Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О некоторых свойствах вектор-функций 9
1. Интеграл Римана-Стилтьеса 10
2. Векторнозначные меры 13
3. Обобщенная спектральная мера 16
4. Теоремы Наймарка 22
5. Гармонические вектор-функции 30
6. Аналитические вектор-функции 40
Глава II. Скалярные, обобщенные скалярные и субскалярные операторы 47
1. Скалярные операторы с вещественным спектром 48
2. Операторы, перестановочные с обобщенной спектральной мерой 59
3. Субскалярные операторы 72
Глава III. О спектральном представлении операторов 82
1. Оснащение банахова пространства 84
2. Оснащение и интегральные представления 82
3. Спектральное представление с несобственным масштабным подпространством 93
Глава ІV. Дифференциально-граничные операторы 105
I. Конечномерные возмущения линейных отношений 106
2. Спектр и резольвента возмущенного отношения 116
3. О суммируемости рядов по корневым векторам. 133
Выводы
Заключение
- Обобщенная спектральная мера
- Гармонические вектор-функции
- Операторы, перестановочные с обобщенной спектральной мерой
- Спектральное представление с несобственным масштабным подпространством
Введение к работе
І. Задача о спектральном разложении является одной из центральных задач теории линейных операторов.
Наиболее полный и законченный вид имеет спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Один из методов разложения таких операторов основан на теореме Рисса-Херглотца об интегральном представлении аналитической в полуплоскости функции (см.,напр., f2] ) и ее операторных аналогов [з.|.
Среди несамосопряженных операторов выделяется класс спектральных операторов,впервые введенный и изученный Н.Данфордом и его сотрудниками. Подробный обзор современного состояния и перспектив развития теории спектральных операторов дан в третьем томе монографии Н.Данфорда и Дж.Шварца [9] . Приведенные в этом томе критерии спектральности операторов получены методами функционального исчисления. В работах американского математика Ш.Канторовича [79] изучен класс ограниченных спектральных операторов с вещественным спектром,являющихся аналогом для случая банахова пространства ограниченных самосопряженных операторов. Критерии спектральности устанавливаются в этой работе при помощи преобразования Лапласа.
Однако класс спектральных операторов недостаточно широк, чтобы охватить многие интересные с точки зрения приложений случаи. В.Э.Лянце в работе [22] развил теорию,описывающую более обширный класс операторов,нежели спектральные. Отказавшись от требования ограниченности и счетной аддитивности спектральной меры он вводит обобщенную спектральную меру. При дополнительном условии счетности для нее справедлива теорема Лорха-Макки о связи с самосопряженной мерой. Исследуется также топо-
логическая алгебра операторов,перестановочных с обобщенной спектральной мерой,соответствующее операционное исчисление и спектральное разложение. Эти идеи находят применение в теории дифференциальных операторов,в частности,для представления операторов со спектральными особенностями [23J .
2. Спектральными свойствами,близкими к свойствам самосопряженных операторов,обладают симметрические операторы. Эта связь обсуловлена существованием у последних самосопряженных расширений.
Теория расширений симметрических операторов подробно изучена и изложена в многочисленных работах,начиная от пионерских исследований фон Неймана [8б] и кончая монографиями Н.И.Ахие-зера и Й.М.Глазмана [2] и Н.Данфорда и Дж.Шварца [9] .
В фундаментальных работах М.А.Наймарка [Зі] , [32J построена общая теория самосопряженных расширений с выходом из пространства; отдельные результаты были получены различными методами А.И.Плеснером [38] и Н.И.Ахиезером [ I ] .
В спектральном анализе симметрических операторов важную роль играют обобщенные резольвенты этих операторов. Формулы обобщенных резольвент в случае индексов: дефекта (1,1) впервые были установлены М.А.Наймарком [Зі] и другими методами -М.Г.Крейном [17] ,в случае индексов дефекта ( IT) , 17! ) - им же [іб] . Дальнейшее развитие теория обобщенных резольвент получила в работах А.В.Штрауса [ 56] , [ 57J ,где,в частности,получена формула,описывающая обобщенные резольвенты в случае произвольных индексов дефекта в терминах исходного пространства.
Теория расширений несамосопряженных операторов до скалярных не столь развита,если не считать той ее части,которая относится к расширениям операторов до нормальных и разработана
Б.Секефальви-Надем и его учениками [42] . Отдельные результаты, касающиеся субскалярных операторов,получены Т.Ионеску и С.їїлафкером [75] , [ 7б] , [ 77] методами теории алгебр. См. так^же [ 9 ] .
3. В классической работе М.Г.Крейна [ I6J изложена теория
представления симметрических операторов с индексом дефекта
( /Т) , ГЛ ) в виде оператора умножения на независимое переменное при помощи масштабного подпространства. Развивая созданную им теорию,М.Г.Крейн поставил задачу об обобщении результатов на случай несобственного масштабного подпространства [18] . Решению этой задачи посвятил свои работы [ 54] , [ 55] Ю.Л.Шмульян.
Спектральное представление регулярных симметрических операторов, а также операторов,обладающих достаточным запасом регулярных симметрических сужений,получено в работах А.В.Штрауса [58] , [59] ,[60] .
4. Настоящая: диссертация посвящена в основном вопросам
спектральности операторов с вещественным спектром и спектраль
ным представлениям операторов,действующих в банаховом про
странстве.
Диссертация состоит из введения и четырех глав,разбитых на пятнадцать параграфов.
Нумерация формул и утверждений в каждом параграфе,а также нумерация параграфов в главе независимая. При ссылках на другие параграфы и главы к номеру формулы,утверждения,параграфа обычным образом добавляются номер параграфа,главы.
Первая глава содержит ряд необходимых в дальнейшем сведений о различных свойствах вектор- и оператор-функций.
В 1,2 приводятся основные определения и утверждения о
- б -
векторнозначных мерах и слабом интеграле Римана-Стилтьеса [9 J , [52] .
3 посвящен краткому изложению основных положений теории обобщенной спектральной меры В.Э.Лянце [22] для случая банахова пространства.
В 4 устанавливаются теоремы о дилатации операторных мер в банаховом пространстве до спектральных,аналогичные классическому результату М.А.Наймарка [28] , [29J ,[ ЗО] .
Основным результатом 5 и всей первой главы являются теоремы об интегральном представлении гармонической в полуплоскости функции. Эти теоремы являются векторным аналогом соответствующих утверждений о скалярных функциях,гармонических в круге [б] , [34] , [40] ,и получены в результате усиления некоторых теорем Б.Я.Левина [19] и Э.И.Титчмарша [47] о скалярных функциях,гармонических в полуплоскости.
Теоремы б об интегральном представлении аналитических вектор-функций в банаховом пространстве играют в дальнейшем такую же роль в получении спектрального разложения операторов,как и упомянутая уже теорема об аналитической функции с неотрицательной мнимой частью в случае пространства Гильберта.
Полученные в первой главе теоремы об интегральном представлении оператор-функций используются во второй главе для получения спектрального разложения операторов в банаховом пространстве.
I главы П содержит признаки скалярности операторов с вещественным спектром. Полученные результаты близки по формулировке к имеющимся в [ 9] теоремам об операторах со спектром на жорда-новой кривой,однако разнятся от них применяемыми при доказательстве методами.
В 2 продолжено конспективное изложение варианта теории
В.Э.Лянце [22] обобщенных спектральных операторов в банаховом пространстве,а также доказан ряд теорем об обобщенной спектральности, основанных на результатах первой главы.
3 посвящен задаче о расширении оператора до скалярного с выходом из пространства.
Результаты второй главы иллюстрируются на примерах интегральных и дифференциальных операторов в р \0,ур \ < Р <оо.
Третья глава посвящена построению спектрального представления операторов в банаховом пространстве в духе работ М.Г.Крей-на [16 ] , [18] и Ю.А.Шмульяна [54] , [ 55 ] .
В четвертой главе затрагиваются отдельные вопросы спектральной теории интегро-дифференциальных и дифференциально-граничных операторов. Усилившийся в последнее время интерес к этому классу операторов обусловлен рядом задач теории рассеяния [35] , [70] ,диффузии [73] ,теории приближений [б4] , [б7] , [74] Возникают такие операторы и при расширении неплотно заданных дифференциальных операторов [87] . Подробнее см. по этому поводу обзор А.М.Кралла [84] .
В I обсуждаются вопросы,связанные с описанием сопряженного к данному линейному отношению, формулой Грина. В отличие от работ [бб] , [82] , [83] и др.,нами используется аппарат конечномерных возмущений линейных отношений и абстрактных граничных условий, развивающий идей [б2] . Уже после появления работ автора [88] , [89] была опубликована статья Е.А.Коддингтона и А.Диксмы [72] ,где эти задачи подробно изучаются с близких позиций.
В 2 изучаются спектр и резольвента конечномерного возмущения в терминах граничных пространств;.. Полученные результаты в операторном случае близки к результатам В.Э.Лянце [24] , [25] . При изучении используются,в частности,методы второй главы.
В 3 на основе работ М.В.Келдыша [l4J , [ 15 J , О.Б.Лид-ского [21J , А.С.Маркуса [26 J исследуются вопросы полноты системы собственных и присоединенных векторов дифференциально-граничного оператора,а также суммируемости рядов по этим системам. Многочисленные результаты о полноте системы корневых векторов,разложении по этой системе содержатся в работах А.М.Кралла [82] , [83] , О.Г.Сторожа[44] , [45] и др. Подробный обзор работ зарубежных математиков см. [84J .
Обобщенная спектральная мера
Основным результатом 5 и всей первой главы являются теоремы об интегральном представлении гармонической в полуплоскости функции. Эти теоремы являются векторным аналогом соответствующих утверждений о скалярных функциях,гармонических в круге [б] , [34] , [40] ,и получены в результате усиления некоторых теорем Б.Я.Левина [19] и Э.И.Титчмарша [47] о скалярных функциях,гармонических в полуплоскости.
Теоремы б об интегральном представлении аналитических вектор-функций в банаховом пространстве играют в дальнейшем такую же роль в получении спектрального разложения операторов,как и упомянутая уже теорема об аналитической функции с неотрицательной мнимой частью в случае пространства Гильберта.
Полученные в первой главе теоремы об интегральном представлении оператор-функций используются во второй главе для получения спектрального разложения операторов в банаховом пространстве. I главы П содержит признаки скалярности операторов с вещественным спектром. Полученные результаты близки по формулировке к имеющимся в [ 9] теоремам об операторах со спектром на жорда-новой кривой,однако разнятся от них применяемыми при доказательстве методами. В 2 продолжено конспективное изложение варианта теории В.Э.Лянце [22] обобщенных спектральных операторов в банаховом пространстве,а также доказан ряд теорем об обобщенной спектральности, основанных на результатах первой главы. 3 посвящен задаче о расширении оператора до скалярного с выходом из пространства. Результаты второй главы иллюстрируются на примерах интегральных и дифференциальных операторов в р \0,ур \ Р оо. Третья глава посвящена построению спектрального представления операторов в банаховом пространстве в духе работ М.Г.Крей-на [16 ] , [18] и Ю.А.Шмульяна [54] , [ 55 ] . В четвертой главе затрагиваются отдельные вопросы спектральной теории интегро-дифференциальных и дифференциально-граничных операторов. Усилившийся в последнее время интерес к этому классу операторов обусловлен рядом задач теории рассеяния [35] , [70] ,диффузии [73] ,теории приближений [б4] , [б7] , [74] Возникают такие операторы и при расширении неплотно заданных дифференциальных операторов [87] . Подробнее см. по этому поводу обзор А.М.Кралла [84] . В I обсуждаются вопросы,связанные с описанием сопряженного к данному линейному отношению, формулой Грина. В отличие от работ [бб] , [82] , [83] и др.,нами используется аппарат конечномерных возмущений линейных отношений и абстрактных граничных условий, развивающий идей [б2] . Уже после появления работ автора [88] , [89] была опубликована статья Е.А.Коддингтона и А.Диксмы [72] ,где эти задачи подробно изучаются с близких позиций. В 2 изучаются спектр и резольвента конечномерного возмущения в терминах граничных пространств;.. Полученные результаты в операторном случае близки к результатам В.Э.Лянце [24] , [25] . При изучении используются,в частности,методы второй главы. В 3 на основе работ М.В.Келдыша [l4J , [ 15 J , О.Б.Лид-ского [21J , А.С.Маркуса [26 J исследуются вопросы полноты системы собственных и присоединенных векторов дифференциально-граничного оператора,а также суммируемости рядов по этим системам. Многочисленные результаты о полноте системы корневых векторов,разложении по этой системе содержатся в работах А.М.Кралла [82] , [83] , О.Г.Сторожа[44] , [45] и др. Подробный обзор работ зарубежных математиков см. [84J .
Гармонические вектор-функции
Полученные в предыдущей главе теоремы,характеризующие операторные классы cCj ( v =0,1,2) и f- ,позволяют получить критерии скалярности и обобщенной скалярности операторов в банаховом пространстве,подобно тому,как теорема об интегральном представлении аналитической в 1+ функции с неотрицательной мнимой частью используется для получения спектрального разложения самосопряженного оператора. I содержит теоремы о скалярности операторов с вещественным спектром. Полученные результаты близки к имеющимся в 9] теоремам об операторах со спектром на жордановой кривой,доказанным с помощью функционального исчисления. Аналогичные условия,отмеченные в работе [79J ,в случае ограниченных операторов с вещественным спектром также приводят к скалярности оператора,как показано в цитируемой работе с помощью преобразования Лапласа. В 2 продолжено конспективное изложение варианта теории В.Э.Лянце[22]обобщенных спектральных операторов в случае банахова пространства. Основываясь на теоремах 1.6.4 и 1.6.5 первой главы,мы доказываем ряд теорем об обобщенной спектральности. 3 посвящен задаче о расширении оператора до скалярного с выходом из пространства. Субскалярные операторы рассматривались в работах: Ионеску [75J , [76J и Ионеску и Плафкера [77J с точки зрения алгебр. Подробнее см. обзор к главе ХУ [9 ] . Полученные во второй главе результаты иллюстрируются на примерах интегральных и дифференциальных операторов. Вкратце изложим основные моменты теории спектральных операторов в банаховом пространстве [9J ,которое мы по-прежнему будем полагать слабо полным. Определение I. Спектральную счетно аддитивную меру L в X , заданную на (Г -алгебре Z_J борелевских подмножеств множества Д - (L ,назовем разложением единицы или спектральным разложением ограниченного оператора I ,а сам оператор / - спектральным,если Определение 2. Неограниченный замкнутый оператор І в X будем называть спектральным,если существует такая счетно аддитивная спектральная мера j определенная на СҐ -алгебре борелевских подмножеств Л »что в) спектр сужения ТІ-г содержится в замыкании О,O ZJ» Неограниченный оператор,являющийся спектральным,необходимо плотно задан [9.ХУШ.2.І J . Следующая лемма устанавливает связь между ограниченными и неограниченными спектральными операторами. Лемма І. [9.УШ.2.23] . Пусть Л - регулярная точка замкнутого оператора . Оператор I будет спектральным в том и только том случае,когда (/- А I) - спектральный оператор, разложение единицы которого удовлетворяет условию Ь. (l0jj=O. Если при этом ( -ЯІ) - скалярный оператор,то и I мы будем называть скалярным. За иным,не зависящим от леммы определением неограниченного спектрального оператора скалярного типа мы отсылаем читателя к монографии [9J . Для резольвенты неограниченного скалярного оператора также имеет место представление (4). Пусть П - замкнутый линейный оператор, резольвента которого принадлежит классу 1 \ХУХ Д) Тогда соответствующая представлению (1.6.15) операторная мера L.(," ) ортогональна, т. е. для любых борелевских подмножеств.
Операторы, перестановочные с обобщенной спектральной мерой
В классической работе М.Г.Крейна [іб] была построена общая теория представления плотно заданных эрмитовых операторов с конечными равными числами дефекта ( W, 171 / . Развитие этой теории и ее приложения потребовали обобщения ее на случай несобственного масштабного подпространства,неплотной области определения и бесконечных дефектных чисел. Эта задача решается в работах Ю.Л.Шмульяна [54] ,Г 55] .
Близкие этой теории вопросы затрагиваются в работах А.В.Штрауса [58] , [59] , [бО] ,где получено спектральное представление регулярных симметрических операторов,а также оператор ров,обладающих достаточно большим запасом регулярных симметрических сужений. В качестве модуля представления в этих работах выбирается дефектное подпространство /X ,спектральное представление формулируется в терминах TL -резольвент и fL-спектральных функций.
В настоящей главе мы показываем,что представление в виде оператора умножения при помощи несобственного масштабного подпространства возможно и для определенного класса операторов в банаховом пространстве. Пространство х на протяжении этой главы мы будем предполагать рефлексивным. Чтобы подчеркнуть равноправность jfc и $ ,мы введем обозначения I. Оснащение банахова пространства I. Пусть Гц - замкнутый оператор в X ,имеющий,вообще говоря,неплотную область определения Х/(Гч/. Будем предполагать в дальнейшем,что ее замыкание \/ есть дополняемое подпространство в Х . /4 представляет собой также реф-лекстивное пространство,в качестве сопряженного к которому можно взять DA ХА ,где Uj - какой-либо ограниченный проектор на \j в X І Оператор n«f как оператор из гЛ( в Х\ плотно задан и замкнут,а потому сопряженный к нему оператор плотно задан в iA/ Наделив нормой графика мы превратим ее тем самым в банахово пространство Хг . Тогда Гц Ju vi есть Уже непрерывный оператор,и,если обозначить сопряженное к Хг пространство Jt4 , fj vj — jL ограниченный оператор,определенный на всем пространстве \/ -Следуя [55] ,мы будем снабжать в дальнейшем относящиеся к X , X , X алгебраические и топологические понятия значками (+), (.5, (-), опуская (.) там,где это не вызывает недоразумений . Таким образом, [\ А есть (+,.) - непрерывный оператор,а \\л = п ,как нетрудно убедиться,- расширение \\ А по (.,-)-непрерывности. Поскольку всякий непрерывный функционал на Xz (являющийся непременно элементом ХА ),также и (+)-непрерывен,то хл естественным образом вкладывается в ХА По построению Хг (О-шіотно в ЗЕг , х 4 Х + . Пространство ХА также (-)-плотно в Х4 : если для у є Хг (& 1 )-0 при всех X JLK ТО 11 =0 ,поэтому (-)-замыкание ХА совпадает с ХА\ II Х / II &IL , Х Х./ Удобно отождествлять Хг с графиком оператора п ,а X - с фактор-пространством " у а . Подробнее см. по этому поводу ІУ главу. Пространства j J рефлексивны. Определение I. Замкнутые операторы и пгв Х назовем формально сопряженными,если для любых Выберем в х о формально сопряженный к f] л оператор П г предполагая замыкание \7г = "v( Пг) дополняемым в Jc 2. ПОВТОрив рассуждения,получим пространства Х ; х2 причем JL2 г 2 Отметим,что "\у((1 и )cXfc (здесь и далее в этой главе К =1,2).. В самом деле,из (I) следует,что ( Пз-кХ I Ч ) = Как нетрудно убедиться,конструкция оснащения в существенном повторяет ситуацию гильбертова пространства. Для произвольного Я (L положим - 85 Отсюда U б V( Па-it) k и ) выполняется. В силу очевидных неравенств для Х- /1 а (+)-М (»)-топологии на QL совпадают. Напомним,что точка Л называется точкой регулярного типа оператора ,коль скоро существует такая константа С 09 что для всех х г/(Т) Это эквивалентно тому,что ядро замкнуто [її] . л Теорема I. Множества точек регу лярного типа операторов Пк и к совпадают. Подпространством, ортогональным к /С , /» Пк) Лі в Хз-( является 7ft ,а в 3-к - Гк- ЗХД (-)-плотно в Доказательство. Без ограничения общности положим Л = 0 . Замкнутость jd ( ) эквивалентна замкнутости ЬС\Т )[llj ,поэтому аС(пк) , « (п J, К(Hkj замкнуты в соответствующих топологиях одновременно. Ядра цЦЙк)и чМПь) замкнуты и являются ортогональньми к 6( (\к ) подпространствами, поэтому равны 0} одновременно. Теорема доказана.
Спектральное представление с несобственным масштабным подпространством
В настоящей главе мы рассмотрим отдельные вопросы спектральной теории так называемых дифференциально-граничных отношений и операторов. Интерес к подобного рода операторам усилился в последнее время (см.обзор А.М.Кралла [84] ) и продиктован рядом задач теории рассеяния [35] , [70] , диффузии [73] , теории приближений,минимизации [67] , [ 64J . Такие операторы возникают и при расширении неплотно заданных дифференциальных операторов [87].
В I обсуждаются вопросы,связанные с описанием сопряженного к данному отношению,формулой Грина. В отличие от работ [82J , [81] , [83] , [67] и др.,развивая идеи [24] , [SSfJ , [во] ,мы используем аппарат конечномерных возмущений линейных отношений [88] и абстрактных граничных условий. Уже после опубликования работ автора [88] , [89] появилась подробная статья Е.А.Кодцинг-тона и А.Диксмы [72] ,обсуждающая эти вопросы с близкой позиции.
В 2 изучаются фредгольмовость,спектр и резольвента конечномерного возмущения в терминах граничных пространств. В операторном случае полученные результаты с точностью до обозначений совпадают с результатами [ 24] , [ 25] . 2 содержит также примеры дифференциально-граничных операторов, иллюстрирующие изложенные ранее методы. В 3 на основе работ М.В.Келдыша [l4] , [l5J , О.Б.Лидско-го [2lJ ,, А.С.Маркуса [2б] исследуются вопросы полноты системы собственных и присоединенных функций дифференциально-граничного оператора и суммируемости рядов по этим системам. Задача о сопряженном к неплотно заданному оператору естественным образом приводит к линейным отношениям [бі] , [71J . I. Изложим вкратце основные определения и факты,касающиеся линейных отношений. В случае рефлекс/ивных JC , HI эти понятия совпадают. Если J - плотно заданный оператор,то / - сопряженный ему оператор в обычном понимании этого слова. Доказательства следующих теорем несложны,полностью они б) следующие утверждения эквивалентны: wC ( ( I )) замкну то в щ tCfCll ) замкнуто в X і ці ) ьУ-замкнуто В дальнейшем мы будем рассматривать только замкнутые отношения, не оговаривая этого каждый раз специально. И. Рассмотрим тройку замкнутых линейных отношений \0С Предполагая 0 и \4 известными,опишем формально сопряженные с I отношения э т.е. отношения / с I . Очевидно,что 1.( и все его подпространства формально сопряжены с I ,поэтому интерес представляют те отношения I ,формально сопряженные с Т ,которые удовлетворяют включениям , Мы ограничимся случаем dim Определение I. Пространство L ,изоморфное фактор-пространству [ Т0 ,назовем пространством граничных значений или,короче,граничным пространством,а соответствующий оператор : \4 —- граничным оператором. Поскольку dim Т /% = dim /v 00 0 и L /Т изоморфны,можно считать (_, = [_, = Нетрудно убедиться,что существует такая невырожденная П Л -матрица л ,определяющая оператор.
