Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Канонические и граничные представления на плоскости Лобачевского
1. Плоскость Лобачевского 8
2. Элементарные представления группы G/{±E} 10
3. Преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции 12
4. Разложение квазирегулярного представления 15
5. Разложение формы Березина 17
б. Канонические представления 19
7. Граничные представления 20
8. Преобразование Пуассона, связанное с каноническим представлением . 21
9. Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением 23
10. Разложение граничных представлений 25
11. Разложение канонических представлений 26
Глава II. Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского
12. Псевдоортогональная группа SOo (п — 1,1) 29
13. Пространство Лобачевского (гиперболоид) 32
14. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом . 36
15. Преобразование Пуассона 41
16. Преобразование Фурье 47
17. Сферические функции ^48
18. Спектральное разложение оператора La 51
19. Разложение квазирегулярного представления 55
20. Разложение формы Березина 59
21. Максимально вырожденные серии представлений группы SL(n, Ж) . 68
22. Канонические представления 71
23. Граничные представления 74
24. Преобразование Пуассона, связанное с каноническим представлением . 77
25. Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением . 84
26. Разложение граничных представлений 87
27. Разложение канонических представлений 91
28. Базисы для граничных представлений 98
Литература 100
- Преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции
- Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением
- Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом
- Максимально вырожденные серии представлений группы SL(n, Ж)
Введение к работе
1. Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах G/K были введены Березиным [3], [4] и Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] - для целей квантования и квантовой теории поля. Сам термин "канонические представления" был введен в [6]. Эти представления были унитарными относительно некоторого нелокального скалярного произведения (сейчас называемого формой Березина). Березин получил разложение этих представлений и изучил их поведение, когда параметр А, нумерующий их, стремится к — со, и тем самым установил справедливость принципа соответствия из квантования. Подробные доказательства были даны в [32].
Как нам кажется, рамки унитарности являются слишком узкими. Более естественным нам представляется рассматривать канонические представления в более широком смысле: мы отказываемся от условия унитарности и позволяем этим представлениям действовать в более широких пространствах, в частности, в некоторых пространствах обобщенных функций.
Канонические представления порождают граничные представления - двух типов: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на границе, представления второго типа действуют в струях, трансверсальных к границе (в коэффициентах Тейлора относительно границы).
Один из источников для получения канонических представлений на_однородном пространстве G/H состоит в следующем. Мы берем некоторую группу G ("надгруп-пу"), содержащую G, берем некоторую серию представлений Дд, А Є С, индуцированных характерами (одномерными представлениями) некоторой параболической подгруппы Р группы G, связанной некоторым образом с исходным пространством G/H, и затем ограничиваем эти представления на G, кроме того, ограничиваем функции на G/P из пространств представлений R\, на орбиту (или ее замыкание) группы G. Полученные представления и есть то, что мы называем каноническими. Вообще говоря, представления R\ могут еще зависеть от некоторого дискретного параметра.
2. В настоящей работе мы исследуем канонические представления и порожденные ими граничные представления на пространстве Лобачевского произвольной размерности. Мы используем аналог модели Клейна: пространство Лобачевского размерности п — 1 есть открытый единичный шар В в прстранстве Rn , группа движений есть псевдоортогональная группа G = SOo(n — 1,1) лоренцовой сигнатуры, она действует на В дробно-линейно. Стационарная подгруппа начала координат есть максимальная компактная подгруппа К = SO(n — 1), так что В = G/K.
Диссертация состоит из двух глав.
Главная часть диссертации - это глава II. Здесь мы определяем канонические представления R\, А Є С, группы G как ограничения на G максимально вырожденных серий представлений группы G = SL(n, R). Последние представления были исследованы в работе [24]. В выборе надгруппы G мы следуем подходу работы [23]. [Возможен другой подход: в качестве надгруппы G можно взять псевдоортогональную группу SOo(n, 1), этот вариант мы оставляем в стороне.] Пространство, в котором действуют наши R\, есть пространство Т (В), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на замыкании В шара В. Эти представления можно распространить на пространство V (B) обобщенных функций на Шп с носителями в В.
В начальных параграфах главы II мы строим гармонический анализ на пространстве Лобачевского В. С одной стороны, этот материал в основном хорошо известен, и результаты являются классическими, см., например, [5], так что мы даем его ради полноты. С другой стороны, как нам кажется, мы внесли некоторые усовершенствования в это изложение, см., например, использование преобразования Пуассона и вид формулы обращения в § 19.
Здесь же мы даем разложение формы Березина (см. §20). Некоторые пересечения с работой [23] оказываются неизбежными. Формула, которая дает "собственные числа" Л(А, а) формы Березина в виде
V (ZzA\ V 2-n— r—А\ \(\ „\ _ L \ 2 ) L \ 2 )
с "" гн)гт см. (20.10), является аналогом формулы Березина [4] для эрмитовых симметрических пространств ранга 1.
Из этой формулы получается асимптотическое поведение преобразования Березина при А — —со. Более того, мы можем написать полное разложение преобразования Березина. Для того чтобы получилась прозрачная явная формула, надо разлагать не по степеням 1/Л, а использовать обобщенные степени переменной (—А — п)/2. Идея такого разложения была предложена в [29].
Далее, мы определяем операторы Рх,а и Fx}ff, сплетающие канонические представления Rx и представления Та группы G, связанные с конусом (более точно T2_n_ff для Рх,а и Т„ для Fx,a)- Мы называем эти операторы преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями.
Мы подробно исследуем мероморфную структуру по а преобразований Рд( т и Fxt„. Эта информация является решающей для разложения граничных представлений Ьх и Мх (см. § 23 и § 26). В частности, полюсам второго порядка отвечают жордановы клетки в разложении граничных представлений.
Пуканский [30] был первым, кто обнаружил появление унитарного представления дополнительной серии в качестве дискретного слагаемого в разложении тензорных произведений унитарных представлений группы SL(2, Ж). Эти произведения во многом аналогичны каноническим представлениям. Аналогичный факт был установлен Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] для унитарных канонических представлений на плоскости Лобачевского - единичного круга D : zz 1. Представление дополнительной серии, появляющееся для некоторых значений параметра, было реализовано в дельта-функциях (p(s)5(p) на границе S круга D, здесь z = rs, 0 г 1, \s\ — 1, р = 1 — г2, 6(р) - дельта-функция Дирака. В работе ван Дейка-Хилле [23] о канонических представлениях на гиперболических пространствах в разложении появилось конечное число представлений дополнительной серии, однако, в этой работе не было реализации их в виде пространств обобщенных функций сосредоточенных на границе. В нашей работе [25] мы впервые указали инвариантные подпространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе, - для плоскости Лобачевского (были даны явные формулы для таких функций). Для параметра общего положения получается диагонализация (разложение в прямую сумму) граничных представлений.
Наконец, в § 28 мы даем разложение канонических представлений Rx. Для простоты мы ограничились параметром А из полос Д : = +2 Re А +2 , к Є Z. Оказы # вается, что для Л из полосы IQ имеет место разложение такого же типа, как разложение квазирегулярного представления: прямой интеграл представлений непрерывной серии Tff, о = 2=2 + ip с кратностью 1. Для других А требуется брать дополнения пространства V(B). А именно, для А из полосы Ik+ъ к Є N, нужно добавить пространство Efc(B) обобщенных функций, сосредоточенных на границе, см. § 23. Тогда в пространстве Vk(B) = V(B) + Т,к(В) представление Rx разлагается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в прямую сумму к + 1 слагаемых 22_„_А+2т я = 0,1,..., Л. Для А из полосы 1-к-1, к Є N, надо пространство V{B) расширить до пространства Тк+і{В), см. §23, тогда тоже представление Rx распадается в сумму двух слагаемых: первое ралагается как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в сумму к +1 слагаемых
Тщ-п-А+2т, ГП = 0, 1, . . . , к.
В главе I мы исследовали канонические представления на плоскости Лобачевского, используя еще один подход: в качестве надгруппы мы взяли группу G = SL(2, С). В этой главе получены результаты, аналогичные описанным выше для пространства Лобачевского в модели Клейна.
Канонические представления на плоскости Лобачевского, определенные в главе I и в главе II, эквивалентны, если их рассматривать на пространстве V{B) или в пространстве V (B). Формы Березина различны.
3. Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения (§ 0) и 28 параграфов, разбитых на две главы.
Нумерация параграфов, теорем (лемм), формул - единая. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер теоремы (леммы), формулы в этом параграфе.
4. Сформулируем основные результаты диссертации.
Для пространства Лобачевского произвольной размерности:
а) дано определение канонических представлений - в широком смысле (в частности, не обязательно унитарных);
б) определены соответствующие граничные представления (два типа);
в) построены преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями;
г) исследована мероморфная структура этих преобразований;
д) получено разложение граничных представлений;
е) получено разложение канонических представлений;
ж) получено полное асимптотическое разложение преобразования Березина;
з) получено полное разложение преобразования Березина на многочленах. Аналогичные результаты получены для плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре.
5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9 - 16], [25 - 28].
6. Приведем некоторые обозначения, формулы, а также некоторые стандартные рассуждения, используемые дальше в работе.
N = {0, 1, 2, ...}, Z, R, С - множества целых, вещественных, комплексных чисел, соответственно, Ш - мультипликативная группа вещественных чисел (R = Ш \ {0}).
Мы используем следующее обозначение для характера (гомоморфизма в мультипликативную группу комплексных чисел) группы R :
" e = t"sgn4 (0.1)
где t Є К , ц Є С, є Є Z. Этот характер зависит только от класса вычетов числа є по модулю 2, так что обычно мы берем є Є {0,1}.
Через Е обозначается единичная матрица или единичный (тождественный) оператор.
Для многообразия М через V(M) обозначается пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем, снабженное обычной топологией. Через V(M) обозначается пространство обобщенных функций на М - антилинейных непрерывных функционалов на Х (М).
Мы используем стандартные обозначения для классических групп Ли: SOo(p, q) (это - связная компонента единицы группы линейных преобразований пространства сохраняющих квадратичную форму сигнатуры (р,д)), SO (га), SL(ra,R), SL(n,C).
Если группа Ли обозначается заглавной латинской буквой, то ее алгебра Ли обозначается соответствующей строчной готической буквой.
Для алгебры Ли Q мы обозначаем через Env(g) ее универсальную обертывающую алгебру.
Дифференцируемое представление Т группы Ли G порождает представление алгебры Ли $ (дифференциал представления Т) и, следовательно, представление алгебры Env(g). Для этих порожденных представлений мы сохраняем тот же самый символ (в данном случае Т), который обозначает представление группы.
Пусть полуторалинейная форма на Т (М)
(F,/) = j F{x)W)dx (0.2)м
(dx - некоторая мера на М) инвариантна относительно пары представлений (Т, 5") группы Ли G, действующих в V(M), т.е. \T(g)F, S(g)f) = (F,f), или, что все равно,
(T(g)F, f) = (F, Sig f). (0.3)
Тогда мы можем распространить представление Г на пространство Т (М) обобщенных функций на М - с помощью формулы (0.3), в которой (F, /) обозначает значение функционала F из V (M) на основной функции / из Х (М). Для полученного представления в обобщенных функциях мы сохраняем тот же символ (в данном случае Т). Это в самом деле есть расширение первоначального представления Т: пространство V(M) вкладывается в Т (М), если мы сопоставим функции F из V(M) функционал / •- (F,f) из Т (М) с помощью формулы (0.2), а формула (0.3) и дает требуемое расширение.
Аналогично, если оператор В в V(M) сопряжен относительно формы (0.2) оператору А: (AF, /) = (F, Bf), (0.4) то мы можем распространить оператор А на V{M) с помощью формулы (0.4). Под неприводимостью представления понимается топологическая неприводимость, т.е. отсутствие собственных инвариантных подпространств. Мы используем следующие обозначения для "обобщенных степеней" ("сдвинутых факториалов"): a[m]=a(a+l)...(a + m-l), а(т) = а(а - 1)... (а - т + 1) (0.5) (мы предпочитаем обозначение а символу Похгаммера (а)т). Для обобщенных степеней справедлива следующая биномиальная формула (см. [21] гл. I, No. 35): (а + Ь)М = (П)аЬ]Ъ1пЧ]- (0-6) Т(х) - гамма-функция Эйлера, В (х, у) - бета-функция Эйлера.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.Ф. Молчанову за постановку задачи, большую помощь и постоянное внимание к работе.
Преобразования Пуассона и Фурье, сферические функции
Из этой формулы получается асимптотическое поведение преобразования Березина при А — —со. Более того, мы можем написать полное разложение преобразования Березина. Для того чтобы получилась прозрачная явная формула, надо разлагать не по степеням 1/Л, а использовать обобщенные степени переменной (—А — п)/2. Идея такого разложения была предложена в [29].
Далее, мы определяем операторы Рх,а и Fx}ff, сплетающие канонические представления Rx и представления Та группы G, связанные с конусом (более точно T2_n_ff для Рх,а и Т„ для Fx,a)- Мы называем эти операторы преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями.
Мы подробно исследуем мероморфную структуру по а преобразований Рд( т и Fxt„. Эта информация является решающей для разложения граничных представлений Ьх и Мх (см. 23 и 26). В частности, полюсам второго порядка отвечают жордановы клетки в разложении граничных представлений.
Пуканский [30] был первым, кто обнаружил появление унитарного представления дополнительной серии в качестве дискретного слагаемого в разложении тензорных произведений унитарных представлений группы SL(2, Ж). Эти произведения во многом аналогичны каноническим представлениям. Аналогичный факт был установлен Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] для унитарных канонических представлений на плоскости Лобачевского - единичного круга D : zz 1. Представление дополнительной серии, появляющееся для некоторых значений параметра, было реализовано в дельта-функциях (p(s)5(p) на границе S круга D, здесь z = rs, 0 г 1, \s\ — 1, р = 1 — г2, 6(р) - дельта-функция Дирака. В работе ван Дейка-Хилле [23] о канонических представлениях на гиперболических пространствах в разложении появилось конечное число представлений дополнительной серии, однако, в этой работе не было реализации их в виде пространств обобщенных функций сосредоточенных на границе. В нашей работе [25] мы впервые указали инвариантные подпространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе, - для плоскости Лобачевского (были даны явные формулы для таких функций). Для параметра общего положения получается диагонализация (разложение в прямую сумму) граничных представлений.
Наконец, в 28 мы даем разложение канонических представлений Rx. Для простоты мы ограничились параметром А из полос Д : = +2 Re А +2 , к Є Z. Оказывается, что для Л из полосы IQ имеет место разложение такого же типа, как разложение квазирегулярного представления: прямой интеграл представлений непрерывной серии Tff, о = 2=2 + ip с кратностью 1. Для других А требуется брать дополнения пространства V(B). А именно, для А из полосы Ik+ъ к Є N, нужно добавить пространство Efc(B) обобщенных функций, сосредоточенных на границе, см. 23. Тогда в пространстве Vk(B) = V(B) + Т,к(В) представление Rx разлагается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в прямую сумму к + 1 слагаемых 22_„_А+2т я = 0,1,..., Л. Для А из полосы 1-к-1, к Є N, надо пространство V{B) расширить до пространства Тк+і{В), см. 23, тогда тоже представление Rx распадается в сумму двух слагаемых: первое ралагается как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в сумму к +1 слагаемых
В главе I мы исследовали канонические представления на плоскости Лобачевского, используя еще один подход: в качестве надгруппы мы взяли группу G = SL(2, С). В этой главе получены результаты, аналогичные описанным выше для пространства Лобачевского в модели Клейна. Канонические представления на плоскости Лобачевского, определенные в главе I и в главе II, эквивалентны, если их рассматривать на пространстве V{B) или в пространстве V (B). Формы Березина различны. 3. Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения ( 0) и 28 параграфов, разбитых на две главы. Нумерация параграфов, теорем (лемм), формул - единая. Первая цифра означает номер параграфа, вторая - номер теоремы (леммы), формулы в этом параграфе. 4. Сформулируем основные результаты диссертации. Для пространства Лобачевского произвольной размерности: а) дано определение канонических представлений - в широком смысле (в частности, не обязательно унитарных); б) определены соответствующие граничные представления (два типа); в) построены преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими пред ставлениями; г) исследована мероморфная структура этих преобразований; д) получено разложение граничных представлений; е) получено разложение канонических представлений; ж) получено полное асимптотическое разложение преобразования Березина; з) получено полное разложение преобразования Березина на многочленах. Аналогичные результаты получены для плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре. 5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9 - 16], [25 - 28]. 6. Приведем некоторые обозначения, формулы, а также некоторые стандартные рассуждения, используемые дальше в работе. N = {0, 1, 2, ...}, Z, R, С - множества целых, вещественных, комплексных чисел, соответственно, Ш - мультипликативная группа вещественных чисел (R = Ш \ {0}). Мы используем следующее обозначение для характера (гомоморфизма в мультипликативную группу комплексных чисел) группы R : где t Є К , ц Є С, є Є Z. Этот характер зависит только от класса вычетов числа є по модулю 2, так что обычно мы берем є Є {0,1}. Через Е обозначается единичная матрица или единичный (тождественный) оператор. Для многообразия М через V(M) обозначается пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на М с компактным носителем, снабженное обычной топологией. Через V(M) обозначается пространство обобщенных функций на М - антилинейных непрерывных функционалов на Х (М). Мы используем стандартные обозначения для классических групп Ли: SOo(p, q) (это - связная компонента единицы группы линейных преобразований пространства сохраняющих квадратичную форму сигнатуры (р,д)), SO (га), SL(ra,R), SL(n,C). Если группа Ли обозначается заглавной латинской буквой, то ее алгебра Ли обозначается соответствующей строчной готической буквой. Для алгебры Ли Q мы обозначаем через Env(g) ее универсальную обертывающую алгебру. Дифференцируемое представление Т группы Ли G порождает представление алгебры Ли $ (дифференциал представления Т) и, следовательно, представление алгебры Env(g). Для этих порожденных представлений мы сохраняем тот же самый символ (в данном случае Т), который обозначает представление группы.
Преобразование Фурье, связанное с каноническим представлением
Интеграл абсолютно сходится при Recr л и продолжается мероморфно во всю комплексную плоскость а. Он имеет простые полюсы в точках а Є у1 + N. Его вычет Ац в полюсе \i есть некоторый диффференциальный оператор, некоторый многочлен от оператора Д$, см. формулу (14.13) ниже. Наш оператор Аа отличается при п = 3 от аналогичного оператора Аа из 2 множителем: оператор из 2 надо умножить на 2а+х. Для вычислений полезна формула интегрирования по S функций, зависящих только от одной переменной, например, от s\: (p(s) = /(si):
Полуторалинейная форма (A ,tp)s инвариантна относительно пары (Tff,Ty). В частности, для а К эта форма является инвариантной эрмитовой формой для Та. Ограничение представления Т„ группы G на подгруппу К есть представление R группы К вращениями в Р(5): оно не зависит от ст. Известно [5], что это представление R группы К = SO(n — 1) распадается в прямую сумму попарно не эквивалентных неприводимых представлений 7Г/, действующих в пространствах Щ, где І Є N для п 4 и Z Є Z для п = 3. Для п 4 пространство Hj состоит из ограничений на S однородных гармонических многочленов степени однородности /. Сферической (зональной) функцией в Щ относительно стационарной подгруппы точки s = (1,0,..., 0) является функция где CZ (i) - многочлен Гегенбауэра [1] гл.10. Для п = 3 пространство Я/ одномерно и порождается, например, функцией ,(s) = (si+is2) . Размерность пространства #t равна Пространства Щ попарно ортогональны относительно скалярного произведения (14.3). Скалярный квадрат сферической функции фі равен Пространство Щ является собственным пространством для оператора Лапласа-Бельтрами As с собственным значением /(3 — п — I), а также для оператора Аа: с собственным значением Композиция Ai-n-aAu есть скалярный оператор: Представление 7 может быть распространено на пространство V(S) обобщенных функций на S посредством формулы (14.4), где ф - обобщенная функция, (ф,ф)3 есть значение обобщенной функции ф на тестовой функции р. Это - в самом деле рас Ш} ширение, поскольку V(S) может быть вложено в V(S) с помощью формулы (14.3): мы сопоставляем функции ф Є V(S) функционал р ь (ф,(р)3 из V(S). Аналогично оператор Аа может быть распространен на V(S) с помощью формулы (14.7). Представление Та неприводимо для всех а Є С, за исключением а Є N и а 2 — п — N. В этом случае Та эквивалентно Т -п-а с помощью оператора А„ (или его вычета). В приведенном случае структура инвариантных подпространств следующая. Пусть п 4. Для а Є N в V{S) имеется конечномерное неприводимое подпростран ство Еа = Но + Нх + ... + На, фактор-пространство по нему неприводимо. Для о Є 2—п—N картина - двойственная: имеется инвариантное неприводимое подпростран ство Va — 53 Hi, суммирование по I 3 — п — а, фактор-пространство по Va конеч номерно. Оператор Аа (или его вычет) порождает эквивалентность представлений в W подфакторах: V(S)/Ea V2.n , Х (5)/К Е2-п- . Пусть п — 3, а Є Z. Подпространства V I+ и Va-, натянутые на фі с I % —о и / а, соответственно, инвариантны. Для а 0 они неприводимы и ортогональны друг дру гу. Для а 0 их пересечение есть конечномерное неприводимое подпространство Еа размерности 2 г + 1. Оператор А„ порождает эквивалентность представлений в подфак торах. gfe Для п 4 имеется 3 серии унитаризуемых неприводимых представлений: непрерыв ная серия состоит из представлений Tff, a = j +ip, р R, скалярное произведение есть (14.3); дополнительная серия состоит из представлений Та, 2 — п о О, скалярное произведение есть (Affip,(p)s с некоторым множителем; дискретная серия состоит из представлений в фактор-пространствах V(S)/Eff, а Є N, скалярное произведение порождается формой {Ааф, р)д, ЭТИ представления ЭКВИВалеНТНЫ Представлениям В Vi-n-a Для п = 3 имеется 4 серии унитаризуемых неприводимых представлений: непрерывная и дополнительная серии - как и выше, аналитическая и антианалитическая серии состоят из представлений в фактор-пространствах V(S)/Va-, и V(S)/Va + соответственно, с таким же скалярным произведением, что и выше, эти представления эквивалентны представлениям в К. _іі+ и V_ff_i _, соответственно.
Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом
Формула (20.18) справедлива при условии Re А 2=2, Это условие получается из обоих неравенств (20.17) при Reer = 2=2.
Теперь продолжим разложение (20.18) аналитически по Л из полуплоскости Re Л 2=2. Когда мы делаем такое продолжение, правая часть приобретает дополнительные слагаемые - из-за того, что полюсы подинтегральной функции (это полюсы функции Л) пересекают или попадают на путь интегрирования - прямую Recr = 2=2.
Функция Л(А, а) - как функция от а - имеет полюсы в точках При продолжении в полосу 2=2 + 2к Re А 2=2 + 2к + 2, к Є N, пара полюсов а = Х-2тиа = 2-n-A-2m, где га = 0,1, ...,&, пересекает прямую Re а = 2=2 и дает дополнительное слагаемое Dm к правой части. Это слагаемое Dm равно умноженной на 27г разности вычетов подинтегральной функции в точках а = А—2т и а = 2—п—Х—2т. А именно, где Лт(А) дается формулой (20.11). Пусть эта пара полюсов попадает на линию Recr = 2=2. Тогда если эти полюсы различны, то вклад этой пары равен половине дополнительного слагаемого, указанного выше. Если эти полюсы совпадают, то оба они равны 2=2 j так чт0 А = 2=2 4- 2т и дополнительное слагаемое исчезает из-за множителя А — 2т + вш(А- 2т). Итак, мы получаем следующие разложения функции Е\ ( рассматриваем ее как обобщенную функцию) по сферическим функциям: для Re А 2=2 и ддЯ д _ 2=п. имеем: оо интеграл в (20.21) и (20.22) обозначает точно такой же интеграл, что и в (20.20), сумма в (20.22) содержит такие же слагаемые, что и в (20.21). Эти формулы (20.20) - (20.22) справедливы и для реализации на шаре В. Теперь с каждой из формул (20.20) - (20.22) поступим точно так же, как с формулой (19.1) в доказательстве теоремы 19.1: применим ее к сдвинутой функции U(g)h, h Є Т (В), 0 д = и, умножим на /(и) и проинтегрируем по В по мере dx(u). В правой части можно переставить интегрирования по р и по и (рассуждая как в доказательстве теоремы 19.1), в результате получим формулы (20.7) - (20.9). Мы еще воспользовались формулой (16.3). Рассмотрим вместо формы Березина В\ форму В х с ядром (20.1) без множителя с(Л), т.е. Тогда в разложениях (20.7) - (20.9) надо заменить Л и Лт соответственно на Выясним знак этих множителей при вещественном А. Тогда действуют формулы (20.7) и (20.8). Мы видим, что Л 0 при сг = 2 + гриАМ (при А Є N имеем Л = 0). Теорема 20.1. говорит, что если + 2г А + 2г + 2, то m пробегает числа W 0,1,..., г. Поэтому в (20.23) множители А - 2m + , Г(А - 2т + п - 2), Г(А - т + f) положительны. Следовательно, знак числа Л„(А) есть знак отношения Г(А + 1)/Г(А — 2т + 1), оно равно А 2т) = А(А - 1)... (А - 2т + 1), всего 2т множителей. Поэтому A„(A) 0 при А 0, а также при 2к + 1 А 2к + 2, А; Є N. При А Є N обращаются в нуль множители Л„(А) такие, что А — 2т 0. В сумме в (20.8) мы видим инвариантные эрмитовы формы для представлений Тл_2т- Вспомним, что унитаризуемыми являются представления Тд_2т, принадлежащие дополнительной серии, см. 14, т.е. А — 2т 0. Итак, эрмитова форма В х, А Є К, является положительно определенной при А 0. Обозначим через С/д, А 0, унитарное пополнение представления U относительно формы В х. Назовем эти U\ унитарными каноническими представлениями группы G. . Формулы (20.7), (20.8) дают разложение представления Ux на неприводимые унитарные Щ представления: при А "— оно разлагается по представлениям непрерывной серии с кратностью 1, а при у1 А 0 оно состоит из представлений непрерывной серии и конечного числа представлений дополнительной серии, а именно, представлений Тд_2т, 0 2т А+ . Мы уже говорили, что при А N разложение формы В х состоит из конечного числа слагаемых, а именно, где суммирование происходит по т = 0,1,2,... таким, что Л — 2т 0. Это есть разложение конечномерного представления группы G в пространстве V\ многочленов, см. 21. Ядро Березина Е\ дает также интегральный оператор с этим ядром, обозначим его снова через В\, назовем его преобразованием Березина.
Максимально вырожденные серии представлений группы SL(n, Ж)
Доказательство. Для Р-х-п,х-2тф ведущие множители (см. (24.10)) - это рт и рх т+ ї . Второй множитель есть о(р ), поскольку А Є Ik+i- Следовательно, функция Р-х-п,х-2т Р входит в Тк(В). Слагаемое в (24.10) с наименьшей степенью р есть Cafi p pm, где а = А - 2га. По (15.30) и (15.27) оно есть А2-п-х+2т Р Рт- Аналогично рассматриваются Р-х-п,2-п-\+2т(Р- Здесь слагаемое с наименьшей степенью р есть D rfi P-Pm, где а = 2-п-А + 2т. По (15.29) и (15.27) оно есть j(2-n- \ + 2т)(р-рт. О
С помощью этой леммы мы можем распространить преобразования Фурье Fx,\-2m и л,2-п-л+2т) т = 0,1,..., к, на, пространство (?). А именно, имея в виду соотношение сопряженности (25.4), мы полагаем для С к(В): где р Є V(S). Обобщенные функции из () могут быть применены к указанным в (27.8), (27.9) преобразованиям Пуассона - в силу леммы 27.2. Мы можем явно указать действие преобразований Фурье из (27.8), (27.9) на обобщенные функции С = \,г(у) из Sjt(B). А именно, имеет место следующая лемма. Лемма 27.3. Пусть А Є h+i, пусть т, г {0,1,..., к}. Тогда Доказательство. Оператор FA,A_2mo A,r сплетает представления Т2_П_А+2Г С ТА_2т, см. (25.3) и (24.26). Поскольку при тфг эти представления не эквивалентны, получаем (27.11). Теперь докажем (27.10). По (27.8) имеем (Fx,X-2m ,mW (P)S = &,m(V0. P-A-n,A-2m Ч ) в По (24.23) и (15.27) имеем 6,m№ = f«W(p) + - (27.14) где многоточие содержит производные дельта-функции меньшего порядка. Применяя (27.14) к (27.6) (с заменой А на А) и вспоминая выражение (23.4) для меры du, мы получим Щ Л,А-2т tbnMMs = \ (-1)"1 ! & А2-п-Х+2т Ч ) 8 Перебрасывая оператор А с у? на ф, получим (27.10). # Аналогично доказываются (27.13) и (27.12), здесь используется (27.7). Формулы леммы 27.3 показывают, что отображения F\!x-2m и F\t2-n-x+2m пространства Лк(В), определенные сначала как отображения в пространство V(S), на самом деле являются отображениями в пространство V(S). Поэтому операторы 7Гл,т т = 0,1,...,к, см. (27.3), могут быть тоже распространены на Tik(B). Определим пространство ). Операторы 7Гл,т, га = 0,1,..., fc, определены на этом пространстве. Лемма 27.4. Пусть А Є Ik- Оператор іг\,т, т = 0,1,..., к, является оператором проектирования пространства Т к(В) на пространство V\tm, см. 26. Он сплетает представление R\ с его ограничением на V\,m, которое эквивалентно Т2-п-\+2т Лемма следует из (27.12), (27.13), (24.26). Разложение (27.4) распространяется с пространства Т {В) на пространство Т к(В). Дня f Є к(В) интеграл в (27.4) исчезает (в самом деле, оператор FA)(T о А т сплетает представления І2_„_л+2т с Та, а = 2=а + г/э, он равен нулю, поскольку эти представления не эквивалентны), так что (27.4) становится разложением обобщенной функции / 6 Е (В) по ее проекциям в V\iTn: Мы получаем, что Т к(В) входит в область определения формы (, -)\. В частности, мы имеем "соотношения ортогональности": так что (27.5) есть "теорема Пифагора" для разложения (27.4). Итак, в случае (В) мы имеем Теорема 27.5. Пусть А Є h+i, к_ Є N. Тогда пространство V{B) должно быть дополнено до пространства Vk(B). На этом пространстве Vk(B) каноническое представление R\ распадается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как R\ в случае (А), второе разлагается в сумму k + 1 неприводимых представлений Т2-п-\+2т, т = 0,1,...,к. А именно, сопоставим функции f Є T k{B) совокупность \F\,of, n\,m(f)}i где a = 2=2 + ip, m = 0,1,..., k. Это соответствие G - эквивари-антно, см. (25.3) и лемму 27.4- Функция f восстанавливается по формуле обращения (27-4)- Имеет место "формула Планшереля" (27.5) для формы (, -)\. Жордановых клеток здесь нет. # Для вещественных А из интервала (%р, 0) эта теорема дает разложение унитарных канонических представлений, см. 22. Рассмотрим вместо формы (, -)л форму с(А)-1 (, -)д. При А Є N интегралы в (27.4) и (27.5) для этой формы исчезают, и мы получаем разложение конечномерного представления группы G в пространстве V\ многочленов из 21, ср. 20.
