Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием Моржаков Антон Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Моржаков Антон Владимирович. Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.01 / Моржаков Антон Владимирович; [Место защиты: ГНУ "Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН"].- Уфа, 2008.- 107 с.: ил.

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Исследование мультипликаторов множеств комплексной плоскости 21

1.1 Вспомогательные определения и результаты 21

1.2 Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости 22

ГЛАВА 2. Представление классов линейных операторов в односвязных областях 42

2.1 Вспомогательные определения и результаты 42

2.2 Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора 45

ГЛАВА 3. Решение линейных операторных уравнений конечного порядка 74

3.1 Решение линейных однородных операторных уравнений n-го порядка 74

3.2 Решение простейших неоднородных операторных уравнений 80

3.3 Резольвента оператора обобщенного дифференцирования 84

Список литературы 97

Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости
Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора
Решение простейших неоднородных операторных уравнений

Введение к работе

Классическое дифференциальное и интегральное исчисление является, в частности, инструментом решения дифференциальных уравнений. Последние составляют небольшой класс функциональных уравнений, встречающихся в различных областях естествознания и технических приложе-ниях математики.

Обычно, каждый достаточно широкий класс функциональных уравнений для изучения вопросов разрешимости требует развития нового математического аппарата. Характерным примером, подтверждающим эту мысль, является введение в 1951 году в работе А. О. Гельфонда и А. Ф. Леонтьева [14] понятия операции обобщенного дифференцирования. Оно возникло из предыдущей работы [13] первого из авторов по разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка с помощью рядов Дирихле и предыдущей работы [25] второго автора по изучению обобщений таких рядов- рядов-обобщенных экспонент вида Yl^=i ^an^e(^n^z) И если. первые ряды можно рассматривать как разложения по собственным функциям операции дифференцирования, то идея авторов состояла в том, чтобы ввести оператор D, для которого e{Xz) является собственной функцией: De(Xz) = Xe(Xz).

В последующем в работах А. Ф. Леонтьева, его учеников и последователей разрабатывалась теория операторов обобщенного дифференцирования (обобщенного интегрирования, изучения разложения по обобщенным экспонентам, решения новых классов операторных уравнений и др.) Одновременно эта теория стимулировала развитие смежных областей (целых

фукнций, локально выпуклых пространств и других), и естественно ожидать её использование в других областях чистой и прикладной математики ([14]).

Настоящая диссертация посвящена проблеме представления оператора обобщенного дифференцирования (ООД), оператора обобщенного интегрирования (ООИ) и диагонального оператора (ДО) в пространстве аналитических в односвязной области функций, и вопросу разрешимости линейных операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. Предлагаемое нами определение ООД является, по-видимому, новым и в некотором смысле аксиоматическим. Именно, выделяются два важных свойства классического оператора дифференцирования : его непрерывность в пространстве аналитических функций и характер действия на полную в этом пространстве систему степеней. Подобное определение, но для диагональных операторов, было дано ранее в работе Линчука [28]. Среди различных известных представлений ООД для наших целей наиболее подходящим оказалось представление, предложенное Юг Ф. Коробейником в одном специальном случае [18]. Оказалось, что при таком представлении важную роль играет понятие мультипликатора пары множеств. Последнее является обобщением мультипликатора множества, введенного А. В. Братищевым [6].

Обозначим через H(G) пространство голоморфных в односвязной области G функций с топологией компактной сходимости. Под ООД (ООИ, ДО) будем понимать непрерывный линейный оператор из H(G) в H(G), который на системе степеней {zⁿ} в H{G) имеет соответственно вид :

Dzⁿ = d_n._lZⁿ-\ п Є N, >1 := О, 4

Izⁿ = ^-zⁿ⁺\ n Є N U {0}, d_n ф 0, Jz¹¹ = d_nzⁿ, n Є N U {0},

где {d_n} С С.

Вопросом представления оператора обобщеного диффренцирования и родственных им диагональных операторов в разное время занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Ф. Коробейник, Н. И. Нагнибида, С. С. Линчук, А. В. Братищев и другие математики. Изначально ООД был определён А. О. Гельфопдом и А. Ф. Леонтьевым [14] следующим образом. Пусть f(z) = X^jfcLo ^ak^zk ~ Целая функция порядка р и типа а ф 0, со, причем а^ ф 0, к ^ 0, и существует точный 1іт^_юо к~р = {crep)~p. Пусть затем

к=0

произвольная функция, регулярная в круге D(0,R) := {z : \z\ < R, 0 < R ^ oo}. Тогда

*=1 ^ak

называется обобщенной производной первого порядка функции y(z), порожденной функцией f(z). К. М. Фишман [45] и Н. И. Нагнибида [42] доказали, что для произвольной последовательности {а_п} Є С, а_п ф 0 оператор, задаваемый в виде (1), непрерывен в Н {D(Q, R)), R Є (0, со) тогда и только тогда, когда

k-loo

О.к-1

О,

'0*+1

а оператор (ООИ), задаваемый в виде [Iy]{z) = ^Т=оУк~^^^гк+11 будет

непрерывным в Я (.0(0, Я)), R Є (0, со) тогда и только тогда, когда

О,

а-к

lim { Соответствующие результаты получены ими и в случае R = со.

Ю. Ф. Коробейник [18] несколько иначе определяет 00Д. Пусть у(х) ^2^=оУкХ^к - аналитическая в начале координат функция. Тогда

[Dy]{z) :=^2d_k-!y_kx^k \

к=1

где {dk} - некоторая последовательность из С. Нетрудно видеть, что Dzⁿ = dn-xz-¹, п Є N, Dl = 0.

Отметим работу С. С. Линчука [28], в которой диагональный оператор (ДО) определяется как непрерывный линейный в H(G) оператор со следующим свойством:

Lzⁿ = d_nzⁿ, п = 0,1,...,

где {d_n}^₌₀ - некоторая последовательность комплексных чисел.

Перейдем к вопросу представления. В работе [26] А. Ф. Леонтьев для случая d_n = р(п+1), п Є NU {0}, где р(х) - многочлен степени s, р(0) = О, получил такое представление ООД

и доказал, что этот оператор применим к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности.

Интегральное представление вида

рш] = ±{т»% (2)

впервые появилось в той же статье [18] и изучалось в [19]. Здесь y(t) - аналитическая функция; ш(х) - функция, аналитическая в области \z — 1| > О, имеющая на бесконечности нуль не ниже второго порядка; c_z - спрямляемая жорданова кривая, окружающая точку z и лежащая вместе со своей внутренностью в области аналитичности у. С помощью последнего представления в [18] описан класс ООД, применимых к любой аналитической функции в каждой точке её аналитичности. Проблема продолжения и представления ООД более общего вида посвящены работы В. В. Напалкова [38], [39]. Операторы такой общности в диссертации не рассматриваются.

Операторы обобщённого интегрирования рассматривались в работах Н. И. Нагнибиды, Ю. А. Кирютепко и других авторов. В частности, последним автором получены условия продолжимости из нуля ООИ во множество: а) всех областей, б) звёздных областей, в) класса односвязных областей. Там же предложено интегральное представление ООИ.

В случае, когда функция d(z) := Yl=o dnZⁿ голоморфна в С\ {1}, в работе [21] Ю. Ф. Коробейника и Ю. Н. Донскова предложено представление ДО в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка

_[jy]w=x;«n^⁽ⁿ⁾_w.

71=0

где {а_п} и {d_n} связаны системой равенств d_n = Y^k=o (_n~~-k)i~~^ak-> ^п ^ NU {0}. Отметим представление ДО в виде

^[Jy]^{z)₌_{h 1*}_(f)^y(t)_T^где

|(|=Л

СЮ 00

_{Ф) =}_]L^%_^'^у_^⁼_S^Ук_*^к_'

к=0 к=0

предложенное в работе [14]. Позже это же представление в более общей ситуации было использовано в [28].

Вопросам разрешимости операторных уравнений, порожденных ООД и ДО посвящено много работ. Так, вопросами разрешимости операторных уравнений бесконечного порядка, порожденных ООД занимались А. Ф. Леонтьев, Ю. Н. Фролов, Ю. Ф. Коробейник, И. X. Мусин, Т. И. Демченко (Коршикова) и другие математики (например, [27], [44], [19], [37] и другие их работы), но в диссертации эти уравнения и решаемые для них задачи не изучаются. Также отметим, что нас интересуют ДО в пространстве аналитических в области G функций, хотя операторы с таким названием изучались и в других пространствах, например, в пространствах последовательностей. К теме диссертации имеют отношение следующие результаты.

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H(D(Q, R)) для каждой правой части из H(D(0, R)) необходимо и достаточно, чтобы lim^oo y|d_n| = 1.

В работе [21] рассматривалось операторное уравнение вида L^y = /, где L$ - оператор Эйлера бесконечного порядка, являющийся ДО. В работе выясняется, когда уравнение L^y = f имеет аналитическое в области G решение для каждой правой части / Є H{G).

В докладе А. В. Братищева [5] рассматривается ООД, порожденный последовательностью вида

1-<7^П+1

d_n= _л „.ngM, )1:=0, а,деС, а «$ g < 1

1 — aqⁿ

В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D.

В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [6], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Перейдем к изложению результатов диссертации. Она состоит из трех глав.

В первой главе развивается теория перемножения множеств комплексной плоскости. При этом ключевую роль играет понятие мультипликатора пары множеств Л, В С С. Так мы назовём множество

М(А,В) :={zEC:zACB}.

Здесь устанавливаются общие свойства мультипликатора, а также изучаются мультипликаторы конкретного вида.

Во второй главе изучается задача интегрального представления ООД в виде (2) для фиксированной односвязной области G и для некоторых важных классов областей, определяемых конкретными мультипликаторами. Там же устанавливается связь возможности такого представления с разрешимостью интерполяционной задачи с бесконечным числом узлов. Параллельно изучаются представления ООИ и ДО.

В третьей главе рассматриваются вопросы нахождения явного вида решения операторных уравнений конечного порядка с постоянными коэф-

фициентами, порожденные ООД. По существу эта проблема упирается в нахождение резольвенты ООД.

Для более детального описания результатов первой главы введем несколько вспомогательных определений. Следуя [1] под произведением множеств А, В С С будем понимать множество АВ = М z\z₂ = {z\

z₂ : zi Є A, z₂ Є В}. Положим A^-1 = {\: z Є А) к A! = {z ЕС : z А). Обозначим через D(zq, R) = {z : \z — zo\ < R} - круг; D(oo, R) = {z E С : \z\ > j^}; D(zo, R) - замыкание D(zq, R); S(a, R) = {z : \z — a\ = R} -окружность; K{a; r, R) = {z : r < \z—a\ < R} - кольцо; ус_п := exp{—г}, n Є N; f ex, J3) := {z Є C\ {0} : a < argz < /3} - угол и P_n - правильный n угольник с центром в нуле и вершиной в точке z = 1.

В теореме 1 первой главы рассматривается общие свойства М(А,В). Приведем некоторые из них.

Теорема 1.1.

2. М(А,В) = (АВ'-¹)'~¹.

4. 0еМ(Д5)^0В.

Для того, чтобы В было звёздно относительно начала координат необходимо, а в случае М(А, В)А = В и достаточно, чтобы мультипликатор М(Л, В) был звездным относительно нуля.
Если А открыто, то М(А, В) U {0, со} есть замкнутое множество, а множество АВ'~¹ \ {0, оо} открыто.

В теореме 1.2 выясняются свойства мультипликатора в случае, когда

A = В С С. Теорема 1.2.

Если М(А) состоит из конечного числа точек, то либо М(А) = {1, х_п,... х^-¹}, либо М(Л) = {0,1, х_п,... <-!} где x_n = ехр {^г}, nGN.
М(Л) является коммутативным моноидом относительно операции умножения комплексных чисел.

5. Если множество А ограничено, то М(А) С D(Q, 1)

9. Мультипликатор М(А) не обязательно является связным множеством, даже в случае односвязности множества А.

Теорема 3 описывает мультипликаторы конкретного вида в случае, когда А = В = G - область в С.

Теорема 1.3.

Для выпуклой ограниченной области G мультипликатор M{G) = Р_птогда и только тогда, когда G есть правильный выпуклый п—угольник с центром в нуле.
M(G) = D(0,1) тогда и только тогда, когда 3R > 0 : G = D(0, R).

M(G) = 5(0,1) тогда и только тогда, когда 3r, R Є (0, +оо) G = K(0;r,R).
M(G) = (0,+оо) тогда и только тогда, когда 30 < /? — а ^ 2тг G =

8. Пусть область G ограничена и О Є extG. Если существует луч, который пересекает область G по пустому множеству, то мультипликатор M(G) = {1}.

В теореме 1.4 собраны вспомогательные результаты, которые понадобятся в главе 2.

Задача представления ООД, ООН и ДО в H(G), где G - односвязная область в С ставится следующим образом. Оператор задан на полной в H{G) системе степеней {zⁿ}. Требуется по этому заданию установить, будет ли он расширяться до линейного непрерывного оператора на всём H{G). В теореме 2.1 она решается в общем виде. Метод доказательства теорем во второй главе опирается, в частности, на представление Кёте линейных непрерывных операторов и функционалов в пространстве H{G). Этот метод для получения представления специальных классов операторов использовал сам Кёте в своей статье, далее М. Ю. Царьков [43], Ю. Ф. Коробейник [22] и другие математики. Также используется теорема о монодромии функции двух переменных.

Теорема 2.1. Пусть область G С С и односвязна.

1. Оператор D, определенный на системе {zⁿ} по правилу Dzⁿ := dn-xz*¹'¹, п Є N, Dl := 0, {d_n} С С, расширяется до ООД в H{G) тогда и только тогда, когда функция d(z) := Y^=Q^nZⁿ голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N(1) < -^(2) < такая, что функциональный элемент двух переменных jsd (f), z Є D(zq, є) С G, t Є D(oo, і) аналитически продолжается в каждую односвязную область G_Nt_n\ х G_n С С х С, а в случае 0 ^ G d{z) аналитически про-

должается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже второго порядка.

Оператор /, определенный на системе функций {z¹¹} по правилу Izⁿ := ^zⁿ⁺\ п є N U {0}, {d_n} с С \ {0}, расширяется до ООИ в H(G) тогда и только тогда, когда функция d\(z) := Y^=o Jr^zU ^голомоРФ^на в нуле, существует последовательность 1 < N(1) < N(2) < ... такая, что функциональный элемент jd\ (|), z Є D(zq₁s) CG, t G D(co, -) аналитически продолжается в каждую односвязную область G_Ni_n\ X G_n С С х С, а в случае 0 . G d(z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка.
Оператор J, определенный на системе {zⁿ} по правилу Jzⁿ := d_nzⁿ, п Є NU{0}, {d_n} С С расширяется до ДО в H{G) тогда и только тогда, когда функция d(z) := Y^^Lo dn^zTl голоморфна в нуле, существует последовательность 1 < N(1) < N(2) < ... такая, что функциональный элемент j^(f), z Є D(zQ,e) С G, t Є D(oo, ~) аналитически продолжается в каждую односвязную область G_Nt_n\ х(?_псСхС,ав случае О : G d(z) аналитически продолжается в точку z — оо и имеет там нуль не ниже первого порядка..

Так как | Е G_Nf_n\G_n, то можно было бы ожидать, что d(z) аналитически продолжается до локально аналитической функции на множестве GG'^¹, которое, как следует из главы 1, не обязательно является открытым или замкнутым. Далее приводится пример функции d(z), которая может оказаться многозначной при аналитическом продолжении в GG'~^l. В связи с этим целесообразно искать классы областей G, для которых соответствующая функция d(z) продолжается до локально аналитической на GG'^-1. Удобно вводить классы таких областей в терминах мультипликатора, вве-

денного в главе 1.

В теореме 2.2 расматриваются области, у которых ноль лежит на границе. В первой главе доказывается, что M[G) = (0,1] тогда и только тогда, когда 0 . G, (?U {0}- звездное множество и G не совпадает с углом вида Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.2. Пусть G ~ односвязная область и M(G) = (0,1]. Следующие три условия равносильны :

1 а) оператор D, заданный на множестве степеней по правилу Dz¹¹ = d_n_i2^n_1, п Є N, Dl = 0, расширяется до оператора обобщенного дифференцирования в H(G);

1 б) степенной ряд YlnLodnZⁿ сходится в окрестности начала координат, его сумма d(z) аналитически продолжается до голоморфной в С \ [1,М] функции, М > 1, и имеет нуль не ниже второго порядка в точке Z = 00.

1 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [—1пМ, 0], интерполирующая {d_n} в узлах п = 1, 2,... в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, «(3) = d\,... .

При выполнении хотя бы одного из трех утверждений имеет место такое интегральное представление ООД:

«-5й / f^d ^d2' ⁽³⁾

где z Є G_n. Следующие утверждения равносильны :

2 а) пусть дана последовательность {d_n} С С, Vn ^ 0 d_n ^ 0. Оператор /, определяемый на полной в H(G) системе {zⁿ} по правилу Izⁿ — j^zⁿ⁺¹, п Є N, расширяется до ООИ на H{G);

2 б) ряд Y^Lo Т^гП ^схоД^ится ^в окрестности нуля, его сумма d\(z) аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области С \ [1, М] и имеет нуль не ниже первого порядка в точке z = оо;

2 в) существует целая функция экспоненциального типа a(z) с индикаторной диаграммой в [— In М, 0], которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: а(1) = ^-, а(2) = 4-,... .

При выполнении одного из утверждений

dGiv+i

где z Є G_n.

Аналогичный критерий имеет место и для ДО.

В теореме 2.3 рассматриваются области, у которых ноль лежит во внешности или на границе их замыкания. Пусть каждый луч с началом в нуле пересекает односвязную область G по интервалу (из которых хотя бы один конечен и хотя бы один не начинается в нуле) или по пустому множеству. Тогда M{G) = {1} . Для этого класса областей доказывается

Теорема 2.3. Следующие три утверждения равносильны.

1 а) оператор D, определяемый на системе {zⁿ} по правилу Dz¹¹ = d_nzⁿ~^l, п Є N, Dl = 0, {d_n} С С, расширяется до ООД на H{G);

1 б) ряд Y^Lo dn^zTl сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в односвязной области С\{1} и имеет нуль не ниже второго порядка в точке Z = оо.

1 в) существует целая функция не выше минимального типа первого порядка a(z), которая является функцией коэффициентов для d(z) в следующем смысле: а(1) = 0, а(2) = do, а(3) = d\,... .

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

Заметим, что критерий применимости ООД к каждой аналитической функции в каждой точке её аналитичности в терминах разрешимости интерполяционной задачи впервые установлен в [18]. В случае, когда О Є G, доказана следующая

Теорема 2.4. Пусть G есть звёздная область и(?/С. Следующие три утверждения равносильны :

1 а) оператор D, определяемый на системе {zⁿ} по правилу Dzⁿ = d_nzⁿ ^г, п Є N, Dl = 0, {d_n} С С, расширяется до ООД на H(G);

1 б) ряд Yl^Lo dnZⁿ сходится в окрестности нуля и его сумма аналитически продолжается до голоморфной функции в звездной области GG'~^X\

1 в) существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Rez > 0 функция коэффициентов a(z) : Vn Є N, d_n = a(n) такая, что её преобразование Лапласа будет аналитической и однозначной функцией в односвязной области (lnM(G)) ,где1пМ(С) есть объединение

ТОЧКИ ОО = ІП О И ВСЄХ ТОЧеК ИЗ ПОЛОСЫ — 7Г ^ ІЇЇ1 < 7Г, являющихся

образами M(G) при отображении w = In ^, — 7Г ^ aigz < тт.

В этом случае имеет место интегральное представление (3). Аналогичное утверждение имеет место для ООИ и ДО.

В третьей главе ищутся решения операторных уравнений конечного по
рядка, порождённых ООД D. В первом параграфе вводится понятие обоб
щенной экспоненты e(z) := 1 + X^i ~~гт"-~~¹ а Такие функции в связи с ООД
уже встречались ранее. В монографии [27], например, отмечено, что e(z)
переходит в обычную экспоненту e^z, когда d_n = п + 1, п = 0,1, Дока
зывается такое свойство обобщенной экспоненты:

Лемма 3.1. Пусть О Є G, D - ООД в H(G). Уравнение

(D - XI)y = О

для каждого Л Є С имеет ненулевое решение у Є H(G) тогда и только тогда, когда e(z) есть целая функция.

В предположении, что e(z) - целая функция, в серии лемм 3.2-3.4 и теореме 3.1 находится явный вид общего решения однородного операторного уравнения конечного порядка.

Теорема 3.1. Общее решение однородного операторного уравнения с постоянными коэффициентами

Dⁿy + cuD^y + + а_п = О

имеет вид :

т si—1 1=1 k=0

где qi,k - произвольные коэффициенты из С, Лі,..., A_m - корни характеристического многочлена zⁿ + a\zⁿ~^x -\- а_п = 0 кратностей si,..., s_mсоответственно.

Во втором параграфе рассматриваются простейшие неоднородные операторные уравнения Dy = f и Jy = f. Имеет место

Теорема 3.2. Пусть G - односвязная область, содержащая ноль и D - 00Д в H(G). Уравнение Dy = / разрешимо для любой правой части f(z) Є H{G) тогда и только тогда, когда

а) Vn Є N U {0} d_n ф 0;

б) функция &\{z) = Х]^=о ТГ^2,71 ^голомоРфна в нуле;

в) существует последовательность 1 < N(1) < N(2) < ... такая, что
функциональный элемент jd\ (|), z Є D(zq,e), t Є D(oo_:e) анали
тически продолжается в каждую односвязную область G_N(jl^ х G_n С
С х С до голоморфной функции двух переменных;

Аналогичный критерий разрешимости имеет место для уравнения Jy = /. Несмотря на внешнюю простоту данных уравнений, при конкретной реализации они могут иметь достаточно сложную структуру. Например, если

О E G и d(z) голоморфна в C\ {1}, то уравнение Jy = f может быть записано в виде дифференциального уравнения Эйлера бесконечного порядка. В случае же 0 $. G, с помощью преобразования w = Inz уравнение Jy = f сводится к разрешимости уравнения комплексной свертки вида

[Ly\(z) = ^-_ijy{t)A{t-z)dt = f,

где y(z)J{z) Є tf(lnG) (смотри [21], [2]).

Третий параграф посвящен операторным уравнениям вида Dy — Xy = f. Нельзя ожидать достаточно простого решения этого операторного уравнения в общем случае. Поэтому мы ограничеваемся случаем, когда соответствующая функция d(z) = Yl^LoP(ⁿ + 1)^") ^гД^е Р(.^п) ~ многочлен п -той степени. В начале (теорема 3.4) находится явный вид резольвенты оператора D в случае, когда О Є G. Резольвента оператора D (D — Л/)^-1 ищется конструктивно. Заметим, что существует большая литература по теоремам существования правого обратного оператора (смотри, например, диссертацию С. Н. Мелихова [32] по этой теме и библиографию в ней).

Теорема 3.4. Пусть G - звёздная область. Тогда общее решение линейного уравнения

Dy-Xy = f (4)

первого порядка (относительно ООД D) в H(G) имеет вид :

¹ і оо fi(l-_Wl)...(l-«₈)l

^к-^щ - tC"'

о о ^к~

f(ui u_sz)dui du_s,

где e(z) = Y, ~~p(i)~~^Z~~...~~_P~~(n)~~> ^e() ⁼ ¹' "ь ^2, , v_s - корни уравнения p(z) =
ao2^s + a\z^s~^l -\ h a_s = 0, ao^O, Re i^i, ..., Re v_s <1, ?/o С .

Предложенный в предыдущей теореме способ доказательства не удастся перенести на случай, когда 0 . G. В случае, когда 0 . G и порождающая оператор D функция d{z) есть многочлен второго порядка методом прямой подстановки доказывается

Теорема 3.5. Пусть 0 ^ G. Тогда общее решение линейного уравнения (4) имеет вид :

^z *² 00

Я^ I Л I 1 I yz — X2) I

(л (і -*)(*- *,)) _мі

fc=0

Zq Zq \00

где e(z) = En^o~~p{\y....~~_P~~{n)~~ > ^e() = !. ^ - корень многочлена p(z) = 2:(2: - 1/), i/^N. Интегрирование ведётся по кривым, лежащим в G.

Уже в случае s = 2 при подстановке 7/(2:) в уравнение возникают большие сложности при его упрощении. Ещё большие сложности просматриваются при s > 2. Этим объясняется, почему общий случай s не рассмотрен.

В теореме 3.6 приведен алгоритм получения в явном виде решения неоднородного операторного уравнения конечного порядка.

Автор выражает благодарность научному руководителю диссертации за постановку задачи и участникам семинаров В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и В. П. Кондакова за полезные обсуждения результатов диссертации.

Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости

Обычно, каждый достаточно широкий класс функциональных уравнений для изучения вопросов разрешимости требует развития нового математического аппарата. Характерным примером, подтверждающим эту мысль, является введение в 1951 году в работе А. О. Гельфонда и А. Ф. Леонтьева [14] понятия операции обобщенного дифференцирования. Оно возникло из предыдущей работы [13] первого из авторов по разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка с помощью рядов Дирихле и предыдущей работы [25] второго автора по изучению обобщений таких рядов- рядов-обобщенных экспонент вида Yl =i ane( nz) И если. первые ряды можно рассматривать как разложения по собственным функциям операции дифференцирования, то идея авторов состояла в том, чтобы ввести оператор D, для которого e{Xz) является собственной функцией: De(Xz) = Xe(Xz).

В монографии [42] установлено, что для разрешимости ООД Dy = / в H(D(Q, R)) для каждой правой части из H(D(0, R)) необходимо и достаточно, чтобы lim oo ydn = 1. В частности, получено представление ООД, ООИ, а также явный вид резольвенты ООД D. В заключение исторического обзора заметим, что в теореме Адамара об умножении особенностей, в вопросах разрешимости линейных операторных уравнений порожденных ООД и ДО, изучении обобщенных преобразований Бореля, описании областей сходимости ряда обобщенных экспонент и проблеме представления этих операторов возникает вспомогательная задача о перемножении множеств комплексной плоскости. Достаточно отметить работы [1], [21], [28], [2], [4], [6], [7]. Эта задача нуждается в систематическом исследовании.

Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора

Всюду далее будем предполагать, что G - односвязная область в С. Обозначим через H(G) пространство голоморфных в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах в G. Напомним, что система {zn} полна в H(G). Определение 1. Линейный непрерывный оператор D в H(G), действующий в H(G) на системе степеней {zn} по правилу Dzn = dn-\zn l, {dn} С С, п Є N, D1 :— 0, назовём оператором обобщённого дифференцирования (ООД). Определение 2. Пусть {dn} С С и Vn Є N U {0} dn ф- 0. Тогда линейный непрерывный оператор /, действующий на системе степеней по правилу: Izn = -j-zn+1, п Є N U {0}, назовём оператором обобщенного интегрирования (ООИ), Определение 3. Линейный непрерывный оператор J в H(G), действующий на системе степеней {zn} по правилу Dzn = dnzn, п Є N U {0}, назовём диагональным оператором (ДО). Теорема 2.1. 1. Оператор D, определенный на системе {zn} по правилу Dzn := dn_izn_1, п Є N, Dl := 0, {dn} С С, расширяется до ООД в H(G) тогда и только тогда, когда функция d{z) := "52=Qdnzn голоморфна в нуле, существует последовательность 1 N(1) N(2) ... такая, что функциональный элемент двух переменных jtd (), z Є D(zo, є) С G, t Є D(oo,e) аналитически продолжается в каждую односвязную область GNrn\ х Gn С С X С до голоморфной функции двух переменных, а в случае 0 G d(z) аналитически продолжается в точку z = со и имеет там нуль не ниже второго порядка. При этом Vz Є Gn и jsd (f) понимается как локально аналитическая функция на G xG С СхС. 2. Оператор 7, определенный на системе функций {zn} по правилу Izn := zn+1, п Є N U {0}, {dn} с С \ {0}, расширяется до ООИ в H(G) тогда и только тогда, когда функция d\(z) := Y =ol zU голоморфна в нуле, существует последовательность 1 N(1) N(2) ... такая, что функциональный элемент di (), z Є D(ZQ,S) С G, t Є -D(oo,r) аналитически продолжается в каждую односвязную область GNtn\ х Gn С С х С до голоморфной функции двух переменных, а в случае 0 G di(z) аналитически продолжается в точку z = со и имеет там нуль не ниже первого порядка. При этом \/z Є Gn w=db / )Ї (!)Л- (2-2 OGN+I и G?I () понимается как локально аналитическая функция на G х G С С х С. 3. Оператор J, определенный на системе функций {zn} по правилу Jzn := dra2;n, п Є NU{0}, {dn} С С расширяется до ДО в H{G) тогда и только тогда, когда функция d(z) := X Lo dnzTl голоморфна в нуле, существует последовательность 1 N(1) N(2) ... такая, что функциональный элемент jd (), z Є D(zo,e) С G, t Є D(oo,e) аналитически продолжается в каждую односвязную область GN(n\ х Gn С С х С до голоморфной функции двух переменных, а в случае 0 . G d(z) аналитически продолжается в точку z = оо и имеет там нуль не ниже первого порядка. При этом \/z Є Gn Ш ) = ± / v \d (f) ". (2-3) и d (l) понимается как локально аналитическая функция на G х G С СхС. Доказательство. 1) Необходимость. По теореме Кёте D представим в виде : [А/] ( ) = т J y(t)k{t,z)dt, z(EGn, N = N(n) n, OGN+I где к(, z) голоморфна на односвязной области GNxGn в С х С. Обозначим Rn :— max{z : z Є Gn}. Тогда (в силу [46]) k(t, z) разлагается в ряд Гартогса k(t, z) = Y 7=o їй? в D(oo, RN) х Gn. [Dtn]{z) = h I n d = u ) = -i -\ \t\=RN+1 s=0 [Dl](z) = k0(z) = 0, откуда n—l n=l для z Є Gn, \t\ RN+I- Отсюда следует, что степенной ряд d() = Ш =о пС" сходится в круге D ( 0, - - J. Кроме того, по построению k(t, z) является аналитическим продолжением функционального элемента d (), \z — ZQ\ Є, \t\ і в односвязные области Gjy-/n\ X Gn С С х С, п = 1, 2, Если 0 С?, то функция d(Q по формуле d () = t2k(t, z) аналитически продолжается из нуля в точку С = со Є zGNtny Так как k(t, z) голоморфна в t = О, то 2&(i, z) имеет нуль не ниже второго порядка в этой точке. То есть d(Q имеет нуль не ниже второго порядка в точке = со.

Достаточность. Аналогично, аналитическое продожение элемента \d (), к — 2о ) И ") порождает локально аналитическую на G х G функцию. Линейный непрерывный оператор J, ядром которого будет это аналитическое продолжение, является диагональным, так как dG +i \t\=RN+i n = О,1,... . Теорема доказана. Замечание 1. Идея воспользоваться в доказательстве теоремой о мо-нодромии для функции двух комплексных переменных принадлежит А. В. Братищеву. Заметим также, что в его работе [2] для так называемых стационарных операторов из H(G{) в #(() (совпадающих в рассматриваемом нами случае, когда G\ — G% = G есть односвязная область, с классом диагональных операторов) получен близкий по форме, но другими методами, критерий стационарности на языке аналитического продолжения. Определение. Напомним, что функциональным элементом [30] (или просто элементом) в точке ZQ называется пара (f(z),D(zo,e)), состоящая из функции, заданной суммой степенного ряда и окрестности ZQ, В которой этот ряд сходится. Аналогично определяется функциональный элемент для функции многих переменных [47].

Решение простейших неоднородных операторных уравнений

Определение. Пусть элемент ео аналитически продолжается вдоль отрезка луча, начиная от 2 до любой точки интервала (ZQ, Z\) и не продолжается вдоль всего сегмента [ZQ, zi]. Отметим на каждом луче, выходящем из ZQ соответствующую точку zi, полагая z\ = со, если продолжение возможно вдоль всего луча, и рассмотрим множество точек, принадлежащих всем возможным полуинтервалам [.го, 2). Это множество называется прямолинейной звездой (звездой) элемента ео Под голоморфной функцией в области G понимаем комплекснозначную функцию, определенную на G и имеющую производную в каждой точке G.

Под аналитической функцией в области G понимаем функцию, полученную аналитическим продолжением вдоль всевозможных кривых в G из какого либо элемента в области G. Такая функция, вообще говоря, будет многозначной. Аналитическая функция будет голоморфной, если область G односвязна (теорема о монодромии). Аналитическое продолжение элемента из точки ZQ ПО всем отрезкам [zo, zi] дает голоморфную функцию в прямолинейной звезде этого элемента.

Обозначим полу полосу ширины 27Г через П(с, d) = {t : Ret с, \lrnt — d\ 7г}, где c,d - вещественные числа, К := ехр(—К) - образ множества К при отображении z — ехр(—і). Сформулируем в наших обозначениях два результата статьи Н. Н. Мавроди [29]. Теорема 1.[29] Пусть К - замкнутое множество точек плоскости С, расположенное в некоторой замкнутой полуполосе П(с, d), D - связная компонента дополнения К , содержащая точку t = с 4- 1, D - связная компонента (К ) , содержащая точку z = 0. Если функциональный элемент (/(г), .D(0, є)) аналитически и однозначно продолжается в область D , то существует аналитическая и экспоненциального типа в полуплоскости Rez 0 функция коэффициентов a(z) степенного ряда f(z) = YlnLo anzU т0 есть ап — а (п), те Є N, такая, что её преобразование Лапласа будет голоморфной функцией в области D. Теорема 3.[29] Пусть К - замкнутое множество точек плоскости С, расположенное в некотором замкнутом угле U = {t : + ex arg(t — to) Щ- — /3} U {оо}, где to - комплексное число, 0 а, (3 , D - связная компонента дополнения К , содержащая точку t = to -f 1, D - связная компонента (К ) , содержащая точку z = 0. Если a(z) - аналитическая функция экспоненциального типа в угле (— а, (3), у которой преобразование Лапласа является аналитической и однозначной функцией в области D, то функция f{z) := J Li a(n)zTl анали тически продолжается из окрестности точки Z = 0B область D .

Нам неоднократно понадобится такая теорема представления Кёте [48]. Теорема Кёте. Пусть G - односвязная область в С и существует последовательность односвязных областей {Gn} каждая из которых ограничена спрямляемой замкнутой жордановой кривой, причем (J Gn — G, Gn С Gn+i. Если L - линейный непрерывный оператор, действующий в H(G), то существует функция k(t, z), локально аналитическая на G х G в следующем смысле : Vn 1 можно указать такое N{n), что k(t, z) аналитическая на множестве GNrn\ х Gn; при этом k(t, z) = 0, если t = оо; кроме того, если т п, то определенная на множествах GNin\ х Gn и GNtm\ х Gm функция k(t,z) совпадает на их пересечении GN X Gn (всегда можно считать, что N(n) f оо и N(n) п). При этом линейный непрерывный оператор L допускает такое интегральное представление : [Ly](z) = ±-.Jk(t,z)y(t)dt: (2.0) In где z Є Gn, 7n — 9GN+I, область GN+I остается слева при обходе по контуру интегрирования 7п Обратно, если k(tj z) - локально аналитическая функция на G х G, то она определяет на G X G линейный непрерывный оператор по формуле (2.0).

Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием Моржаков Антон Владимирович

Теория мультипликаторов множеств в комплексной плоскости

Представление операторов обобщенного дифференцирования, интегрирования и диагонального оператора

Решение простейших неоднородных операторных уравнений

Похожие диссертации на Исследование операторов и операторных уравнений, порожденных обобщенным дифференцированием