Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Формулы следов для возмущенного оператора лапласа-бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком 25
1.1. Предварительные сведения 25
1.1.1. Многообразие ML 25
1.1.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML 30
1.1.3. Спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами . 36
1.2. Построение и вычисление регуляризованного следа возмущен
ного оператора Лапласа-Бельтрами на ML 39
1.2.1. Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = ~^мь + В и —Амь 42
1.2.2. Построение регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь + Я и —Амь 48
1.2.3. Сведение общей формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —А + q и кы 50
1.2.4. Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами 51
1.2.5. Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на ML 53
1.3. Задача нахождения регуляризованного следа оператора
Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения 59
1.3.1. Общий вид метрик в случае общего положения 59
1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения 61
1.3.3. Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии в случае общего положения 63
Приложение 70
Список литературы
- Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML
- Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = ~^мь + В и —Амь
- Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами
- Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии в случае общего положения
Введение к работе
Актуальность темы. Возникновение теории интегральных операторов Фурье послужило толчком для новых исследований в теории изучения спектра дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристическим потоком. Первые результаты, полученные в этом направлении (А. Вейнстейном1, Дж. Дейстермаатом и В. Гийеминым2 и др.) показали, что спектр таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра невозмущенного (отвечающего главному символу) оператора. В этой теории оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный оператором умножения на гладкую функцию на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком занимает особое место, как основная модель и как физически наиболее интересный случай.
Кратко обратимся к истории вопроса. Будем рассматривать Д — оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере S2 из R3. Пусть q — оператор умножения на комплекснозначную бесконечно дифференцируемую функцию на S2. Пусть также {Afc}^0 и {/-tfclfcLo ~~ собственные числа операторов —Д и —A + q соответственно, занумерованные с учетом кратности в порядке возрастания их действительных частей.
Спектр оператора — Д на S2 известен3:
Xki = k(k+1), (1)
к = 0,1,...; і = 1,..., Nf., с кратностью Nf. = 2к + 1.
Для собственных чисел оператора —A + q будем использовать двойную нумерацию yUfcj, согласованную с нумерацией А^.
1Weinstein A. The resolvent of an elliptic boundary problem. Fourier integral operators, quantization and the spectra of Riemmanian manifolds. - Colloque International de Geometrie Symplectique et Physique Mathematique CNRS Aix (Juin 1974). 1976.
2Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacterictics. - Invent.Math., 1975, vol. 29, p.39-79.
3Розенблюм Г.В., Соломяк M. 3., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов, Дифференциальные уравнения с частными производными - 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5-242.
В. Гийемин4 и Г. Видом5 изучили спектр оператора — Д + q на S2 и показали, что оценка
І№-Аь| = 0(1), i = l,...,Nk, (2)
получаемая методами теории возмущений6, может быть улучшена лишь для нечетных q (т.е. q(rx) = —q(x) для каждого х Є S2, где т-антиподальное отображение) до
І№ - Afcj| = О ( р- J , i = l,...,Nk, (3)
и О в (3) можно заменить на о только для q = 0.
А. Вейнстейн рассмотрел оператор — Д + В на компактном римано-вом многообразии X (мы приводим результат для двумерного случая), где В - псевдодифференциальный оператор нулевого порядка и показал, что для любой функции f(z), аналитической в некоторой области, содержащей последовательность {ц^— Afci}^0 і=о> (3Десь> аналогично предыдущим обозначениям, yUfcj - собственные числа возмущенного, a Xki - невозмущенного операторов) верно
^/(№-Аь) = ^2 / f(Bav)dv + 0(l),
i=o s,x
где S*X расслоение единичных сфер в кокасательном пространстве; dv -
канонический элемент объема S*X, Bav = — f (expfE.)*a(B)dt -символ
27г о
усреднения оператора В, здесь <т(В)-символ оператора В, S - гамильто-ново векторное поле на Т*X \ {0}. В.Гиейминым и А.Урибом8 это утверждение было распространено и на случай возмущения оператора Лапласа-
4Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere. - Adv. Math. 27, 273-286. 1978.
5Widom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere - Adv. Math. 31, 63-66. 1979.
6Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М. Мир. 1972.
7Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. Duke Math J., v.44, p.883-892, 1977
8Guillemin V., Uribe A. Spectral properties of a crtain class of complex potentials. - Trans, of the Amer. Math. Soc, v. 279, №, 759 - 771. 1983
Бельтрами комплексным потенциалом.
Таким образом, относительно асимптотического распределения собственных чисел оператора —Д +
Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида
Y^W-Ak(a))=B(a), (4)
где Afc - собственные числа оператора А, а Є К , а Ак(а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ 5^ означает или обычное суммирование или один из методов суммирования.
Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана9, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля с
потенциалом q(x), J q(x)dx = 0:
Х>-п2 ) = -<^М
п=1
Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.
В.Б. Лидским и В.А. Садовничим10 был предложен метод доказательства формул типа (4) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке
^Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.- ДАН СССР, 1953, том 88, №4, с.593-596.
10Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций.- Функц. анализ и его прил., 1967, том 1, №2, с. 52-59.
со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.
Даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды, и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом суммирования.
Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу11 В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мар-тиновича 1987 года. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского12, где рассматривался оператор Лапласа-Бельтрами возмущенный гладким нечетным веществен-нозначным потенциалом на двумерной единичной сфере S2. Этот оператор имеет кластерную асимптотику -ZV(A) и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула:
M0 + J2
к=0
" 2fc
Y^l*ki-k(k + l)(2k + l)
i=0
s2
Позже В. E. Подольский13, применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским 14 были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.
11Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. - ДАН СССР, 1987, том 293, №5, с.1062-1064.
12Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. - ДАН СССР, 1991, том 319, №1, с.61-62.
13Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на сфере S2. - Матем. заметки, 1994, том 56, №1, с.71-77.
14PodoPskii V. Е. On the summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. - Russian J. Math. Phys. 4, №1, 123-130. 1996
А.Н. Бобров предпринимал попытку15 найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы) и приведенную им формулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы S2 и произвольной комплекснозначной функции q Є С был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора, возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для q Є C2(S2)16, а в 2011 году для q Є Wf(S2)17, получили формулу регуляризованного следа:
оо 1к
Y. Z) ь» - к(-к+1^2к+х) - с] = 2сь
к=0 г=0
гДе со = Т- J «Hdw, С! = —-з J J ^ =dwdw0 - —- J qz{uj)duj,
An s2 S2n-\s2 s2 y/l - (oj,oj0)2 lD7Ts2
(ш, cJo) - скалярное произведение векторов w = (cos
Цель работы. Исследование задач спектральной теории операторов для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими одинаковой длины, метрики которых являются возмущениями стандартной метрики сферы, в том числе иследование дзета- и тета-функций таких операторов, получение формул регуляризованных следов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. исследовано аналитическое продолжение дзета-функции для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими;
15Бобров А.Н. След оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности Цолля.- Доклады АН, 368 (2), 154-156. 1999.
16Садовничий В. А., Фазуллин 3. Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2 — Матем. заметки, 2005, 77:3, с.434-448.
17Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.Н. Свойства резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере и формула следов.-Доклады академии наук, 2011, Т.441.№2. С. 174-176.
-
впервые получена формула геометрического регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами при возмущении метрики многообразия;
-
впервые получена формула регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущенного потенциалом, на многообразии с замкнутыми геодезическими (не являющемся сферой) и доказано, что полученная формула верна для всех таких многообразий, не зависит от явного вида метрик, а зависит только от их геометрических инвариантов.
Методы исследования. В диссертации применяются методы теории псевдодифференциальных операторов, методы теории функций действительного переменного и теории функций комплексного переменного, методы дифференциальной геометрии, методы спектральной теории операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области функционального анализа, спектральной геометрии и математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
семинаре «Теория следов операторов» механико-математического
факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством
В.Е. Подольского) (неоднократно: 2007-2011 гг.);
конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», г. Уфа (12-16 июня 2011 года);
XI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», г.Нальчик (4-8 декабря 2013 года);
семинаре «Спектральная теория дифференциальных операторов» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством академика РАН В.А. Садовничего) (13 декабря 2013);
17-й международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова, г. Саратов (27 января - 3 февраля 2014 года);
семинаре «Операторные модели в математической физике» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством проф. А.А. Шкаликова, доц. И.А. Шейпака, доц. A.M. Савчука, А.А. Владимирова (11 апреля 2014).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых 2 — в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, главы, включающей три параграфа, списка литературы из 48 наименований, включая работы автора. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.
Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML
Если нарушается условие неабсолютной периодичности задачи, то каждой абсолютно периодической функции траектории можно поставить в соответствие фазовый сдвиг (3. Характер асимптотики N(X) полностью определяется этим фазовым сдвигом [15]. Функция N(X) имеет кластерную асимптотику тогда и только тогда, когда существует множество ненулевой меры в S M, состоящее из абсолютно периодических точек, которым отвечает один и тот же фазовый сдвиг. Если же такого множества, не существует, то функция N(X) имеет квазивейлевскую асимптотику. При некоторых дополнительных условиях функция Q(X) из уравнения (3) оказывается периодической.
Получение формул регуляризованных следов исследуемого оператора становится важным инструментом в исследовании спектра оператора, когда дальнейшее изучение асимптотического поведения спектра становится невозможным. Так в случае, когда N(X) имеет кластерную асимптотику (4), невозможно улучшение остаточного члена в (2), более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики.
Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида -4(а)) = В(а), (5) к где Xk - собственные числа оператора Д a G Iі, а Ak(ot) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ может означать как обычное суммирование, так и применение какого-либо метода суммирования.
Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе [5] И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиу вилля с потенциалом q(x), / q(x)dx = 0:
Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.
В.Б. Лидским и В.А. Садовничим в работе [12] был предложен метод доказательства формул типа (5) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.
Даже для обыкновенных дифференциальных операторов регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды (см. например [17]), и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом.
Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мартино-вича 1987 года [18]. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [16], где рассматривался оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный гладким нечетным вещественнознач-ным потенциалом на двумерной единичной сфере S . Этот оператор имеет кластерную асимптотику N(X), и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула: Мо + к=0
Позже В. Е. Подольский [14], применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским [33] были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1. А.Н. Бобров предпринимал попытку [2] найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы), и приведенную им фомулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы S и произвольной комплекснозначной функции q Є С был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для q Є C2(S2) [19], а в 2011 году для q Є W f(S2) [20] получили формулу регуляризованного следа:
Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = ~^мь + В и —Амь
Другой подход — суммирование по Абелю. Впервые этот метод был применен В.Б. Лидским в [11] в вопросах разложения по собственным функциям некоторых обыкновенных дифференциальных операторов. Позже этот метод был успешно применен В.А. Любишкиным и В.Е. Подольским в работе [13], где была предложена формула суммирования методом Абеля первых регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов порядка т 0 на римановом многообразии размерности п. Существенное ограничение этого исследования т/п 1 было снято для компактных симметрических пространств ранга 1 в уже упоминавшихся работах В.Е. Подольского [14] и [33].
Целью настоящей диссертации является получение явных формул регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутым геодезическим потоком. Сначала мы доказываем формулу регуляризованного следа в случае, когда оператор рассматривается на не рассматривавшеемся ранее в задачах спектральной теории типе многообразия с замкнутыми геодезическими (метрика которого задана в явном виде), а затем будет приведено обобщение результата на двумерные многообразия с замкнутыми геодезическими, с помощью представления метрики в абстрактном виде. В основе решения поставленных задач лежит применение различных методов теории регуляризованных следов к псевдодифференциальным операторам (ПДО), действующим на компактных многообразиях без края, с периодическим гамильтоновым потоком. Если у многообразия геодезический поток замкнут, то оператор Лапласа-Бельтрами входит в этот класс.
Пусть М - компактное связное С-многообразие без края размерности 2, А - эллиптический ПДО порядка 2 и Л Є Ф (М), где 4 2phg{M) — класс полиоднородных1 ПДО порядка 2 на М [23]. Будем полагать, что на М фиксирована некоторая положительная плотность р, причем А— симметричен относительно соответствующего скалярного произведения в
А является оператором с компактной резольвентой и дискретным спектром, который состоит из вещественных собственных значений конечной кратности, которые могут накапливаться только к +оо. Обозначим собственные значения оператора А через {A j Li с учетом кратности в порядке возрастания. Мы будем полагать, что весь спектр А лежит на луче (О, +оо) (в противном случае мы можем рассмотреть оператор А + d с соответствующей константой с 0).
Рассмотрим расслоение плотностей Q на М. Сечение расслоения Q, выраженное в локальных координатах Х\,Х2 - это функция и, такая что мера u\dx\ не зависит от выбора локальных координат (\dx\ обозначает меру Лебега в локальных координатах). Для функции и , представляющей рассматриваемое сечение в локальных координатах х имеем
Для любого а Є С можно определить степень Qa расслоения Г2, заменив записанный выше закон преобразования на
Нижний индекс phg является сокращением от polyhomogeneous (полиоднородность). ПДО называют полиоднородным, если его символ является полиоднородной функцией, то есть функцией вида произвольные локальные координаты в координатных окрестностях Мн и Мх/. Таким образом, можем опеределить расслоение полуплотностей — Q и в дальнейшем обозначать сечение расслоения полуплотностей через (7(М, Q1 2).
Дальше отметим, что если Е и F - комплексные векторные расслоения класса С над С-многообразием М, то ПДО порядка 2 из сечений расслоения Е в сечение расслоения F - это непрерывное линейное отображение:
Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами
Схема построения следа для этих операторов в целом совпадает с описанным построением в прошлом параграфе. Здесь тоже возмущенный и невозмущенный оператор на многообразии, только теперь в качестве возмущения выступает комплекснозначная функция q. И в этом случае верны все те оценки для собственных чисел, которые необходимы для построения формулы регуляризованного следа. Аналогично можно положить vki = fiki — A j, здесь і = 0,. .. , 2к и аналогично (1.16) записать асимптотическое разложение при А; — оо:
В нашем случае вид -функции проще общего вида, описанного в (1.21). Отсутствие логарифмичиских членов связано с тем, что рассматриваемый оператор - дифференциальный, а рассматриваемое многообразие - без края. А отсутсвие членов с дробными степенями t выявляется из следующих рассуждений. Хорошо известно, что -функция и -функция связаны преобразованием Меллина:
Оказывается, что в нашем случае, эти вычеты равны нули и коэффициенты при дробных стпенях в (1.21) равны нулю соответственно. Таким образом, имеем окончательный вид тета-функции опеределенный (1.34) и приступим к нахождению коэффициентов т\ и т2, которые в свою очередь, определяются через значения аналитического продолжения -функции оператора -АМь + q в 0 и 1:
В теории ПДО известна стандартная процедура (см., например, [24]) построения параметрикса для классического эллиптического псевдодифференциального оператора на замкнутом многообразии. В ее основе — нахождение символа параметрикса как асимптотической суммы неких однородных функций, которые, в свою очередь определяются через однородные компоненты символа самого оператора с применением формулы композиции. В случае, когда оператор дифференциальный, с помощью такого метода удается получить компоненты разложения символа резольвенты по рекурентным формулам, которые в нашем случае примут вид:
Теперь все известно, чтобы сформулировать результат: Теорема 1. Пусть ML — многообразие, заданное некоторым функциональным семейством гладких почти лиувиллевых метрик на сфере и определенное формулами (1.2). Если q - бесконечно-дифференцируемая комплексно значная функция на ML, то для собственных чисел оператора —AML + q верно равенство: единичный вектор нормали к геодезической 7, J(r,ui) - объемная плотность в геодезических полярных координатах, то есть dvol ) = J(r}uj)drduj, и и
Задача нахождения регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геодезическими в случае общего положения
Общий вид метрик в случае общего положения Рассмотрим М - двумерное компактное замкнутое многообразие без края такое, что 1) М Є SC2-K [1], то есть все геодезические М замкнуты и имеют одинаковую длину 2-7Г; 2) Метрика М является возмущением метрики стандартной сферы S .То есть, пусть в R есть координаты (itі, щ щ), и известна их связь с декартовыми координатами (ж, у, z\ позволяющая выписать в этих координатах евклидову метрику ds = dx + dy + dz в R , а ограничением этой получившейся метрики на сферу единичного радиуса (как правило заменой одной из переменных, например, щ на единицу), получить общий вид стандартной метрики двумерной сферы в координатах (iti,it2):
Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразии в случае общего положения
Приведем примеры таких метрик: Следует отметить, что в такой постановке задача нахождения регуля-ризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами до этого не рассматривалась. Во всех частных случаях рассмотренных прежде многообразия задавались метриками, в выражении которых отсутствовал член 2B(ui,u2)du\du2 (в введенных обозначениях). Приведенный же вид охватывает все возможные выражения метрик на сфере и их возмущений. В таком виде вычислительная сложность решения задачи сильно возросла и решение во многом было получено с помощью символьных вычислений в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica 9 [35]. 1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения
Схема подхода для вычисления регуляризованного следа совпадает со структурой решения, описанной выше для оператора —AML + q на многообразии ML. В частности, пункты 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3 переносятся в общий случай без каких-либо изменений. Везде там мы пользовались только свойствами оператора Лапласа-Бельтрами возмущенного и невозмущенного, заданного на многообразиях с замкнутыми геодезическими длины 27Г, но явный вид метрики в тех рассуждениях нами нигде не использовался.
Для нахождения недостающих для ответа коэффициентов разложения тета-функций были проведены символьные вычисления в системе компьютерной алгебры "Wolfram Mathematica 9" [35], так как «вручную», в отличии от предыдущего рассматриваемого частного примера, произвести эти вычисления оказывается практически невозможным. В Приложении к данной работе приведены вычисленные значения _дм+(?(0) и _дм+(?(1).
Несмотря на очень сложный вид получившихся коэффициентов, оказывается, что они снова записываются через инвариантные характеристики многообразия, и в случае общего положения вид асимптотик тета-функций операторов представляют самостоятельный интерес, поэтому данный результат вынесем в Лемму:
Лемма 1: Пусть М Є SC2ll — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для тета-функций F{t), L(t), M(t) соответствующих операторов —AM, —AM, —AM + q верны асимптотические разложения при
Теперь можем окончательно перенести реультат Теоремы 1 на случай общего положения:
Теорема 2. Пусть М Є SC2n — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (1-44); Я бесконечно-дифференцируемая комплексно значная функция на М, тогда для собственных чисел ц оператора —Ам + Я верно равенство:
В этом легко убедиться, если положить q = 0 в формуле Теоремы 2. Этот результат представляет самостоятельный интерес и являтеся новым. Здесь удалось показать, как именно возмущение метрики многообразия влияет на изменение собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами.
Чтобы осуществить переход к обычной сфере в условиях Теоремы 2, необходимо в формуле теоремы принять кривизну равной 1, то есть Км = К52 = 1. Более того, если задать здесь q - нечетной функцией, то результат совпадет с результатами, полученными в [16] и [14].
Следствие 3: Пусть М Є SC2n — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (1-44), тогда для собственных чисел Л невозмущенного оператора Лапласа-Белътрами —Ам и для собственных чисел fiki возмущенного комплексно значной функцией q оператора Лапласа-В елътрами — Ам + q на М, верно равенство:
