Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче об определении коэффициента поглощения 7
Постановка задачи и основной результат 7
Дифференциальные свойства решения прямой задачи 8
Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод 14
Доказательство теоремы 1.1 19
Глава 2. Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения 21
Постановка задачи и основной результат 21
Доказательство теоремы 2.1 23
Доказательство теоремы 2.2 32
Глава 3. Оценка устойчивости решения в одной обратной задаче для системы уравнений Максвелла 35
Постановка задачи и основной результат 35
Дифференциальные свойства прямой задачи 37
Доказательство теоремы 3.1 40
Энергетические оценки для функций Н и Е 45
Список литературы 49
- Дифференциальные свойства решения прямой задачи
- Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод
- Постановка задачи и основной результат
- Дифференциальные свойства прямой задачи
Введение к работе
Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопросов устойчивости решения обратных задач для многомерных гиперболических уравнений в постановках с минимальной по размерности информацией о решении прямой задачи.
Актуальность темы. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как: сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Обратные задачи, связанные с уравнениями гиперболического типа, изучались многими авторами, в частности Ю. Е. Аникононым [1], [24], [25], М. И. Белишевым [2], [3] А. С. Благовещенским [4], А. Л. Бухгеймом [6], С. И. Кабанихиным [11], М. В. Клибановым [7], М. М. Лаврентьевым [12], [13], В. Г. Романовым [18].
Доказательство теорем единственности и устойчивости в задаче восстановления коэффициента внутри некоторой ограниченной области D даже для оператора
в трехмерном пространстве, вызывает определенные трудности. Первая теорема единственности была получена Ю. М. Березанским [5] в сильно переопределенной постановке. В дальнейшем обратные задачи для оператора Lq были постоянным объектом исследований. В ряде случаев предполагалось, что точечные источники возмущений, расположенные вне D, пробегают некоторое множество и коэффициент q(x) известен вне D [18], [20]. В других работах ([6], [7]) считались известными и отличными от нуля начальные данные для уравнения Lqu = 0, носитель которых совпадает с замыканием D.
В. Г. Романовым в работе [17] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для
оператора Lq при фиксированном точечном источнике. Этот метод использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи, то есть в качестве данных обратной задачи задаются функции, зависящие от такого же количества переменных, что и решение прямой задачи. В последствии данный метод был применен к другим многомерным задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, М. Yamamoto, Д, И. Глушковой.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
В первой главе диссертации рассмотрена проблема нахождения коэффициента а = а{х) при первой производной по времени в задаче Коши для уравнения гиперболического типа:
utt~ Аи + а(х)щ ~ S(x2it), гф<0 = 0, (ж,і) Є Ж3.
Предполагается, что носитель искомого коэффициента содержится вне источника, в полуплоскости Ш^, = {х М2|ж2 > 0}, а сам коэффициент восстанавливается в некоторой ограниченной области D С R+ с границей 0D класса С1.
В качестве дополнительной информации для нахождения коэффициента <т(х) задаются следы решения прямой задачи и(х, t) вместе с первыми производными на некоторой ограниченной цилиндрической поверхности в пространстве R3. В предположении малости коэффициента а получена оценка условной устойчивости но данным задачи. Для доказательства условной устойчивости использовалась модификация метода предложенного В. Г. Романовым для восстановления коэффициента перед младшим членом гиперболического уравнения [17], [27]. Результаты этой главы опубликованы в работе [9].
Во второй главе диссертации рассмотрена задача об определении двух коэффициентов сг(х), q(x) гиперболического уравнения:
и«-Аи + ощ + qu = 28(t) S(x * v), (ж, <) б І3,
с начальным условием іф<о = 0.
Коэффициент а(х) стоит перед первой производной по времени, а коэффициент q{x) перед младшим членом. Предполагается, что эти коэффициенты малы в некоторой норме и их носители содержатся внутри круга D := {х Є Е2| \х — х\ < г}. Источник, инициирующий колебания, имеет
вид импульсной функции 6(t) 5(х ^), локализованной на прямой t — О, х v = 0. Здесь и — единичный вектор, играющий роль параметра задачи.
Акустическое поле, вызванное этим источником, приложенным вне D, измеряется в точках границы области D вместе с производной по нормали на некотором временном интервале фиксированной длины Т, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для двух различных значений параметра v.
Данная постановка является «объединением» постановок задачи об определении коэффициента при первой производной по времени и задачи восстановления коэффициента при младшем члене. В работах [9], [16], (17], [27] и монографии [26] предложен новый метод получения оценок условной устойчивости решения задач определения коэффициентов гиперболического уравнения, использующий минимальную, но размерности, информацию о решении некоторой прямой задачи для этого уравнения. Применение этого метода для случая, когда подлежат определению несколько коэффициентов линейного гиперболического уравнения, стоящих перед производными разных порядков, вызывает определенные трудности и требует модификации техники, использовавшейся ранее.
Доказано, что при достаточно большом Т, задаваемая информация (измерения от двух источников) однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи. Результаты этой главы опубликованы в работах [10], [21].
В третьей главе диссертации рассмотрена задача об определении коэффициента проводимости среды для системы уравнений Максвелла в предположении, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды постоянны. Коэффициент проводимости представляет собой гладкую функцию с финитным носителем- Электромагнитное поле индуцируется источником плоских волн, расположенным вне области, в которой подлежит определению искомый коэффициент. В качестве информации задаются следы компонент вектора магнитной напряженности и их нормальных производных на боковой поверхности цилиндрической области для некоторой прямой задачи. При условии малости коэффициента проводимости среды и его принадлежности определенному функциональному классу получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи. Для доказательства использовалась модификация метода
*
предложенного В. Г. Романовым в работе [19]. Результат этой главы опубликован препринтом [8] и докладывался на конференции «MAG-2003» (International conference on mathematical geophysics, Новосибирск, 8-12 октября 2003 г.).
Дифференциальные свойства решения прямой задачи
В. Г. Романовым в работе [17] был предложен новый метод получения теорем единственности и устойчивости решения обратной задачи для оператора Lq при фиксированном точечном источнике. Этот метод использовал минимальную по размерности информацию о решении прямой задачи, то есть в качестве данных обратной задачи задаются функции, зависящие от такого же количества переменных, что и решение прямой задачи. В последствии данный метод был применен к другим многомерным задачам для гиперболических операторов В.Г Романовым, М. Yamamoto, Д, И. Глушковой.
Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе диссертации рассмотрена проблема нахождения коэффициента а = а{х) при первой производной по времени в задаче Коши для уравнения гиперболического типа: Предполагается, что носитель искомого коэффициента содержится вне источника, в полуплоскости Ш , = {х М2ж2 0}, а сам коэффициент восстанавливается в некоторой ограниченной области D С R+ с границей 0D класса С1.
В качестве дополнительной информации для нахождения коэффициента т(х) задаются следы решения прямой задачи и(х, t) вместе с первыми производными на некоторой ограниченной цилиндрической поверхности в пространстве R3. В предположении малости коэффициента а получена оценка условной устойчивости но данным задачи. Для доказательства условной устойчивости использовалась модификация метода предложенного В. Г. Романовым для восстановления коэффициента перед младшим членом гиперболического уравнения [17], [27]. Результаты этой главы опубликованы в работе [9].
Во второй главе диссертации рассмотрена задача об определении двух коэффициентов сг(х), q(x) гиперболического уравнения: с начальным условием іф о = 0.
Коэффициент а(х) стоит перед первой производной по времени, а коэффициент q{x) перед младшим членом. Предполагается, что эти коэффициенты малы в некоторой норме и их носители содержатся внутри круга D := {х Є Е2 \х — х\ г}. Источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции 6(t) 5(х), локализованной на прямой t — О, х v = 0. Здесь и — единичный вектор, играющий роль параметра задачи.
Акустическое поле, вызванное этим источником, приложенным вне D, измеряется в точках границы области D вместе с производной по нормали на некотором временном интервале фиксированной длины Т, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для двух различных значений параметра v.
Данная постановка является «объединением» постановок задачи об определении коэффициента при первой производной по времени и задачи восстановления коэффициента при младшем члене. В работах [9], [16], (17], [27] и монографии [26] предложен новый метод получения оценок условной устойчивости решения задач определения коэффициентов гиперболического уравнения, использующий минимальную, но размерности, информацию о решении некоторой прямой задачи для этого уравнения. Применение этого метода для случая, когда подлежат определению несколько коэффициентов линейного гиперболического уравнения, стоящих перед производными разных порядков, вызывает определенные трудности и требует модификации техники, использовавшейся ранее.
Доказано, что при достаточно большом Т, задаваемая информация (измерения от двух источников) однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи. Результаты этой главы опубликованы в работах [10], [21].
В третьей главе диссертации рассмотрена задача об определении коэффициента проводимости среды для системы уравнений Максвелла в предположении, что диэлектрическая и магнитная проницаемости среды постоянны. Коэффициент проводимости представляет собой гладкую функцию с финитным носителем- Электромагнитное поле индуцируется источником плоских волн, расположенным вне области, в которой подлежит определению искомый коэффициент. В качестве информации задаются следы компонент вектора магнитной напряженности и их нормальных производных на боковой поверхности цилиндрической области для некоторой прямой задачи. При условии малости коэффициента проводимости среды и его принадлежности определенному функциональному классу получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи. Для доказательства использовалась модификация метода предложенного В. Г. Романовым в работе [19]. Результат этой главы опубликован препринтом [8] и докладывался на конференции «MAG-2003» (International conference on mathematical geophysics, Новосибирск, 8-12 октября 2003 г.).
Устойчивость по данным задачи и а, Ь, с-метод
В силу леммы 2.1, функция R(x,t, и) является при достаточно малых ?о непрерывной и ограниченной функцией переменных х, t вместо с производными до третьего порядка, поэтому справедливы оценки: где / := flk)-ff\ $ := pjfc) - - Из неравенств (2.53), (2.54), (2.56) следует выполнение соотношений (2.4) теоремы 2.1.
Докажем вначале следующую лемму. Лемма 2.3. Пусть ( ,) Є A(qo) и Uj(x,t,i/) соотнетстнующсе решение задачи (2.1), (2.2) для j = 1,2. Тогда 1) если щ(х,,u) = U2(x t u) на S(v), то (V«i n)(x,t,v) = (Vu2 n)(x,t, v) на S{v), 2) если u\{x,t,v) = U2(x7t,u) на 0 ) и (V«i n)(x,t,v) = (V«2 n)(x, t,v) на S{v)f то щ(х,і, if) — U2(x,t,if) на S(y). Доказательство. Обозначим її = щ — иг- Покажем, что при выполнении условий леммы коэффициент ao(x, v) в разложении (2.7) функции и равен нулю вне области D. Действительно, имеют место равенства 5о[ам;=о — 0 (см. соотношение (2.10) для 5) и ао(х,и) — її(х, \х-v\ + 0,//). Кроме того, вне области D выполнено дифференциальное уравнение первого порядка V5 v = 0. При выполнении условий леммы имеем 5Q(X, v) = 0 для х Є dD. Отсюда, с учетом предыдущих соотношений на 5 следует, что 5?о(, v) = 0 для всех х не принадлежащих D. Не ограничивая общности, положим и = (1,0) и рассмотрим область Р{1) := Рі(/)иР2(0 з(0і составленную из прямоугольного куска клиновидной области и двух полуконусов. Здесь области Pk(l), к = 1,2,3, определены равенствами Рх(/) = {{x,t)\ 0 t Т-\-1 — \хг — /[, х% — г х2 ж + г}, Р2(1) = {ОМ)0 t Т + 1- \х-х{%х2 А -г}, P3(l) - {(ar,f)0 t Т + I - \х - х&\х2 х\ + г}, в которых х — (l,xl - г), х{2) — {1,х% + г). При I -х\ + г область Р(1) содержит в себе область G(y), причем Ет( ) принадлежит части границы области Р{1). Для дальнейшего примем, что условие I х\-\- г выполнено. Граница области Р(1) состоит из характеристической поверхности и куска плоскости t = 0. Обозначим через G {v) цилиндрическую область G := {(х, t)\x Є D, 0 t Т -j- х і/}, через Рг{1) множество P(l) \ G и через S часть его границы, общую с G , а именно, 5 := {(#,)! х Є dD, 0 t Т + х }. Из полученного выше равенства 5о(ж, и) — 0 для всех х не принадлежащих D следует, что u(x,t, v) = 0 для точек множества Р {1) принадлежащих характеристическому клину t = \х и\ + 0. Так как wj( b.j/ — 0, то функция w(x, t, v) непрерывна в Р {1) на множестве t = \х f и поэтому, в силу леммы 2.1, принадлежит H1(P (Z)). Кроме того, функция и(х, t, и) удовлетворяет условиям и = 0, (х, і) Є Р {1)\ Щыо = ut\t=o = 0. (2.57)
Покажем, что при выполнении условий леммы u(x,t,i/) = 0 для всех (ж, і) Є P (l)- Возьмем произвольное т Є (0, Т +/). Обозначим через Р т{1) часть области Р {1), заключенную в слое {(х, t)\ 0 t т} и через Ст{1) сечение области Р (1) плоскостью t = т. Интегрируя по области Р (1) тождество и используя неотрицательность квадратичной формы из первых производных на характеристической поверхности и нулевые данные Коти при t О, находим,что
Здесь S T — часть поверхности Sf, заключенная внутри слоя {(:c,)j0 t г}. Так как в силу условия леммы либо її, либо Vw п обращаются в нуль на S , то из предыдущего равенства вытекает, что щ — 0, Vw = 0 для (ж, t) Є Ст{1) и, следовательно, щ = 0, Vu = 0 для всех (х, t) Є Р {1)-, в силу произвольности г (0, Т + /). Отсюда следует, что її = 0 для (ж, t) Є -Р (О) и утверждение леммы становится очевидным. Из доказаной леммы и теоремы 2.1 вытекает справедливость теоремы 2.2.
Постановка задачи и основной результат
Из (3.28) с учетом того, что у оператора J(qj коэффициеты при qx и q не превосходят постоянной вида Са , имеем: с некоторой другой постоянной С. Откуда, с учетом вида правой части /, следует оценка L2-нормы Aq: ІІНЧВ) Для получения замыкающей оценки применим к функции if неравенство Hh(B) с[іІЛ«ІІь2(в) + ІМІЇ мо + KIlLfcm) + ІІ"«:ІІЬа(вЯ)] с постоянной С, зависящей только от R, которое верно для любой С2-гладкой в области В функции и(х) (см. [19, с. 203]). Тогда из (3.30) для достаточно малых и вытекает оценка \№\2н (в) С [\\M\h(B) + ИЯ1!я(а ) + \Ш\1(дв) + llfellL(aB)].
Из соотношения (3.9) следует, что і?2-норма q по границе области В отлична от нуля на пересечении с множеством «тени». Для точек множества «тени» соотношение (3.25) можно переписать в виде Так как область, гдр коэффициент а отличен от нуля, содержится строго внутри шара В (т.е dist(di?, suppc) = d 0), то из соотношения (3.31) можно оценить все требуемые производные от дна дВ через производные от сщ на дВ. Таким образом получаем замыкающую оценку Mh(m С [Ш\ячв) + Ц5я!р(вв)], (3-32) где постоянная С = C(R, Т, x,a ,d). Объединение оценок (3.23), (3.24), (3.26) и (3.32) с учетом малости а доказывает утверждение теоремы 3.1. 3.4. Энергетические оценки для функций Я и Е Применим к системе (3.8) метод энергетических оценок. Данный метод подробно изложен в работах [23, с. 163], [14, с. 201]. Обозначим через Г2(іі) сечение области Ку плоскостью t = t\. Умножим первое из уравнений (3.8) скалярно на 2Ht, а второе - па 2Е. Проинтегрируем полученные соотношения: Используя формулу интегрирования по частям, равенства (3.33) можно преобразовать к виду Здесь 5i() - часть конической поверхности, заключенная между характеристической поверхностью t = жі и плоскостью t = const, a $2 ) - объединение двух областей, отсекаемых конусом t = Т — \х — х\ и плоскостью t = const на поверхности t = жі. Поверхность S\{t) ориентирована пространственно-характеристическим образом, т.е. на ней выполняются неравенства cos2(n,) — Y \CQs2{nix%) 0 и cos(n,t) 0. Следовательно, интегралы по Si(t) неотрицателены, а из равенств (3.34) вытекают оценки Применим к (3.38) неравенство Гронуолла и учтем граничные условия: т J {L(t) + K(t) + M(t)) dt С j(/3яі2 + \((3H)X\2 + \(3Е?) dx. (3.39) о рт« Коэффициенты / и 0Е выражается через производные от а до второго порядка. Тогда из (3.39) (так как а Є Л(а )) следует, что Н H Kj ), Е Є І О г ) и Для них справедливы оценки вида: НЯЦн Крт) Скс»(РгО П Цья(Кг-) СІМІс р.,..). Последовательно дифференцируя (3.8), рассмотрим задачи для всех производных от (Я, Е) до третьего порядка включительно. Вычислим значения всех производных от (Н, Е) до третьего порядка включительно на поверхности t = \х\\ + 0. Для этого продолжим разложение решения задачи (3.8) в области Кг»: 3 H(x,t) = fa(x) + J H{x)9i{t - \хх\) + H(x, t), E(x,t) = fe{x) + )4Wft( - Ы) + Ё(х,t), где 6j[i) = ігво(і)/(і\), и функции H(x,t) и E(x,i) непрерывны при переходе через поверхность t — \х\\ вместе с производными до третьего порядка включительно. Непосредственные вычисления дают, что коэффициент / выражается через А/?н и следовательно, через производные от а до четвертого порядка. Коэффициенты /ЗгНі г — 2, 3 выражаются через Л/?] "1. Применив к задачам для производных метод энергетических оценок, получим что Отсюда, после применения теоремы вложения с учетом а Є Л(ст ), следуют оценки (3.12).
Дифференциальные свойства прямой задачи
Так как для решения задачи (1.7) справедливо равенство й( х2 — О [18, с. 130], то в области Кг функция й удовлетворяет соотношениям Ьай = Да, «l i j = 0. Далее, используя энергетические неравенства [18, с. 131; 23, с. 163] и теоремы вложения [15, с. 49], с учетом того, что Да Є H6(Pr )j можно показать, что функция й непрерывна в Кг . Множество Рт« — это проекция Кг на пространство Ш2. Из дифференциального уравнения (1.5) и начального условия (1.6) с учетом того, что supp т{х) С R+, имеем и соотношение (1.3). Лемма 1.1 доказана.
Теперь получим априорную оценку функции щ(х,і) для а Є (с ) в области Kj-.. Положим и = щ. Из равенств (1.4) и (1.7) имеем, что где регулярная часть функции ш = &{х,і) является решением задачи Коши
Доказательство. Проведем его с помощью метода энергетических оценок [23, с. 163]. Заметим, что этот метод не применим к оценке производных G)t и и)Х2, так как у них возникают сингулярные особенности на характеристической поверхности t = ж2. Поэтому представим функцию Си(х, t) в виде где w[( r2 = 0 и не имеет разрывов при t = [ж2 Покажем, что / Н2(Кг ) и о) Є H2(Kj ). Отсюда и из равенства w = Д) + w, которое имеет место в области Кг , будет следовать, что й Н2(КГ.). Подставляя разложение (1.11) в уравнение (1.9), аналогично лемме 1.1 получим, что функция L)(xyt) является решением задачи Коши LaCj = A/30e0(t-\x2\), wi 0 = 0, (x,t)R3, (1.12) а коэффициенты ро(х) и а(х) связаны соотношением T8Q + 2signar2 -г— = Д -cte2 Разложим функцию w(#,i) в окрестности угловой поверхности t = яг2: i(r,t) = A(# - z2) +/ВД02( - И) +ш(г,0, где в\(z) — z во(г), #2(2) = ( 2/2) о(2)? а Ікх2І = 0 и вместе со своими производными до второго порядка включительно не имеет разрывов при t = х2. Отсюда найдем значения функции ш и се производных до второго порядка на сторонах характеристического угла: Wte, \t=\x2)+0 - —Q , tx2\t=\x2\+0 = - Р2{Х)5ЩПХ2 + — Коэффициенты ct и /?j, г = 0,1,2, рекуррентио связаны друг с другом: Учитывая формулу (1.8) и проводя непосредственные вычисления, получим, что функции /?0, АДь дАРо/дхи дАро/дхъ, /За, А/За, / выражаются через функцию а(х) и ее производные до шестого порядка включительно. Теперь применим к задаче (1.12) метод энергетических оценок. Перепишем ЄЄ ДЛЯ ТОЧеК (х, І) Кг В ВИДЄ LaLJ = ДД), wt=a:2 — 0. Обозначим через B(ti) сечение области Кг плоскостью t = t\. Рассмотрим для є[0,Т ] следующее соотношение: и применяя формулу интегрирования по частям, равенство (1.13) можно преобразовать к виду где через а;2 обозначено выражение X)i( .-)2 a поверхности 5j(i), г = 1, 2 определены следующим образом. i() - часть конической поверхности, заключенная между характеристической поверхностью і = хг и плоскостью t = const, a S2(t) объединение двух областей на поверхности t = ]х2І, отсекаемых конусом t = Т — \х — х и плоскостью t = const. Рассмотрим в формуле (1.14) интеграл по поверхности 5i(i), которая ориентирована пространственно-характеристическим образом, т.е. на ней выполняются неравенства Умножив подынтегральное выражение соответствующее второму члену на cos(n, ), получим заведомо положительную величину.
