Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса Кузнецов Александр Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1 Оптимальное управление правыми частями в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругои среды с производной Яу манна 19

1.1 Введение 19

1.2 Обозначения и необходимые факты 20

1.2.1 Вспомогательные обозначения 20

1.2.2 Определения используемых пространств 21

1.3 Постановка задачи для случая с производной Яуманна 26

1.4 Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19) 29

1.5 Существование оптимального решения для случая с производной Яуманна 51

2 О плотности множества правых частей начально-краевой задачи для модели движения вязкоупругои среды с производной Яуманна 57

2.1 Введение 57

2.2 Постановка задачи 58

2.2.1 Исходная задача и формулировка основного результата работы 58

2.2.2 Аппроксимационная задача 60

2.3 Операторная трактовка задачи 61

2.3.1 Линейный оператор $ 61

2.3.2 Операторы К и /С 67

2.3.3 Оператор Z 69

2.3.4 Оператор Q 73

2.4 Аппрокимационные уравнения. Априорные оценки 87

2.5 Разрешимость для плотного множества правых частей 93

3 Граничное оптимальное управление в начально-краевой задаче для модели движения вязкоупругои среды с полной производной 94

3.1 Введение 94

3.2 Постановка задачи и формулировка основных результатов 95

3.3 О продолжении управления внутрь области 98

3.4 Вспомогательные задачи 102

3.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса и его оценка 120

3.6 Существование оптимального решения 125

Литература 127

• Вспомогательные обозначения
• Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19)
• Исходная задача и формулировка основного результата работы
• Постановка задачи и формулировка основных результатов

Введение к работе

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наибо-

лее известны работы Ж. Лере, О.А. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого ренїения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой. Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как О.А. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмитриен-ко, ДА. Воротников, М.В. Турбин (например, [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 18, 20, 26, 28]) и многих других.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов су-

ществования и некоторых свойств решений начально-краевых задач и связанных с ними задач оптимального управления, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р — const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши

, dv v^ .. dv

4 + E%) ^{= Diw} + ^ (t_:x)e[0,T}xQ (0.0.1)

divv = 0, (t, x) Є [0, T] x ft. (0.0.2)

Здесь fief"- область, v = (v¹,... ,vⁿ) - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, а - девиатор тензора напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Дивергенция Div от тензора а - это вектор с координатами (Diva), = а

г=1

Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между (т и тензором скоростей деформации S{v) = (zj(^))}=i'_;'.'.'.',n> ij{^v) — |(^~ + if") Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением

а = -рІ + 2т]Є. (0.0.3)

Здесь p(t, х) — скалярная функция давления, а коэффициент rj называется вязкостью. При Г} > 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жид-

кость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При г) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Сприггса и другие ([33]). Особый интерес представляют модели движения вязкоупругих сред, в которых определяющее отношение удовлетворяет требованию объективности, т.е. является инвариантным при изменении системы отсчета. Примером таких моделей может служить модель с производной Ол-дройта

д А , д

V_a(i

a + aW{v) - W{v)a + a{a{v) + {v)a), (0.0.4)

dt 4-f dxj

L j=l

где а Є [—1,1], a = (crij)}=i'"'.',n) W(v) = (^(^v)) Д'.'.'.'п ~ тензор завихренности, Wy(v) = |(J^~ ^— f^~)) hj ⁼ 1j - > ⁿ- Частный случай производной Олдройта при а = 0 называется производной Яуманна.

Целью работы является исследование вопросов существования и некоторых свойств решений задач оптимального управления правыми частями, задач граничного оптимального управления, а также исследование задачи о плотности множества правых частей для математических моделей движения вязкоупругих сред типа Джеффриса с полной производной и объективной производной Яуманна.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксимационно-топологический метод

исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и его учениками (см. [10], [16]), методы теории топологической степени, априорных оценок и др. Также использовались методы, предложенные А.В. Фурсиковым для исследования задач оптимального управления и установления плотности множества правых частей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказана плотность множества правых частей для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна в некоторых специально выбранных топологиях.

2. Доказано существование решения задачи управления правыми частями в модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна для определенного класса функционалов цены.

3. Доказано существование решения задачи граничного управления в модели движения вязкоупругой среды с полной производной.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании различных течений нелинейно-вязких, вязкоупругих и нелинейных вязкоупру-гих жидкостей и сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2005, 2008), научной сессии ВГУ (2008), семинаре под руководством проф. М.И. Вишика (МГУ, 2008), семинаре под руководством проф. А.Л. Скубачевского (РУДН, 2008).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 07-01-00137, № 08-01-00192.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] - [25]. Из совместной работы [25] в диссертацию вошли только принадлежащие Кузнецову А.В. результаты. Работа [25] издана в журнале, входящем

в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 42 источника. Окончания доказательств отмечены знаком П. Общий объём диссертации 130 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, кратко характеризуется тема работы, её цели и задачи. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления и методы исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

В первой главе исследуются решения задачи оптимального управления правыми частями, связанной со следующей системой уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яу-манна:

(г) ^П Я \

р[ ^ + ^^)+^==^ + ^ (⁰-⁵)

_{ст + Аі}^ _{= 2},(_{ОД +} А₂Ж), ₍₀.0.₆)

divu = 0, v\[_Q)T]xdn = 0₅ ^v\t=o = vq, (0.0.7)

где Лі - время релаксации, Аг - время ретардации, 0 < Аг < Ai, / - внешняя сила. Давление р вообще может быть определено с точностью до константы. Для определенности накладывается условие

p(t,x)dx = 0, (0.0.8)

где Q, - фиксированная ограниченная область в Ш^п. Во всей диссертации будет полагаться, что Q - ограничена и односвязна, но полученные результаты легко обобщаются на случай ограниченной многосвязной области с заменой условия (0.0.8) на условие

p(t,x)dx = 0, i = l,...,n, (0.0.9)

где О, = U"₌₁^i и Qi, і = 1,...,п- попарно непересекающиеся односвязные

области.

Данная модель применяется для описания движения вязкоупругих сред типа жидких растворов полимеров, битумов, бетона, земной коры. На настоящий момент существование глобальных по времени сильных решений для начально-краевой задачи, модели Джеффриса с объективной производной даже в плоском случае является открытой проблемой. В этой главе рассмотрена задача оптимального управления этой системой и наличие функционала позволило доказать существование сильного решения как в двумерном, так и в трехмерном случае. Для системы Навье-Стокса аналогичный результат получен ранее в работе А.В. Фурсикова [39].

В первом и втором пунктах рассматриваются: задача оптимального управления правыми частями, связанная с моделью вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яуманна - системой (0.0.5)-(0.0.8), необходимые обозначения и теоремы.

В третьем пункте вводятся понятия обобщенного решения для задачи (0.0.11), (0.0.13), обобщенного решения для задачи оптимального управления системой (0.0.10)-(0.0.13), обозначения W = W{V²,H), \±_х = т}(\₂/\і), № = (Л - /хі)/А_ь д₀(т, Vv) - tW{v) - W{v)r, v Є W, т Є ^(О,!¹;^). Используя разложения девиатора тензора напряжений а на ньютоновскую и чисто упругую части а = т -f- 2fii(v), делается переход от задачи (0.0.5)-

(0.0.8) к задаче

-^ - ^Av + ^р V^і-^- + Vp-u = Divr, (0.0.10)

ot -f—f охі

г=1

% + Е ^уі^г. + r^r+5o(r'^{Vv) = w w> (0}-⁰-^и)

г'=1 ^г

*|*=о = г>о, (0-0.12)

^=0 = 7. (0.0.13)

Определение 2.3.0.4. Пустъ v Є W, v₀ Є V D H³(Q)ⁿ, r₀ Є %². Яа-зовел* обобщенным решением задачи (0.0.11), (0.0.13) такое т — r(v) Є LoolO.TjAln^flO.T];^), шо для любого Ф Є Я²,, V Є Я^О.Г), VCO = 0 выполнено равенство

Гр >Г\ гр

-J (т,Ф)(і)^Ф№-(т₀,Ф)ф(0)-1_о (_V'r,^)(t)i,{t)dt+

rp rp

_{+ Г}

^l- f (т,Ф)(*Ж*)<й + f (до{г,Чу),Ф){іЩі)<Н =
ч Jo Jo

= 2_№/ {{у),Ф)ф{і)<ІІ (0.0.14)

w выполнено начальное условие (0.0.13).

Пусть ^(z, v,u) - выпуклый по совокупности переменных функционал на Я xV² X Я, удовлетворяющий условиям:

У(Я>0) sup V(z,v,u) < со, (0.0.15)

\\4н+М\ні(п)п+Мн^Я

3(C,Ci > 0)V((z,v,u) Є Я х У² х Я) Ф(*,г;,ад) ^

^ СІ(Ия + IMlW + ІМІя) - С. (0.0.16)

ІЯ²(П)

Определение 2.3.0.5. Пусть vq Є V ПЯ³(Г2)^П. Назовем обобщенным решением задачи оптимального управления системой (0.0.10)-(0.0.13) с функционалом стоимости J такую тройку (v, т, и) Є WxL_oo(0,T]2)r\C_w([Q,T];2)x

1,2(0, Т; Н), что для всех <р Є 1/2(0, Т; V) выполнены равенства:

J(v,v,u)= І Ф(г>(*, ),«(*, ).«(*» '))^d*-^^inf> (0.0.17)

J (—_l(p)dt-iAiJ (Av,tp)dt + 22J {v^%—,ip)dt-1 (u,tp)dt

%— A

(9i

г=і " "

= - /" (r,Vip)dt, (0.0.18 Jo

4=o = v

где t = т(г>) является обобщенным решением задачи (0.0.11), (0.0.13).

Во четвертом пункте с помощью теории степени Лере-Шаудера доказывается существование решений задачи (0.0.11)-(0.0.13), для чего вводится семейство аппроксимационных задач

~^^{АТ +} % ⁺ ^ ^^ ^{+ ЫТ}' ^{VV) +} ~tj ^{= 2Ы8 W}' ⁽''²⁰⁾

г—1

т|*=о = т₀₎ (0.0.21)

где v Є W, 7 Є Н² и 0 ^ ^ 1, 0 < є : 1 - параметры. Обозначим Wm = {т Є L₂(0, Г; ПІ), т' Є L₂(0, T; Ті'¹)}. Обобщенным решением задачи (0.0.20)-(0.0.21) при фиксированных значениях параметров и є назовем такое т Є Wm, что для любых Ф Є 71\ выполнено равенство

7 1ґ\ Л

_{jt(r, ф) - е X>}^v_{> ^:) + г}^(т_'^{ф) +} _2T^(Vr_'^{Уф) + еЫг}_'^Vv)_'^{ф) =}

г=1 ^г

= 2^₂(ОД,Ф) (0.0.22)

и т удовлетворяет начальному условию (0.0.21). Вводятся операторы А_є, K_v : Wm —> L₂(0,T]%~^x) x C₂₎ определяемые равенствами (А_єт, Ф) = (^(т, Ф) + fr ^ф) + U-S^r, УФ), r|_i=0), (K_v(t), Ф) = - E?=i(«V, |),ФЄ^гЄ W_M, г; Є ИЛ Доказывается, что оператор А_є обратим и А'¹ непрерывен, оператор

K_v : Wm -> L2(0,T;'H *) вполне непрерывен. Равенства (0.0.22), (0.0.21) могут быть интерпретированы в операторном виде как

Av + K_v(t) + &о(т, Vv) - (2^₂<ЗД, т₀).

Получены априорные оценки для аппроксимационной задачи и доказаны существование и единственность в Wm обобщенного решения аппроксимационной задачи (0.0.20)-(0.0.21) при фиксированных 0 < є ^ 1, 0 ^ ^ 1. Доказано существование и получена оценка обобщенного решения задачи (0.0.11), (0.0.13) в Loo(0, Т; ₂) П СЦ[0, Т]; ₂). Теорема 2.4.0.5. Пусть vi —^ v* в W к v* Є W при I —> оо и т/ Є -^^(О, Т; ₂)

обобщенное решение задачи (0.0.11), (0.0.13) cv = v\. Тогда суш,ествует т*

одно из обобщенных решений задачи (0.0.11), (0.0.13) cv = v*, и существует такая подпоследовательность {'П_к}^₌₁ С {т;}^_1; что {ті_к}₌₁ сходится *-слабо в 1^,(0, Т;₂) к т* при к —> оо.

В пятом пункте доказывается существование оптимального решения. Доказаны теоремы

Теорема 2.5.0.6. Пусть vo Є Vn H³(Q,)ⁿ, tq Є 7-(.². Тогда задача оптимального управления системой (0.0.10)-(0.0.13) с функционалом стоимости J имеет обобщенное решение (v*,t*,u*) Є W х L_oo(0,T;C2) П С_ш([0,Т] 5/)2) х

^ь₂^(о,т_;^я).

Теорема 2.5.0.7. Полученное в теореме 2.6.0.6 обобщенное решение (г?*, т*, и*) W х Loo(0,T;>C2) П C_w([0,T] 5/)2) х L₂(0,T;.H") задачи оптимального управления системой (0.0.10)-(0.0.13) является сильным, в том смысле, что PDivr* Є₂(0,Т;#) и

Я "'Я

-^ - frPAv* + Р^ ^v*JT~ ~ ^PDivr* = ^и* (0.0.23)

С/ Ь .

г=1

почти всюду на [0,T]xQ, т* является обобщенным решением задачи (0.0.11), (0.0.13) cv = v*.

Во второй главе исследуется начально-краевая задача

/о " а \

р (it⁺ ? ^vid^-)^{+ Vp = Diw+/}' ⁽⁰--²⁴⁾

' ^{+ І1 = 2}'(^{ад + %}^г)' ⁽⁰-²⁵⁾

div v = 0, и|[о,г]хда = 0, v|t=₀ = «о, / р(*> ^ж)^^ж = 0, (0.0.26)

где Лі - время релаксации, Л2 - время ретардации, 0 < Л2 < Лі, / - внешняя сила.

Существование глобальных по времени сильных решений для этой задачи в общем случае (как и для системы Навье-Стокса) является открытой проблемой. Для рассматриваемой начально-краевой задачи (0.0.24)-(0.0.26) имеется еще меньше фактов о нелокальной разрешимости, чем для системы Навье-Стокса, в частности, нет теоремы существования сильных нелокальных решений для п = 2. В настоящей работе устанавливается плотность множества правых частей уравнения (0.0.24) задачи (0.0.24)-(0.0.26) при п = 2, 3 в некоторых специальных топологиях. Соответствующий результат для системы Навье-Стокса получен в работах А.В. Фурсикова [39], [40].

Отметим, что К. Гильопе и Ж. Со в [3] доказали локальное по времени существование и глобальное существование при малых данных решений начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой жидкости в ограниченной области.

В первом пункте приведена исследуемая система уравнений, описывающая модель движения вязкоупругой несжимаемой среды типа Джеффриса.

Во втором пункте введены используемые обозначения, и приведены необходимые факты (теоремы вложения и т.п.). В частности, обозначается, что если Xi, Х₂ - банаховы пространства, то

W(a,b]p_bp₂]X_hX₂) = {иЄ L_Pl(a,b]Xi),u' Є L_P2(a,b;X₂)}_:

W(X_hX₂) = {ue L₂(P,T;X₁),u' Є L₂(0,T;X₂)}, W = W(V\V~³). Также

вводятся обозначения Ч^а = H^a(tt, M_s(n)), С₂ = L₂(ft, M_s{n)), ael.

В третьем пункте делается постановка задачи. Используется априорное разложение тензора а:

2г}\₂

CT = r + TiV, Tjv =

^[S(v), т + \₁Щт = 2т,(і-^(у).

В данной работе будет полагаться без ограничения общности, что U = 1, L = 1, р = 1, следовательно, Де = 1, PVe = Лі и использоваться обозначения ці = Л2/Л1, //2 = (1 — A*i)/Ai. Будем предполагать, что г> Є ТУ, т Є W(0,T;oo,oo; ^².¹). v„ Є У³, / Є L₂(0,T;tf), г₀ ЄП²_:РЕ L₂(0,T; #²(Г2)). После замены переменных и исключения давления с помощью проектора Ле-ре Р уравнения (0.0.24), (0.0.25) принимают вид:

v'+pj2^vJdJ^v

/j,₁PAv = PDivT + f,

( r' + J2v^jdjT + TW(v) - W{v)t) +yr = 2//₂(г;),

v(0, ) = vo, r(0, ) = r₀. Приводится аппроксимационная задача для задачи (0.0.27)-(0.0.29):

(0.0.27)

(0.0.28) (0.0.29)

v' + fiiAv + SA³v + Р^2 ^vJdJ^v - ^P(^{Div r} + Л ⁼ '

v(0,-) = v₀,

1 ⁿ

r' + — r + Y^v'djT + tW(d) - W(v)t - 2/z₂(v) = 0,

i=i

т(0, ) - r₀,

(0.0.30)

(0.0.31) (0.0.32)

(0.0.33)

где 5 ^ 0 - некоторый параметр. При 6 = 0 задача (0.0.30)-(0.0.33) совпадает с задачей (0.0.27)-(0.0.29). Формулируется основной результат главы. В четвертом пункте вводится обозначение

C(fi) = Ь:ПнП

= 1

[х)

Адп = I, z Є С¹^)⁷¹, У(ж Є О) det

дается операторная трактовка задачи и исследуются свойства соответствующих операторов Z : W ->> С([0,Т] х [0,7], С,(П)), А, /С, Q : И^ -» 1/2(0, Т; У^-3) х V⁰, определяющихся равенствами: [Z(v)](,t\x) = x + ffv(s,[Z(v)](s,t;x))ds,t, Є [0,Г];ж Є О, /> = {г/ + ^!/4і; + /4³і;,г;|_і=о}, ОД = (^Еи^'^О), Q(v) = (-PDivQK ^)),0), r = Q(«,Z(i;)) - решение задачи (0.0.28)-(0.0.29).

Доказывается, что при S > 0 оператор # непрерывен и имеет обратный, операторы /С, Z вполне непрерывны. Доказывается

Теорема 1.4.4.3. Оператор Q является $ - уплотняющем по мере некомпактности Куратовского.

В пятом пункте исследуется разрешимость семейства аппроксимацион-ных уравнений, 5 > О

Cs(v) + А(ОД + Q(v) - (/, v₀)) = 0. (0.0.34)

Получены априорные оценки, с помощью методов теории топологической степени ^-уплотняющих операторов доказана Теорема 1.5.0.4. Задача (0.0.34) имеет решение в W для всех 5 > 0.

В шестом пункте исследуется разрешимость задачи (0.0.27)-(0.0.29) для плотного множества правых частей. Показано, что для любой правой части / Є ₂(0,Т;Я) задачи (0.0.27)-(0.0.29) существует "близкая" к ней / = / -+- 5А^гь, с которой задача (0.0.27)-(0.0.29) имеет решение. Обозначим через Fs(vq, то) множество правых частей задачи (0.0.27)-(0.0.29) /, для которых существует единственное решение (г?;т) Є W(V⁶, V⁰) х Wqq^{7^,71¹) (0.0.27)-(0.0.29). Доказана

Теорема 1.6.0.5. Пусть vo G V³, tq Є Ті². Множество Fs(vo,tq), будучи подмножеством пространства 2(0, Т; Н), всюду плотно относительно топологии пространства L_p(0, Т; V~^l), где I up удовлетворяют следующим условиям

I ^ 6, р = со или 6 > I ^ 3, р = 2.

В третьей главе рассматривается задача граничного оптимального управления, связанная с системой уравнений, описывающей модель движения вяз-коупругой несжимаемой среды типа Джеффриса с полной производной.

В первом пункте рассматривается система уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды типа Джеффриса.

dt *-? дх_г

г=1

(0.0.36)

V((,z) Є [0,Т] х дії) v(t,x) = u(t,x), (0.0.37)

v\t=o = vq, a\_t=o = (0.0.38)

div?; = 0, I p(t,x)dx = 0. (0.0.39)

Здесь и - управляющий параметр. Плотность среды предполагается постоян-ной и равной единице.

Во втором пункте делается переход к эквивалентной задаче и даются определения слабых решений исходной и эквивалентной задач. Пусть Iqu -некоторое продолжение управления и внутрь области ІЇ, причем diyl^u = 0, а = т + 2щ{у), iii = 77(Л₂/Лі), fi₂ = (v - А*і)/Лі, w = v - l_nu. Определение 3.2.0.7. Слабым решением задачи (0.0.35)-(0.0.39) называется пара функций (v,

і;єМ0,Т;ЯЧП)^п)П^0,ПМ«)^п), ^ Є МО, Г; У*). ^{di = 0}'

(0.0.40)

а Є L₂(0, Г; ₂) f| С_ш([0, Т]; П"¹) (0.0.41)

удовлетворяющая условию (0.0.38) и тождествам

j п о

— (и, <^) + (<7, Vrf-^(V*V,—) = (f,V>)L₂(0,T;V*)xL₂(0,T;V), v\dSl = W, (0.0.42)

г=1

І—І

d х^ дФ

= -2-піу, БіуФ) - 2г7Л₂(—(г;, БіуФ) + >(«), —)). (0.0.43)

d/іл всех ір Є V w Ф Є Сд⁰ в смысле распределений на (0,Г). Формулируются основные результаты работы.

В третьем пункте описывается конструкция оператора продолжения In : L₂{b,T;H^ll²(dV)ⁿ) -+ {v Є i^Tjtf¹^)") : divv - 0} и исследуются его свойства.

В четвертом пункте рассмотрены две вспомогательные задачи. Доказаны существование и оценка решений вспомогательных задач.

В пятом пункте доказано существование слабого решения (w, г) эквивалентной задачи при / Є -^2(0, Т; V*), wq Є Н, tq Є 2 я получена его оценка.

В шестом пункте доказано существование слабого оптимального решения задачи (0.0.35)-(0.0.39) с функционалом цены

J : L₂(0, Т; Н¹^)⁷¹) х L₂(0, Г; Н^1/2{дП)^п) -+ Е. (0.0.44)

Доказана

Теорема 3.6.0.12. Пусть

\\и\\ь₂(о,Т;СЧдП)") ^ Mi или (0.0.45)

IMIgw^/W) < ^М2 < ^mm(^^ (0.0.46)

< М₃. (0.0.47)

L₂(0,T;L₂(dQ)ⁿ)

и, кроме того ди

Тогда существует слабое решение (г>₊,ст*)_; it* задачи (0.0.35)-(0.0.39), (0.0.44)-

Вспомогательные обозначения

В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости (таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, О.А. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого ренїения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой. Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как О.А. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмитриен-ко, ДА. Воротников, М.В. Турбин (например, [1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 18, 20, 26, 28]) и многих других.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов су ществования и некоторых свойств решений начально-краевых задач и связанных с ними задач оптимального управления, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р — const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши , dv v .. dv 4 + E%) = Diw + (t:x)e[0,T}xQ (0.0.1) divv = 0, (t, x) Є [0, T] x ft. (0.0.2) Здесь fief"- область, v = (v1,... ,vn) - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, а - девиатор тензора напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х.

Существование решений задачи (1.3.17)-(1.3.19)

Дивергенция Div от тензора а - это вектор с координатами (Diva), = а г=1 Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между (т и тензором скоростей деформации S{v) = (zj( ))}=i ; . . . ,n ij{v) — ( + if") Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением а = -рІ + 2т]Є. (0.0.3) Здесь p(t, х) — скалярная функция давления, а коэффициент rj называется вязкостью. При Г} 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жид кость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При г) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса, Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Сприггса и другие ([33]). Особый интерес представляют модели движения вязкоупругих сред, в которых определяющее отношение удовлетворяет требованию объективности, т.е. является инвариантным при изменении системы отсчета. Примером таких моделей может служить модель с производной Ол-дройта д А , д Va(i a + aW{v) - W{v)a + a{a{v) + {v)a), (0.0.4) dt 4-f dxj Vt L j=l где а Є [—1,1], a = (crij)}=i " . ,n) W(v) = ( (v)) Д . . . п тензор завихренности, Wy(v) = (J — f )) hj =n- Частный случай производной Олдройта при а = 0 называется производной Яуманна.

Целью работы является исследование вопросов существования и некоторых свойств решений задач оптимального управления правыми частями, задач граничного оптимального управления, а также исследование задачи о плотности множества правых частей для математических моделей движения вязкоупругих сред типа Джеффриса с полной производной и объективной производной Яуманна.

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного нелинейного анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, разработанный В.Г. Звягиным и его учениками (см. [10], [16]), методы теории топологической степени, априорных оценок и др. Также использовались методы, предложенные А.В. Фурсиковым для исследования задач оптимального управления и установления плотности множества правых частей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные: 1. Доказана плотность множества правых частей для модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна в некоторых специально выбранных топологиях. 2. Доказано существование решения задачи управления правыми частями в модели движения вязкоупругой среды с производной Яуманна для определенного класса функционалов цены. 3. Доказано существование решения задачи граничного управления в модели движения вязкоупругой среды с полной производной.

Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании различных течений нелинейно-вязких, вязкоупругих и нелинейных вязкоупру-гих жидкостей и сред.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежских зимних математических школах (2005, 2008), научной сессии ВГУ (2008), семинаре под руководством проф. М.И. Вишика (МГУ, 2008), семинаре под руководством проф. А.Л. Скубачевского (РУДН, 2008).

Исходная задача и формулировка основного результата работы

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантами РФФИ № 07-01-00137, № 08-01-00192. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [21] - [25]. Из совместной работы [25] в диссертацию вошли только принадлежащие Кузнецову А.В. результаты. Работа [25] издана в журнале, входящем в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук ВАК. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девятнадцать пунктов, и списка литературы, включающего 42 источника. Окончания доказательств отмечены знаком П. Общий объём диссертации 130 страниц. Краткое содержание работы Во введении приводятся краткие исторические и библиографические сведения о предмете исследования, кратко характеризуется тема работы, её цели и задачи. Дано общее описание изучаемых проблем, основные направления и методы исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации. В первой главе исследуются решения задачи оптимального управления правыми частями, связанной со следующей системой уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яу-манна: (г) П Я \ р[ + )+ == + (0-5) ст + Аі = 2,(ОД + А2Ж), (0.0.6) divu = 0, v\[Q)T]xdn = 05 v\t=o = VQ, (0.0.7) где Лі - время релаксации, Аг - время ретардации, 0 Аг Ai, / - внешняя сила. Давление р вообще может быть определено с точностью до константы. Для определенности накладывается условие p(t,x)dx = 0, (0.0.8) п где Q, - фиксированная ограниченная область в Шп. Во всей диссертации будет полагаться, что Q - ограничена и односвязна, но полученные результаты легко обобщаются на случай ограниченной многосвязной области с заменой условия (0.0.8) на условие p(t,x)dx = 0, i = l,...,n, (0.0.9) пг где О, = U"=1 i и Qi, і = 1,...,п- попарно непересекающиеся односвязные области. Данная модель применяется для описания движения вязкоупругих сред типа жидких растворов полимеров, битумов, бетона, земной коры. На настоящий момент существование глобальных по времени сильных решений для начально-краевой задачи, модели Джеффриса с объективной производной даже в плоском случае является открытой проблемой. В этой главе рассмотрена задача оптимального управления этой системой и наличие функционала позволило доказать существование сильного решения как в двумерном, так и в трехмерном случае. Для системы Навье-Стокса аналогичный результат получен ранее в работе А.В. Фурсикова [39].

В первом и втором пунктах рассматриваются: задача оптимального управления правыми частями, связанная с моделью вязкоупругой несжимаемой среды с производной Яуманна - системой (0.0.5)-(0.0.8), необходимые обозначения и теоремы.

Получены априорные оценки для аппроксимационной задачи и доказаны существование и единственность в WM обобщенного решения аппроксимационной задачи (0.0.20)-(0.0.21) при фиксированных 0 є 1, 0 1. Доказано существование и получена оценка обобщенного решения задачи (0.0.11), (0.0.13) в Loo(0, Т; 2) П СЦ[0, Т]; 2).

Существование глобальных по времени сильных решений для этой задачи в общем случае (как и для системы Навье-Стокса) является открытой проблемой. Для рассматриваемой начально-краевой задачи (0.0.24)-(0.0.26) имеется еще меньше фактов о нелокальной разрешимости, чем для системы Навье-Стокса, в частности, нет теоремы существования сильных нелокальных решений для п = 2. В настоящей работе устанавливается плотность множества правых частей уравнения (0.0.24) задачи (0.0.24)-(0.0.26) при п = 2, 3 в некоторых специальных топологиях. Соответствующий результат для системы Навье-Стокса получен в работах А.В. Фурсикова [39], [40].

Отметим, что К. Гильопе и Ж. Со в [3] доказали локальное по времени существование и глобальное существование при малых данных решений начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой жидкости в ограниченной области.

Постановка задачи и формулировка основных результатов

Получены априорные оценки, с помощью методов теории топологической степени -уплотняющих операторов доказана Теорема 1.5.0.4. Задача (0.0.34) имеет решение в W для всех 5 0. В шестом пункте исследуется разрешимость задачи (0.0.27)-(0.0.29) для плотного множества правых частей. Показано, что для любой правой части / Є 2(0,Т;Я) задачи (0.0.27)-(0.0.29) существует "близкая" к ней / = / -+- 5Агь, с которой задача (0.0.27)-(0.0.29) имеет решение. Обозначим через FS(VQ, ТО) множество правых частей задачи (0.0.27)-(0.0.29) /, для которых существует единственное решение (г?;т) Є W(V6, V0) х WQQ {7 ,711) (0.0.27)-(0.0.29). Доказана

Теорема 1.6.0.5. Пусть vo G V3, TQ Є Ті2. Множество FS(VO,TQ), будучи подмножеством пространства 2(0, Т; Н), всюду плотно относительно топологии пространства Lp(0, Т; V l), где I up удовлетворяют следующим условиям I 6, р = со или 6 I 3, р = 2. В третьей главе рассматривается задача граничного оптимального управления, связанная с системой уравнений, описывающей модель движения вяз-коупругой несжимаемой среды типа Джеффриса с полной производной. В первом пункте рассматривается система уравнений, описывающей модель движения вязкоупругой несжимаемой среды типа Джеффриса. dt -? дхг г=1 (0.0.36) V((,z) Є [0,Т] х дії) v(t,x) = u(t,x), (0.0.37) v\t=o = VQ, a\t=o = TQ, (0.0.38) div?; = 0, I p(t,x)dx = 0. (0.0.39) Здесь и - управляющий параметр. Плотность среды предполагается постоян-ной и равной единице. Во втором пункте делается переход к эквивалентной задаче и даются определения слабых решений исходной и эквивалентной задач. Пусть IQU -некоторое продолжение управления и внутрь области ІЇ, причем diyl u = 0, а = т + 2щ{у), iii = 77(Л2/Лі), fi2 = (v - А і)/Лі, w = v - lnu. Определение 3.2.0.7.

Теорема 2.3.4.2. Пусть операторы семейства f = {f\\ Л Є Л} непрерывны и допускают диагональное представление f\(x) = Ф(А, х,х) через оператор Ф : Лх МхЕї -> Е2 (Е\ и Е2 - банаховы пространства, М С Е\, Л - произвольное множество). Пусть при любом у Є Е\ множество Ф(Л х М х {?/}) вполне ограничено, а при любых А Є Л и х Є М оператор Ф(Х,х1 ?/cto-влетворяет условию Липшица с константой q < 1, не зависящей от А и х. Тогда семейство f является (q, х)-ограниченным, то есть для любого Mcfi х(/(Г2)) ^ #х(^); где буква х слева и справа означает меру некомпактности Хаусдорфа в пространствах Е2 и Е\ соответственно. Теорема 2.3.4.3. Оператор Q является С$ - уплотняющим по мере некомпактности Куратовского. Доказательство. Отметим, что из равенств (2.3.66), (2.3.83) следует, что для v GW справедливо равенство Q(y,Z(v)) — Q(v). Пусть М С W - некоторое ограниченное множество. Тогда, в силу леммы 2.3.3.5 и теоремы 2.3.4.1, для любого v Є W множество PDivQ(v, Z(M)) относительно компактно.

Похожие диссертации на Задачи оптимального управления и существование сильных решений начально-краевых задач моделей движения вязкоупругой среды Джеффриса

Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения упругих сред Кельвина-Фойгта и их обобщенийТурбин Михаил Вячеславович

Необходимые и достаточные условия существования разрывных решений задач вариационного исчисления Семенов Алексей Валерьевич

Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностямиЛепчинский Михаил Германович

Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядкаАбдурагимов Гусен Эльдерханович

Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью Шульга Светлана Борисовна

Индикатор неоднородности среды для задачи томографии в полихроматическом случаеБалакина, Екатерина Юрьевна

Энтропийные решения нелинейных задач динамики многофазных средСаженков, Сергей Александрович

Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средахПетрова, Анна Георгиевна

Развитие алгебро-логического метода и его приложения к многомерным нелинейным задачам теплообмена для однородных и композитных сред Слесаренко Анатолий Павлович

Задача о фазовых переходах для многофазовых средМихайлов Александр Сергеевич