Содержание к диссертации
Введение
Глава 1- Главный член асимптотики обобщённого следа многомерных континуальных свёрток 12
1.1. Основные обозначения и некоторые общие сведения 13
1.2. Числовой образ и спектр оператора свёртки 22
1.3. Ядерность оператора усечённой свёртки. 30
1.4. Предел усреднённого обобщённого следа 36
Глава 2. О следе произведения операторов свёртки, усечённых расширяющимися многогранниками 41
2.1. Выпуклые многогранные множества 42
2.2. Алгебра Kr*m(Rn) 55
2.3. Функция v и её свойства 66
2.4. Равностепенно плавные семейства операторов 71
2.5. Об асимптотике следа произведения усечённых свёрток . 80
Глава 3. Операторы свёртки на расширяющихся многогранниках: пределы норм обратных операторов и псевдоспектров 88
3.1. Банаховы алгебры с локальной структурой 89
3.2. Определение алгебр л#х, ^х и *&х 94
3.3. Изоморфность алгебр WK, {WK)Q И ^ В случае конуса 97
3.4. Локальный изоморфизм 99
3.5. Иерархия многогранных конусов 103
3.6. Вложение WX В IlxGvert(X) ^соію(Х-х) 108
3.7. Пределы псевдоспектров 111
Глава 4. Об асимптотике обобщённого следа операторов свёртки на расширяющихся сегментах и многоугольниках 114
4.1. Определение и свойства операторов Ва%к 115
4.2. Построение асимптотически обратного оператора 120
4.3. Одномерный случай (п = 1) 128
4.4. Плоский скалярный случай (п = 2, га = 1) 134
Предметный указатель 139
Литература 142
- Числовой образ и спектр оператора свёртки
- Функция v и её свойства
- Изоморфность алгебр WK, {WK)Q И ^ В случае конуса
- Построение асимптотически обратного оператора
Введение к работе
В работе рассматриваются операторы свёртки на множествах вида тХ, где X — выпуклый многогранник, т 0. Исследуется асимптотическое поведение обобщённого следа этих операторов при г — +оо. При некоторых дополнительных предположениях доказано, что главная часть асимптотики представляет собой многочлен от т степени не выше п, а скорость стремления к нулю остаточного члена зависит от гладкости символа свёртки.
Пусть п, га Є N и р 1.
Обозначим через WmXm(Rn) алгебру винеровских матриц-функций на Rn, состоящую из матриц-функций вида
a{t) =с+ [е 1 Ак(х) dx (t Є Rn), (0.0.1)
где с Є Cmxm и к Є L™xm(Rn), т. е. с — квадратная матрица порядка га с комплексными элементами, к — интегрируемая матрица-функция (Стш-значное отображение).
Для любой матрицы-функции а Є Wmxm(Rn) обозначим через Са оператор, действующий в L™(Rn) по правилу
(Caf)(y) = cf(y) + Jk(y- x)f(x) dx (у Є R», / Є LJ»(Rn)).
(0.0.2) Говорят, что Са — оператор свёртки с символом а. Если X — измеримое подмножество Rn, то определим оператор Са,х в пространстве L™(X) следующей формулой:
(Ca,xf)(y) = с/(») + J Ну - )/( ) dx (у ex, / Є L«(X)).
(0.0.3) Говорят, что Сад — оператор свёртки с символом а на множестве X. Если fi(X) +оо, то Салх также называют оператором усечённой
свёртки. При m = 1 оператор называют скалярным; в общем случае — матричным.
Через Sx(a) будем обозначать множество тех Л Є С, для которых
limsup \\(XIrx - Са.тхУЧ +оо,
г- +оо
где 1тх — единичный оператор в Ь™(тХ).
За исключением главы 3, в работе рассматривается случай р = 2.
Если А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, то через J(A) будем обозначать его спектр, а через а {А) — множество изолированных точек спектра, являющихся собственными числами конечной алгебраической кратности.
Приведём определение обобщённого следа. Пусть А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, D С С, р: D — С — некоторая функция. Говорят, что определён -след оператора А, если абсолютно сходится ряд
\e rd(A)r\D
где (А) — алгебраическая кратность А. Сумму этого ряда будем обозначать через іг р(А) и называть р-следом оператора А или обобщённым следом оператора А относительно пробной функции у?. Заметим, что если оператор А ядерный и функция р голоморфна в окрестности т(А) причём p(Q) = 0, то оператор р(А) также ядерный и ti {A) = tr(y?(A)), где tr — след. Если А — матрица, то tr (A) понимается как ут-след оператора умножения на матрицу А.
Предмет работы — асимптотическое поведение tr (Cfljrx) при г — +оо, когда а — интегрируемая и достаточно гладкая функция на Rn, X — выпуклый многогранник в М", (р — многочлен или голоморфная функция комплексного переменного, определённая в окрестности Sx(a) и такая, что (р(0) = 0.
Хотя в настоящей работе рассматриваются лишь операторы свёртки на континуальной (недискретной) группе Rn, следует упомянуть также об операторах свёртки на дискретной группе Zn. Символы блочных дискретных свёрток — это Сшхпг-значные функции на п- мерном торе Т", где Т = {z Є С \z\ = 1}. Наиболее изучен дискретный одномерный скалярный случай (п = 1, гп = 1). В этом случае в качестве X берётся отрезок натурального ряда {1, — N}, где JV Є N. Соответствующий оператор усечённой свёртки с символом а Ьос(Т) отождествляется с тёплицевой матрицей TV (а) порядка N:
2тг
TN(a) = (с -,)&=1, где Cj = je a{e )d о Если га 1 (а Є гоХтп(Т)), т0 получается блочная тёплицева матрица, состоящая из N х N блоков порядка т. Таким образом, в дискретном случае рассматриваемые операторы конечномерны, поэтому обобщённый след tr (Tjv(a)) определяется с участием всех собственных чисел (в том числе и нулевых), а условие ср(0) = О не ставится. Кроме обобщённых следов тёплицевых матриц, часто рассматривают их определители det(7V(a)). Отметим, что если a(t) 0 для всех t Є Т, то log(det(T (a))) - trlog(TN(a)).
Изучение асимптотики определителей и обобщённых следов тёплицевых матриц (с положительными символами) начал Г. Сегё. В работе [64] он вычислил главный член асимптотики обобщённого следа и логарифма определителя ("первая" предельная теорема Сегё), а в [65] (см. также книгу У. Гренандера и Г. Сегё [10]) — два члена асимптотики логарифма определителей ("сильная" предельная теорема Сегё).
Результаты Г.. Сегё обобщались и уточнялись в различных направлениях. В частности, асимптотику определителей в одномерном случае исследовали М. Кац [59], Н. Ахиезер [1], Г. Бэкстер [48], А. Девинатц [55],
И. И. Гиршман [58], М. Г. Крейн [21], Б. И. Голинский и И. А. Ибрагимов [6], а также А. Бородин, А. Окунков, Дж. Байк, П. Дейфт, Е. М. Рэйнс (см.. обзор А. Бётчера [50]); первые два члена асимптотики определителей в многомерном случае нашли Г. Видом [70], И. Ю. Линник [24], Р. Я. Докторский [13]; изучением главного члена асимптотики обобщённого следа и распределения сингулярных чисел при слабых предположениях относительно а и у? занимались Л. Е. Лерер [23], СВ. Партер [62], Ф. Аврам [47], Е, Е. Тыртышников и Н. Л. Замарашкин [15, 68], П. Тилли [67]; асимптотику определителей в случае кусочно-непрерывных символов исследовали М. Е. Фишер и Р. Е. Гартвиг [57], Э. Бэйзор, А. Бётчер, Б. Зильберманн, Т. Эрхардт и др. (см. обзор Т. Эрхардта [56]); здесь названы не все авторы и направления. Большинство результатов об определителях и обобщённых следах тёплицевых матриц можно найти в книге А. Бётчера и Б. Зильберманна [53, Chapter 5].
Теперь перечислим отдельно публикации, наиболее близкие к настоящей работе, т. е. посвященные изучению полной асимптотики обобщённого следа тёплицевых матриц и операторов усечённой свёртки.
М. Г. Крейн [21] доказал, что множество всех функций а из оо(Т), у которых коэффициенты Фурье Cj удовлетворяют условию
5 1Ы2 +0° является банаховой алгеброй относительно нормы
NI = IHIoo+fElillcil2) причём пространство максимальных идеалов этой алгебры (которую обычно называют алгеброй Крейна) отождествляется с Т.
Г. Видом [69] доказал, что в одномерном дискретном случае, когда
символ а принадлежит алгебре Крейна,
ti{(fi{TN(a)) = cxN + с0 + о(1) при iV - +оо.
В. А. Васильев и И. Б. Симоненко [4] обнаружили, что если символ а бесконечно гладкий, то
tt{ p{TN{a)) = cxN + с0 + o{N-°°) при N -+ +оо,
т. е. главная часть асимптотики обрывается после постоянного члена, а остаточный член убывает быстрее любой степени 1/ЛГ.
Многомерная ситуация менее изучена. Б, Торсен [66] показал, что асимптотика р-след& n-мерных дискретных свёрток, усечённых расширяющимися прямоугольными параллелепипедами, имеет вид
c„tfn+... + c0 + o(l),
если р аналитична в окрестности круга с центром 0 радиуса ЦаЦ , где w — винеровская норма. Д. Катеб и А. Сеги [60] доказали аналогичное утверждение для случая, когда (p(z) = 1/z. В работах [66] и [60] требовалось, чтобы символ принадлежал n-мерному аналогу алгебры Крейна и удовлетворял некоторым дополнительным условиям, обеспечивающим возможность факторизации. Например, в [60] рассмотрены только положительные символы.
В настоящей работе решалась следующая задача: выяснить общий вид асимптотики обобщённого следа континуальных многомерных свёрток на расширяющихся многогранниках и найти достаточные условия убывания остаточного члена со степенной скоростью.
В главе 1 при слабых требованиях относительно символа и областей усечения найден главный член асимптотики, т. е. доказан многомерный вариант "первой" предельной теоремы Сегё (теорема 1.4.1):
Mm Му т)=тЛг/Мд( )) г-м-оо ц(Хт) (2тг)п У v к "
Здесь {Хт}тЄ х — какое-нибудь расширяющееся семейство множеств (см. определение 1.4.1); например, % = (0,+оо) и Хт = тХ9 где X имеет конечную меру и границу меры 0. Предполагается, что а Є L™xm(Rn) П ™xm(Rn), а(ос) = 0, функция р непрерывна на (а) и голоморфна внутри (а), причём существует предел Щр- при z — 0. Множество (а) определяется в § 1.2 ив скалярном случае (т = 1) совпадает с выпуклой оболочкой множества существенных значений функции а.
В главе 2 рассмотрено асимптотическое поведение tv(ip(Ca,rx)) для случая, когда X — выпуклый многогранник в Rn, (р — многочлен, причём tp(0) = 0. Доказано, что при т — +оо
tr( (Ca,r )) = сптп + ... + схг + с0 + о(гп ), (0.0.4)
где c i,... ,CI,CQ — некоторые комплексные коэффициенты. Предполагается, что а Є Kr™xm(Rn)) и a(oo) = 0. Здесь Kr™xm(Rn) - некоторая банахова алгебра, вложенная в Wmxm(Rn), которую можно считать многомерным континуальным аналогом алгебры Крейна. Эта алгебра, рассмотренная в §2.2, состоит из функций вида (0.0.1), для которых
/
х]1 \\k{x)\\2dx +oo.
Отметим, что во второй главе введено и изучено много вспомогательных понятий, используемых также в главах 3 и 4.
В главе 3 рассмотрена связь между операторами свёртки на расширяющихся многогранниках и операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранников. Доказано, что если а Є Wmxm(Mn) и X — выпуклый многогранник в Rn, то
Л » «=ж » - - »•
xGvertpf)
где vert(X) — множество вершин X, сопо(Х— х) — конус с вершиной О, порождённый множеством X — х. Предел множеств понимается в смысле метрики Хаусдорфа. Через ає(А), где А — непрерывный линейный оператор, є 0, обозначается г-псевдоспектр оператора А\ определяемый формулой
МА) = {А Є С (А/ - Л) 1» 1/е}. (Для любого необратимого оператора В полагаем ЦВ"1!! = +оо.)
Эти результаты о нормах обратных операторов и псевдоспектрах получены как следствия теоремы 3.6.1 о вложении некоторой банаховой алгебры, порождённой операторами свёртки на расширяющемся многограннике, в произведение банаховых алгебр, порождённых операторами свёртки на многогранных конусах при вершинах многогранника.
Кроме того, в главе 3 определено отношение частичного порядка на множестве многогранных конусов с вершиной 0. Для пар конусов (Кі,К2) таких, что К\ K L, найдена связь между алгебрами, порождёнными операторами свёртки на К{ и на К2.
В главе 4 для операторов свёртки на расширяющихся выпуклых многогранниках предложен новый способ построения асимптотически обратных операторов в виде сумм слагаемых, соответствующих крайним подмножествам многогранников. Этим способом формула (0.0.4) доказана для голоморфных функций р в одномерном матричном случае (теорема 4.3.1), когда п = 1, m 6 N и X = [0,1], а также в двумерном скалярном случае (теорема 4.4.1), когда п = 2, т = 1 и X — выпуклый многоугольник.
Из результата главы 1 следует, что в формуле (0.0.4)
Вопрос о вычислении коэффициентов с j,... ,с0 в настоящей работе не рассматривается, за исключением одномерного скалярного случая
(n = га = 1), когда методом В. А. Васильева вычислен также второй коэффициент cQ. (В. А. Васильев нашёл второй коэффициент для одномерного дискретного скалярного случая в своей магистерской диссертации "Формулы второго порядка в теоремах типа Сегё", 2002 г.)
Несколько замечаний об оформлении работы. Каждая из четырёх глав разделена на несколько параграфов и начинается с краткого обзора её содержимого. В некоторых параграфах выделены подпараграфы (без нумерации). Определения, утверждения и формулы пронумерованы с указанием главы и параграфа. Начала и концы доказательств отмечены значками и . Если утверждение приведено без доказательства, то в конце его формулировки поставлен значок х.
Основные результаты диссертации докладывались на заседании Ростовского математического общества, на международной научной конференции "Горячие точки науки", на семинаре "Тёплицевы матрицы" профессора А. Бётчера (г. Хемниц, Германия), и были отражены в работах [3], [14] и [25]-[33]. В совместных статьях [3] и [14] автору принадлежит исследование континуального случая. В работе [31], выполненной совместно с научным руководителем, научному руководителю принадлежат постановка задачи и большинство утверждений геометрического характера (в том числе техника работы с выпуклыми множествами), а автору — нахождение достаточных условий убывания остаточного члена со степенной скоростью (в том числе рассмотрение классов L\ Г\Ь% см. §2.2, лемму 2.2.2).
Работа над 3-й главой диссертации была финансирована в рамках комплексного проекта Б0024/2148 по программе по п. 1.4 ФЦП «Интеграция науки и высшего образования России».
Автор выражает глубокую благодарность своему руководителю, профессору Игорю Борисовичу Симоненко, за постановку задач, помощь и постоянное внимание к работе.
Числовой образ и спектр оператора свёртки
В оставшейся части главы рассматриваются операторы свёртки в пространствах Щ(X), X Є Е. В этом случае пространство Ст снабжается нормой а пространство матриц Cmxm — соответствующей операторной нормой. Если а Є Lxm(Rn), то оператор Ма Є End(L%(Rn)) определён формулой Если а Є Lxm(Rn) и X Є Е, то операторы Са Є End(L (Rn)) и Са,х Є ЕпсЦі рС)) определяются формулами Покажем, что при а Є Wmxm(Rn) ир = 2 эти определения совпадают с определениями (0.0.2) и (0.0.3). Действительно, если а имеет вид (1.1.4) и / Є Lf(Rn), то Лемма 1.2.1. Пусть а Є Lxm(Rn), X Є S/in, 0, г 0. 7Wa cy e-ствует такое XQ Є Е/»п г такая матрица-функция b Є Lxm(-Xo), что //(X\XQ) , 6 — аЦоо є и матрица-функция b принимает конечное множество значений, т. е. &() = bj при t Є Xj где b\,... ,6 Є Стхт, Хі,...,Х Є Е/І„, Х,-ПХг = 0 при j iu XiU ...UXk=X. Множество простых матриц-функций плотно в Lxm(X) относительно сходимости по мере, а из любой последовательности, сходящейся по мере, можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся почти равномерно (т. е. по Егорову). Из неравенства М0/[2 «оо/І2 получаем: МЛ ЦаЦ . Чтобы доказать противоположное неравенство, выберем произвольно є 0 и найдём такие Ъ є Стхт и X Є м, что Ь \\а\\оо - є и \\a(t) - & є для почти всех t Є X. Далее, найдём такой вектор v Є Cm, что \v\ = Ги 1ІМІ Ш\ — є- Пусть / = ii{X) ll2\x v где їх — характеристическая функция множества X. Тогда /2 = 1, а Ma/ \\bv\\ ЦаЦ — 2є. Так как є 0 выбрано произвольно, то Ма [аоо Пусть Ид, где А Є С, — множество открытых окрестностей А. Если а Є Lxm(Rn), то пусть где Ет — единичная матрица порядка т; %{а) — выпуклая оболочка множества таких А С, что Покажем, что в скалярном случае (т. е. при т = 1) (а) представляет собой множество "существенных значений" функции а, а множество &{ }) является выпуклой оболочкой &{а). Предложение 1.2.2. Пусть а Є Loo(Rn). Тогда равносильно существованию такой окрестности U Є іід, что a(t) U для почти всех t Є Шп. Отсюда следует формула для (а). Если t Є Rn, то W(a( )) = {a(t)}, поэтому (a) = conv( (a)). Следующая лемма представляет собой критерий обратимости оператора Ма, где а Є Lxm(Mn), в терминах матрицы-функции а. Лемма 1.2-2. Пусть а Є I xm(Rn). Тогда следующие условия равносильны: (a) esssupiRn Ца )"1)! Ч-сю, т. е. существует такое І Є Е, что ti(xc) = ои suPteX IK )"1 II +о; (b) элемент а обратим в алгебре Lxm(Rn); (c) оператор Ма обратим. Если Тогда Ь Є Lxm(R"), jbU esssupf6K„ ja(i)_1j) и a(t)b(t) = b(t)a{t) = m для почти всех t Є Kn, т. e. a b = b a = e. (b) = (а). Пусть 6 GXxm(Rn) и a-b = 6-а = е. Далее, пусть X - множество тех t Є Мп, для которых а() аоо, \\b{t)\\ W\oo и a(t)b(t) = b{t)a(t) = Ет. Тогда/г(Хс) = 0 и supfeX IK )"! = sup,X ft(t) Ьво. (b) =4 (с). Пусть элемент а обратим в алгебре Lxm(Rn), Ь = а \ т. е. b-a = a-b = е. Тогда МаМь = Ма.ь = Ме = /, МьМа = Мь.а = Ме = I, и Цм-41 = Мб = убій. (c) = (а).
Пусть оператор Ма— выпуклая оболочка множества таких А С, что Покажем, что в скалярном случае (т. е. при т = 1) (а) представляет собой множество "существенных значений" функции а, а множество &{ }) является выпуклой оболочкой &{а). Предложение 1.2.2. Пусть а Є Loo(Rn). Тогда равносильно существованию такой окрестности U Є іід, что a(t) U для почти всех t Є Шп. Отсюда следует формула для (а). Если t Є Rn, то W(a( )) = {a(t)}, поэтому (a) = conv( (a)). Следующая лемма представляет собой критерий обратимости оператора Ма, где а Є Lxm(Mn), в терминах матрицы-функции а. Лемма 1.2-2. Пусть а Є I xm(Rn). Тогда следующие условия равносильны: (a) esssupiRn Ца )"1)! Ч-сю, т. е. существует такое І Є Е, что ti(xc) = ои suPteX IK )"1 II +о; (b) элемент а обратим в алгебре Lxm(Rn); (c) оператор Ма обратим. Если Тогда Ь Є Lxm(R"), jbU esssupf6K„ ja(i)_1j) и a(t)b(t) = b(t)a{t) = m для почти всех t Є Kn, т. e. a b = b a = e. (b) = (а). Пусть 6 GXxm(Rn) и a-b = 6-а = е. Далее, пусть X - множество тех t Є Мп, для которых а() аоо, \\b{t)\\ W\oo и a(t)b(t) = b{t)a(t) = Ет. Тогда/г(Хс) = 0 и supfeX IK )"! = sup,X ft(t) Ьво. (b) =4 (с). Пусть элемент а обратим в алгебре Lxm(Rn), Ь = а \ т. е. b-a = a-b = е. Тогда МаМь = Ма.ь = Ме = /, МьМа = Мь.а = Ме = I, и Цм-41 = Мб = убій. (c) = (а). Пусть оператор Ма обратим, В = М 1. Выберем произволь но X Є Е/ЇП и докажем, что а()_1 $; \\В\\ для почти всех t Є X. Так как Жп покрывается счётным семейством множеств, имеющих конечную меру, то тем самым будет доказано, что esssupj6lf$n Ца )"1]] Ц-ВЦ. Выберем произвольно 8 0 и настолько малое є 0, чтобы Пусть XQ Є S/i„ и b Є L xm(Xo) — такие, как в лемме 1.2.1. Обозначим через ао ограничение матрицы-функции а на XQ. Ясно, что оператор Л а0 действующий в пространстве U{XQ), обратим, и С помощью формулы (1.1.1) получаем, что оператор М&, действующий в L {XQ) также обратим, и Очевидно, что Для почти любой точки t Є XQ найдётся такое j Є {1,..., &}, что \\a(t) — bj\\ є. Опять применим оценку (1.1.1): Так как є О может быть сколь угодно мало, то отсюда следует, что И )"1 II 11- 11 Для почти всех Є XQ. Далее, поскольку {J,(X \ XQ) S и число 5 О было выбрано произвольно, то Ца )"1!! \\В\\ для обратим, В = М 1. Выберем произволь но X Є Е/ЇП и докажем, что а()_1 $; \\В\\ для почти всех t Є X. Так как Жп покрывается счётным семейством множеств, имеющих конечную меру, то тем самым будет доказано, что esssupj6lf$n Ца )"1]] Ц-ВЦ. Выберем произвольно 8 0 и настолько малое є 0, чтобы Пусть XQ Є S/i„ и b Є L xm(Xo) — такие, как в лемме 1.2.1. Обозначим через ао ограничение матрицы-функции а на XQ. Ясно, что оператор Л а0 действующий в пространстве U{XQ), обратим, и С помощью формулы (1.1.1) получаем, что оператор М&, действующий в L {XQ) также обратим, и Очевидно, что Для почти любой точки t Є XQ найдётся такое j Є {1,..., &}, что \\a(t) — bj\\ є. Опять применим оценку (1.1.1): Так как є О может быть сколь угодно мало, то отсюда следует, что И )"1 II 11- 11 Для почти всех Є XQ. Далее, поскольку {J,(X \ XQ) S и число 5 О было выбрано произвольно, то Ца )"1!! \\В\\ для почти всех t Є X.
Функция v и её свойства
Для любых X, Y С Кп положим ЛєЕ«гЄхуєУ a?-y + l. Обозначим через У (соотв., %) мноэюество всех пар вида (Х,У); где Х,У Є Е u v(X,Y) +оо (соотв., I,F Є S, v(X,y) +oo и dist(X,Y) 0). Будем говорить, что (X,Y) — Р-пара (соотв., %-пара), если (X, Y) Є У (соотв., если (X, Y) Є ). Перечислим без доказательства простейшие свойства функции v. 1. Симметричность: v(X,Y) = у(У,Х) для любых Х,Ус W1. 2. Монотонность. Если Х\ С Х2 С R", її С І2 С Мп, то 3. Инвариатность относительно сдвигов: если X, У С Мп и 5 Є Rn, то 4. "Устойчивость относительно растяжений": если (X, У) Є 1 , то 5. v(X,y) = v(clos(X),clos(y)) для любых Х,У С W1. 6. Если (X, У) Є У, то clos(X) П clos(y) — ограниченное множество. 7. Для любых I,7cKn,uG Мп, где /х — мера Лебега в R71, Предложение 2.3.1. Пусть Х,У С Шп, (1) если (Х,У) Є Г, то (Z,Y) Є Г и (ZC,X) Є У; (2) если dist(X,y) 0, то diet(Z, У) dist(X,y)/2 и dist(Zc,X) dist(X,y)/2. (3)- если (Х,У) Є -%, то (Z,Y) Є%и (ZC,X) Є %. 1. Пусть (Х,У) Є Ж. Найдём такое Л Є W1 и такое а 0, что # + у — h\ а(я — у\ + 1) для любых я Є -X", у Є У. Выберем произвольно г Є Z и / Є У. Пользуясь определением Z, подберём такую точку х Є X, что \z — ar z — у\ + 1. Тогда \z + y-h\i\z-x\ + \x + y-h\ \z-y\ + l + a(\x-y\ + l) - у\ + 1 + a(\z -y\ + \z-x\ + l) (2а + 1)(г -у\ + 1). Отсюда v(Z, У) 2а + 1 Н-оо. Аналогично доказывается, что v(Zc,X) +оо. 2. Предположим, что dist(X, У) = d +оо. Для любой точки z Є Шп из неравенства треугольника следует, что dist(z, X)-\-dist(z, У) d. Если г Є Z, то dist(z,y) d/2, а если z Є Zc, то dist(z, X) d/2. (3) следует из (1) и (2).
Перечислим некоторые случаи, когда (X, У) Є У. Предложение 2.3.2. Пусть X, У Є X). ГогЛі в каждом из следующих случаев (X, У) Є : (1) яо/тгл 6w o ?wo из множеств X uY ограниченное; (2) X и У — конусы в Жп с общей вершиной х$, причём clos(X) П clos(y) = {XQ}; (3) X С S + Qi, Y С S + Q2, где S — ограниченное подмножество К"; Qi, Q2 — конусы в Rn с общей вершиной 0, причём clos(Qi) П clos(Q2) = {0}. 1. Если \х\ М для всех х Є X, то для любых х Є X, у Є У получим 2. Учитывая свойство 3 функции v, рассмотрим лишь случай х0 = 0. Пусть А = {х Є Ш1 х = 1}, П = dist(X П Л, У), г2 = dist(X, У П Л), г = min(rb г2). Поскольку Л компактно, а X и У замкнуты и не пересекаются, то г 0. Отсюда для любых х Є X, у Є У имеем: 3. Пусть \х\ М для всех х Є S. Применяя рассуждения второй части к конусам clos(Qi) и clos(Q2) получим: Выберем произвольно х Є X, у Є У, и представим их в виде х = XQ + Х\} 2/ = 2/0 + Уъ где яго, 2/о Є S, хі Є Qu Уі Є Q2. Тогда откуда v(X, У) (1 + a)(l + 2M). Предложение 2.3.2 можно частично обратить: если (К\,К2) Є и К\,Къ Є Сопо, то clos(i i) П clos(if2) С {0}. Докажем более сильное утверждение. Предлолсение 2.3.3. Пусть (Ki,Y) Є У, причём К\ Є Сопо- Тогда существует такой конус К і Є S П Сопо, что clos(iiri) П clos(i?2) С {0} и множество Y\K i ограниченное. Пусть = и /у W 2 - {г Є Rn dist( , /Ті) ф}. 1 + v(Kb Г J Ясно, что Кг Є ҐІ Сопо и clos ) П clos(/f2) С {0}. Выберем произвольно ft Є 1" и і/ Є У \ К2. Пользуясь тем, что dist(y, К\) 5\у\, найдём такую точку х Є К\, что jrr — j/j S\y\. Тогда противоречит выбору 8. Поэтому У \ Кг ограничено. Лемма 2.3.1. Пусть К\,К2 Є Сопо, причём clos(A i) Г) clos(/f2) = {0}, Уг С K2 и 0 . dos(r2). Тогда distils) 0. Предложение 2.3.4. Пусть К\,К2 Є Е П Сопо, К$ = clos i) П clos(ir2), (К3,У)єУ, Уі = ІУ Є У I dist(y, Кг) distfy, К2)}, Уг = У\ Yx. Тогда {КЪУ2) Є У и {К2,У\) Є У. Если, кроме того, dist(K Y) 0, то dist i, Уг) 0 и dist(if2, Уі) 0. 1. С помощью предложения 2.3.3 выберем такой замкнутый конус К\ с вершиной 0, что К П К± = {0} и множество У \ К± ограничено. Рассмотрим вспомогательные множества Очевидно, Къ и іГб — конусы вМпс вершиной 0, причём clos(/T5) П clos(K2) = {0}, clos{K6) П clos( i) = {0}, (2.3.1) откуда {Кг, К2) Є У и (#і, ІГ6) Є Г. Далее, Гі Г) Ki = tf5 П Г С К5, откуда (/(Га, УіґЖ4) Г, и У2ПЯ"4 = ІГ6ПГ С К6, откуда (#ь У2ГШ4) Є У. Так как У \ К4 ограничено, то (К2, Уі) Є У и (Хь У2) Є Г. Так как множество Y \ К± компактно, то Из &ist{K Y) 0 получаем, что 0 clos(y). Теперь из (2.3.1) и леммы 2.3.1 следует, что dist(Ki, У2 П Х4) 0 и dist(-ff2, П К±) 0. В результате имеем dist( i, -К2) 0 и dist i) 0 что и требовалось доказать.
Изоморфность алгебр WK, {WK)Q И ^ В случае конуса
Пусть К — некоторый измеримый конус в Rn с вершиной 0, фиксированный до конца параграфа. откуда Л #L(a,0). Аналогично, Л qR(a 0). Таким образом, Л q(ayQ). Неравенства q(a,0) \а\ Л очевидны. Следующее важное утверждение доказал А. В. Козак [17] (в несколько другой формулировке). Лемма 3.3.2 (см. [17])- Пусть А End(PKL), а = Зк{А), причём а Є s$ K. Тогда следующие условия равносильны: (a) оператор А обратим на К; (b) элемент а алгебры S$K обратим; (c) элемент 7Го(а) фактор-алгебры («е )о обратим. Если эти условия выполнены, то а"1 — {Aj }T o + J?K- & Напомним, что ( %г)о = { к/ ) = тго( лг) Предложение 3.3.1. іїк№кУ. tfK- WK и {щ\Жк): WK - () -изометрические морфизмы банаховых алгебр. Легко видеть, что JK{ K) С WK Из леммы 3.3.1 следует, что отобра жение JK End(P#L) - $$к есть изометрический морфизм банаховых алгебр. Лемма 3.3.2 и предложение 3.2.2 показывают, что морфизм JK\$K согласован с обращением. По предложению 3.1.2, JK\ K есть изометри ческий изоморфизм к на WK- Утверждение о морфизме KQ\WK следует из лемм 3.3.1 и 3.3.2. Пусть isocon : (WK)O - к отображение, обратное к (7ГО#ЙГ) О {JKY&K) Из предложения 3.3.1 следует, что это отображение существует и является изометрическим изоморфизмом банаховых алгебр. Пусть A = isocon#(7To(&)), / Є PKL. Нужно показать, что lim,- (і?т — А) / = 0. Положим а = {Л}г о + J?K Тогда 7Го(а) = 7Го(Ь). Выберем произвольно є 0 и найдём такую окрестность нуля и, что (а—Ь) р(и) \ є то есть Этот параграф построен на идеях А, В. Козака [18] (см. также И. Б. Симоненко [39]). Напомним, что Т , где h Є Rn, — оператор сдвига (переноса) на h в пространстве L. Через обозначим множество измеримых подмножеств R". Далее часто используется следующее свойство: если X Є , h Є Rn, то ThPx = Рх+нП. Определение 3.4.1 (см. [18]).
Пусть Х,У С Ш1, х Є clos(X), у Є clos(y). Будем говорить, что множество X в точке х эквивалентно множеству У в точке у} если существуют такие и Є Их и v Є ily, что (X П и) — х = (Y Г) v) — у. Из предложения 2.1.7 (утверждение (4)) следует, что если X Є ConvPol и х Є clos(X), то множество X в точке ж эквивалентно множеству сопо(Х — х) в точке 0. Пусть X, У Є . Для алгебры V будем писать pf вместо рид вместо д. Если x,y,u,v — такие, как в определении 3.4.1, то определим отображения р: иПХ - г ПУ и Фии: р(и)я/хр( ) - р ) ) следующими правилами: где а — { Т}Т О + /х Є p(w) -p(w). Ясно, что определение Ф (а) не зависит от выбора {Лг}г о. Очевидно, Фии есть изометрический изоморфизм p(u)s#xp(u) HSLpr(v)s Ypf(v), причём Фщ (р(« )) = pfiviw)) для всех гу Є Их Пусть X, У Є Е, причём множество X в точке х локально эквивалентно множеству У в точке у. Определим отношение Rxy С ?х Х УУ полагая aRxyb) если существуют такие и Є Дг, v Є il , что (X П u) — a; = (У ГІ v) - у и Фгш(рЫар(и)) j/(i;)V( ) Отметим очевидные свойства отношения Rxy: (a) Если а Є #, b Є я/у, и aRxyb, то q(a, x) = q {b, y). (b) ЕСЛИ 01,02 Є «G , 61,62 » (L\RxyO 2) b\Rxyb21 и Аі,Л2 С, то Предложение 3.4.1. Пусть X,Y Є Е, я Є clos(X), у Є clos(Y), и мноэюество X в точке х эквивалентно мноэюеству Ye точке у. Тогда существует единственный изоморфизм 1осху: {&&х)х - (&у)у, такой, что соотношение 1осху(тгх(а)) = тгу(Ь) равносильно соотношению aRxyb для любых а Є stf$Xi b Є «йу. 1. Пусть Rxy С {&&х)х X (&&у)у — отношение, определённое правилом: Для каждого а Є «/ существует такой элемент 6 Є « , что aRxyb, то есть 7гх(а)Ёху7Гу(Ь). Действительно, пусть « є ilc, v Є iiy — такие, что (и П X) — х = (v П У) — у. Тогда элемент b = Фиг,(р(и)аЬ(и)) является искомым. 2. Аналогично доказывается, что для каждого b Є stfy существует такой элемент а -, что 7rx(a)RXy7ry(b). 3. Из свойств (а), (Ь) отношения Rxy и пунктов 2, 3 следует, что Rxy есть график некоторого изометрического изоморфизма, который обозначим через 1осХ2/. Существование доказано. 4. Если 1осху удовлетворяет условиям предложения, то график 1осХ2/, очевидно, совпадает с Rxy. Единственность доказана. Предложение 3.4.2. Пусть X,Y Є , х Є clos(X), у Є clos(y), мноэюество X в точке х эквивалентно мноэюеству Y в точке у, и А Є Wp. Тогда jx (A)Rxyjy(А), то есть
Построение асимптотически обратного оператора
Предложение 4.2.1. Пусть X — выпуклый многогранник в Жп, я/ — наполненная подалгебра алгебры Wmxm(Rn), а Є Wmxm(Rn). Тогда (Х) Вытекает из следствия 3.6.3. Определение 4 2.1. Пусть X — выпуклый многогранник в W1, а Є Invjr(Krxm(Rn)). Определим оператор Сх Є End )) формулой: Корректность определения следует из предложения 4.2.1. Часто более удобным является "расширенный" оператор действующий в Lj R") и связанный с Сх соотношениями Покажем, что при некоторых дополнительных условиях оператор @атх слУжит "асимптотически обратным" к Са,тХ при г —» +оо. Предложение 4.2.2. Пусть &/ Є S , X — выпуклый многогранник, 21 — компакт в Invx(«e/). Тогда существует такое TQ 0? что операторы CatTx обратимы для любых г TQ и а Є 2І, и выполняется соотношение: Для доказательства этого предложения нам потребуются три леммы. Смысл первой леммы состоит в том, что оператор СтХ является "локально асимптотически обратным" к СагТх при т — +оо. Если р — непрерывная функция на Rn, то её носитель будем обозначать через supp(y?). Лемма 4.2.1. Предполоэюим, что выполняются условия предложения 4.2.2. Пусть х Є clos(X), К = сопж(Х), U — такая окрестность х, что XC\U = KnU, р — такая измеримая функция, что supp(y) С XПU, и для каждого г О функция (рт определена правилом Тогда при г - +оо Ограничимся доказательством (4.2.1), Так как операторы свёртки инвариантны относительно сдвига, то Учитывая свойства равностепенно плавных и равностепенно сосредоточенных семейств операторов ( 2.4) и предположение о том, что алгебра / Є У-у, делаем вывод, что при г — +оо {1,2,3} и для всех допустимых У. Лемма 4.2.2 (О почти обратном). Пусть Sj — гильбертово пространство, АУВ Є End(S))j I — тождественный оператор в ft, О S 1/2, Поскольку \\АВ — 1\\ 5 я \\ВА — 1\\ 5, то АВ и В А обратимы. Соотношения АВ(АВ)-1 = I и {BA) lBA = / показывают, что оператор Отсюда сразу следует верхняя оценка для Л-1 — В@2(й).
Лемма 4.2.3. Пусть X — выпуклый многогранник в Жп. Тогда суще-ствует такое конечное мноэюество Y С clos(X), такое семейство множеств {Ux}xeY и такое семейство функций { px}xeY что Ux Є Их, ихПХ = ихГ)сопх{Х), рх: Жп - Ж, вирр(уъ) С UXDX, хєГ = U. 1-й способ доказательства. Для каждой точки х Є X найдём такую окрестность f/j єДс, что Uz П X = Ux П conx(X). Семейство {Ux}xtx есть открытое покрытие компакта X. Найдём такое конечное множество Y С X, что X = UxeyUx. В качестве { px}x =Y возьмём какое-нибудь разбиение единицы компакта X, вписанное в покрытие {срх \ х Є Y}. 2-й способ доказательства. Пусть X = f] П, где П — конечное подмножество HalfSp(Rn). Для любой вершины х Є vert(X) построим множества Ux и Yx: ЯП\НаМ8рв(Еп) Положим Y = vert(X) и введём на Y нумерацию: Y = {#ь... ,}. Определим множества XXj. равенствами В качестве #р возьмём характеристические функции множеств Хх» Доказательство предложения 4.2.2: Найдём такие Y С X, {UX}XY И {fx}xeY, как в лемме 4.2.3. Получим \\Са,тхСтХ - 1тх\\е2 = \\РтхСаРтхС%х Ртх\\в2 По лемме 4.2.1, выражение в правой части есть о(т 7 2) при т - +оо. Аналогично получаем, что при г — +оо Отсюда, по лемме 4.2.2, следует доказываемое утверждение. 3 Следствие 4.2.1. Пусть stf Є S?lf X — выпуклый многогранник в W1, 21 — компакт в Invy( ), (Уь Уг) Є %. Тогда при г — +оо Лемма 4.2.4. Пусть выполняются условия леммы 4.2.1. ТЬгда существует такое го 0, что пр« г 7 оператор ядерный, его след непрерывно зависит от а, и при г — Ч-оо Как и при доказательстве леммы 4.2.1, мы можем и будем считать, что х = 0. Используя обозначения леммы 4.2.1, получим: Поэтому из свойств операторов Д,)ТСОпу(х) и предложения 2.4.6 следует, что величины tr(SJ)y(r)) непрерывно зависят от а и Предложение 4.2.3. Пусть выполняются условия предложения 4.2.2. Тогда существует такое 7 0, что при г т$ оператор ядерный, его след непрерывно зависит от а, и при г — +оо Следует из лемм 4.2.4 и 4.2.3. Пусть D — открытое подмножество С, S — компакт в D. Тогда, как известно, существует такой контур Г в D \ 5, что для любой функции у?, голоморфной в Д и любой точки z Е S выполняется формула Коши О таком контуре Г будем говорить, что он охватывает S в D. Определение 4.2.2. Пусть К Є PolCon(Rn), а Є Krxm(Rn), ер -голоморфная функция на множестве D С С, содержащем в себе 3jr(a). Определим оператор Ва,я Є End j R")) формулой где Г — контур у охватывающий Sjc{a) в D. Так как В\е ад — голоморфная функция от Л на С \ SK(CL)9 ТО это определение корректно (не зависит от выбора Г). Легко видеть, что если а, К, р такие, как в определении 4,2.2, то Предложение 4.2.4. Пусть j п, я/ Є 5 Г) &у, X — выпуклый многогранник в Rn, а Є я?, а(оо) = О, D — открытое множество, содержащее Sx{o)f р : D — С — голоморфная функция. Тогда существует такое TQ 0, что (т{СауТх) С D при г т$, операторы (р(Са Тх) ядерные при г TQ, и при т — +оо имеет место асимптотическая формула: где cn,... , cQ — некоторые комплексные коэффициенты, причём Напомним (см. предложение 1.2.6), что а{Са х) С &(а) для всех г 0. Так как {Ае — а А Є М{а) \ D} — компакт в Invx( ), то, по предложению 4.2.2, найдётся такое т\ 0, что при т т\ операторы С\е-а,тХ обратимы для всех А Є М{а) \ , т. е. т(Са,тх) С D.
