Введение к работе
Актуальность темы. Среди моделей окружающего мира можно выделить следующие два типа. Первый тип — модели "без памяти" или "без запаздывания". В них поведение модели в текущий момент времени описывается только ее состоянием в этот момент времени, т.е. "в настоящем". Второй тип моделей — модели "с запаздыванием" или "с памятью", когда поведние модели в текущий момент времени определяется значениями ее состояний не только в этот, текущий, момент времени, но и в какие-то предшествующие моменты.
Наиболее широко используется первый тип моделей. Для их описания применяют функциональные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными.
Настоящая диссертация посвящена, в основном, второму типу моделей. Отметим некоторые источники моделей такого типа.
Пусть дифференциальный оператор, описывающий систему без памяти, частично обратим, т.е. разлагается в произведение или в сумму нескольких частей, одна из которых обратима. Тогда, делая замену, использующую соответствующий обратный оператор (который, как правило, оказывается интегральным), получаем оператор с запаздыванием.
К моделям с запаздыванием часто приходят, исходя из экспериментальных наблюдений, в которых существенна разница между временем подачи сигнала на вход системы и его реальным попаданием на этот вход. В результате возникают уравнения, в которые неизвестные функции входят со сдвигом по времени.
Таким образом, модели с запаздыванием также достаточно распространены. Они широко применяются в теории авторегулирования, технике, электродинамике, квантовой физике, биологии, экологии, медицине, экономике, теории вероятностей и др.
Явление, когда настоящее может зависеть от прошлого (и, возможно, от самого настоящего), но не может зависеть от будущего, называют причинностью. Математический объект, описывающий явление причинности — причинный оператор. Он действует в пространствах функций переменной t, интерпретируемой как время. В самом общем смысле оператор Т называют причинным, если для вычисления значения функции Тх в насто-
3 . / «нииотем |
1 о» wyS^zri
ящем используются значения функции х только в прошлом (и, возможно, в настоящем).
Причинные операторы изучаются (часто независимо) в разных областях математики, и в силу этого для них имеется несколько различных названий — причинный, вольтерров (оператор типа Вольтерра), наследственный, запаздывающий, каузальный.
Важным источником многомерных причинных операторов являются уравнения с частными производными. Так, решения волнового уравнения и уравнения теплопроводности описываются причинными операторами.
Причинный оператор называют причинно обратимым, если он обратим и обратный к нему также является причинным. В диссертации исследуются, в основном, вопросы, связанные с причинной обратимостью.
Случаю одномерного времени t посвящены работы Н.В. Азбелева, P.P. Ахмерова, А.Г. Баскакова, В.В. Власова, Ч. Дезоера, Ю.Ф. Долгого, М.И. Каменского, Л.Б. Княжище, Ю.С. Колесова, В.Б. Колмановского, В.И. Кузнецовой, В.Г. Курбатова, Э.М. Мухамадиева, АД. Мышкиса, В.Р. Носова, СБ. Норкина, Б.Н. Садовского, П.М. Симонова, И.С. Фролова, Дж. Хейла, Д.Я. Хусаинова, З.Б. Цалюка, АВ. Чистякова, Э.Л. Эльсгольца, С. Corduneanu, R.M. DeSantis'a, J.A Erdos'a, A. Feintuch'a, W.E. Longstaffa, R. Saeks'a, J.C. Willems'a и многих других.
Многомерному времени t посвящено значительно меньше работ. Среди них отметим работы B.C. Владимирова, М.Б. Городецкого, П.П. Забрейко, АС. Калитвина, Г.А Каменского, ИА. Криштала, В.Г. Курбатова, С.З. Левендорского, АН. Ломаковича, АД. Мышкиса, B.C. Рабиновича, АЛ. Скубачевского, АА Студеникина, M.'Vath'a и других. Настоящая работа также посвящена многомерному случаю.
Большое количество работ посвящено уравнениям с причинными операторами. Мы называем такие уравнения уравнениями с запаздыванием. К ним, в частности, относятся функционально-дифференциальные, функциональные, интегральные уравнения. С точки зрения темы настоящей диссертации наиболее интересны работы Ч. Дезоера, В.И. Кузнецовой, В.Г. Курбатова, П.М. Симонова, АВ. Чистякова, R.M. DeSantis'a, J.A. Erdos'a и W.E. Longstaffa, A. Feintuch'a и R. Saeks'a, J.C. Willems'a и других, где исследуется или используется связь между устойчивостью уравне-
ния и причинной обратимостью соответствующего ему оператора, а также работы P.P. Ахмерова, А.Г. Баскакова, СЕ. Биркгана, В.Ш. Бурда, В.В. Власова, М.С. Карих, Ю.С. Колесова, И.А Криштала, В.Г. Курбатова, А.И. Пастухова, С. Corduneanu, G. Farkas'a, Т. Naito, G. РесеШ, О. Staffans'a, и других, связанные с эквивалентностью дихотомии уравнения и обратимости соответствующего ему оператора. Отметим также работы Г.А. Куриной и Г. В. Мартыненко о приводимости периодических матриц к блочно-диагональному виду, непосредственно связанные с задачами о дихотомии решений.
Цель работы. Исследование условий совпадения причинной и обычной обратимости для операторов свертки; исследование условий совпадения обратимости (как причинной, так и обычной) на всем пространстве и на части пространства для операторов, инвариантных относительно сдвигов; исследование причинной обратимости интегрального оператора, ядро которого стабилизируется (по части переменных) на бесконечности. Исследование эквивалентности экспоненциальной дихотомии и устойчивости некоторых классов смешанных функционально-дифференциальных и интегральных уравнений.
Методы исследования. Основным аппаратом исследования в диссертации являются методы функционального анализа, в частности, теория операторов, спектральная теория, теория интеграла Лебега, банаховы алгебры. Используются теория дифференциальных уравнений в банаховом пространстве; элементы теории функций многих комплескных переменных и теория степени отображения.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты. Доказана теорема о равенстве причинного и обычного спектров оператора свертки с функцией класса L\, сосредоточенной в конусе. Установлено совпадение обычного спектра на части пространства, ограниченной конусом и причинного спектра для оператора, инвариантного относительно сдвигов; доказана теорема, позволяющая вычислить причинный спектр интегрального оператора, имеющего пределы на бесконечности. Установлена невозможность нетривиальной экспоненциальной дихотомии для смешанного функционально-дифференциального и интегрального уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут применяться в теории операторов, дифференциальных уравнений с частными производными, смешанных функционально-дифференциальных и интегральных уравнений, в задачах авторегулирования и теории систем, где необходимо учитывать конечную скорость распространения сигналов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (МНК АДМ-2000)—Воронеж, 2000; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2000)—"Современный анализ и его приложения"—Воронеж, 2000; международной научной конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений"—Воронеж, 2003; семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах"; Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2004)—Воронеж, 2004; семинаре В.Г. Курбатова (2000-2004, ЛГТУ); семинаре ГА. Куриной (2004, ВГУ); семинаре А.Г. Баскакова (2004, ВГУ).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1-6].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых, в общей сложности, на 13 параграфов и списка литературы, включающего 157 наименований. Общий объем диссертации — 120 страниц.
