Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений Тихомирова Светлана Викторовна

Введение к работе

Актуальность темы. Вопросы усреднения для уравнений в частных производных долгое время были предметом внимания физиков и механиков и рассматривались "на физическом уровне строгости" Интерес математиков к этим вопросам возник в семидесятые годы и за прошедшее с тех пор время был создан по существу новый раздел теории дифференциальных уравнений в частных производных, который продолжает интенсивно развиваться Этот раздел имеет многочисленные приложения в теории упругости, теории композитных материалов, теории фильтрации и многих других областях физики и механики Процессы, протекающие в сильно неоднородных средах, обычно описываются уравнениями в частных производных, коэффициенты которых сильно осциллируют, что делает практически невозможным их численное решение, и тогда возникает задача построения усредненной среды и усредненного уравнения, более простых сравнительно с исходными, которые позволяют достаточно точно определить различные характеристики исходной среды и описать происходящие в ней процессы

Одной из целей теории усреднения является получение оценок разности между решением исходной задачи и решением соответствующих усредненных задач, а также оценок разности между решением исходной задачи и различного рода приближениями к решению исходной задачи Для этого обычно используется метод двухмасштабных разложений, широко представленный в монографиях Bensoussan A., Lions J L , Papanikolaou G ^x, Санчес-Паленсия Э ², Бахвалов H С , Панасенко ГП ³, Олейник О А , Иосифьян Г А , Шамаев АС⁴, Жиков В В , Козлов С М , Олейник О А ⁵ В частности, для классической задачи усреднения

и^є W^l'²(lR^d), -diva(-)V«+w = /, / Є <7₀(IR^d), (1)

где а(у) - измеримая периодическая симметрическая эллиптическая мат-

¹Bensoussan A , Lions J L , Papanikolaou G Asymptotic Analysis for Periodic Structur - Amsterdam North Holland, 1978 - 700 p

²Санчес-Паленсия Э Неоднородные среды и теория колебаний Пер с англ - М Мир, 1984 - 472 с

³Бахвалов Н С , Панасенко Г П Осреднение процессов в периодических средах -М Наука, 1984 - 352 с

⁴Олейник О А , Иосифьян Г А , Шамаев А С Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред - М Изд-во МГУ, 1990 - 311 с

⁵Жиков В В , Козлов С М , Олейник О А Усреднение дифференциальных операторов - М Наука, 1993

з V ₁

рица, доказаны оценки вида

\\^иЄ — U\\l² < СЄ> \\и^Є — U — Wi||l2 < C²

Здесь и⁰ - решение усредненной задачи, щ = N³(y) ^,, ^гД^е N³(y) -решение задачи на ячейке Однако, константы в этих оценках зависели от достаточно высоких соболевских норм нулевого приблиясения, что не позволяло придать им операторный смысл. Операторные оценки возможно доказать традиционными методами, но в предположении достаточной гладкости коэффициентов матрицы а (у) Для случая измеримых коэффициентов в известных монографиях по усреднению отсутствуют не только ²-оценки, но и, вообще, утверждения о сходимости резольвент по норме Лишь за последние годы произошел существенный поворот к операторной точке зрения Начало положено М Ш Бирманом и ТА Суслиной⁶, которые спектральным методом для различных классов уравнений доказали операторную ²-оценку В случае уравнения (1) эта оценка имеет вид

\\u~u\\v_L2,

где константа зависит лишь от постоянной эллиптичности и размерности пространства В настоящее время операторными оценками занимаются в нескольких научных центрах в России и за рубежом, при этом используются различные методы

В В Жиков предложил метод получения операторных оценок, основанный на специальном анализе первого приближения и интегрировании по дополнительному параметру^7,8 Этот подход, в отличие от спектрального, позволил изучать задачи теории упругости и скалярные задачи по единой схеме, получая сначала так называемые "проинтегрированные оценки", из которых 1/²-оценки выводятся как следствие При доказательстве проинтегрированной оценки важную роль играет представление соленоидального вектора в виде дивергенции от кососимметрической матрицы

⁶Бирман М Ш , Суслина Т А Периодические дифференциальные операторы второго порядка Пороговые свойства и усреднения // Алгебра и анализ - 2003 - Т15 Вып5 -С 1-108

⁷Жиков В В Об операторных оценках в теории усреднения // Доклады РАН -2005 -Т403 №3 -С 305-308

⁸Жиков В В О некоторых оценках из теории усреднения // Доклады РАН - 2006 -Т406 №5 -С 597-601

Указанный метод В В Жикова модифицирован С Е Пастуховой^9,10 Отметим основные особенности этого подхода Во-первых, вместо проинтегрированной оценки на первоначальном этапе устанавливается Н¹-оценка для разности между решением и первым приближением со сглаженным по Стеклову корректором Здесь дополнительный параметр интегрирования присутствует в свернутом виде в средних по Стеклову Во-вторых, вместо специальных представлений соленоидальных векторов используются новые оценки для интегралов, содержащих одновременно осциллирующие функции и средние по Стеклову

В работах М Ш Бирмана и Т А Суслиной также возникает понятие сглаженного корректора, но сглаживание там задается с помощью псевдодифференциального оператора¹¹

Описанные выше модификации метода первого приближения позволяют справиться с проблемой недостаточной гладкости первого приближения в условиях, когда / Є L², а(у) - измеримая матрица, и при этом исключить из оценок осциллирующие множители Те же проблемы в подходе G Gnso¹² решены с помощью особых интерполяций и так называемого unfoldmg-метода

В рамках теории усреднения вырождающиеся уравнения всегда находились в центре внимания, поскольку эти уравнения возникают из физических задач

Мы допускаем два варианта вырождения Первый вариант соответствует диффузии в неоднородной среде, когда коэффициент диффузии не отделен от нуля и бесконечности, второй - отвечает случаю, когда матрица диффузии несимметрична и неограничена, что соответствует диффузии во внешнем поле

Важной чертой рассматриваемых уравнений является особого рода неединственность В случае симметрического уравнения это связано с тем, что гладкие функции не плотны в весовом соболевском пространстве, данное явление называется эффектом Лаврентьева Известно, что если вес принадлежит А₂-классу Макенхаупта, то эффекта Лаврентьева

⁹Zhikov V V, Pastukhova S Е Operator Estimates for Some Problem in Homogemzation Theory // Russian Journal of Mathematical Physics - 2005 - Vol 12 №4 -P 515-524

¹⁰Пастухова CEO некоторых оценках из усреднения задач теории упругости // Доклады РАН -2006 -Т406 №5 -С 604-608

¹¹Бирман М Ш , Суслина Т А Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора // Алгебра и анализ - 2005 - Т17 Вып 6-С 1-104

¹²Gnso G Error estimate and unfolding for periodic homogemzation // Asymptotic Analysis - 2004 - № 40 - P 269-286

нет, и в большинстве работ по усреднению берутся веса из этого класса¹³ В несимметрическом случае, когда кососимметрическая часть матрицы неограничена, также возникает неединственность, обнаруженная недавно В В Жиковым¹⁴ В симметрическом случае мы изучаем так называемые Я-решения и ІУ-решения, в несимметрическом случае - аппроксимаци-онные и вариационные решения В условиях неединственности требуется подходящим образом осуществить выбор решения и проследить, как этот выбор отражается на процедуре усреднения, на усредненной матрице и тд

Целью работы является получение операторных оценок для вырождающихся эллиптических уравнений, при этом требуется учесть явление неединственности и осуществить подходящий выбор решения

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, методы функционального анализа, гармонического анализа, методы двухмас-штабных разложений, теория весовых соболевских пространств

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты являются новыми На защиту выносятся следующие основные результаты

1. Для вырождающихся симметрических эллиптических уравнений, когда коэффициент диффузии не отделен от нуля и бесконечности, доказаны Ь²-оценка и проинтегрированная оценка разности между точным решением исходной задачи и так называемым первым приближением, а также оценка разности между точным решением исходной задачи и его сглаженным первым приближением Указанные оценки получены для решений двух основных типов для .й-решений и W-решений

2. Для несимметрических эллиптических уравнений доказаны проинтегрированная оценка разности между точным решением исходной задачи и его первым приближением, из которой, в частности, следует L²-оценка разности между решениями исходной и усредненной задач, при этом решение исходной задачи понимается в аппроксимационном смысле

3. Одним из способов выделения решения несимметрического эллиптического уравнения в условиях неединственности является обращение к эллиптической системе, для которой решение трактуется однозначно Изучено усреднение такой системы уравнений, доказана ²-оценка разности между точным решением исходной задачи и решением соотвегству-

¹³De Arcangehs R , Serra Cassano F On the homogemzation of degenerate elliptic equation m divergence form // J Math Pures Appl - 1992 - Vol 71 - P 1-20

¹⁴Жиков В В Замечание о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с младшими членами // Функц анализ и его приложения - 2004 - Т 38 Вып 3 - С 15-28

ющей усредненной задачи

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты и развитые в ней методы носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении математических моделей физических процессов в микронеоднородных средах

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы "(Суздаль, 2006 г), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (2005 - 2007 г г)

Многие вопросы, затрагиваемые в работе, неоднократно обсуждались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В В Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете (2005 - 2007 г г)

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7]

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, содержащих 13 параграфов, и списка литературы из 40 наименований, включая работы автора Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста

Похожие диссертации на Операторные оценки в задачах усреднения вырождающихся эллиптических уравнений

Об оценках решений задачи Коши для уравнений типа Шредингера в пространствах Lp и BpqШлекис, Пятрас Пятрович

Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа Глушкова Дарья Игоревна

Гельдеровские оценки и разрешимость начально-краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-параболического типаБейсенбаева, Кулняр Адамбаевна

Априорные оценки и разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классахКурмушев, Иляу

Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядкаБыстрецкий, Михаил Васильевич

Усреднение уравнений Навье-Стокса в областях с дробнозернистой границейНиколаева, Елена Георгиевна

Об усреднении решений уравнения Пуассона в перфорированных областях с различными краевыми условиями на границе разных полостей Воробьев Антон Юрьевич

Глобальная разрешимость и двухмасштабное усреднение системы уравнений продольных колебаний вязкоупругопластического материала ИшлинскогоГошев Иван Алексеевич

Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом Соболевский Евсей Павлович

Развитие теории метода усреднения для дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемымиХатламаджиян Гаспар Лусегенович