Введение к работе
Актуальность темы. В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов — линейно-зависимых полных систем векторов.
Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе авторов R.J. Duffin и А.С. Schaeffer, посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвященных фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, A. Grossmann, Y. Meyer, С. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие, наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвященных фреймам.
Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления различных шумов, в квантовой механике. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или за-шумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов под названием Compressed Sensing. Нетривиальность ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы полностью, если они целиком попадают в это ядро.
Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности — операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.
Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным, на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.
Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные аналоги, связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.
Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторов; поиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваля; анализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторов; поиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваля; определение и описание класса простых фреймов Парсеваля; анализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классов; получение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бесконечномерных пространствах; поиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:
-
Введены и описаны классы простых и составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.
-
Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов. При этом для конечных фреймов метод является универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.
-
Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.
-
Доказана ограниченность числа векторов простых конечных фреймов Парсеваля в ^-
-
Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.
-
Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.
-
Описаны топологические и проекционные свойства множества простых
фреЙМОВ В І2
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для построения жёстких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на семинаре кафедры высшей математики Санкт-Перебургского государственного университета; на второй международной конференции «Математическая физика и её приложения» в г. Самара, 2010 г.; на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеж, 2011 г.; на десятой международной Казанской летней
научной школе-конференции, 2011 г.; на конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Самара, 2011 г.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.; на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2012 г.; на международной конференции "Wavelets and Applications" в г. Санкт-Петербург, 2012 г.
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [1-16]. Из совместной работы [14] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи [2, 8,13,14] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.
