), а также разработка соответствующих примеров. Остановимся на этом подробнее. Пусть все пространство разбито на две непересекающиеся периодические части - жесткую и мягкую фазы, имеющие малый период. Можно рассматривать их как отдельные пористые среды со своей внутренней структурой и изучать, например, фильтрацию в такой композитной системе. Если коэффициент проницаемости, отвечающий данной системе, равен 1 на жесткой фазе и квадрату периода - на мягкой, то получаем простейшую модель double-porosity. Если коэффициент проницаемости положить равным нулю на мягкой фазе, то данная система становится перфорированным пространством. В частности, когда перфорация отсутствует, мы имеем дело с усреднением во всем пространстве. Как правило, жесткая фаза F является связной в евклидовом пространстве RN. Весьма интересен случай, когда она состоит, скажем, из к связных компонент F\,...Fk, тогда получаем модель к параллельных потоков, связь между которыми осуществляется через мягкую фазу 7 0« В этом случае получаем предельное уравнение, имеющее многофазный характер. Усреднению в моделях double-porosity посвящено много работ (см. Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [23], [24], Г.В. Сандраков [25], [26] и др.), где предполагается, что жесткая фаза не только связна, но представляет из себя достаточно гладкую область. В рамках данной диссертации используется общая версия модели "параллельных потоков", описываемая в терминах произвольной периодичекой меры. Дается обоснование основных свойств усреднения без ограничений гладкости на жесткие фазы. Требуется лишь их р-связиость. На мягкую фазу не накладывается никаких ограничений. Это становится возможным благодаря применению метода двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой р-связности. Приведем соответствующий пример. Пример 2,1(Два параллельных слабо связанных потока). Пусть Fi и F2 две непересекающиеся решетки в ЇЇ13, FQ = IR3 \ F\ U F2. Коэффициент проницаемости равен 1 на каждой из жестких фаз F{ = fi,F! = sF2 и є2 на мягкой фазе F0 (см. рис. 6). Установлено, что в типичной модели double-porosity усредненное уравнение имеет "двухмасштабный" характер, то есть последовательность решений исходной задачи сходится не к функции и(х) из классического Соболевского пространства, а к функции вида u(a;,y), существенно зависящей от компоненты у. В связи с этим пришлось ввести и изучить соответствующее функциональное пространство, на котором можно определить решение усредненного уравнения. Указанная техника двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой -связности позволила доказать в диссертации основные свойства усреднения: сильную двухмасштабную сходимость решений и сходимость энергий в вариационной постановке, а также слабую сходимость HOTOKOD и сильную двухмасштабную сходимость решений в невариационной постановке (усреднение монотонных операторов). 2. В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("measure approach"). Классическая теория усреднения таких задач имеет дело с простейшим случаем dfi = dx. Подходящим выбором меры fi получаются и другие хорошо известные постановки: об усреднении в Приведем соответствующий пример. Пример 2,1(Два параллельных слабо связанных потока). Пусть Fi и F2 две непересекающиеся решетки в ЇЇ13, FQ = IR3 \ F\ U F2. Коэффициент проницаемости равен 1 на каждой из жестких фаз F{ = fi,F! = sF2 и є2 на мягкой фазе F0 (см. рис. 6). Установлено, что в типичной модели double-porosity усредненное уравнение имеет "двухмасштабный" характер, то есть последовательность решений исходной задачи сходится не к функции и(х) из классического Соболевского пространства, а к функции вида u(a;,y), существенно зависящей от компоненты у. В связи с этим пришлось ввести и изучить соответствующее функциональное пространство, на котором можно определить решение усредненного уравнения. Указанная техника двухмасштабной сходимости в комбинации с техникой -связности позволила доказать в диссертации основные свойства усреднения: сильную двухмасштабную сходимость решений и сходимость энергий в вариационной постановке, а также слабую сходимость HOTOKOD и сильную двухмасштабную сходимость решений в невариационной постановке (усреднение монотонных операторов). 2. В первой главе изучаются нелинейные вариационные краевые задачи. При этом реализуется подход, связанный с применением теории меры ("measure approach"). Классическая теория усреднения таких задач имеет дело с простейшим случаем dfi = dx. Подходящим выбором меры fi получаются и другие хорошо известные постановки: об усреднении в перфорированных областях, об усреднении вырождающихся эллиптических уравнений, об эффективной проводимости электрических цепей и др. В 1 рассмотрены вспомогательные вопросы сходимости в Соболевских пространствах, связанных с периодической мерой, приведены определения слабой и сильной двухмасштабной сходимости, а также их основные свойства. Итак, пусть // - периодическая б о ре лев а мера на ШЛ, Лля постановки об эффективной проводимости электрических цепей и др. В 1 рассмотрены вспомогательные вопросы сходимости в Соболевских пространствах, связанных с периодической мерой, приведены определения слабой и сильной двухмасштабной сходимости, а также их основные свойства. Итак, пусть // - периодическая б о ре лев а мера на ШЛ, Лля постановки задачи усреднения введем меру / е равенством (i{B) — eNfi(e lB) для любого борелевского множества В С ШЛ. Мера /ic имеет период є и слабо сходится к мере Лебега: dfi —± dx. Соболевское пространство W g Wp(ntdfi) определяется как замыкание множества пар {( ,?,V ), tp є СТ(П)} в произведении 1/(0,(1(1) x If(n,dp)N (см. [16], [21], [27]). Элементами этого замыкания служат пары (u,v)t где и - функция, v - вектор, причем Компонента v обозначается V« и называется градиентом функции и. Иногда первую компоненту и называют функцией из соболевского пространства. Тогда, в отличие от классического случая, когда /і есть мера Лебега, эта функция может иметь много градиентов. Определим также пространство потенциальных векторов Vp0t = V,fot(D,dft) как замыкание множества {V p, р С Г(П)} в L CT(U,dpL)N. Из определения ясно, что т.е. градиент функции из соболевского пространства есть потенциальный вектор. Обратное утверждение справедливо лишь при некоторых дополнительных условиях, в частности, таким условием служит неравенство Пуанкаре пространства, позволяющее существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости. Доказывается теорема о совпадении этого пространства с определенным ранее. Рассмотрим последовательность и, ограниченную в (2, / ), и введем для нее понятие двухмасштабной сходимости (см., например, [27]). Определение 1,4. Последовательность и слабо двухмасштабпо сходится в /(0, dfic) к функции и = и(х,у) Є /(0 х U,dx х dft), Дадим теперь определение сильной двухмасштабной сходимости. Определение 1.5. Ограниченная в LP(Q,dne) последовательность щ сильно двухмасштабно сходится в 1/(0,, dfic) к функциии = и(х,у) Є LP(Q X Указаны некоторые примеры р-связных мер (перфорированное пространство, шахматная структура, квадратная сетка, а также составная структура). Следующие теоремы, приведенные в 1, 2, обобщают главные результаты по двухмасштабной сходимости, полученные G. Nguetseng, G. Allaire и В.В. Жиковым на случай произвольного р 1. Теорема 1.6. Пусть иє Є С($І) ииє, eVuc ограничены в L?(Q,dits). Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную задачи усреднения введем меру / е равенством (i{B) — eNfi(e lB) для любого борелевского множества В С ШЛ. Мера /ic имеет период є и слабо сходится к мере Лебега: dfi —± dx. Соболевское пространство W g Wp(ntdfi) определяется как замыкание множества пар {( ,?,V ), tp є СТ(П)} в произведении 1/(0,(1(1) x If(n,dp)N (см. [16], [21], [27]). Элементами этого замыкания служат пары (u,v)t где и - функция, v - вектор, причем Компонента v обозначается V« и называется градиентом функции и. Иногда первую компоненту и называют функцией из соболевского пространства. Тогда, в отличие от классического случая, когда /і есть мера Лебега, эта функция может иметь много градиентов. Определим также пространство потенциальных векторов Vp0t = V,fot(D,dft) как замыкание множества {V p, р С Г(П)} в L CT(U,dpL)N. Из определения ясно, что т.е. градиент функции из соболевского пространства есть потенциальный вектор. Обратное утверждение справедливо лишь при некоторых дополнительных условиях, в частности, таким условием служит неравенство Пуанкаре пространства, позволяющее существенно ослабить условия в основных теоремах о двухмасштабной сходимости. Доказывается теорема о совпадении этого пространства с определенным ранее. Рассмотрим последовательность и, ограниченную в (2, / ), и введем для нее понятие двухмасштабной сходимости (см., например, [27]). Определение 1,4. Последовательность и слабо двухмасштабпо сходится в /(0, dfic) к функции и = и(х,у) Є /(0 х U,dx х dft), Дадим теперь определение сильной двухмасштабной сходимости. Определение 1.5. Ограниченная в LP(Q,dne) последовательность щ сильно двухмасштабно сходится в 1/(0,, dfic) к функциии = и(х,у) Є LP(Q X Указаны некоторые примеры р-связных мер (перфорированное пространство, шахматная структура, квадратная сетка, а также составная структура). Следующие теоремы, приведенные в 1, 2, обобщают главные результаты по двухмасштабной сходимости, полученные G. Nguetseng, G. Allaire и В.В. Жиковым на случай произвольного р 1. Теорема 1.6. Пусть иє Є С($І) ииє, eVuc ограничены в L?(Q,dits). Тогда (с точностью до выделения подпоследовательности) имеем Как уже отмечалось, мы применяем технику усреднения, разработанную В.В.Жиковым в [16] и доказываем основные свойства усреднения, опираясь на свойство р-связности. Рассмотрим бесконечное шахматное поле на плоскости. В качестве жесткой фазы F высту паст объединение всех черных клеток. Выше (в примере 1.3) было показано, что такое множество при р 2 является р-связным. Мяг кая фаза суть белые клетки: FQ = IR2 \ F. Пример 1.7. Пусть F - связное периодическое множество, FQ = ЇЇІЛ \F - его дополнение. Здесь ц есть мера Лебега. Пусть Fo имеет # дисперсную структуру (см. рис. 3) и В = F0 П - мягкое включение, приходящееся на ячейку периодичности. Положим и0(х,у) = и(х,у) — щ(х). Тогда и(х, ) Є W g и щ(х, линейной мере Лебега так, что выполнено условие нормировки. Жесткая фаза F и мягкая фаза Fo изображены на рисунках 4(b) и 4(c) соответственно (пунктиром указана ячейка периодичности). Пример 1.10 (ящичная структура). Пусть F периодическая ящичная структура в Щ3, состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, на ней сосредоточена пери одическая нормированная мера /х1, пропорциональная там плоской мере Лебега. Дополнение FQ = ЇЇ13 \ F играет роль мягкой фазы. Периодическая мера fi - составная, она складывается из половины объемной меры Лебега и половины меры ft1 на гранях. В этих и других примерах периодический объект описывается периодической мерой. Обычно носитель меры есть объединение некоторых многообразий разной размерности, и на каждом таком многообразии мера пропорциональна соответствующей мере Лебега. Перейдем теперь к общей постановке задачи, когда имеется к жестких компонент. Жесткую фазу F = F\ U F2 U ... U F& определим как объединение периодических /х-измеримых множеств, непересекающихся в том смысле, что Мягкую фазу определим как дополнение Fo = ЩЛ \ F. На нее не накладывается никаких условий, кроме fi(Fo) 0. « Обозначим, как и выше, через F[ = eF;, і = 0,1,.../: гомотетичс скис сжатия множеств Fi. Область U распадается на части: Отметим, что мы требуем невырожденности мер ///д (i = І,...,/:) только ради упрощения формулировки; требование р-связности этих мер - существенно. где лагранжианы fi(x, ) (г = 0,1,... /:) - периодические и //-измеримые по х 6 Ш, , выпуклые по Є ШЛ и удовлетворяющие условию роста (1.22), д Є С(П). Мы будем доказывать сходимость энергий Iе и решений ис(х) к энергии 7hom ) = 0 вне В. Если допустить, что В имеет липшицеву границу, то компонента щ(х, ) - это продолженная нулем на П\В функция из Wi (B) и можно записать и{х,у) = щ(х) + щ(х,у), іцфеИ П), uo(xr)GWi (B)). (1.34) і Пример 1.8 (составная структура). В качестве жесткой фазы F возьмем квадратную сетку, на которой сосредоточена естественная мера. А в качестве мягкой фазы FQ выступает дополнение IR2 \F, на котором имеется плоская мера Лебега. Для составнолй структуры представление (1.34) сохраняется с ио(х ) Є W0 p(O,dii)), то есть наблюдается полная аналогия со случаем, когда мягкая фаза дисперсна - роль включения В играет внутренность квадрата П. Пример 1.9 (сеточная модель). Рассмотрим на плоскости периодический связный граф, представленный на рис. 4(a). Мера \і сосредоточена на его звеньях и пропорциональна там линейной мере Лебега так, что выполнено условие нормировки. Жесткая фаза F и мягкая фаза Fo изображены на рисунках 4(b) и 4(c) соответственно (пунктиром указана ячейка периодичности). Пример 1.10 (ящичная структура). Пусть F периодическая ящичная структура в Щ3, состоящая из координатных плоскостей и их сдвигов на целочисленные векторы, на ней сосредоточена пери одическая нормированная мера /х1, пропорциональная там плоской мере Лебега. Дополнение FQ = ЇЇ13 \ F играет роль мягкой фазы. Периодическая мера fi - составная, она складывается из половины объемной меры Лебега и половины меры ft1 на гранях. В этих и других примерах периодический объект описывается периодической мерой. Обычно носитель меры есть объединение некоторых многообразий разной размерности, и на каждом таком многообразии мера пропорциональна соответствующей мере Лебега. Перейдем теперь к общей постановке задачи, когда имеется к жестких компонент. Жесткую фазу F = F\ U F2 U ... U F& определим как объединение периодических /х-измеримых множеств, непересекающихся в том смысле, что Мягкую фазу определим как дополнение Fo = ЩЛ \ F. На нее не накладывается никаких условий, кроме fi(Fo) 0. « Обозначим, как и выше, через F[ = eF;, і = 0,1,.../: гомотетичс скис сжатия множеств Fi. Область U распадается на части: Отметим, что мы требуем невырожденности мер ///д (i = І,...,/:) только ради упрощения формулировки; требование р-связности этих мер - существенно. где лагранжианы fi(x, ) (г = 0,1,... /:) - периодические и //-измеримые по х 6 Ш, , выпуклые по Є ШЛ и удовлетворяющие условию роста (1.22), д Є С(П). Мы будем доказывать сходимость энергий Iе и решений ис(х) к энергии 7hom и решению и(х,у) усредненной задачи где / от() - усредненный лагранжиан вида (1.33). Пространство V здесь определяется следующим образом: per «i/(n,WS), «U = «і Є Wj CO). (1.38) Рисунок 5 соответствует случаю двух жестких фаз. Структура функции и такова: она определяется двумя жесткими компонентами щ(х)у гі2{х) и мягкой компонентой и\р01 которая зависит от х Q и Полезно, подобно тому, как это было сделано в случае одной жесткой компоненты, записать функцию и Є V в виде где ЕІ - разделяющие функции (1.35), щ Є 1 (0,X), а на множестве V - равенством J2 \[ФЩ\\ІР(ІІ) + \\щ\\ы (п,х) г=1 Укажем плотное в V множество пробных функций р(х,у), удовлетворяющих условию Каратеодори, именно: Лемма 1.15. Линейная оболочка функций (1 0) плотна в простпрагі-стпве V. Доказательство. Возьмем произвольную функцию «ЄУ, представленную в виде (1.39). Первое слагаемое 2ЩЕІ аппроксимируется в пространстве V функциями вида X) Vt- f) V7 CQ(Q), поскольку Со(П) плотно в WQ P(Q). Что касается слагаемого и0} то достаточно сослаться на общий факт: каково бы ни было сепарабельное банахово пространство X, в пространстве 1/(П, X) плотна линейная оболочка элементов a(x)h, где а Є C(Q), h Є X. Лемма доказана. Единственность представления (1.39) следует из легко проверяемых неравенств, которые будут доказаны ниже, Пусть иє - решение задачи (1.3G). Тогда можно показать (подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе), что из В настоящем параграфе изучается усреднение нелинейных монотонных эллиптических операторов второго порядка в некоторых моделях сред с двойной пористостью (так называемые модели double-porosity). Исследуемая задача включает в себя некоторые хорошо известные постановки: об усреднении монотоных операторов, заданных на евклидовом пространстве с периодической мерой, в перфорированном пространстве и другие. Остановимся на этом подробнее. Мягкая и жесткие фазы определяются так же, как в 4 главы I. Таким образом, пространство 1RN распадается на две части F и FQ, имеющие период , которые можно рассматривать как отдельные пористые среды (со своей внутренней структурой) и изучать, например, фильтрацию в такой композитной системе. Тогда из физических соображений коэффициент проницаемости ае(х), отвечающий данной модели, должен иметь специальную структуру типа Это простейшая модель double-porosity. Если положить ає(х) = 0 в FQ, ТО получим задачу об усреднении D перфорированном пространстве ШЛ П Fs. В частности, при F = ШЛ (перфорация отсутствует) мы имеем дело с усреднением монотонных операторов во всем пространстве. Такие задачи изучались многими авторами, см. работы [29], [30], [31], [32]. Усреднению в перфорированных областях также посвящена обширная литература, см., например, [42] и имеющиеся там ссылки. В теории усреднения используются различные подходы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника р-связности, разработанная в [14], [15]. Как правило, жесткая фаза Fs является связной в ШЛ. Если же она состоит, скажем, из двух связных компонент, то мы имеем два "параллельных потока", связь между которыми осуществляется через мягкую фазу FQ. Приведем соответствующий пример. Пример 2.1 (Два параллельных слабо связанных потока). Пусть Fi и F2 - две непересекающиеся решетки в IR3, FQ = Щ3 \ F\ U F2. Коэффициент проницаемости равен 1 на каждой из жестких фаз Ff = eF\,F2 = І 2 и є2 на мягкой фазе FQ (СМ. рис. 6). Усреднению в моделях double-porosity посвящено много работ (см. [23], [24], [25], [26] и др.). Часто жесткая фаза F не только связна в ГОЛ, но представляет из себя достаточно гладкую область. Мы даем общую версию модели "параллельных потоков" в терминах произвольной периодической меры ц и доказываем теорему усреднения, не накладывая никаких ограничений гладкости на имеющиеся фазы. Это становится возможным благодаря интересной концепции двухмасштабного предела, выдвинутой G.Nguctseng [17] и развитой в работах G.Allaire (см. [18]) применительно к мере Лебега. В [21] В. В.Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической борелевской мерой, и предложил новый подход к задачам усреднения, основанный на применении метода двухмасштабной сходимости в комбинации со СБОЄЙ техникой р-связности, см. также работы [37], [43], [44], [46]. В работах G. Bouchitte, I. Pragala (см. [45]) также используется двухмасштабная сходимость для исследования задач усреднения на сингулярных структурах. Перейдем теперь к задаче усреднения. Пусть а(у,) - каратео-дориева вектор-функция, удовлетворяющая (2.4) и указанным ранее условиям 1) — 3). Рассмотрим нелинейное эллиптическое уравнение дополненное краевым условием Дирихле UC\QQ = 0. Предполагается, что gs(x) — д(х, у) в U (fi, 1цс). Из теории монотонных операторов следует, что задача (2.15) имеет единственное решение иє Є W01,p(f2,d/iE). По определению оно удо в л створяет интегральному тождеству в котором Vue - некоторый градиент функции иє. Наша цель - перейти к пределу в этом интегральном тождестве и получить усредненное уравнение. Двухмасштабным пределом решений ие будет уже не функция и(х) Є W0 P(Q), как это было ранее, а функция вида и(х,у), существенно зависящая от у. Опишем соответствующее функциональное пространство. Здесь ((Djrf/i1) определяется как замыкание множества {V p : (р Є Определение 2.8. Скажем, что и Є V есть решение усредненной задачи, если для любой пробной функции р Є V выполнено интегральное в котором Vyu - некоторый градиент функции и. Существование и единственность решения как пары (и, Vy«) легко следует из теории монотонных операторов. Действительно, множество V отождествим с набором где щ Є WQ P(CI), Щ Є І/(П,Х). Тогда выражение (Лгу,/г), h = {V ,-, V o, Vy o}) задается левой частью (2.20). Благодаря условиям, наложенным на функцию а(у,), для решений щ задачи (2.15) справедливы оценки:Основные теоремы о двухмасштабной сходимости
Постановка задачи. Классическое усреднение
Вариационные модели двойной пористости
Усреднение в некоторых моделях сред с двойной пористостью
Похожие диссертации на Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью
