Введение к работе
Актуальность темы. Дифференциально-операторные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами - обьекг, который позволяет трактовать с единой точки зрения как бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так и дифференциальные уравнения в частных производных и интегро-дифферанциальные уравнения. С другой стороны, рассмотрение таких уравнений представляет важный самостоятельный математический интерес. Сводя несамосопряженное уравнение Шредингера, заданное в нечетномер-ном эвклидовом лространстве, к операторному уравнению с неограниченным операторным потенциалом, Ы.Г.Гэсымов исследовал спектр и получил спектральное разложение рассматриваемого уравнения. Здесь отметим работу Т.Кзто о многомерном операторе Шредингера, а также работу М.Байрамоглы по операторному уравнению Штурма-Лиувилля с особэнносию..
Замагим, что до указанных работ Ф.С.Рофе-Бекетовым впервые исследован спектр и получено разложение по собственным функциям уравнения Штурма-Лирилля с ограниченным операторныы потенциалом.
Большой интерес в спектральной теории дифференциально-операторных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами вызвала известная работа А.Г.Коствченко и Б.Ы.Левитана, в которой впервые в случае дискретного спектра найдена асимптотика главного члена спектра самосопряженного уравнения Шредингера. После этих работ появились многочисленные исследования по этой теме. Сюда относятся прежде всего работы Э.АбдуКадырова, Г.И.Асланова, А.А.Адыгезэлова, М.Бэйрэмоглы, Е.А.Бэговатова,
К.М.Бойматовз, В.М.Брука, Л.И.Вайнэрмана, О.А.Велиева, М.М.Гехт-
мана, В.И.Горбачук, И.Л.Горбзчука, А.Н.Кочубея, В.А.Кутового,
Б.М.Левитана, Ф.Г.Максудова, В.П.Ыаслбва, П.А.Мишнэевского,
В.А.Ыихайловэ, Ю.Б.Орочко, М.Оталбаева, М.З.Соломяка, Г.А.Суво-
ровченковой, С.Я.Якубова, Д.Р.Яфаева, у/. Уасе-г- , М. Rckxt ,
V. icuio , Н. Тіии^хл, и других авторов. Подробная библио-
графия имеется в работе Ы.Ш.Бирыана и М.З.Солоыяка*'' и в книге В.И.Горбачук и Ы.Л.Горбачукэ**-'
Несмотря на эти результаты здесь, как и в спектральной теории дифференциальных уравнений в частных производных, нет пока таких полных результатов, как, например, для обыкновенных дифференциальных операторов. Поэтому рассмотрение ещв неисследованных дифференциально-операторных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами представляет важный математический интерес.
Цель работы. Цель диссертации - найти асимптотику числа собственных значений одночленного дифференциально-операторного уравнения произвольного четного порядка; установить асимптотику взвешенного следа операторного уравнения Шредингера, получить формулу для регуляризовэнных следов операторного уравнения Штурыа-Лиувилля с особенностью на конечном отрезке.
к) Бирман М.Ш.,Солоыяк М.З.Асимптотика спектра дифференциальных уравнений.Матам.анализ.Итоги науки и техники.М.,1977,т.14,с.5-58.
кк)Горбзчук В.И.,Горбачук М.Л.Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.Киев:Наукова дуыка,1984. с.284.
Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы спектральной теории операторов, теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.
Научная новизна.
I.Найдена асимптотика числа собственных значений одночленных операторных уравнений произвольного четного порядка.
2.Получена асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Шредингера.
З.Вычислен регуляризовзнный след операторного уравнения Штурма-Лиубилля с особенностью на конечном отрезке.
Результаты, полученные в работе, являются новыми и представляют теоретический интерес. Они могут быть применены к исследованию спектральных свойств дифференциальных уравнений с частными производными и интегро-дифференциальных уравнений, а также, в квантовой теории.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах д.ф.м.н., проф.М.Байраыоглы (ИММ АН Азерб.Респ.), д.ф.м.н.,проф.Б.йскендерова (ИММ АН Азерб.Респ.), а такие, нз II республиканской конференции молодых ученых по ыатематике и механике, на I республикзиской конференции ученых по ыатематике и механике.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 рабоны,список которых приводится в конце автореферата.
Обьем диссертации и ее структура. Работа изложена на 99 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на б параграфов, и списка литературы, включающего 58 наименований.
В настоящей автореферате сохранены номера теорем из диссертации.
