Содержание к диссертации
Введение .....; стр.3
ГЛАВА I. ОПЕРАТОРЫ ЛАПЛАСА И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛИНОМЫ . . стр.8 I. Конструкция функтора.точек.и.его.свойства . » стр.10
2. Теорема Шевалле стр.18
3. Алгебры Z(QM) и Z(P(4) стр.35
Ч, Гомоморфизм Хариш-Чандры .......... стр.41
ГЛАВА 2. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ В .
ПРОСТРАНСТВЕ ТЕНЗОРОВ '.стр.50
I. Предварительные сведения.и.вспомогательные
. конструкции . . . стр.52
2. Разложение тензорного пространства: случай. .
. алгебры (JjZi^i') стр.77
3. Разложение тензорного.пространства:.случай .
алгебры 0,(^) стр. 88
Введение к работе
Теория супергрупп и супералгебр Ли и их представлений интенсивно развивается в настоящее время. Бурное развитие этой теории вызвано многочисленными приложениями супереимметрий в физике. Как известно, основной задачей теории представлений является задача описания неприводимых представлений (включая их явные модели) и вычисления их характеров, С этой задачей тесно связаны задачи описания алгебр операторов Лапласа, а также алгебр инвариантных полиномов. Первой из работ в которых использовались операторы Лапласа, была работа Ф.А.Березина [і] . В ней, используя счетное семейство операторов Лапласа и выделяя их радиальные части, была получена формула для характеров невырожденных неприводимых конечномерных представлений супергруппы \J(p,Q) . В.работе [ЗЗ] было дано обобщение идей Ф.А.Березина на простые супералгебры Ли.с невырожденной формой Килинга. Выделяя класс типических представлений (т.е. тех представлений, которые однозначно определяются своим инфинитезимальным характером) и доказывая аналог теоремы Шеволле об инвариантных полиномах, автор получает формулы для характеров этих представлений. Кроме того, отмечается наличие симметризации между симметрической о обертывающей алгеброй и строится аналог гомоморфизма Хариш-Чандры. Позднее в работе [2l] было указано явное правило для симметризации и описаны алгебры операторов Лапласа важных для физических приложений супералгебр Ли малых размерностей.
Первые серьезные результаты о структуре алгебр операторов Лапласа были получены Ф.А.Березиным в серии работ [25] , [2б] , [27] , [28/ :, [29/ посвященных теории конечномерных представлений супергрупп. Особенно следует отметить работу [28] . Пусть (Я/ - конечномерная комплексная супералгебра Ли с невырожден- - ц _ ной четной инвариантной билинейной формой, причем 0}^ -редуктив-на j - подалгебра Картана совпадающая со своей четной частью, IV - группа Вейля (JVF , Пусть кроме того 0Ь- = 0k- , сие/по/; ^d- ., для всякого <*- . Если ^ ограничение инвариантной формы на -г » і (Ясс,$<)*((Я)мя- ^ef t то теорема 3.1 из [287 утверждает, что гомоморфизм ограничения индуцирует изоморфизм алгебры инвариантных полиномов на 6Р и подалгебры в W 5(V*J состоящей из таких полиномов, что й f-.{ot) для любого нечетного корня ос . Здесь й, / - производная f по направ-лению вектора %<& , & (сС) - идеал порожденный оС в S(V*) Ввиду наличия невырожденной инвариантной билинейной формы эта теорема описывает также инвариантные элементы симметрической алгебры (Я и следовательно (ввиду наличия .симметризации) операторы Лапласа, как векторное пространство над
В работе [32J выписанв последовательности операторов Лапласа через элементы канонического базиса для супералгебр Ли серии (ПІ(и,,т) , 5^(іь,ґУі)(ігФі7і), osp(m,z?,) (случай супералгебр 0]{п,№)\,osp(ze,Z%) рассмотрен также в [26j ). Кроме того для этих операторов указаны тождества порядка равного размерное- ти подалгебры Картана в терминах старших весов. Наконец в последнее время появилось большое число работ относящихся к теоретической физике (см. например [22j , f23j , L247 , [Зі] ) использующих диаграммы Юнга для описания представлений супергрупп Ли в тензорных пространствах. Однако, существенным недостатком этих работ является отсутствие строгих доказательств и прямой связи с симметрической группой, как это имеет место для групп Ли.
Изучению конечномерных неприводимых представлений, алгебр операторов Лапласа, алгебр инвариантных полиномов и посвящена диссертация.
Диссертация состоит из двух глав. Каждая глава начинается обзором известных результатов по соответствующему вопросу;
Первая глава посвящена исследованию алгебр операторов Лапласа и инвариантных полиномов; Теорема Ф.А-.Березина обобщается на все простые конечномерные супералгебры Ли ( кроме серий Q- и п ). При этом используется вариант фактора точек близкий к тому который использовал Ф.АіБерезин. Более точно каждой супералгебре Ли 0> сопоставляется алгебра Ли Мл" (Afy)o , где А -грассманова алгебра с достаточно большим числом независимых образующих. При этом элементы алгебры S (fy*) реализуются как, функции специального вида на 0ЬЛ со значениями в А .; доказывается (Лемма 4), что инвариантность полиномиальной функции относительно
Отдельно рассмотрен случай супералгебры Q, . Для неё теорема Шевалле справедлива в своем обычном варианте: существует конечная супергруппа G действующая на S(j ) так, что гомоморфизм ограничения индуцирует изоморфизм алгебры инвариантных полиномов и G инвариантных элементов из S(f */ . В 3 главы I описаны алгебры операторов Лапласа для супералгебр Ли fi и Р . Доказывается (Теорема 5),-что для к » 5 центр ~\Г( Р(п)) сое-тоит из констант. Пусть р : d ~~* $ъ проекция параллельно Q - & Q , тогда Теорема 4 3 утверждает, что для осе А± (относительно fg- ), гомоморфизм ограничения индуцированный проекцией задает изоморфизм алгебры инвариантных элементов в и подалгебры тех feS(fr)w (И/ - группа Вейля й 5- ), для которых ocf (1<с) , где &л efQptQ}*!.
Последний параграф главы посвящен доказательству того, что гомоморфизм Хариш-Чандры определенный в [33] является изомор физмом Z(fy) Kl(f*l
Вторая глава посвящена описанию конкретных моделей неприводимых представлений в пространстве тензоров и их применениям. Первый параграф содержит необходимый подготовительный материал, в частности, конструкцию представления симметрической группы в тензорном пространстве, теорию проективных представлений симметрической группы и т.д',; Эти результаты объясняют в частности использование диаграмм Юнга для описания подпредставлении супергруппы QL и других в тензорной алгебре как это сделано в [22j , [23] . Известно, что все неприводимые представления алгебр Ли серии п К/ можно получить, разлагая тензорные степени тождественного представления. В 2 главы 2 мы разлагаем тензорные степени тождественного представления супералгебр Ли серии (ЯО , обобщая результаты работ [22] , |23] , [зі] , [24] .
Теорема 2 2 утверждает, что коммутант алгебры й?<> в тензорах К' -того ранга является групповой алгеброй симметрической группой порядка /С . В частности, тензорная алгебра тождественного представления - вполне приводимый щі, модуль. Доказывается результат, который можно назвать первой основной теоремой теории инвариантов супералгебры (jit . Указаны ограничения на старший вое неприводимого f модуля при которых он является подмоду-лем в тензорной алгебре,, а также формула для кратности веса. В 3 главы 2 аналогичные соображения применяются к супералгебре d . В Теореме 4 3 утверждается, что коммутантом алгебры & в тензорах К -того ранга является полупрямое произведение групповой алгебры симметрической группы и Клифордовой алгебры порядка 76 . Это позволяет используя теорию представлений этого полупрямого произведения, получить формулу для характеров ПОПРИВОДИЛА мых GL подмодулей в тензорной алгебре.
Основные изложенные в диссертации результаты опубликованы в работах автора [іб] , [J7] , [l8j , [wl ,
