Применение спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов к исследованию неоднородных случайных полей Аббауи Лиазид

Содержание к диссертации

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 25

I. Неоднородные случайные поля, корреляционные функции, инфинитеземальные корреляционные функции . . Z5 2. Линейно представивше случайные поля. Теорема о

линейной представимости случайных полей ZS

3. Ранг неоднородности. Теорема о ранге для линейно

представимых случайных полей. . . . и

4. Классификация линейно представимых случайных по
лей 44

ГЛАВА П. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ ... 4?

I. Общий вид инфинитеземальной корреляционной функции случайных полей классов К; і , К₉? ^и К jo 48

2. Универсальная модель для системы дважды переста
новочных операторов Э б

3. Общий вид корреляционной функции неоднородных

случайных полей некоторых классов 64

ГЛАВА Ш. СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗДОЖНИЯ ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВИМЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ Ц

I. Открытые системы ассоциированные с операторными

узлами т'і

2. Спектральное разложение случайных полей класса

К* п

3. Спектральное разложение линейно представимых полей в случае, когда Л^ и М^ полные диссипатив-

ные операторы о І

ГЛАВА ІУ .ЛИНЕЙНО ПРЕДСТАВИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ С НЕОГРАНИЧЕН
НЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Л к ... ' 8$

I. Определение 88

2. Линейно представимые случайные поля с инфинитезе-

мальными операторами с чисто дискретным спектром. оЗ
3. Линейно представимые случайные поля с инфинитезе-
мальными операторами без спектра в конечной пло
скости А01

ГЛАВА У. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ДОПОЛНЕНИЯ A Of

I. Критерии дважды перестановочности операторов для
соответствующих линейно представимых случайных
полей AOf

2. Вычисление УШ для линейно представимых случайных

полей класса К., -мо

3. Равномерно ограниченные линейно однородные случай
ные поля ^1$

4. Линейные преобразования однородных случайных по
лей лъь

ЗАКЛЮЧЕНИЕ АЗІ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ АЪЦ.

Введение к работе

В данной работе методами теории несамосопряженных операторов изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей, а именно, строится их корреляционная теория.

Пусть (Л ,3^ Р) - вероятностное пространство, множество элементарных событий, т _ & - алгебра его подмножеств иг- вероятностная мера.

Как известно, если SSCctf ,3^,0^-) - случайное поле¹),соЄХ1 (00,,0^) R^ , такое, что

для любых (ое^, сер Ко , то его можно рассматривать как поверхность в сепарабельном гильбертовом пространстве l~L . п> представляет собой линейную замкнутую оболочку случайных величин %С<а,Щ_} Xst) » когда ос^, Ос^ пробегают Rj . Н^ является подпространством более широкого пространства:

¹ XI

со скалярным произведением:

(Ъ.,%.) = (^(60)^^ (сі со) _(ол)

' L²(R) Л

В этом случае корреляционная функция поля ^C^u^s.) представляет собой скалярное произведение в r"L :

и*

^iJОграничение двумерным случаем не является существенным. Все результаты могут быть непосредственно обобщены на п -мерный случай.

(Зависимость от со опускается). [А~\ , [15]_} [1к]-[Щ

Вместе с корреляционной функцией в диссертационной работе вводятся и изучаются инфинитеземальные корреляционные функции (ДО) И] , [34J.

_№'

і. _р (0.2)

Однородные случайные поля, т.е. поля для которых корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов:

$(..%^ №(^хсЪ>^х1-№

(0.3)

хорошо изучены в рамках корреляционной теории случайных полей.

Отметим, что для однородных случайных полей ~W, = \\L = s Vv = 0 , поэтому когда УШ не равны нулю, их можно взять в качестве меры отклонения поля от однородного.

В работах [%Ъ] _t[ZQ, [Н] ,W1

получены спектральные представления однородных случайных полей и спектральные разложения их корреляционных функций:

R^ (0.4)

- конечная мера на & -алгебре борелевских множеств в К. » % 6 ) - аддитивная случайная функция, заданная на & -алгебре борелевских множеств в К и

М^ЯЧ") = F(s,nsj

Непрерывные однородные поля допускают представление в пространстве Н*.

%(*м*ї) = \^ % >

(0.5)

где ^х ОС "" двухпараметрическая группа унитарных операторов в Hg , 2 - фиксированная случайная величина из H_g .

Используя спектральное разложение группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, легко получить спектральные представления (0.4).

В данной работе рассматривается класс линейно представимых случайных полей, т.е. класс случайных полей, которые допускают

представление:

гхД + гю^

где Уі ) Л 2 - линейные ограниченные коммутирующие несамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н & » %о - фиксированная случайная величина из Hv И J , [$^]

В работах \А ~] , [ 5] _? [3 4 ] с помощью спектральной теории несамосопряженных операторов построена корреляционная теория линейно представимых случайных процессов: (fc)= , , J» - линейный ограниченный несамосопряженный оператор в rig ) 2j с r~L .

С помощью треугольных и универсальных представлений несамо-

сопряженных операторов, был найден общий вид корреляционной функции в зависимости от спектральных свойств оператора Ji Для линейно представимых случайных полей, кроме спектральных свойств операторов ^ и Я% , играет роль и отношение между ними, а именно, свойства коммутаторов IX _г J/J ₃ Г ₃ Л Л Использование результатов спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов ( Г4], Щ,[9] &Ш~] , [%0] ) позволяет исследовать некоторые классы неоднородных случайных полей.

В настоящей работе, при помощи треугольных и универсальных моделей систем коммутирующих операторов, изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей.

В первой главе указывается связь корреляционной функции и ИКФ, рассматриваются некоторые примеры. Одним из главных результатов этой главы является критерий линейной представимости.

Теорема I.I. Для того, чтобы комплекснозначная функция 2.П
действительных переменных л могла

быть представлена в виде:

і Мое

W(K_tyi=(lwЛ($ц ^гда ^с*)=е &₀,

и Jfjc - линейные ограниченные коммутирующие операторы в гильбертовом пространстве Н » необходимо и достаточно, чтобы:

I. Функция *ь(ж>у) была эрмитово неотрицательна:

, для любых последова-тельностей векторов из JL, I Q2jI, и комплексных чисел

гг^

2. Жія.ц) была дважды непрерывно дифференцируемая.

3. Существовала такая константа оо у JJ у 0 , что

IC=4 f-i

{***к J <> / Un,j .. " последовательности векторов из 3L ,

l^/cJ. j І ч| - последовательности комплексных

чисел

Пусть C0^, 0) неоднородное случайное поле. Рангом неоднородности называется максимальный ранг квадратичных форм

21 с «^w, «n ft ,«^в,= (№),*«*

если он конечен.

Для линейно представимых случайных полей доказана следующая теорема о ранге;

Теорема 1.2. Для того, чтобы линейно представимое случай-

нов поле acx,,au)= е^г^^і+г*^Л %₀ ,

_{где г0 Но , Н.= 1^Нг Л iifm-^H,}

и ^ч ^2 дважды перестановочные, было неоднородным ранга -t , необходимо и достаточно, чтобы Н₀ было конечномерным и

dim. Н₀ = ^ .

В конце главы I предлагается классификация линейно представших случайных полей с учетом спектра операторов Ji^J/g .

Если (,:%)=: о ^о " ^{линейно} представимое случайное поле с t₀ с п_{0 ?} cu-m. Н₀=^ и операторы ji^jJi^ дважды перестановочны, то поле 35 С#./_; x^J принадлежит

а) классу W . , если спектр каждого
сосредоточен в нуле;

б) классу >$ » ^если спектр каждого J/^ ₉(jCz 4,2.^
чисто дискретный, т.е. непрерывный спектр отсутствует;

в) классу К,. , если спектр М^ сосредоточен в нуле
и спектр S\i чисто дискретный. „

В главе П вычисляются УШ полей классов К^ _} , г\ и Г\,« . ИКЗ> имеет вид:

^где ^^(_е*Д+і*А«,,U«.H. ДМ

_{г„«П, , *!М*МЛ = лА}

(<0

"Р - комплексное число, #₀ - действительное число. Функция Ф ("06^ , ое^") имеет вид:

w-f

а) в случае, когда поле ^(^ > 3) принадлежит классу К

^{₀ (2 )цк (^) ^.}

п=о (til)

_с»

б) в случае, когда поле Z (Х^ _}Х^) принадлежит классу K_f я

где

-К,

JT,

₌₅^Г_{1 Т}

_{ф,(се,>Ц #}^}_{Л^. 9^=1}

_4=-¹

^«рН

* СІЛ.

_Л^№_{гх)-і.Ае}^іїЛ_{-і- ЇЇ *>-^}

Ф"

_{ч "*}

^Я_л ^{- Я}₉ ^{-ы Л^ - Я} _л

1 2ЇЇІ І і ^¹⁵ Я *_i Я. _ я^(У

- II -

в) в случае, когда поле (_%^ , ое^,) принадлежит классу 1\.»

JV ^

fC = W О

где -''-иИ ^о определяются как в а) и б).

Одним из главных результатов главы П является теорема об универсальной модели систем дважды перестановочных операторов.

Теорема 2,1» Пусть Jtf , Я]__;..._, J_n - система линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве и удовлетворяющих следующим условиям:

1. Операторы 47)^^(/0=-^,2.,...,70 попарно дважды переста-
новочны, т.е. J/jc-J^ = Л к > Л_к \ = Jij Л^ (^ФЛ)

2. v^jo ;С^⁼ ''Дг -j тО вполне несамосопряженные диссипатив-
ные операторы.

1. Невещественный спектр каждого Л_ю > К=С<А<- .,rt) может иметь предельные точки лишь в нуле.

2. Вещественный спектр каждого ^^)(к = ^_}ї_}. -.,71) сосредоточен в нуле.

3. Резольвента сужения оператора & на подпространство

Hi/ ^есть функция экспоненциального типа от Л = -—- , где
^к ..С-о У

П^ - ортогональное дополнение к линейной замкнутой оболочке всех инвариантных подпространств, отвечающих невещественным точкам спектра оператора Лт^ .

пг —

6. dum Н₀ = % ₎ Н₀ = I I 2-^ Н , тогда систе-

ма операторов Д. _;^ ,. --)З_п унитарно эквивалентна сужению на инвариантное относительно всех операторов JL, JL > .> J^ под-

пространство модельного пространства Г7 , системы операторов JL j Jo ) _;JL » модельное пространство и модельные операторы определяются следующим образом:

Пусть о < \ < а_Л и 0 =

точки из интервала [0,-8-^) и тмОС^ _{5 >} ОС^*) комплексно-значная функция TL действительных переменных, где ЗС ГО> ^к.

причем, если зафиксировать координаты Х^ ₃(^=Л>)> то функция

7 ( )'";^)' j^^ J ступенчатая, непрерывная слева в интервале ГО _} 4-Л , точки разрыва которой С^ , і = -4,.. .,JiQ . Пусть ju (х^) - ограниченная, неубывающая; ступенчатая, непрерывная слева функция в интервале Г 0_; tr^ J , точки разрыва которой Си. , г г Л, . ..,-^ и скачок в точке С^ равен

(Рк) ) J"(t (*-<)= «*^{когда а}* Е^» ^а_к]

Пространство Z— ( I I [ Oj Q. jj ;j^ > . _vJli j определим как совокупность комплекснозначных функций -dl (_CC ^ ^ ._; CC^") удовлетворяющих выше указанным условиям и для которых

|--- Iffa,>*<»)) (LfJiCxJ... с^СЗД <**
О О

Скалярное произведение определяется следующим образом:

о, а ($№^1,--,^ > %№>*%> jK^jj. = 0 0

После факторизации по ядру получается гильбертово пространство. Модельное пространство п определим как прямую сумму:

- ІЗ -

2^ .2.. ^

Модельные операторы определяются формулами:

^(V) на [_ 0 >"&) ступенчатая, непрерывная слева комп-лекснозначная функция, точки разрыва которой 0^\ І =Jj...₉

_л& a^c{) го і ^К

и скачок в точке С^ равен Л^ , а на jj-fr^ _> u_fc I

При помощи теоремы об универсальной модели изучаются неоднородные поля конечного ранга и получены представления для их корреляционных и инфинитеземальных корреляционных функций.

В главе Ш при помощи дифференциальных уравнений в частных производных,связанных определенным образом с операторными узлами, строятся спектральные представления некоторых классов неоднородных полей,.

Пусть Н ^и Е- гильбертовы пространства, Ju , -п? - ли-

линейные ограниченные самосопряженные операторы действующие в

С. и, наконец, ^ - линейный ограниченный оператор действующий из

Совокупность Л= (ApJI₂,H,*,E^A.,TX) называется операторным узлом P?J , если имеет место:

^{і. лд-м,}

^{ * #

з. T«f = ejvJF_t - 0^

Пусть операторный

узел, - вектор-функции

из соответственно.

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений

(0.6)

с начальными данными: 1^(0-)=^(0) и

V-(t„A) = U^.t^-iflLftA) (0.7)

Соотношения (0.6) и (0.7) определяют пару отображений, которую будем называть открытой системой ассоциированной с операторным узлом

Используя операции сцепления и разложения для операторных

узлов и опираясь на (0.6) и (0.7) получаем следующие две теоремы

Теорема 3.1. Пусть % 0-1 > &sS) - линейно представимое случайное поле с операторами JL, и Л^ , удовлетворяющими

условиям:

1. Л и з i вполне несамосопряженные операторы.

2. Спектр каждого ^ , (К= -1, 2.) сосредоточен в нуле.

3. cUH₀=f , Н_в.-МтЛ,Н_ьЛ23тЛ_лН_г,

тогда существует элементарная ортогональная стохастическая мера SfA)» ^гД^е Д " конечное или счетное объединение непересекающих прямоугольников, содержащихся в

X [о, Pj _; ^ , ^<оо такая, что поле (Я-j , 3) представляется в виде:

Функция -ІС^^і іК^іУ-ь) определяется из системы интегрально-дифференциальных уравнений:

?^х< її

Теорема 3,2. Пусть si (_^Л^ ^l) ~ ^линейно представимое случайное поле и операторы іц и Ис^ полные, диссипативные с конечномерными неэрмитовыми подпространствами, тогда имеет место представление:

Ъ=1 /С^ (|с)

где И 5 _kSg" = <^ и Ш оы") _} % С^") ^опР^еД^{еляются}
из системы: ^

W«*> - v^%)- ^14^ .у_кс*о

(Я

1С >( К= Л, Д,..., ) - собственные числа оператора J* ,

^ А^{а =} ^j ; -. ) - собственные числа оператора ЗсМл^

_Kh.

(2.-) л Ь&

^ - ортонормированный базис в подпростран-

стве

»00 - - ^

_,C-n,„^w_{,- V ^}¹

д ОС j

^Со)«(ї_кЛ^М*к^

W,oc ^)=-^ . (0^-/,...,4-,)

іг э (14.= Л> ; У - последовательность собственных чисел
,^1 оператора J(y ;

^ос } (^⁼ "V А*)" последовательность собственных чисел

^ ^ оператора 2-УппЯ^ ;

t tf J oc=J\ - ортонормированный базис в подпростран-

стве

В главе ІУ обобщается понятие линейной представимости для случайных полей. Будем говорить, что поле %,(чц^ DZ^ ) является линейно представимым, если существует сильно непрерывная двухпараметрическая полугруппа операторов 1-()) в На.,

и ^(Х^_; 0(^)=: I (^,0) &0 » ^гД^е ^ -фиксированная случайная величина из Н* .

Рассматривается лишь случай, когда сжимающая

полугруппа:

Полугруппу I (ft^p 0⁴)можно записать в виде:

где Т^^ T(oe^₅o) . Т^ = Т(0, Я_±)

Очевидно ) < _;(Ml-^ji_) сильно непрерывные коммутирующие

сжимающие полугруппы операторов в Н* с инфинитеземальными, вообще говоря, неограниченными, производящими операторами.

При помощи спектрального анализа неограниченных несамосопряженных операторов и их приведения к треугольному виду (Д#3 >

[9], [задч) изучаются некоторые классы линейно представи-

мых случайных полей и вычисляется их корреляционная функция.

Доказаны следующие две теоремы:

Теорема 4.3. Пусть задано линейно представимое случайное

__г(и )--(4) -г-00

поле % С 0 ,5.^-) = V L %о » ^гД^е '^ -полугруппы

операторов с инфинитеземальными производящими операторами (и.п.о.)

іЛ_к ,(К: = -ЇД)_; <,« 0 . Если и.п.о. J/_{fc P}(fC-ii) удовлетворяют условиям:

а) Ji| , .. дважды перестановочны, простые диссипативные
операторы;

б) J^ и ^ имеют чисто дискретный спектр;

так и

г) dm (6₁Н_ЕПВ_ІН_Ї) = ^<_<» , то корреляционная функция поля (СС^ , Я?₂) имеет вид:

0 tfO

в) точки І и -І - регулярные,как для J»-/
для Л^ ;

_{о о}

OO CO

_{лсл л(1)}

-Уи^и _/Ц имеют вид:

Ъ&_АЪх_г

_ X-^лл -и

ач.

_і-

д2;

і f/ \^^'ⁱ^p^i)SM)^sM^,

_{І V}

jl - произвольный замкнутый контур, расположенный в верхней полуплоскости и содержащий J JLj' jf. ,

_{КС -}

$]j~,i - последовательность точек спектра сужения оператора Jf. на подпространстве П^ = 3^ п*

со

_?

= -/

_{A, c«i)=}

^{_± 6}_е^*лзг

-?ГТІ

»-f

_{|^-і%іИ4М)^*>}

^{L^-я ,=<}

^ с» — произвольный замкнутый контур, расположен-, ный в верхней полуплоскости и содержащий

%h *

-і)и.j - последовательность точек спектра сужения

оператора J/^ на подпространстве Н, - D, /L

Теорема 4.5. Пусть задано линейно представимое случайное

поле (0^,) = 7^ Т_х Z₀ , где \₀q_(c -полугруппы операторов с и.п.о. і <Я\ j(fCr -4,2) и ₀ CD^ Л Jb Если Л./ и Jig удовлетворяют условиям:

1. jI<( и Ji дважды перестановочны, простые диссипативные операторы;

2. Aj и ^ не имеют точек спектра в конечной части плоскости;

_{з. <иаал;';н. ncvOH» = >^<}

то корреляционная функция поля % (Х^ , 03₁") имеет вид:

если ()^^) Є 2)

_$Gvwwt>

О при прочих (0^_; Х_г ) , (fy> ц)

Функции -і ( fc>f, t*,) абсолютно непрерывны относительно

fc-и t,. в О, Ф = [0,а^х[0,а_г]_и

В главе У рассматриваются некоторые обобщения и дополнения.
Вычисляется корреляционная функция линейно представимых случай
ных полей %(Хл,Хг)= Q.^{lX г} &о » ^для которьк операто-

ры Л-( и М% t[Hfy ,П?| коммутируют, но не дважды перестановочны, при предположении, что коммутатор [ ЛЦ _; Jij одномерный и некоторых других предположениях. Изучаются линейные преобразования однородных случайных полей.

Поле (ос ₄ > эс_г) сМг(^^)=0 иМ|&(^₇Л5₄))<оо

называется равномерно ограниченным линейно однородным (р.о.л.о.), если существует константа оо ^> С ^> О такая, что

для произвольных (0.^_K J С (L^ { ^ ) ДЛс) ^-),^ ' M ' " J

Для p.о.л.о. полей доказана следующая теорема
Теорема 5.5. Пусть % (>} ,№) - р.о.л.о. случайное поле,
тогда существуют однородное случайное поле УС^уОс^) и линей
ный ограниченный самосопряженный оператор с ограни
ченным обратным и такие, что

Случайное поле ь (O^-jjOC^") называется дилатацией -fc -ого ранга случайного поля X (се-у,ОС^^), если существует линейный

ограниченный оператор В в Н* такой, что <=> (^ , ог) =

_{= 6&(^;х)и cW (1-В*В)1-Ы:.}

Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы заданная функция

JV &<( )3 , *Ур ^₂) была корреляционной функцией дилата-ции -^1 -ого ранга однородного линейно представимого случайного поля.

В конце главы У вычисляется корреляционная функция случайных полей вида:

_{*с*,,«о-6е}^іяЛ+{яд_{Ч ,}

где Л( - Jr_K р(<С- -f, Я ) ^ и - линейный ограниченный оператор в rig такой, что

т.е. Б образует с каждым оператором М% .>({= Л,) алгуб-ру Ли.

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе - соответствующего утверждения главы.

Настоящая работа выполнена в Харьковском государственном университете им. А.М.Горького. Основные результаты опубликованы в работах рт], (?%~\ ^и докладывались на конференциях преподавателей и сотрудников Харьковского университета и на семинаре по теории линейных операторов при Харьковском университете.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:

3. Теорема о линейной представимости для случайных полей.

4. Теорема о ранге.

5. Универсальная модель систем коммутирующих операторов со спектром в нуле и общий вид Ш соответствующих линейно предста-вимых случайных полей.

6. Универсальная модель систем коммутирующих операторов с чисто невещественным спектром и общий вид Ш соответствующих линейно представимых случайных полей.

7. Спектральные разложения линейно представимых случайных полей конечного ранга неоднородности.

8. Линейно представимые случайные поля с неограниченными операторами.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руко-

водителю доценту Артему Артемовичу Янцевичу за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.

Похожие диссертации на Применение спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов к исследованию неоднородных случайных полей

Исследование операторов перестановок системы Хаара в некоторых функциональных пространствахОтырба, Давид Заканович

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравненийАксенов, Николай Александрович

Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимацииБирюков Лев Николаевич

Обобщенный вариант максимальной функции Харди-Литтлвуда и его применения к теории сингулярных и гиперсингулярных интеграловШафиев, Мамедали Фатулла оглы

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

Применение методов теории банаховых алгебр к исследованию операторных пучковКурбатова, Ирина Витальевна

Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов.Шейпак, Игорь Анатольевич

Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменногоЭйрих Надежда Владимировна

Некоторые вопросы теории сплайнов и ее применениеГараев, Полад Муртузали оглы

Применение нормированной матрицы Якоби в теории пространственных отображенийЕгоров Владислав Валерьевич