Содержание к диссертации
Введение
1 Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса 12
1.1 Вспомогательные сведения из теории пространств Орлича 13
1.2 Сильная аппроксимация слабых пределов 15
1.3 Уравнения Навье-Стокса 19
2 Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича 23
2.1 Существование обобщенного решения 24
2.2 Единственность решения 32
3 Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды . 36
3.1 Постановка задачи 36
3.2 Формулировка эквивалентной задачи 38
3.3 Осреднения и лаграпжевы координаты 41
3.4 Априорные оценки 43
3.5 Оценки сверху и снизу для плотности 44
3.6 Доказательство теоремы существования 47
Литература 51
- Вспомогательные сведения из теории пространств Орлича
- Уравнения Навье-Стокса
- Существование обобщенного решения
- Формулировка эквивалентной задачи
Введение к работе
В диссертации излагается применение теории пространств Орлича и метода усреднений к решению краевых задач, возникающих в нелинейном движении вязких жидкостей. Рассматриваются следующие вопросы.
Вспомогательные сведения из теории пространств Орлича
В диссертации излагается применение теории пространств Орлича и метода усреднений к решению краевых задач, возникающих в нелинейном движении вязких жидкостей. Рассматриваются следующие вопросы. Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Теорема существования и единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка. Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды. 1. Модель Навье-Стокса сплошной среды. В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости, которая имеет вид (см. [1],[2]): В системе (1) приняты следующие обозначения: р— плотность жидкости, и— скорость, /- заданные внешние массовые силы, Р— тензор напряжений, операторы div и V суть дивергенция и градиент по пространственным переменным х, a t время. В декартовой системе координат г— я компонента вектора divP равна -1, где п— число пространственных переменных.
Исследование разрешимости системы (1) началось с результатов о локальном по времени существовании и единственности классических решений. Это работы J. Serrin a [3] 1959 года и J. Nash a [4] 1962 г. Первый поставил основные начально-краевые задачи для уравнений вязкой сжимаемой жидкости и доказал единственность их классических решений. Второй установил локальное существование классического решения задачи Коши. Несколько усовершенствовали эти результаты N. Itaya [5] в 1970 г. и Вольперт с Худяевым [6] в 1974 году. Для смешанных задач разрешимость в малом получена A. Tani [7] в 1972 году и В.А. Солонни-ковым [8] в 1976-м.
Первые результаты о глобальной разрешимости (1) появились на рубеже 1960-70-х годов и затрагивали одномерные движения с плоскими волнами (см. Я.И. Канель [9]), для более общей модели теплопроводной жидкости, это работы А.В. Кажихова, В.В. Шелухина, N. Itaya, В.А. Вайганта, и других авторов [9]-[20] (см. также книгу С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н.Монахова [21] и литературу, указанную в ней). Глобальная разрешимость многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды является на данный момент очень актуальной проблемой далекой от своего полного решения. Поэтому важное значение имеет каждый результат, касающийся того или иного подхода к многомерному случаю. Одним из подходов является изучение более простых моделей. Наиболее известные из них - это квазистационарная модель и модель в приближении Стокса. Эти приближения исследуются в публикациях С. Bernardi and O.Pironneau (1991 год) [22] , А.В. Кажихова [23], А.Е. Мамонтова [24], В.А. Вайганта [25], Lu Min, A.V. Kazhikhov and Seiji Ukai [26] и др.
Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости (газа), без каких-либо упрощений, вопрос о глобальной разрешимости рассматривался в работах М. Padula [27], P.L. Lions [28],[29], В.А. Вайганта и А.В. Кажихова [30], Е. Feireisl [31] и некоторых других.
В океанографии используется приближение уравнений Навье - Стокса, называемое приближением мелкой воды. Оно получается из общей системы при помощи ассимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина много меньше ширины. Подробнее о таком анализе можно прочитать, например, в [32]. Приближение мелкой воды в нашем случае заключается в замене уравнения для вертикальной составляющей скорости на уравнение гидростатики. Первым кто предложил этот приём был, по-видимому, Н.Е. Кочин [33].
В трехмерном случае, когда по одной из координат закон сохранения импульса имеет гидростатический вид, а давление постоянно, разрешимость этой задачи была исследована В.И. Сухоносовым [34]. В случае несжимаемой жидкости задача корректности модели мелкой воды рассматривалось в работах [35]-[37]. Несмотря на успехи описанные выше для общей системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой среды, разрешимость уравнений приближения мелкой воды в этом случае пока изучена мало.
Что касается проблемы разрешимости уравнений вязкой несжимаемой однородной жидкости, которые получаются из (1) в предположении р const, то этой модели посвящено большое число работ. Одни из первых были работы J. Leray [38]-[40], о существовании классических решений (опубликованы в 1933-34 годах). Б. Hopf [41] в 1950 установил существование в целом по времени слабого решения, но класс, в котором были построены решения, оказался слишком широким , чтобы показать единственность. Указать классы, в которых имеется единственность, удалось О.А. Ладыженской. В начале 1960-х гг. В.А. Солонников и К.К. Головкин усовершенствовали результаты Е. Hopf а (см. [42)-[43]). О.А. Ладыженская доказала существование и единственность в .целом по времени решений краевых задач для двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости [44]-[45], трехмерной с осевой симметрией [46] и глобальную разрешимость трехмерной системы общего вида с вязкостью , являющейся растущей функцией от инвариантов тензора скоростей деформаций [47]. Эти результаты изложены в монографии О.А. Ладыженской [48].
Уравнения Навье-Стокса
Пусть О, есть ограниченная область пространства Rd с гладкой границей Г. Пусть т(г) функция, определенная на [0, сю), непрерывная справа, неотрицательная, неубывающая и такая, что Тогда выпуклая функция называемая функцией Юнга, порождает класс Орлича Км(ІЇ), состоящий из функций f(x) Є Ll(Q) таких,что функция M(\f(x)\) также принадлежит пространству Ll(Q), Линейная оболочка множества Км(Гї), снабженная нормой n образует пространство Орлича Ьм(&)- Замыкание пространства функций L{Cl) в норме (1.1) образует, вообще говоря, другое пространство Орлича, обозначаемое Е (0,), причем имеют место включения Говорят, что функция Юнга удовлетворяет Дг-условию, если существуют константы С 0 и to 0 такие, что Пространства Ем, Ьм и класс Орлича Км совпадают тогда и только тогда, когда функция M(t) удовлетворяет Дй-условию. Обозначим через n(s) — sup{r I m(r) s} правую обратную функцию к т(г). Введем функцию х Она является функцией Юнга и называется дополнительной к функции M{t). Для произвольных функций f(x) Є LM{Щ И д(х) Ljj(Q) существует интеграл f,g == I f(x)g(x) dx, который определяет линейный непрерывный функционал на#]д(П), что позволяет ввести понятие слабой сходимости в LM(Q): последовательность fn{x) сходится слабо к f(x) Є LM{&), fn Л если ЛіJ 5 — /,5 для любого д є Е- (ІІ) при п — оо. Говорят, что последовательность функций fn{x) LM{&) СХОДИТСЯ В среднем к функции f(x) Є LJI/(S7), если lim [M(\fn{x)-f(x)\)dz = Q. (1.2) №—»00 J и Если M(t) удовлетворяет Дї-условию, сходимость в среднем совпадает с сильной сходимостью. Подробнее о пространствах Орлича см. [59]. Наконец, для любой функции f(x) Є L1 ) и h 0 определим усреднение: где u){z) ядро усреднения: Последовательность функций Д сходится в среднем к функции /, когда радиус усреднения h — 0. В случае, когда M(t) удовлетворяет Д2-условию, имеет место сильная сходимость: ИЛ - /1к«(П) -" 0 при h -+ 0. 1.2 Сильная аппроксимация слабых пределов Пусть последовательность функций Л (ж) (п — 1,2,...) из пространства Орлича Дм-(Гї) сходится слабо в Ьм{&) к функции f(x) при п - со. Для каждого элемента последовательности fn(x) построим семейство усредняющих функций (fn)h(x). Теорема 1 Пусть функция M(t) удовлетворяет Дг- условию, тогда существует подпоследовательность (/т)дт такая, что II/ - {fm)hJ\LM[Q) 0 при т -+ со, hm 0. Если M(t) произвольная функция Юнга, то существует подпоследовательность {fm)km, сходящаяся к f в среднем. Доказательство. Одномерный случай, усреднение Стеклова. Рассмотрим случай, когда d = 1, х Є Я1, и fn(x) — /(аг) слабо в LM(Q), где М() удовлетворяет Дг-условию. Для простоты изложения возьмем fn(x) периодическими, с периодом Т — const 0. Без ограничения общности, можно положить f{%) — 0, т.е. fn{x) — 0 слабо в LM{0, Т). Рассмотрим усреднения функций /„(ж), x+h x—h Их можно представить в виде (fn)h(x) = тп:( гі{х + )- Fn(x — h)), 2/i x где Fn(x) — I fn()d (n = 1,2,...)— последовательность, элементы о которой не зависят от h. Последовательность Fn(x) можно оценить sup\Fn(x)\ C, \\К( )\\ыоп С с константой С, не зависящей от п. Из компактности вложения следует, что существует подпоследовательность Fm(x) (m — 1,2,...), сходящаяся к нулю сильно в Ьм{,Т), т.е. существует последовательность Cm (т = 1,2,...) такая.
Существование обобщенного решения
Что касается проблемы разрешимости уравнений вязкой несжимаемой однородной жидкости, которые получаются из (1) в предположении р const, то этой модели посвящено большое число работ. Одни из первых были работы J. Leray [38]-[40], о существовании классических решений (опубликованы в 1933-34 годах). Б. Hopf [41] в 1950 установил существование в целом по времени слабого решения, но класс, в котором были построены решения, оказался слишком широким , чтобы показать единственность. Указать классы, в которых имеется единственность, удалось О.А. Ладыженской. В начале 1960-х гг. В.А. Солонников и К.К. Головкин усовершенствовали результаты Е. Hopf а (см. [42)-[43]). О.А. Ладыженская доказала существование и единственность в .целом по времени решений краевых задач для двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости [44]-[45], трехмерной с осевой симметрией [46] и глобальную разрешимость трехмерной системы общего вида с вязкостью , являющейся растущей функцией от инвариантов тензора скоростей деформаций [47]. Эти результаты изложены в монографии О.А. Ладыженской [48].
Многочисленные применения в математической физике имеет скалярный закон сохранеия Изучению этого квазилинейного уравнения первого порядка посвящено множество работ (см. например, [49]-[52]). О результатах для систем таких уравнений можно ознакомиться в [54]- [56].
Кружковым С.Н. в [49] была построена нелокальная теория обобщенных решений задачи Коши для уравнения (2) в классе ограниче-ных измеримых функций. От функций /, требовалось, чтобы они были непрерывны вместе с производными /ш, /тХ], flXlXj, а функции /ш((, х, и) и fiXl{tixiu) ограничены в области определения. В работе [50] изучена задача Коши для (2) в классе локально - суммируемых функций в предположении, что fi{u) не зависят явно от а; и являются равномерно непрерывными в R. Что существенно ограничивает рост рассматриваемых нелинейностей.
Математические проблемы механики сплошных сред всегда сопряжены с задачами математического анализа, общей теорией дифференциальных уравнений и другими разделами математики. Теория пространств Орлича также имеет применение в задачах механики см. [20], [24], [57].
Пространства Орлича-это нормированные пространства, частным случаем которых являются пространства Лебега Lp. Впервые были введены В. Орличем в [58]. В настоящее время они применяются в различных разделах математики. Наиболее подробно и систематически пространства Орлича были впервые описаны в [59] Красносельским М.А. и Ру-тицким Я.Б. Ими же были доказаны многие основные положения общей теории данных пространств. Выяснилось, что пространства Орлича во многих отношениях подобны пространствам Лебега. В этой же кни 9
ге авторы показали преимущество использования этих пространств при изучении некоторых нелинейных уравнений. О современном положении теории пространств Орлина можно судить по работам СИ. Похожаева [60], A. Cianchi [61], Б.В. Трушина [62].
Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых разбита на разделы. Нумерация определений, формул, утверждений и т.п.- своя в каждой главе.
В первой главе доказано, что слабый предел некоторой последовательности функций в пространстве Орлича может быть аппроксимирован в сильном смысле подпоследовательностью усредненных функций с радиусом усреднения, стремящимся к нулю достаточно медленно. Аппроксимация такого рода может быть использована для усиления сходимости последовательности приближенных решений уравнений в частных производных. В частности, для доказательства существования решений уравнений Навье-Стокса в [48] строится слабо сходящаяся последовательность решений. Указано, в каком смысле решения удовлетворяют уравнениям после усреднения. Следует отметить, что результаты этой главы являются обоснованием метода сглаживания, возникающего в вычислительной математике.
Глава два посвящена исследованию квазилинейного уравнения первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2) в предположении, что начальные данные принадлежат некоторому пространству ОрличаЬд/, а рост функций ft(t,x,u) ограничивается функцией порождающей это пространство. И, тем са мым, получены достаточные для существования решения ограничения на рост функций /t(,x,и).
В третьей главе доказана глобальная разрешимость начально - краевой задачи для модели двумерной вязкой сжимаемой жидкости, в приближении мелкой воды:
Формулировка эквивалентной задачи
Изучению этого квазилинейного уравнения первого порядка посвящено множество работ (см, например, [49]-[52]). О результатах для систем таких уравнений можно ознакомиться в [5 4] -[5 6].
Кружковым С.Н. в [49] была построена нелокальная теория обобщенных решений задачи Коши для уравнения (2.1) в классе ограниченых измеримых функций. От функций /t требовалось, чтобы они были непрерывны вместе с производными flu, fiuX}, fixtXji а функции ftu(t,x,u) и flXt(t,x,u) ограничены в области определения. В работе [50] изучена за 24 дача Коши для (2,1) в классе локально - суммируемых функций в предположении, что /г(и) не зависят явно от х и являются равномерно непрерывными в R. Это условие существенно ограничивает рост рассматриваемых нелинейностей. В этой главе доказаны теоремы существования и единственности решения задачи (2.1)-(2.2) в предположении, что начальные данные принадлежат некоторому пространству Орлича! , а рост функций /г(і,х,и) ограничивается функцией порождающей это пространство. И, тем самым, получены достаточные для существования решения ограничения на рост функций ft(t x u). Будем предполагать, что все функции периодические с периодом 12, и что и(х) Є LM{Q), гДе главная часть функции М является максимальной мажорантой функций /,. Функции /г(1,х,и) определены и непрерывно дифференцируемы ПрИ (t} Х) Є 7Г ґ и —оо и +оо. Определение 1 Функция и Є C([0,T\;Ll(Q,)) П L([0,T];LM{ 1)) называется обобщенным решением задачи (2.1)-(2.2), если 1) для любой неотрицательной функции ip(t, х) Є С (ТГТ) и любой константы к выполняется неравенство si Теорема 1 Пусть для функций ft при любом г существуют константы щ О, а О, с Є {с Є R+ I J M{ - )dx оо} такие, что sup \fi{u)\ aM( ) при \u\ щ, и пусть производные ./ ,(і,ж,и) {t,x) EKT неотрицательны. Тогда существует обобщенное решение задачи (2.1)-(2.2). Для доказательства теоремы нам понадобятся вспомогательные утверждения относительно гладких решений задачи »=1 и \t=o= и(х)- (2.4) Лемма 1 Пусть u(t, х) и v{t, х) решения задачи (2.3)-(2.4) с начальными данными и(х) и v(x) соответственно, функции ftXt(t,x,и) неотрицательны. Тогда для любых t [О, Т] IM{u{t,x))dx JM{u(x))dx, (2.5) п її / (u(i, a;) - v(t, x))dx / (u(ar) - u(a;))das, (2.6) j(ut(t,x))dx Jb( Kl + ! ,,!) &, 2.7) i= sup{/;(a):i = 1,..., n}. 1«1 Н"11с«ч. Доказательство Умножим (2.3) на производную от функции Юнга М(и) и проинтегрируем по щ I = JJ{{M{u))t + М (и)/И,( ,«) + + uxJl{t,x,u)M (u) - єАиМ (и)} dxdt = 0. Здесь и далее штрихами обозначены производные по и. Отсюда следует справедливость (2.5). Оценка (2.6) есть известный факт теории параболических уравнений (см., например, [53]). Для удобства читателя приведем его доказательство. Разность w = и — v удовлетворяет уравнению "
