Введение к работе
Диссертация посвящена спектральной теории операторов Еельтра-ми-Лапласа, рассматриваемых на фундаментальных-областях действия дискретных групп движений л-мерного гиперболического пространства (пространства Лобачевского) И".
Актуальность темы. Вопрос об изучении спектров операторов Лапласа-Бель трамиЛ на римановых многообразиях актуален уже давно.Сдлн из часто встречающихся случаев здесь - многообразия постоянной отрицательной секционной кривизны. Каждое такое многообразие/предстзЕ-ляет собой гиперболическое пространство И , профакторизованное по действию дискретной группы Г изометрий H"(G = *f (Г)) . Поэтому возникает вопрос об изучении спектра оператора Л с областью определения, состоящей из функций, определенных на И -и-автодарфннх относительно действия какой-либо дискретной группы Г.
Поскольку явное вычисление собственных значений операторов А как правило, невозможно, особый интерес приобретают асимптотические методы изучения дискретного спектра. Заметим, что в случае, когда ./^/"компактнОт-оператор—А—строго эллиптичен, а его спектр чисто дискретен, поэтому этот случай изучался в первую очередь.
Б 1956 году вышла знаменитая работа А.Сельберга [І], в которой выводится формула следа, выражающая, в случае п = 2 , регуляризо-ванный след оператора Л через некоторые геометрические характеристики группы Г '. Затем, используя эту формулу, удается построить эффективные оценки ряда Дирихле специального вида, так называемой дзета-функции Сельберга.
Данные оценки имеют множество применений: с их помощью получаются, например, асимптотичееки дискретного спектра и норм классов сопряженности гиперболических элементов. Данная схема часто использовалась в дальнейших исследованиях (в работах [2] и ДЗІ рассматри-
[I] А.ШЬегд. Harmonic ojtaiyscs and dkcon-iinuons. groups іл urcaty Symmetric Rivnannian spaces ин-lh аррііеоіїопз io Лг/ьіте/ &гігі///икІ.Л7аМ. Soc. - <- P.47-S?.
[2] Дж.Эльстродт, Ф.Грюневальд, Дж.Меннике. Непрерывные группы в трехмерном гиперболическом пространстве: Аналитическая теория и арифметические приложения// УМН, 1983.- Т.38, внп.І.- C.II9-I47
[3j R.GangollL. Zeta-funckons of Seieerg's іург -for Compact space, /arms of Symmviric ,?/3uct;3 o/ rani one//Iiiinois J. /fto/h,- /977.-V.2l.-p.i.-42.
- I -
/
заются соответственно кокоыпактные группы без кручении и кокомпакт-ныэ группы, действующие в //3). Первая глава настоящей работы посвячена получении аналогичных результатов в наиболее общем случае.
Эце одним следствием из формулы следа является возможность получения теорем типа Хубера [41,-характеризующие свойства изоспект-ралькых групп Г . Так, в работах [4] и [3] (для случаев П = 2 и -п = 3 соответственно) было доказано, что у изоспектральных групп совпадают спектры длин (в случае групп без кручений - длины замкнутых геодезических на//"/г) и эллиптические числа. Аналогичный результат (вместе с определением эллиптичееких"чисел)~"ддя произвольного доказывается в диссертации.
Еще один круг вопросов, рассматриваемых в работе, касается асимптотики дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярных многогранниках (т.е. фундаментальных многогранниках для групп, порожденных отражениями; отметим, что рассматриваемые многогранники не обязаны быть компактными). Ранее в работах Бенкова 5, б] и Кузнецова [7] данный вопрос рассматривался в случае n = 2 (наиболее интересном случае). В работе [6] с помощью построения соответствующей дзета-функции удалось получить три члена асимптотики N(X) - считающей функции дискретного спектра. В диссертации с помощью метода волнового уравнения также получено три члена асимптотики jV(A) (отметим, что третий член имеет более ясный геометрический смысл, чем в [6] - это регуляризованный периметр многоугольника); В случае п ъ 3, а также для многоугольников, лежащих в евклидовых пространствах 1R , в работе получено всего два члена асимптотики Ы(\), а также п членов асимптотики усреднения Н[\) по Риссу.
[4] W.Woier. 2ur ohai-ytiSoAen ТАгогй hypzr-&ollscAer Кааю/о&пегуу Woih.Cbn.- №9. -У.І38. - Z/-26; C&d.- #&- Г.**2.-Р-*&-398.
[5] А.Б.Венков. Формула следа Сельберга и неевюшдовые колебания бесконечной мембраны// ДАН СССР, 1978.- "L240, К 5.- C.I02I-I024
[б] А.Б.Венков. Спектральная теория авгоморфных функций// Тр. МИАН, 1981,- T.I53.- C.I-I72
[7] Н.В.Кузнецов. Распределение норм примитивных классов модулярной группы и асимптотические формулы для собственных значений оператора Лапласа-Бельтраш на фундаментальной области модулярной группы// ДАН СССР, 1978.- Т.42, й I.- С.40-43
Цель работы. Вывести формулу следа Сельберга для произвольных кокомпактных групп двиаений п' в наиболее явном виде, исследовать с ее помощью аналитические свойства дзета-функции Сельберга и спек-тральтральные асимптотики оператора Лапласа-Бельтрами- с автсморфны-ыи граничными условиями. Исследовать асимптотики дискретного спектра задач Дирихле и Неймана .рассматриваемых еэ регулярных многогранниках (быть может, с бесконечноудаленными вершинами).
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в сле-дупцем.
-
Получена формула следа Сельберга дня произвольных кокомпактных групп двияений Нп, явно вычислены вклады в эту формулу от всех классов элементов группы.
-
Доказана теорема о равенстве спектров длин и эллиптических" чисел у изопериметрических "кокомпактных групп."
-
Изучены аналитические свойства дзета-функции Сельберга.
-
Получены асимптотические формулы для функций распределения дискретного спектра и норм классов сопряженности локсодромических элементов.
57~Полученн асимптотические формулы" для функции распределения дискретного спектра задачи Дирихле, рассматриваемой на регулярном многограннике, лежащем в пространствах Евклида и Лобачевского.
Ез защиту выносятся следустше результаты.
-
Формула следа Сельберга для кокомпактных груш.
-
Аналитические свойства дзета-функции Сельберга.
-
Асимптотика функции распределения собственных значений задачи Дирихле на регулярном многоугольнике в плоскости Лобачевского.
Практическая сенность. Диссертация косит теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в спектральном анзлизе операторов Ізшізса-Еельтрами в гиперболических пространствах.
Апробация работ. Результаты диссертации докладывались автором на Бсесоззных и международных конференциях и сколах, в том числе на Международной конференции, посвящєнесй 90-летии со дня роздения акад. И.Г.Петровского (МГУ, 1991 г.), на конференциях з г.Москве (1937 и 1990г.г.),в Червоголовхе (1989 г.), на семинарах в МГУ (руководители проф.Б.Ц.Левитан, проф. А.Г.Коствченко, проф. А.А.Шкаликов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, они приведеш в коецз автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, вклшчапцих семь параграфов, и списка литературы, содержащих 22 наименования, объем диссертации ? страниц.
