Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Формулы следов для возмущенного операто ра лапласа-бельтрами на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком 25
1.1. Предварительные сведения 25
1.1.1. Многообразие ML 25
1.1.2. Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML 30
1.1.3. Спектральные свойства оператора Лапласа-Бельтрами 36
1.2. Построение и вычисление регуляризованного следа возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами на ML 39
1.2.1. Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = мь + В и —Амь 42
1.2.2. Построение регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь + Я и —Амь 48
1.2.3. Сведение общей формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —А + q и кы 50
1.2.4. Связь дзета-функции и тета-функции оператора Лапласа-Бельтрами 51
1.2.5. Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на ML 53
1.3. Задача нахождения регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на многообразиях с замкнутыми геоде зическими в случае общего положения 59
1.3.1. Общий вид метрик в случае общего положения 59
1.3.2. Оператор Лапласа на многообразиях в случае общего положения 61
1.3.3. Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами на многообразии в случае общего положения 63
Приложение 70
Список литературы
- Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML
- Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = мь + В и —Амь
- Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на ML
- Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами на многообразии в случае общего положения
Введение к работе
Актуальность темы. Возникновение теории интегральных операторов Фурье послужило толчком для новых исследований в теории изучения спектра дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихарактеристическим потоком. Первые результаты, полученные в этом направлении (А. Вейнстейном1, Дж. Дейстермаатом и В. Гийеминым2 и др.) показали, что спектр таких операторов хорошо локализуется вокруг спектра невозмущенного (отвечающего главному символу) оператора. В этой теории оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный оператором умножения на гладкую функцию на многообразиях с замкнутым геодезическим потоком занимает особое место, как основная модель и как физически наиболее интересный случай.
Кратко обратимся к истории вопроса. Будем рассматривать Д — оператор Лапласа-Бельтрами на единичной сфере S2 из R3. Пусть q — оператор умножения на комплекснозначную бесконечно дифференцируемую функцию на S2. Пусть также {Afc}^0 и {/-tfclfcLo ~~ собственные числа операторов —Д и —A + q соответственно, занумерованные с учетом кратности в порядке возрастания их действительных частей.
Спектр оператора — Д на S2 известен3:
Xki = k(k+1), (1)
к = 0,1,...; і = 1,..., Nf., с кратностью Nf. = 2к + 1.
Для собственных чисел оператора —A + q будем использовать двойную нумерацию yUfcj, согласованную с нумерацией А^.
1Weinstein A. The resolvent of an elliptic boundary problem. Fourier integral operators, quantization and the spectra of Riemmanian manifolds. - Colloque International de Geometrie Symplectique et Physique Mathematique CNRS Aix (Juin 1974). 1976.
2Duistermaat J.J., Guillemin V. The spectrum of positive elliptic operators and periodic bicharacterictics. - Invent.Math., 1975, vol. 29, p.39-79.
3Розенблюм Г.В., Соломяк M. 3., Шубин М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов, Дифференциальные уравнения с частными производными - 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5-242.
В. Гийемин4 и Г. Видом5 изучили спектр оператора — Д + q на S2 и показали, что оценка
І№-Аь| = 0(1), i = l,...,Nk, (2)
получаемая методами теории возмущений6, может быть улучшена лишь для нечетных q (т.е. q(rx) = —q(x) для каждого х Є S2, где т-антиподальное отображение) до
І№ - Afcj| = О ( р- J , i = l,...,Nk, (3)
и О в (3) можно заменить на о только для q = 0.
А. Вейнстейн рассмотрел оператор — Д + В на компактном римано-вом многообразии X (мы приводим результат для двумерного случая), где В - псевдодифференциальный оператор нулевого порядка и показал, что для любой функции f(z), аналитической в некоторой области, содержащей последовательность {ц^— Afci}^0 і=о> (3Десь> аналогично предыдущим обозначениям, yUfcj - собственные числа возмущенного, a Xki - невозмущенного операторов) верно
^/(№-Аь) = ^2 / f(Bav)dv + 0(l),
i=o s,x
где S*X расслоение единичных сфер в кокасательном пространстве; dv -
канонический элемент объема S*X, Bav = — f (expfE.)*a(B)dt -символ
27г о
усреднения оператора В, здесь <т(В)-символ оператора В, S - гамильто-ново векторное поле на Т*X \ {0}. В.Гиейминым и А.Урибом8 это утверждение было распространено и на случай возмущения оператора Лапласа-
4Guillemin V. Some spectral results for the Laplace operator with potential on the n-sphere. - Adv. Math. 27, 273-286. 1978.
5Widom H. The Laplace operator with potential on the 2-sphere - Adv. Math. 31, 63-66. 1979.
6Като Т. Теория возмущений линейных операторов. - М. Мир. 1972.
7Weinstein A. Asymptotics of eigenvalue clusters for the Laplacian plus a potential. Duke Math J., v.44, p.883-892, 1977
8Guillemin V., Uribe A. Spectral properties of a crtain class of complex potentials. - Trans, of the Amer. Math. Soc, v. 279, №, 759 - 771. 1983
Бельтрами комплексным потенциалом.
Таким образом, относительно асимптотического распределения собственных чисел оператора —Д +
Регуляризованным следом порядка а оператора А называются соотношения вида
Y^W-Ak(a))=B(a), (4)
где Afc - собственные числа оператора А, а Є К , а Ак(а) и В (а) - явно вычисляемые через характеристики оператора функции, символ 5^ означает или обычное суммирование или один из методов суммирования.
Первая формула такого вида для обыкновенных дифференциальных операторов была получена в 1953 году в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана9, где в качестве А рассматривался оператор Штурма-Лиувилля с
потенциалом q(x), J q(x)dx = 0:
Х>-п2 ) = -<^М
п=1
Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы И.М. Гельфанда, Л.А. Дикого, М.Г. Гасымого, и Б.М. Левитана, Р.Ф. Шевченко, А.Г. Ко-стюченко, В.А. Садовничего, В.Е. Подольского и многих других.
В.Б. Лидским и В.А. Садовничим10 был предложен метод доказательства формул типа (4) для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке
^Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка.- ДАН СССР, 1953, том 88, №4, с.593-596.
10Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций.- Функц. анализ и его прил., 1967, том 1, №2, с. 52-59.
со сложным вхождением спектрального параметра, сводящийся к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой.
Даже для обыкновенных дифференциальных операторов, регуляризо-ванные следы могут образовывать расходящиеся ряды, и тогда возникает задача их суммирования каким-либо подходящим методом суммирования.
Один из подходов — суммирование следов со скобками. Первой реализацией такого подхода для обыкновенных дифференциальных операторов можно считать работу11 В.А. Садовничего, В.А. Любишкина и М. Мар-тиновича 1987 года. Крупным продвижением в теории следов стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского12, где рассматривался оператор Лапласа-Бельтрами возмущенный гладким нечетным веществен-нозначным потенциалом на двумерной единичной сфере S2. Этот оператор имеет кластерную асимптотику -ZV(A) и для него суммирование со скобками является естественной постановкой задачи. Для этого случая была доказана формула:
M0 + J2
к=0
" 2fc
Y^l*ki-k(k + l)(2k + l)
i=0
s2
Позже В. E. Подольский13, применив к этой задаче суммирование по Абелю и затем к полученной формуле тауберову теорему Литлвуда, доказал, что ряд сходится без скобок (но этот случай является единственным исключением). Позже В.Е. Подольским 14 были получены аналогичные формулы для любых степеней собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на компактных симметрических пространствах ранга 1.
11Садовничий В.А., Любишкин В.А., Мартинович М. Конечномерные возмущения дискретных операторов и формулы следов. - ДАН СССР, 1987, том 293, №5, с.1062-1064.
12Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере. - ДАН СССР, 1991, том 319, №1, с.61-62.
13Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на сфере S2. - Матем. заметки, 1994, том 56, №1, с.71-77.
14PodoPskii V. Е. On the summability of regularized sums of eigenvalues of the Laplace-Beltrami operator with potential on symmetric spaces of rank one. - Russian J. Math. Phys. 4, №1, 123-130. 1996
А.Н. Бобров предпринимал попытку15 найти след оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности вращения Цолля, но допустил неточность (подробнее см. параграф 1.2.1 настоящей работы) и приведенную им формулу нельзя считать окончательно верной, но результат для случая простой сферы S2 и произвольной комплекснозначной функции q Є С был получен. В.А. Садовничий и З.Ю. Фазуллин для оператора, возмущенного произвольной комплекснозначной функцией лучшей гладкости: в 2005 году для q Є C2(S2)16, а в 2011 году для q Є Wf(S2)17, получили формулу регуляризованного следа:
оо 1к
Y. Z) ь» - к(-к+1^2к+х) - с] = 2сь
к=0 г=0
гДе со = Т- J «Hdw, С! = —-з J J ^ =dwdw0 - —- J qz{uj)duj,
An s2 S2n-\s2 s2 y/l - (oj,oj0)2 lD7Ts2
(ш, cJo) - скалярное произведение векторов w = (cos
Цель работы. Исследование задач спектральной теории операторов для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими одинаковой длины, метрики которых являются возмущениями стандартной метрики сферы, в том числе иследование дзета- и тета-функций таких операторов, получение формул регуляризованных следов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие основные результаты:
1. исследовано аналитическое продолжение дзета-функции для возмущенного и невозмущенного операторов Лапласа-Бельтрами на двумерных многообразиях с замкнутыми геодезическими;
15Бобров А.Н. След оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на поверхности Цолля.- Доклады АН, 368 (2), 154-156. 1999.
16Садовничий В. А., Фазуллин 3. Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2 — Матем. заметки, 2005, 77:3, с.434-448.
17Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.Н. Свойства резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере и формула следов.-Доклады академии наук, 2011, Т.441.№2. С. 174-176.
-
впервые получена формула геометрического регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами при возмущении метрики многообразия;
-
впервые получена формула регуляризованного следа для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущенного потенциалом, на многообразии с замкнутыми геодезическими (не являющемся сферой) и доказано, что полученная формула верна для всех таких многообразий, не зависит от явного вида метрик, а зависит только от их геометрических инвариантов.
Методы исследования. В диссертации применяются методы теории псевдодифференциальных операторов, методы теории функций действительного переменного и теории функций комплексного переменного, методы дифференциальной геометрии, методы спектральной теории операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области функционального анализа, спектральной геометрии и математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:
семинаре «Теория следов операторов» механико-математического
факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством
В.Е. Подольского) (неоднократно: 2007-2011 гг.);
конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», г. Уфа (12-16 июня 2011 года);
XI Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», г.Нальчик (4-8 декабря 2013 года);
семинаре «Спектральная теория дифференциальных операторов» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством академика РАН В.А. Садовничего) (13 декабря 2013);
17-й международной Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», посвященная 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова, г. Саратов (27 января - 3 февраля 2014 года);
семинаре «Операторные модели в математической физике» механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова под руководством проф. А.А. Шкаликова, доц. И.А. Шейпака, доц. A.M. Савчука, А.А. Владимирова (11 апреля 2014).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых 2 — в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. Работ в соавторстве нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, главы, включающей три параграфа, списка литературы из 48 наименований, включая работы автора. Общий объем диссертации составляет 90 страниц.
Оператор Лапласа-Бельтрами на многообразии ML
Такое представление метрики ds0 в лиувиллевом виде обеспечивает наличие квадратичного интеграла ее геодезического потока [3], а значит и структуру лиувиллева слоения на расслоении единичных кокасательных векторов. Это слоение имеет четыре однопараметрических семейства торов Л иу вил ля, для каждого из которого можно явно выписать формулу для функции вращения: что эквивалентно замкнутости геодезических, лежащих на торах из рассматриваемого семейства, так как необходимое и достаточное условие замкнутости всех геодезических имеет вид р = const = — Є Q (Г. Дарбу).
Я. Важно, что метрики вращения без особенностей с замкнутыми геодезичис кими существуют только при р = 1, q = 1.
Далее в [3] строятся возмущения стандартной метрики сферы таким образом, чтобы функция вращения не изменилась, то есть осталась равной единице. Отмечается, что приведенную формулу метрики можно рассматривать как четыре отдельные формулы на четырех областях:
На каждой из четырех областей функции P{v2) и P{v%) можно задать независимо друг от друга (своей формулой), лишь требуя их гладкой стыковки на границах указанных областей, также эти четыре метрики (на разных областях) можно задать разными функциями, а вместо функций P{v2) и P{vz)i задаваемых одной функцией Р, можно взять две разные (только от разных аргументов), например, Q и R:
Структура лиувиллева строения для метрикой (Q+,Q_, R+, R_) полностью аналогична, а функция вращения на аналогичном семействе торов записывается как: возмущенной сферы (что в свою очередь гарантирует замкнутость геодезических). И, окончательно, в [3] приводятся явные формулы для указанных возмущенй стан зо дартной метрики сферы, не меняющих функцию вращения: здесь а и (3 - почти произвольные гладкие функции, с требованием того, чтобы их добавление не меняло асимптотики (до взятия третьей производной) функции P(v) в точках v = —а, —6, —с, и чтобы выражение в скобках всегда оставалось положительным. В остальном функции а и (3 произвольны.
Таким образом, в [3] показано, что метрика стандартной сферы допускает много возмущений (причем, эти возмущения даже не обязаны быть малыми), созраняющих замкнутость геодезического потока.
Всюду дальше, будем обозначать наше многообразие ML (где, буквой L, будем напоминать о лиувиллевости метрики), а саму метрику будем записывать просто как , аи2, понимая ее при этом на каждой области в смысле (1.2). Рассмотрим оператор —Амь + Q, где q - оператор умножения на ком-плекснозначную бесконечно дифференцируемую функцию на ML. Для выражения в явном виде оператора Лапласа-Бельтрами на ML в локальных координатах (г 2,г з) воспользуемся известной формулой (например, [24]): и перейдем к оператору Р, действующему в сечениях расслоения полуплот 32 ностеи (ML, ft1/2) по формуле: Ри = р]і2(-Амь)(ирр1/2), и є C(ML, ft1/2). (1.6) Так определен классический эллиптический псевдодифференциальный оператор из Ф2 (МЬ, ft1/2, ft1/2), для которого (Pu,v) = (u,Pv), u,v Є C(ML,ft1/2). Этот оператор имеет те же собственные значения, что и —Амь, а его собственные функции получаются из собственных функций оператора —Амь умножением на р . Далее зададим оператор V в L (ML, ft / ) ограничением Р на те и Є L (ML,Q, / ), для которых Ри Є L (ML,Q, ). Верны следующие утверждения: 1) Оператор V — неограниченный и самосопряженный оператор в 2) Область определения H i(ML, ft / ) оператора V — всюду плотна. Итак, пусть главный и субглавный символы оператора V равны р(х, ) и sub(:r, ) соответственно. Отметим, что для бесконечно дифференцируемого риманова многообразия М размерности 2 с метрикой д, если в качестве плотности зафиксировать квадратный корень из определителя метрического тензора РР = Jdetgijdx, то в локальных координатах символ оператора Лапласа-Бельтрами —А, действующего в сечениях расслоения полуплотностей (ML, ft1/2) по формуле (1.6), имеет вид: а р (х, ) = а2 (х,{,)+а[ (х, ) +
Построение формулы регуляризованного следа для собственных чисел оператора —Амь = мь + В и —Амь
Дальше нам потребуется следующий факт общей теории ПДО (см., например, [22]): для эллиптического ПДО В положительного порядка ш, полуограниченного снизу, с самосопряженной главной частью, действующего на компактном многообразии размерности п, существует разложение: верное для всех TV, причем fjj = 0 для всех j 0. Вычислить коэфициенты r/j и fjj мож;но с помощью детального исследования дзета-функции ПДО (см. [34]). В частности, оттуда следует, что если оператор В - дифференциальный и многообразие без края, то fjj = 0 для всех j. Дополнительно отметим, что в нашем случае равны и всег/j с нечетными индексами, то есть коэфициенты при дробных степенях t (более подробно это будет объяснено ниже, в параграфе, описывающем непосредственное вычисление коэффициентов тета-функций).
Для оператора являющегося самосопряженным расширением оператора —Амь при t — 0, известна асимптотика его тета-функции, совпадающая с L{t): ад-Г1 / , (1.22) и аналогично для F{t) F(t) t lJ2f3tJ, (1.23)
Отметим, что из формул (1.20), (1.22) и (1.23) сразу следует, что а\ = О и 0-2 = 0, и осталось вычислить только 2о- Подставим (1.23) в (1.20) и перепишем: Сравнивая получившуюся формулу с (1.22), получаем, что соответсвующих тета-функций операторов, и их можно вычислить
через значения аналитического продолжения дзета-функций данных операторов (это будет сделано в пункте 1.2.4 настоящей диссертации), а значит ряд сходится абсолютно.
Для вычисления правой части этого ряда проведем следующие рассуждения:
Для внутренней суммы воспользумся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, тогда где 0 t; 1. Так как из (1.14) следует, что Л — к (к + 1) = 0(1), то остаточный член при Є [0,1] оценивается рядом t е + г(2к + 1),
Рассмотрим второе слагаемое правой части. Как уже отмечалось выше, можем воспользоваться результатами работы [39] для нахождения асимптотики кластеров, так как символ усреднения оператора В нам известен и определен формулой (1.13). Значит при к — оо верно
Построение регуляризованного следа для собственных чисел операторов —Амь + Я и —Амь
Схема построения следа для этих операторов в целом совпадает с описанным построением в прошлом параграфе. Здесь тоже возмущенный и невозмущенный оператор на многообразии, только теперь в качестве возмущения выступает комплекснозначная функция q. И в этом случае верны все те оценки для собственных чисел, которые необходимы для построения формулы регуляризованного следа.
Аналогично можно положить vki = fiki — A j, здесь і = 0,. .. , 2к и аналогично (1.16) записать асимптотическое разложение при А; Введем в рассмотрение ряд M(t) = e_/Xfct и так как дЛЯ оператора являющегося самосопряженным расширением оператора —Амь + Я-, ПРИ t известна асимптотика его тета-функции, совпадающая cM(f), то: МЙ Г ш . (1.29)
Проводя аналогичное исследование только для собственных чисел/i И А&І с использованием асимптотик M(t) и L() можно показать, что в (1.28) Ъ\
Вычисление формулы регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами на ML
Начнем с исследования тета-функции оператора —Амь + Я и нахождения коэффициентов rrij в разложении M(t). Напомним (1.21), что для са-мосопряженнного расширения оператора — Амь + Я в L (ML) верна асимптотика вида M(t) 2mjt . (1.34)
В нашем случае вид -функции проще общего вида, описанного в (1.21). Отсутствие логарифмичиских членов связано с тем, что рассматриваемый оператор - дифференциальный, а рассматриваемое многообразие - без края. А отсутсвие членов с дробными степенями t выявляется из следующих рассуждений. Хорошо известно, что -функция и -функция связаны преобразованием Меллина: можно показать (см. [24]), что rij (1.21) при j = 0 и j = 2к + 1, к вычисляются через вычеты аналитического продолжения ( функции 7j в точках Zj = по формуле:
Оказывается, что в нашем случае, эти вычеты равны нули и коэффициенты при дробных стпенях в (1.21) равны нулю соответственно. Таким образом, имеем окончательный вид тета-функции опеределенный (1.34) и приступим к нахождению коэффициентов т\ и т2, которые в свою очередь, определяются через значения аналитического продолжения -функции оператора -АМь + q в 0 и 1:
В теории ПДО известна стандартная процедура (см., например, [24]) построения параметрикса для классического эллиптического псевдодифференциального оператора на замкнутом многообразии. В ее основе — нахождение символа параметрикса как асимптотической суммы неких однородных функций, которые, в свою очередь определяются через однородные компоненты символа самого оператора с применением формулы композиции. В случае, когда оператор дифференциальный, с помощью такого метода удается получить компоненты разложения символа резольвенты по рекурентным формулам, которые в нашем случае примут вид: где к, I - индексы; а - мультииндекс; их = - —; искомые компоненты символа параметрикса оператора —Амь + Я — XI; ai(v2,V3, i],X) - однородные компоненты символа a(v2} г з, Ці ) оператора —Амь+q—XI, полученные из однородных компонентов (1.5) символа а(г 2, г з, ,V) оператора — Амь+q следующим образом: а воспользовавшись вторым уравнением (1.36) сможем последовательно получить все
Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа Бельтрами на многообразии в случае общего положения
Схема подхода для вычисления регуляризованного следа совпадает со структурой решения, описанной выше для оператора —AML + q на многообразии ML. В частности, пункты 1.2.1, 1.2.2 и 1.2.3 переносятся в общий случай без каких-либо изменений. Везде там мы пользовались только свойствами оператора Лапласа-Бельтрами возмущенного и невозмущенного, заданного на многообразиях с замкнутыми геодезическими длины 27Г, но явный вид метрики в тех рассуждениях нами нигде не использовался.
Таким образом, для случая общего положения верен результат, полученный в пункте in І - коэффициенты разложения тета-функции M(t), l{ - коэффициенты разложения тета-функции L(t) и fi - коэффициенты разложения тета-функции F(t).
Очевидно, что функции F(t) и F(t) совпадают. И значит, коэффциенты Аналогично рассуждениям пункта 1.2.4 данной диссертации устанавливается, что 1=С-Дм()5 k =-С-Дм(1) Для нахождения недостающих для ответа коэффициентов разложения тета-функций были проведены символьные вычисления в системе компьютерной алгебры "Wolfram Mathematica 9" [35], так как «вручную», в отличии от предыдущего рассматриваемого частного примера, произвести эти вычисления оказывается практически невозможным. В Приложении к данной работе приведены вычисленные значения _дм+(?(0) и _дм+(?(1).
Несмотря на очень сложный вид получившихся коэффициентов, оказывается, что они снова записываются через инвариантные характеристики многообразия, и в случае общего положения вид асимптотик тета-функций операторов представляют самостоятельный интерес, поэтому данный результат вынесем в Лемму:
Лемма 1: Пусть М Є SC2ll — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (10), тогда для тета-функций F{t), L(t), M(t) соответствующих операторов —AM, —AM, —AM + q верны асимптотические разложения при
Теперь можем окончательно перенести реультат Теоремы 1 на случай общего положения:
Теорема 2. Пусть М Є SC2n — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (1-44); Я бесконечно-дифференцируемая комплексно значная функция на М, тогда для собственных чисел ц оператора —Ам + Я верно равенство: где Км - гауссова кривизна M, S M - расслоение единичных косфер над М, dv - каноническая форма объема naS M, qav = — f (ex.ptE) (q)dt, где о S - гамилътоново векторное поле на кокасательном расслоенииТ М\{0}, определяемое римановой структурой наМ, aav = — / (ex.ptE) ((j)dt, где ектор нормали к геодезической 7, J(r,ui) - объемная плотность в гео 67 дезических полярных координатах, то есть dvol( y) = J(r}uj)drduj, и и v - фундаментальные решения уравнения Якоби вдоль геодезической 7 с условиями = Эта теорема является универсальной в том смысле, что не зависит от явного вида метрики многообразия. Этот результат верен, например, и для многообразия ML, подробно рассматриваемого в настоящей диссертации, и для поверхностей вращения Цолля (см. примеры в пункте 1.3.1). Более того, можно привести ряд интересных следствий из нее. Следствие 1: Пусть М Є SC2n — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (1-44), тогда для собственных чисел А невозмущенного оператора Лапласа-Белътрами —Ам на М верно равенство: где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.
В этом легко убедиться, если положить q = 0 в формуле Теоремы 2. Этот результат представляет самостоятельный интерес и являтеся новым. Здесь удалось показать, как именно возмущение метрики многообразия влияет на изменение собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами.
Следствие 2: Пусть М = S — стандартная сфера единичного радиуса, метрика которой задана в виде (1-43), q - бесконечно-дифференци руемая комплекснозначная функция на S , тогда для собственных чисел fiki оператора — Д52 + q верно равенство: где все обозначения определены в формулировке Теоремы 2.
Чтобы осуществить переход к обычной сфере в условиях Теоремы 2, необходимо в формуле теоремы принять кривизну равной 1, то есть Км = К52 = 1. Более того, если задать здесь q - нечетной функцией, то результат совпадет с результатами, полученными в [16] и [14].
Следствие 3: Пусть М Є SC2n — многообразие, метрика которого является возмущением метрики стандартной сферы и задана формулой (1-44), тогда для собственных чисел Л невозмущенного оператора Лапласа-Белътрами —Ам и для собственных чисел fiki возмущенного комплексно значной функцией q оператора Лапласа-В елътрами — Ам + q на М, верно равенство:
