Введение к работе
Актуаіьность темы. Теория дискретных груш преобразований возникла в работа- й.Клейна и А.Пуанкаре в конце прошлого века б сплзи с изу"~"іием многозначных аналитических функций и решения обыкновенные дифференциальных уравнений. Исследуя СгМ± ~_группу преобразований расширенной комплексной плоскости С , поровденную отражениями относительно окружностей и прямых, - А.Пуанкере обнаружил, что сна допускает естественное продолг:ение в верхнее полупространство
А?*-/гв,*;/вб<г, і >о}
и действует на нем как полная группа гиперболических изомет-рий относительно введенной им метрики (/&/*+*(*)/. Позже была установлена сшзь меащу дискретными группами изо-метрий пространства Лобачевского и трехмерными мноп. образия-ми. Однако глубокіа продізияешй в этой области в то время не было. Современная теория дискретных групп преобразований начинается в шестидесятых годах нашего века с работ Л.Альфорса и Л.Верса, в которых выявлена тесная связь отой теории с теорией квазиконформных отображений..Значительный вклад э теорию внесли В.Абиков, Л.Гринберг, И.Кра, А.Марден, Б.Маскит, Г.Мостов, СЛ.Крушкаль, Э.Б.Винберг, Н.А.ГусевскиЯ, А.Д.Мед-ных и другие математики. В работах этих авторов применялись аналитические, топологические и геометрические методы.
Эта ооласть соверпекно преобразилась в последнее десятилетие благодаря работам В.Тёрстока, в которых прояйітась особая роль методов трехмерной гиперболической геометрии. Исследуя топология трехмерных многообразий, он обнаружил, что, в определенном смысле, почти всякое 3-многообразне допускает введение полной мэтр-ки постоянной отрицательной кривизны и, следовательно, может быть представлено с помощью дискретной группы изометрий трехмерного пространства Лоба-чевскогб. Тем самым он показал, что, по существу, .теория трехмерных многообразий является теорией дискретных групп гиперболического пространства.
Таким образом, совр генная теория дискретних групп пре-
образований окалачась на стыке нескольких направлений - топологии, геометрии, теории функций и теории групп, отим объясняется интерес к ней математиков различных специальностей.
Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучения диекретнь' групп изснетрий трехмерного пространства Лобачевского, и также орбис|олдов, унийоряизируемых отими рулпами.
Методика исследования. Ра^ .>та осиоЕана на применении методов теории дискретных групп и гиперболической геометрии.
Научная новизна работы. Бес основные результаты диссертации являются новыми. В ней: I) получены критерии дискретности не :кс.іьк.4х классов двупорожденных групп изометрий пространства Лобачевского; 2} найден геометрический смысл коммутатора двух элементов, действующих в пространстве п: \\ не яелкмцихся строго локсодромическими; 3) доказано, что минимальное число пороъздакчих некоторых ланнероБСКих тетраэдральных групп равно двум; 4) построены гиперболические ор-скфодци, униформизнруемые двупорокденнъаш клейновыми группа-у;і первого л второго рода; 5) дан ответ на вопрос Б.Маскита о дискретности одного класса двупорожденных подгрупп FM. U, С).
Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты и методи могут быть использованы для дальнейшего развития анализа, теории дискретній іруГ'П и геометрии трехмерных многообразий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзном семинаре молодых ученых "Актуальные вопросы комплексного анализа" (г.Ташкент, 198Ь), на Всесоюзной конференции по геометрии "ь целом" Сг.Новосибирск, 1987), на научно-исследовательских семинарах по теории функций и математическому анализу Института математики СО АН СССР,, а также йа семинарах кафедр теории функций и математического анализа Новосибирского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в р& слотах 1] - [43.
Объем тзаботы.. Диссертация излоаена на 112 страницах, состоит из В'здения, трех глав и списка литературу из 47 *а-именоваиий, а пж&ь сод-ргаїт 45 рисунков.
ОЬЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАЬОІЬ'
Ка пути изучения дискретных групп естественным образом встает вопрос их классификации. Здесь возникают дес основные проблемі. Первая: кайїи пообходите и достаточные условия дискретности группы изикетрий пространства Лобачевского. Вторая: классифицировать дискретные группу. К сожаления, с этой степени общности указанные проблемы вряд ли могут быть решены. Поэтому естественной постановкой задач в данной области является нахождение классов групп, в.которых эти задачи допускают достаточно полное решение.
К настоящему моменту наиболее изученными являются группы, порожденные конечным числом отражений относительно граней некоторого многогранника. Правде всего, здесь следует отметить работы Э.Б.Винберга и Е.И.Андреева. Значительный вклад в классификацию дискретных групп внес Б.Масхі . Им, п частности, классифицированы все конечно перееденные функциональные клейновы группы.
Одной из важных задач является классификация всех дву-порожденных дискретных і'рупп изометрий пространства ИҐ. Неравенство Йоргеноена дает необходимое условие дискретности. Найдены необходимые и достаточные условия дискретності фук-совых групп, т.е. групп с инвариантным круге:/.. Они получены Кнаппом, Пуркицккм, Розенбергером и Керн-Избернером в основном алгебраическим методом. Другой, более геометрически?, подход предложил П.Мательски. Его идеи оказались полезными для изучения общего случая двупорохгденннх групп изометрий трехмерного пространства Лобачевского.
В диссертации продолжено исследование таких групп.
