Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Предварительные сэдеш 12
1 Полугруппы Ли и конусы в алгебрах 13
2 Полугруппы операторов В Л.В.П 23
3 Представления полугрупп В Л.В.П 34
4 Производящие операторы представлений полугрупп 44
ГЛАВА II Порождение представлений полугруш в локально выпуклом пространстве 60
1 Представления алгебры 61
2 Теорема поровдешя суммируемых представлений и множества дифференцируемости 66
3 Теорема порождения суммируемых представлений полугрупп
4 Теорема порождения непрерывных представлений полугрупп Ли 87
5 Теорема порождения представлений полугрупп Ли, допускающих координаты второго рода... 94
6 Теорема порождения общих представлений полугрупп
7 Порождение представлений в банаховом пространстве
ГЛАВА III Некоторые вопросы теории представлений полугрупп 122
1 Линейные дифференциальные управления на полугруппе Ли
2 Сопряженные антипредставления ... 127
3 Сходимость последовательностей представлений... 132
4 Возмущение представлений...135
5 Представления S UL (ИЛ в гильбертовом пространстве і 142
Литература 151
- Полугруппы операторов В Л.В.П
- Теорема поровдешя суммируемых представлений и множества дифференцируемости
- Теорема порождения непрерывных представлений полугрупп Ли
- Сопряженные антипредставления
Введение к работе
Предлагаемая работа посвящена изучению представлений' полугрупп Ли (замкнутых подполугрупп группы Ли) в локально выпуклом пространстве (л.в.п.). Основной вопрос, который при этом решается (мы назовем его вопросом порождения представления), состоит в том, чтобы указать необходимые и достаточные условия, при выполнении которых линейные операторы, образующие представление алгебры Ли, являются производящими операторами некоторого представления полугрупп Ли.
Этот вопрос нетривиален уже для представлений аддитивной полугруппы положительных чисел. Ответ на него дается, в случае банахова пространства, хорошо известной теоремой Хилле-Йосида (см.,например, [4 3 ). Для локально выпуклых пространств вопрос порождения таких представлений решен в работах [20,21,24,71,803 .
Представлениям групп Ли в линейных топологических пространствах посвящена обширная литература (см., например, [1,21 и имеющуюся там библиографию). Вопрос порождения представления групшЛи в гильбертовом пространстве был поставлен и решен в основополагающей работе Е.Нельсона [273 . При доказательстве теоремы широко использовалась техника аналитических векторов представления группы Ли, предложенная Хариш-Чандрой в работе [60].
В дальнейшем, с использованием той же самой техники аналитических векторов, в работах [52-54,90,923 была построена теория порождения представлений групп Ли в банаховом пространстве, которая, позднее, получила название (по именам ее создателей) F S 3 - теории.
Однако, в случае представления полугруппы Ли таких векторов может быть очень мало, и понятие аналитического вектора не монет быть взято за основу ни как метод, ни как язык исследования. Это же замечание остается в силе и для представления группы Ли в ненормируемом л.в.п.
Поясним сказанное на примерах.
Пусть гильбертово простарнство Н состоит из суммируемых с квадратом на (-,*~о)функций, равных нулю на (-<*>, о) # Определим представление Т аддитивной полугруппы полоштельных числе в про странстве Н по формуле (T(t)f)(S) *f(S~t) . Тогда для любой финитной измеримой функции п>еН и аналитического вектора Q И {к, Т(-1)4) является аналитической функцией с финитным носителем, т.е. по теореме единственности аналитических функций, нулем. Отсюда ясно, что ^0.
Аналогично, что для представления Т , заданного в пространстве crw по Формуле (ш) W&) = /(*+1; , множество аналитических векторов состоит из одного нуля.
Заканчивая разговор об аналитических векторах, укажем работы 39,48,55,56,59,74,7^7 в которых упомянутые теоремы порождения применялись при изучении различных вопросов, касающихся бесконечномерных представлений групп Ли.
Первая работа, касающаяся представлений полугрупп Ли, принадлежит Э.Хилле f6I] . В ней были получены необходимые условия теоремы порождения полугруппы в банаховом пространстве. Следующим принципиальным шагом, были работы С.Г.Крейна и А.М.Шихватова [25,26,32,33j в которых на основе аппарата резольвенты и понятия дифференцируемого вектора представления были доказаны теоремы порождения представления группы и полугруппы Ли в банаховом пространстве.
Необходимо также отметить работу Р.Т.Мура [76] , в которой теорема порождения доказывается с использованием понятий одно-параметрического представления и дифференцируемого вектора, -5-причем нам заведомо известно, что операторы, образующие представление алгебры Ли, порождает группы операторов, которые мы каким-либо способом (возможно и без участия резольвенты) умеем строить. Отметим, что установленная Р.Т.Муром теорема порождения представлений групп Ли была обобщена в [26] С.Г.Крейном и A.M. Шихватовым.
Указанные выше работы являются самыми значительными. Вместе с тем стоит отметить, что теорема порождения представлений полугрупп и групп Ли рассматривалась в работах 43,46,62,72,74,83, 87,88,91,931
Задача, поставленная нами в этой работе, - исследовать порождение представлений полугрупп Ли в л.в.п. решается с использованием двух упомянутых выше подходов. Правда, поскольку в л.в.п. производящий оператор полугруппы операторов может вовсе не обладать резольвентой, мы вынуждены пользоваться построенным в работе E20J аппаратом квазирезольвенты.
Если говорить о теоремах, то главным результатом работы следует считать теорему В главы 2, дающую описание производящих операторов суммируемого представления полугруппы Ли. Выбор указанного класса представлений объясняется тем, что в этом случае мы освобождаемся от многих дополнительных сложностей, возникающих при рассмотрении более общих классов представлений, и получаем возможность "в чистом виде" рассмотреть те препятствия, которые приходится преодолевать при построении представлений практически любого класса.
Вместе с тем, случай представления полугруппы Ли, не обладающего столь жесткими ограничениями ш рост вблизи единицы, также рассмотрен в 6 главы П.
Стоит также отметить, что определяющим условием доказанной ниже теоремы порождения является в том или ином виде условие инвариантности совместной области определения производящих операторов представления.
Рассмотрим более обстоятельно полученные в работе результаты.
Работа состоит из трех глав.
Полугруппы операторов В Л.В.П
В этом параграфе приведены определения и теоремы относительно полутрупп операторов в локально выпуклом пространстве, которые понадобятся нам при изучении представлений полугрупп Ли. Отметим, что мы используем определения и теоремы работы [212. отображение Т Я — L(B) 9 удовлетворяющее следующим условиям Ответим, что есж пространство Е бочечное, то условие 3 следует непосредственно из условия 2. Последние два условия - чисто технического характера. Без них вполне можно было бы обойтись, но это привело бы к излишней громоздкости последующих определений и утверждений. Если элементы х и у из Е таковы, что tint {Г\Щх-х)=и то, полагая Аах-ц , мы определяем инфинитезимальннй оператор полугруппы Т . Замыкание оператора А0 называется производящим оператором и обозначается А (как следует из [2IJ производящий оператор существует). Будем считать, что полугруппа принадлежит классу (Е), если (6) оператор Г(Л) = it AtT(tJ di лежит в L( т (Т),Е). ливы включения T(i) X cLom,(A0) и равенства положим Если операторы Та( ) и Ta(f ) можно распространить по непрерывности на все и, если для результатов этого расшире ния сохранить те же обозначения, то для любого хбЕ будут вы полняться включение и равенство Если при этом оссопг(А) , то /4la(( x = Ta(fj/\x, 2.1.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть Т и Т - две полугруппы, а А и А - их производящие операторы. Если А с/\ , то Т и А А . 2.1.4. опеещеленйе. Полугруппа Т называется равномерно суммируемой, если I) для каждой полунормы реУ(Е) можно указать такую полунорму р №)_ , что функция __ суммируема на (oj) . Класс тех полугрупп, для которых указанные полунормы можно выбрать так, что соответствующие функции принадлежат ХІО,І) » где 1 ос »о , обозначается X ПРЩЛОІЕНИЕ. Полугруппа Т принадлежит классу для данного оС 6 [1(+оо] тогда и только тогда, когда для каждой полунормы pe CEj можно указать полунорму Р е (Е) , число о (р) 0 и функцию Ур 6 (о,(р) такие, что р(Т()х) (j р(л) Отметим, что полугруппа Т принадлежит классу Со . если семейство операторов {T(t)/(o,fJJ равностепенно непрерывно. Для бочечного пространства , в силу равенства 5с СЯгп (Т)) = , это условие, очевидно, равносильно тому, что при і — 0 + 7W х - лі 2.2. КВАЗЙЕЕЗОЛБНЕНТА И РАВНОМЕРНО СУММИРУЕМЫЕ ПОЛУТРУППЫ ОПЕРАТОРОВ. Определение квазирезольвентн и ее свойства, приведенные без доказательства, заимствованы из работ [20, 21J . 2.2.1. Пусть А линейный оператор в Е , АА-А1-А(А«с/ ОДВДКГОИЕ. Отображение Ц: Пиз- L(E) называется квазирезольвентой оператора А , если R_(j )- (А) =ГЛ-yu; (/ ).(A) +b(f )l W - (/0 і)(А), Здесь «A) = "AH, то для и & Е0 Доказательство. Если ueE0 , (A-A-B)R(A,A)u, n (AfA)u,-Bfc(A,A)u, Отсюда следует, что 2.2.6. ПРЕІДДОШШЕ:
Если оператор А обладает квазирезоль вентой Я , то (а) оператор сі А однозначен; (б) если В -линейный оператор, такой, что АсВсеХА , то R. является квазирезольвентой и оператора В , причем остатки ft относительно А и В совпадают; (в) если является квазирезольвентой операторов А и В , причем с тем же остатком ( т.е. АЛ =В& ), то s,tt A -sc В В частности, sc А- с А. Замечание. Предложение 2.2.6. справедливо без предположения дифференцируемое ти квазирезольвенты (см.[21J ). 2.2.7. ПРДЩІОЖЕМЕ. Если Т() полугруппа операторов клас са (Е) , то (а) область определения его производящего оператора dom А секвенциально плотна в Е ; (б) если положить л ft)= t 0 i a. t то оператор Та ( fх) оудет квазирезольвентой оператора А (возможно не дифференцируемой) с остатком предложения 3.2. работы [21J и 2.1.2, поскольку МХ) = Га(Гл) ЦЕ), Т4(Гл -А&а(А)«ЦЕ) причем -27 2,2.8, В дальнейшем мы регулярно будем использовать следующий результат относительно полугрупп операторов класса (Е). ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если И[±) полугруппа операторов с производя щим оператором A , Е0 с oiorn(A) инвариантное относи тельно ЩЬ) линейное плотное в В множество, то оператор Л совпадает с замыканием своего сужения на Ео . Доказательство. Заметим, что множество , = ( (- I 0] линейно и плотно в Е Положим А/е = В , А(Ее= С . Тогда очевидно, выполнены включения B CLCC-A. Поскольку оператор Л замкнут, то операторы В и С замыкаемы и Если (t) t , то как следует из 2.2.4, оператор И(А) = Т (?д) является квазирезольвентной (возможно не дифференцируемой по X ) оператора Л с остатком і)ҐЛ)=- Т(1) , Причем при он єЄ, Ах=/ e ULt)х.oit. о При этом, если ХбЕ, , то интегрируя по частям, получим Предел слева существует, последний интеграл также существует, поэтому Поскольку оператор В допускает замыкание, а при то функция ЫЛЩх. ll(-L+tx) АЧх. непрерывна по t -28-т.е. (А- (в)Ш)і=ж-Є"Ай( , х.еЄ,, Используя плотность Е1 в В , заключаем, что при и. «s Е Таким образом Л. является квазирезольвентой операторов /4 tlb одними тем же остатком i (A) = - -(у. Воспользовавшись предложением 2.2.6 (в), заключаем, что %о,1 А - 5ci (с Ь) . Замкнутость Л и tt позволяет установить равенство А= с В . Для завершения доказательства осталось заметить, что clB a d C = d(Ajo) Д = ct В и., таким образом, tt (Aj ) = сі В = 4. 2.2.9. Сформулируем теоремы порождения некоторых классов полугрупп. ТЕОРЕМА I. Замкнутый линейный оператор И порождает равномерно суммируемую полутруппу в тогда и только тогда, когда он определен на секвенциально плотном в Є множестве и для некоторого со е R. имеет в (со,+еъ) квазирезольвенту R. такую, что для каждой полунормы р «= ЖЕ) можно указать измеримую неотрицательную на (о, + ) функцию fy и полунорму р 6 (Е) , удовлетворяющие условиям: 2)\\lin\x)\l Tt C?f L±)(it X ui)ri o)ui ... ТЕОРЕМА. 2. Для того, чтобы данный оператор был производящим оператором полугруппы класса для « С/,+ ») необходимо и. достаточно выполнений условий теоремы I при дополнительном условии, чтобы для каждой полунормы р е СВ) соответствующая функция Vp принадлежала пространству со р» ЯРИ некотором (р) о. Замечание. Условие теоремы порождения могут быть сформулированы в виде условий на квазирезольвенту,. заданную на Пш В этом случае необходимо, чтобы пространство Є было задано над полем С . ТЕОРЕМА. 3. Линейный оператор А порождает непрерывную полугруппу класса С0 тогда и только тогда, когда он замкнут, почти всюду определен и имеет квазирезольвенту (А) Й Ф4 \ такую, что семейство [ & . Д Си/;_, сп (А)- Л П0 , n=o,i,zr..j равностепенно непрерывно. Приведенные ниже результаты принадлежат В.В.Иванову (см. Г24]) При изложении ограничимся случаем равномерно суммируемых и непрерывных в нуле (т.е. класса С0 ) полугрупп. 2.3.1. Пусть Г , равномерно суммируемые полугруппы, А„, -- производящий оператор Тм_ и . - каноническая квазирезольвента А». . Индекс и, будет означать далее операторы, соответствующие полугруппе Тп. . ТЕОРЕМА. Пусть выполнены условия: 1) для всякого компакта Д + и полунормы ре (Е) можно указать полунорму Ъе?Св) так, что $ш Т»і(}Л П. А/ г te А 2) Функция &ц,р П"Ги.П суммируема на (0,/) ; 3) для некоторых Де, /\1 б П0 существуют пределы 4) множество Cm. СЭ Щ) + Cm С ЭШ) плотно в Б ; Тогда существует равномерно суммируемая полугруппа Т такая, что равномерно на любом компакте д с +Ти, — Т,
Теорема поровдешя суммируемых представлений и множества дифференцируемости
В этом параграфе будет доказана теорема порождения душ суммируемых представлений в терминах диф$еренцируемости функций 4(Y)T(t,X) . Как будет показано далее условие теоремы можно ослабить, но теорема останется основной в том смысле, что и при иных условиях на однопараметрические полпредставлення интегрируемость представления алгебры Ли будет получаться как следствие доказанной теоремы. ТЕОРЕМА А Представление алгебры ЛиІКласса С , соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до суммируемого представления полугруппы Р в том и только в том случае, если (1) операторы А(Х), X6 К&{Р) порождают равномерно суммируемые полугруппы операторов (2) множества 1 ( = ,2) инвариантны относительно полугрупп дифференцируема при t 0 и непрерывна при 0 ; (4) для любого компакта ВСК(Р) и для каждой полунор мы ре 9{В) можно указать полунорму р є Р(Ю и функцию / ,в е 4(0,1) , такие, что р(№,Х)и)4 %ь (1)?(и) при всех и е. Е , X 6 В и почти всех t 6:(0,1). Доказательство будет приведено в конце параграфа. Предварительно укажем некоторые свойства представления алгебр Ли, вытекающие из выполнения условий (I) - (4). 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Множество D называется множеством дифференпируемости представления алгебры Ли Г , соответствую щего конусу К(Р) t если для любого оператора А(Х), Х К (?) , порождающего полугруппу LL(t,X) и оператора A(YJ , Y Г , функция /ftJ = A(Y)6L(,X) , tteD дифференци- -руема при t 0 и непрерывна при ї ,0 . производящими операторами некоторого представления Т полугруппы Р , то множество Ъ {Т($)аI $ У, U-6 D2} является множеством дифференцируемости представления алгебры ли, образо ванного производящими операторами представления Т . Доказательство. Как следует из предложения 4.1.10 (4) Таким образом для любого однопаранетрического представления Отсюда ясно, что и,таким образом D есть множество дифференцируемости указанного предложения. 2.3. ПЕВВДКЖВВМЕ. Если операторы А(Х),ХбГ являются произ водящими операторами некоторого суммируемого представления Т полугрупп р , то множество J)z является множеством дифференци руемости представления алгебры Ли Г , образованного этими опе раторами. Доказательство следует из соотношения ( ) предложения 2.2 и того факта, что при u.eD, функция Тх (і)ц_ непрерывна при t 0 . 2.4. ЇЇИЩЯОЖЕНИЯ. Если для представления алгебры Ли Г класса С выполнены условия теоремы А, то для s=Db Х6К(Р),У6Г Обозначим LL(t,X)A(Y){ через (i] , а AU 1 ) )! - Щ Непосредственно проверяется, что при t 0 Поскольку D2 является множеством дифференцируемости представления алгебры Ли (условие (3) теоремы А), то tun. &(t)=A(Y)/ а т.к. полугруппа U(t,X) равномерно суммируема, то Как следует теперь из предложения 2.6.2 главы I Для распространения равенства на произвольный элемент ИбЦ достаточно заметить, что для Y6 К(Р) существует се мейство элементов Ц }Ае( 1 / такое, что { и., A(Y)/« - A(Y)u, и воспользоваться линейностью по Y A(Y/U. при U, D . Указанное в условии равенство получается из ( ), если положить в нем Y = l Y , т.к. в этом случае ПРВДОЖШИЕ. Если для представления алгебры Ли выполнены условия теоремы А, то функция 1Ш,Х)/ непрерывна ПО X При ЛЮбОМ j : Д, .
Переходя к пределу no s- 0 заключаем, что интеграл в правой части равенства стремится к ШМА(Х-ХоМ(/-г,Хо]/ г т.к. на Df функция (Х( ,Хв)/ непрерывна. Отсща ясно, что йт, IX(s,X)U.(i-5,X0)/ существует и, т.к. для любого UO km UL(s+±,X)U(UfXo){ U(t,X)il(W,){, то предел равен LL(1,X0){ Таким образом W U(f,Щ -U[1,Xo)f =ІіІ(г,Х)/\ (Х Поскольку для любой полунормы р и компакта В с К(Р) р(идх)/ -U(1XW lf (ll(iMtt-X W-i Xo){)oLb 4 здесь мы использовали условие (4) теоремы А и непрерывность функции A(X-X0)U( /, X0j , то для f&Dz функция lL(i,X)l непрерывна по X . СЛВДСТШЕ I. Если для представления алгебры Ли выполнены условия теоремы А, то функция U(1,X){ непрерывна по X при любом Е . Доказательство. Поскольку Д, секвенциально плотно в Б , то для доказательства непрерывности в точке Х0 достаточно показать равностепенную непрерывность семейства операторов { Щ4,Х)\Х WJ для некоторой окрестности W точки Хо . Прямо воспользоваться оценкой мы не можем, т.к. это неравенство выполняется только почти всюду и, в частности, выбрать і общее для всех полунорм р , вообще говоря, затруднительно. Поступим следуицим образом. Пусть Be- - шар радиуса У с центром в точке Хо и такой, что В2- е=.К(Р) .а IXo ST. Через /(г обозначим коническую оболочку В г и положим А(Г=[ХбК(Р}.-ХвК х Хв + 2Г}. Множество ttfr—A&fl К Г будет искомым. В самом деле оче видно, что U$cKe{P) и В Г U T . Отсюда ясно, что [is есть компактная окрестность точки Хо . Выберем для полунормы р _ б:(о,і) так, чтобы выпол нялось неравенство ( ) при W = Uj- и имело место включение С ХоI — б » X0J с .р f/Xof-cT, /Хо + ] (для этого нужно выбрать Существует р 6- (о, такое, что неравенство ( ) выполнено, причем С Х0), IXol + J = Z р С х01- 5", Х0 + Г] (для этого достаточно взять р С "2 , г /хе- Г ) Заметим, что 1 w , + ог- /х0- 5" и, следовательно, Из выбора р7 р и Б следует, что для любого два неравенства в виде Заметим, что при любых полунормах р и р lis tfpUj) У l/(p+p)U И, таким образом Равностепенная непрерывность семейства операторов {Щ1,Х) X е Uy ] установлена. Отсюда следует непрерывность UU,X]j! при любом Е . СЛВДСТВЙЕ 2. Если Хо 6 Ke(P) , то можно указать такую компактную окресность Цо этой точки, лежащую в К (Р) , что для всякой полунормы ре ДЕ] можно указать полунорму р 6 Д) , число 6$
Теорема порождения непрерывных представлений полугрупп Ли
Поскольку каждое непрерывное представление является суммируемым, то условия уже полученных теорем нужно изменить так, чтобы были выполнены условия теоремы порождения суммируемого представления и какое-либо условие гарантировало непрерывность построенного суммируемого представления. Настоящий параграф будет построен следующим образом -первоначально будут сформулированы различные варианты теоремы порождения указанного класса представлений, а лишь затем проведено их сведение к соответствующим теоремам порождения суммируемых представлений. Отметим также, что в теореме С.З нам удается понизить (по сравнению с теоремой В.З) класс представления алгебры Ли. Это удается сделать, используя ограничения на рост вблизи нуля полугрупп операторов класса Со . ТЕОРЕМА. С. Представление алгебры Ли Г класса Сг , соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до непрерывного представления полугруппы Р в том и только том случае, если (1) операторы А(Х), Х КЧР) порождают полугруппы операторов класса Со U(t,X) ; (2) множества Ъс (1 = /,2) инвариантны относительно полугрупп U(-fc,Xj ; (3) если ЫеЪ, Хб К(Р) ; УёГ , то функция f(t) = A (Y) bUt,X) ц. непрерывна при t о ; (4) для любого компакта ВСК(Р) семейство операторов равностепенно непрерывно. ТЕОРЕМА C.I. Операторная алгебра Ли СА,33) класса С --интегрируема до непрерывного представления полугруппы Ли, если (1) операторы c(A(XJ) , Х6К(Р) порождают полугруппы операторов Ш"М) класса С0 ; (2) множества Д- (L = 1,Z) инвариантны относительно полугрупп (3) если абД , Хб К(Р), Y Г , то функция /(t)=A(Y)tt(i,X)u. непрерывна при t 0 ; (4) для любого компакта В К(Р) семейство операторов ( U(t,X) X В, t С / J j равностепенно непрерыв но. Как и раньше, представление алгебры Ли назовем прединтегри-руемым, если для него выполнены условия (I) и (4) теоремы (в данном случае теоремы С). Теорема. С.2.
Прединтегрируемое представление алгебры Ли Г класса С соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до непрерывного представления полугруппы Ли Р в том и только том случае, если (2.2) множества Ьс(ь-,3) инвариантны относительно Полугрупп ІДІ,Х), X КСР) ; (3.2) для aeDf,X К(Р) , Y Г функция U- локально регулярно интегрируема (интегрируема и абсолютно интегрируема на любом промежутке в С о, + ) ). В сторону достаточности теорема сохраняет силу для оператор ных алгебр Ли, если операторы А(Х) заменить на ci(A(X)J, а множества DL на D; . ТЕОРЕМА. G.3. Прединтегрируемое представление алгебры Ли класса С , соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до непрерывного представления полугруппы Ли Р в том и только том случае, если (2.3) множества ВІ (1-і,г,ь) инвариантны относительно полугрупп (3.3) для u.«D, Х К(Р) Ї Г функция локально ограничена при t 0 . Замечание о достаточности указанных условий для интегрируемости операторной алгебры Ли остается в силе. ТЕОРЕМА. С.4. Прединтегрируемое представление алгебры Ли Г класса С2 » соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до непрерывного представления полугруппы Ли Р в том и только том случае, если (2) множества Ъс ( =1,1) инвариантны относительно полугрупп (3.4.)полугрушш (X(t,X) ,X6K(PJ образуют полугруппы класса С0 в пространстве Б, , снабженном топологией графика. В сторону достаточности теорема сохраняет силу для операторных алгебр Ли, если пространство D заменить на Д , где Д пополнение D по мультинорме, состоящей из полунорм вида p1(u.J=p(a/)+pc (ACXOJLtj+ . . , + p( (A(Xn))aJ здесь р б () , а элементы Х (С = 1,1,...,п) образуют базис алгебры Ли Г . ТЕОРЕМА С.5. Представление алгебры Ли Г класса С , соответствующее конусу К(Р) интегрируемо до непрерывного цредставления полугруппы Р в том и только том случае,если (1.5) операторы имеют в (и о, ), е R квазирезольвенту R(A,X) ; семейство операторов {(/l.,ry+ /L( l)(A)X)U a)0j ь ІЇ) равностепенно непрерывно в D; СІ !,2-) , снабженном топологией графика. На случай операторной алгебры Ли теорема распространяется с очевидным изменением - операторы А(Х) заменяются на d(A(X))t а множества Ъс на Ъс » где Д: есть пополнение St относительно топологии графика.
Завершим введение в этот параграф следующими двумя замечаниями. Замечание I. Теорема порождения равномерно непрерывных на конусе К(Р) представлений получается из сформулированных при замене условия (4) теоремы С на условие (4.Р) семейство операторов {11(1,X) \XKLP), \х[$ \\ равностепенно непрерывно. Замечание 2. Условия (2.2)-(2.5) и (3.2-3.5) теорем С2-С5 можно заменить условиями (2.2)-(2.5) и (3.2)-(3.5) теорем В2-В5, т.к. непрерывность построенного суммируемого представления следует из условий (I) и (4) теоремы С. Условия заменены новыми ради единообразия формулировок, т.е затем, чтобы полугруппам класса Со в Ё , соответствовали полугруппы того же класса в Б: IL- 1,z) . 4.1. Необходимость условий теоремы С следует из замечания 3.2.3, предложения 4.1.4, формулы коммутации производящего оператора с однопараметрическим подпредставлением и определения непрерывного представления 3.2.3 главы I.
Для доказательства достаточности заметим, что условия теоремы С влекут выполнение теоремы В и, таким образом, существует суммируемое представление Т полугруппы Р , производящие операторы которого совпадают с операторами представления алгебры Ли. Условие (I), совместно с условием (4) гарантирует непрерывность указанного представления. 4.2. Достаточность условий теоремы C.I вытекает из достаточности условий теоремы БЛ и условий (I) и (4). 4.3. Необходимость условий теоремы С.2 следует из предложения 4.1.4 главы I и необходимости условий теоремы С. Поскольку выполнение условий теоремы С2 влечет выполнение условий В.2, то представление алгебры Ли интегрируемо до суммируемого, а в силу условий (I) и (4) теоремы С до непрерывного, представления полугруппы Ли. 4.4. Необходимость условий теоремы СЗ вытекает из предложе ния 4.1.4 главы I и необходимости условий теоремы С. Достаточность вытекает из доказанной ниже леммы и теоремы C.I, примененной для операторной алгебры Ли класса Сг([д;В2). Замечание. Если представление алгебры Ли таково, что операторы А(Х),ХеГ порождают группы операторов, то, очевидно, что для / D, функция ПШМІІ1 =1/1Ш,Х)/ + + fruaJcfA(Y)U(i,X)/f/ IYI-1 измерима и ограничена (при условии, что D, инвариантно относительно групп ll(i,Xj ). Поскольку Б , снабженное нормой . , , образует банахо во пространство, то лемма I.I ([7J , стр.40) позволяет заклю чить , что функция ((і) = A (YJ Ц(і, X) I локально ограничена. 4.5. ЛЕММА. При выполнении условий теоремы СЗ функция MYjllMii (іібВг,ХбКЧР), Y r) слабо непрерывна при і 0 . Доказательство. Предположим, что Ye К (Р) , т.е. оператор кіу) порождает полугруппу класса С0 . Если мы обозначим А(Х) через A , A(YJ через В , то, как следует из соотношения ( ) леммы 3.7 для цроизвольного функционала $ 6 Е иВа=а( lit к , В) -1) $, Bn.Wt,A)a = $, Brt U- + f S, Bali.(s,A)Au $ . Последовательность f n L$) - &n, H($, A) A u-равномерно по г локально ограничена при s ъ о , В самом деле, Поскольку полугруппа lLb-,Y)= И{і,Ь) принадлежит классу С0 , то для г по, П , seLo, to] $,11(л,В)В1Ц$,А)Аи. p(BU(s,A)Au.) c :-o Отсюда ясно, что J,Bn.ats,A)Au. [« a-fe-C- =С Переходя в соотношении ( ) к пределу заключаем, что, поскольку /a(5)=Ba U.(s, А)А«-поточечно сходится к то на основании теоремы Лебега 5,B(I(t,A)u = 5, Bu. -bi l,Btl(s,A)Aa Отсюда следует непрерывность функции $,BU(i,A)u. = ,ACYja(i,X)u. в нуле. Непрерывность функции для произвольного ЧбГ следует из линейности представления. Слабая непрерывность в произвольной точке t 0 устанавливается аналогично, исходя из соотношения U(t+M)w. -lt(t,X)u, Уй-М)АСХ)иД« СЛЕДСТВИЕ!. Если U_ 2 а 0 для представления выполнены условия теоремы С.З, то функция A(Y)U.(i,X)u_ непрерывна в любой точке t O .
Сопряженные антипредставления
Если в определении представления полугруппы Ли заменить тождество (I) следующим соотношением ІА) T(st) = T(t).TU) , s V0 а в определении представления алгебры Ли изменить условие коммутирования так,что выполнено 2А) для ш ХД Г, LA(X),A(Y)]U,= A(CY,X])UL то мы приходим к определению антипредставления полугруппы (соответственно алгебры) Ли. Пространство Е , снабженное топологией ограниченной, компактной, поточечной сходимости обозначим через (, Тв) } (Е, Хк) и (Е,б") соответственно. 2.1. ТОПОЛОГИЯ 01РАНИЧШН0Й И КОМПАКТНОЙ сходимости. Всюду в этом пункте рассматривается пространство (Б ,г) I {Тв э Хк] t причем оно предполагается секвенциально полным. ТЕОРЕМ. Пусть Т т представление полугруппы Ли Р , А(Х); Х6Г - его производящие операторы. Положим D Тогда Т образует антипредставление полугруппы Ли в лвп Е" , операторы А+(Х),Х Г антипредставление алгебры Ли (интегрируемое до Т+). Если представление Т непрерывно, то таким будет и Т , при этом Е =sc.(D ). Доказательство сформулированной теоремы разобьем на ряд лемм. 2.I.I. Предложение. Для любых s о , X К" ) функция Т%,Х) непрерывна на set (D ) Доказательство. Из теоремы 2.4.1 главы I следует, что Т ($,Х) -128 непрерывна на и, следовательно, на &от. (А (Х)) В самом деле, в силу нерестановочности А(Х) и Т("Ь,Х) , &от (A (X)J инвариантно относительно , откуда
Отсюда следует непрерывность T (s,X) на зс (D ) . 2.1.2. Предложение. В инвариантно относительно анти представления Т . Доказательство. Следует из формулы перестановочности А(Х) и T(j) . Действительно, ДЛЯ JC6 D/ = Л 4от-(А(Х)) и и, таким образом, Т (9)$«3) Е+ (Х) = 5еИо(т (і,х)]І) ) = Е + Доказательство. Включение Е+(х)с + очевидно. Для доказательства обратного включения заметим, что для любого о E4X) = scC(tiyT Ji,X)]) ) В самом деле, если = T (t0)X) , 7) t0 , то для некоторого "- е/\/ -jf б (о, є) . Отсюда, воспользовавшись предложением 2.1.2 заключаем, что 1 = Г(% Ж ( ,Х)Ї_ VT (t,X)I) t6(o,) Если же теперь EeT (t,,Y) , l D , то без ограничения общности можно считать і, столь малым, что T (tbY) =T (exft Y) Воспользовавшись предложением 1.5.4 главы I заключаем, что T Cexps1X)T Cs1Xa)...T (expSrtXOT Ca) = Переходя к секвенциальному замыканию получаем, что Е СЕ (X) . 2.1.4. шщкошнш. Е инвариантно относительно антипред ставления Г Доказательство. Воспользовавшись предлодениятди 1.5.4 (глава I) и 2.1.2 заключаем, что для достаточно малых t и произвольного Х6К(Р). T (j)T4exptX)D = TH(e ptX )DKciT4exp5,xjD Завершает доказательство применение предложения 2.1.3. 2.1.5. ДНдаЖЕНИЕ. Если Т полутруппа операторов с произво дящим оператором А , Е6 - замкнутое пространство Е , инвари антное относительно Т , причем Т является полугруппой В Ео , то А = ААЕ0хЕо является производящим оператором полугруппы т.а)-т(«1ь Доказательство. Обозначим через В(Вв) производящий (соответственно инфинитезимальный) оператор полугруппы То Очевидно (поскольку Е0 замкнуто), что B0-AoAEoxEo и, в частности, dom В0 - dom. Ао Л Ео Поскольку То полугруппа, то Ес инвариантно относительно канонической квазирезольвенты, которая является сужением на Ео канонической квазирезольвенты ША) полугруппы Т С другой стороны, оІот(Ао) инвариантно относительно ЩА) , поэтому для ц = dom 80 (А-Вв)0)и = LL-e xTCQii. Воспользовавшись тем, что Та полугруппа, получаем секвен циальную плотность в Е0 dom. (80) . Отсюда, в свою очередь , следует, что для ЦбЕ0 Из предложения 2.2.6 главы I имеем, что в этом случае Л=В . 2.1.6. Приступим к доказательству теоремы 2.1. Отображение "Г :J T ty удовлетворяет, очевидно, соотношению T (ts) U)T (t) Поскольку Е инвариантно относительно Т , то Е4 инвариантно и относительно однопаршлетрических антиподпредставлений Т (i,X) (exptX)(t o) t которые, очевидно, образуют локальные полугруппы операторов. Дословно повторяя доказательство предложения 3.1.4 главы I заключаем, что Т образует антипредставление полугруппы Ли (заданное на той же самой окрестности единицы, что и Т ) в пространстве Е Так как в силу теоремы 2.4.1 (глава I) полугруппа операторов Т (-Ь,Х) имеет в пространстве Ej=sce(l/T (t,x)eUmCA (x))) производящий оператор А (Х) А (Х)Л Ej j , а пространство Е+ секвенциально замкнуто в Ех , то, в силу предложения 2.1.5, производящий оператор T (t,X) в пространстве Е + равен А (Х)ЛЕ+ Е+.
Проверка того., что эти операторы образуют антипредставление алгебра Ли очевидна. Если представление Т непрерывно, то в силу теоремы 2.4.1 каждая из полугрупп Т (t,X) будет непрерывна на Ех+ и, следовательно, на Е . Равномерная непрерывность на любом конусе К с К(Р)Т (в) следует из предложений 4.1.3 и 4.1.4 работы [20] . Кроме того, в этом случае для ueD функция T ("t,X)n непрерывна и поэтому Обратное включение установлено в 2.1.2, следовательно sc І Здесь мы рассмотрим случай" пространства СВ\&) . Для сопряженных представлений мы снимаем в этом случае условие локальной эквинепрерывности. Под его непрерывностью мы понимаем непрерывность любого однопараметрического полпредетавления. Предположим также, что ( , &) секвенциально полно. ТЕОРЕМА. Пусть Т - представление полугруппы Ли, А(Х)(Х«Г) - его производящие операторы. Положим Е+=5с6((У V T (t/)E ) Тогда Т+ образует актипредставление полугруппы Ли, а А+(Х)=А (Х)ЛЕ + хЕ+,Х Г образуют интегрируемое (до Т+ ) антипредставление алгебры Ли. Если представление Т непрерывно (суммируемо), то и Т+ непрерывно (суммируемо). Для непрерывного представления Е = Е Доказательство. Заметим, что с очевидными изменениями, предложения 2.1.3 - 2.1.5 справедливы и в этом случае, поэтому Остальные утверждения теоремы следуют из 2.4.2 главы I, если заметить, что при любом Х = К(Р).
