Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного Эйрих Надежда Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

1. Обобщенные приведенные модули 18

1.1. Определения 18

1.2. Примеры приведенных модулей 23

1.3. Приведенный модуль как функция множества 26

1.4. Вычисление приведенных модулей 29

1.5. Принципы композиции 36

1.6. Приведенный модуль И.П. Митюка 42

1.7. Обобщение приведенного модуля И.П. Митю 45

1.8. Свойства приведенного модуля М(В, Г, Z, Д, Ф) 47

2. Приложения в геометрической теории функций 53

2.1. Теорема искажения 53

2.2. Двуточечные теоремы искажения для производных Шварца 57

2.3. Обобщение неравенства Поммеренке 65

2.4. Неравенства для коэффициентов однолистных функций 71

2.5. Оценки коэффициентов алгебраических полиномов 78

2.6. Экстремальные разбиения комплексной сферы 80

2.7. Теоремы покрытия 88

Список литературы 98

• Приведенный модуль как функция множества
• Обобщение приведенного модуля И.П. Митю
• Двуточечные теоремы искажения для производных Шварца
• Неравенства для коэффициентов однолистных функций

Введение к работе

В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеєм еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [4, 5, 31, 34, 41, 44, 47, 93]). Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов [39, 67].

С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного модуля области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга [59], Дж. Дженкинса [10], П. Дюрена [68]-[72], В, Хеймана [45]. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В.В. Асеева [6], В.Н. Дубинина [12]-[16], [18, 19], П. Дюрена [69, 72], Е.Г. Емельянова [21)-(23), Г.В. Кузьминой [24]-[28], В.М. Миклюкова [32], И.П. Митюка [35, 36], А.Ю. Солынина [42, 43] и других математиков. О широте приложений приведенных модулей можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А.Ю. Солынина [62], Д. Бет-сакоса [63], А.Ю. Васильева [91, 92], Г. Виттиха [94], Д. Гайера и В. Хеймана [73], Л. Карлесона и Н.Г. Макарова [65], Л.В. Ковалева [78], В.М. Ми-

клюкова [33], СР. Насырова [81], К. Поммеренке [85], А. Пфлюгера [84] и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ [И], [68]-[72], [81, 83, 90, 92]. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [78, 93], однолистных гармонических отображений [66], многолистных функций [45]. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения [10, 18].

В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г.В. Кузьминой, а также Е.Г. Емельянова и А.Ю. Солынина (см.[27,43]). Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки [13]. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее при емкостном подходе рассматривались в основном "внутренние" приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности "граничного" приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.

Цель диссертационной работы - развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние так и граничные разновидности при любом количестве вер-

5 шин и при различных типах емкостей конденсатора, и показать приложения таких приведенных модулей в геометрической теории функций комплексного переменного.

В первой главе изучаются две разновидности приведенного модуля, исследуются их свойства и рассматриваются частные случаи.

В параграфе 1.1 вводится понятие приведенного модуля M(B,r,Z, Д, Ф) множества В относительно некоторых его граничных дуг Г С

{дБ) \ (J {%к}, совокупности Z = {z^}^₌₁ - внутренних и граничных то-

4=1

чек этого множества, а также заданных совокупностей вещественных чисел

^д = ftlLn Я Ф ^и Функций Ф = {w^VkYk=v ^гД^е Mfci ^vk - произволь-Jfc=l

пые положительные числа.

Обобщенным приведенным модулем множества В относительно множества Г и совокупностей Z, Д, Ф называется предел

M^r^^^J-limdC^S^^^^JI + ^logr}, (1.1.1)

если он существует и конечен. Здесь \С(г; Б, Г, Z, Д, Ф)| - величина, обратная конформной емкости обобщенного конденсатора, для которого допустимая функция равна нулю в окрестности Г и равна Sk в окрестности почти кругов в В с центрами в точках Zk радиусов ^г¹'*, к = 1,..., п,

число Qk = 2, если Zk Є В, и о/7г - внутренний угол множества В с вершиной в точке Zk, если Zk Є дВ.

В параграфе 1.2 показано, что введенный таким образом приведенный модуль содержит как частные случаи приведенные модули Е.Г. Емельянова, А.Ю. Солынина, Г.В. Кузьминой, В.Н. Дубинина и др. Мы при-

водим формулы для вычисления некоторых приведенных модулей через внутренние радиусы областей и функции Грина. В параграфах 1.3, 1.4 устанавливаются свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении и принципы симметрии.

В пятом параграфе первой главы доказываются следующие принципы композиции.

Теорема 1.6. Пусть множества В,Т и совокупности Z ~ {zk}k=v А ~ {<У₌і! Ф = {^k^rUk}k=i ^и (^а&}&=1 ~ ^из определения приведенного модуля М := М(В, Г, Z, Д, Ф). Пусть Ві, і = 1,..., m, - попарно непересекающиеся открытые подмножества В, и пусть Г*, Z{ = {%ц}%ъ ^» ⁼ {<%}?=1> ^i — {ttij^YjLi ^и {^аіз}%\ ~ ^из определения приведенных модулей Мі := М(Ві, Г{, Z(, Аі, Ф(), і = 1,..., т. Предполооїсим, что выполняются следующие условия: каоїсдая точка щ из совокупности Z{ совпадает с точкой Zk Z при некотором k ~ k(i,j) (в случае, когда щ - достижимая граничная точка множества В^, имеется ввиду, что изобраоїсаю-щая ее точка совпадает с точкой Zk или с точкой, изобраоїсающей точку Zk); для любых г и j имеют место равенства 5ц = S&, \ц$ = fik, Щ$ = v\t, где k = k{i,j); Г$ С Г, і = 1,... ,m, и пусть

п т щ

Jfc=l і=1 з=1

Тогда, при условии существования указанных приведенных модулей, справедливо неравенство

/ П \ ² 771 / ГЦ \²

\fc=l / i=l \j=l /

Теорема 1.7. Пусть выполняются все условия теоремы 1.6. со следу-

7 ющими изменениями:

а) В{, і = 1,..., m - попарно непересекающиеся открытые мнооїсества
на C_z, для которых дВ{ \Т( С С_г \ В, і = 1,..., пг (взамен условия
BiCB,i = l_}..._tm),

б) каоїсдая точка Zk Є Z совпадает с некоторой точкой %ц Є Z{,

в) Г С U Г_г- (взамен условия Г₍- С Г, і = 1,..., m).

Тогда при условии существования приведенных модулей справедливо неравенство

/ п \ ² т / щ

^{м е <*&1ъ > Е м* Е ^4/^-}

Свойства монотонности и принципы композиции для обобщенного приведенного модуля имеют весьма простой смысл и, в то же время, содержат как частные случаи многие важные утверждения такого рода, известные ранее под другими названиями: классические леммы Греча [10, с. 38-40], одна из разновидностей кусочно разделяющей симметризации [12], неравенства для приведенных модулей при разбиении треугольника на треугольники и двуугольника на двуугольники (ср. [43, с. 19]) , неравенство Е.Г. Емельянова между приведенными модулями двух типов [22], неравенства П. Дюрена и М. Шиффера для емкостей Робена и функций Робена и

ДР-

В параграфе 1.7 рассматривается другая разновидность приведенного

модуля M(B,T,Z, Д,Ф), полученная аналогично определению (1.1.1), но при дополнительном требовании на допустимые функции: они должны быть постоянными в некоторых окрестностях выбранных компонент дополнения исходного множества В. Это обобщение содержит как частный

8 случай приведенный модуль т(г₀, Г, В) области В относительно некоторой

точки zq этой области и отмеченной граничной компоненты Г, введенный И.П. Митюком [36] (определение этого модуля дано в параграфе 1.6), а также определения приведенного модуля, восходящие к работам Г. Греча, О. Тейхмюллера, Г. Виттиха и имеющие различнные приложения в теории аналитических функций (см. например [10, 36]). Сравнение двух разновидностей приведенных модулей дает неравенство

М(В,Г, 2,Д,Ф) >M(B,r,Z,A,V). (1.7.24)

В параграфе 1.8 диссертации исследованы основные свойства обобщенного приведенного модуля М(В,Г,Z, Д,Ф), связанные с расширением множества, выполнением конформного отображения и реализацией принципа композиции.

Вторая глава посвящена некоторым приложениям обобщенных приведенных модулей к традиционным задачам геометрической теории функций комплексного переменного.

Обозначим через В - класс функций w = f(z)₁ регулярных и однолистных в единичном круге I?" := {г : |;г| <1},и удовлетворяющих условию \f{z)\ < 1 при z U. Пусть Во - подкласс функций из класса В₇ для которых /(0) = 0. Основным результатом параграфа 2.1 является следующая теорема искажения для ограниченных и однолистных в круге функций.

Теорема 2.1. Пусть функция w = f(z) принадлежит классу В, и пусть она и ее производные определены такоісе в граничных точках Zk, \zk\ — 1/()] = 1, k = 1,...,1. Пусть Zfa к = I -\-l,...,n - произвольные точки круга U. Тогда для любых вещественных чисел Sk, к = 1,..., п,

удовлетворяющих условию

> + 2^> = 0,

Jb=l

k=t+l

(2.1.1)

справедливо неравенство

Ц\гы\

Ufc=l

П 1/4) I^м* >

Аг=Л-1

25_к5,

4-z_s

1 - 4z_s

(2.1.2)

>

!(ч) - f{z*)

_ k?s

где 6ks — 2_; если одновременно k~>l + lus>l-\-i_t ив^ — І в остальных случаях.

Неравенство (2.1.2) для класса функций Во при J = l, п = 2иг2 = 0 дает результат А.Ю. Солынина [43], а если положить I = 2, п = 3, z% = 0 и 5₃ = —1/2, то получим неравенство А.Ю. Васильева и К. Поммеренке [86, с. 434].

Особый интерес в последнее время возникает к классическим двуточечным теоремам искажения для однолистных аналитических функций (см., например [75, 76, 77, 87]). С другой стороны, не ослабевает интерес и к оценкам, содержащим производную Шварца [88, 89]. Обозначим через

- вычисленную в точке z производную Шварца функции f(z). В параграфе 2.2 доказаны двуточечные теоремы искажения для Шварциана, в частности, имеет место

Теорема 2.2. Если функция w = f(z) Є В, то для любых точек z\ и z>i из единичного круга U и любых вещественных постоянных у\ и 72

справедливы неравенства

№і)-/й))² ^-^)4-

2 1 №)1 V , Н , 6₇₂² 12₇172

1-1/Ы17 (i-N²)² (1-Ы²)² |і-^₂|²'

Ъ^е bj(Zi) +І2^е ^f\^z2) + 1^7172

(1-/(^1)/())² (1-адІ²

-~^127l72Re\^e (/W-/W)^ar^4i475)FJ " ⁽²-²"⁸⁾

.,2^ №)l У, 67? , 6₇| , 127172

Д-1/Ы17 (i-Ы²)² (i-Ы²)² h-^il²'

i2a ^z2~ ^zl 1 - ^zl^z2

где e = —. Равенство в (2.2,7) и (2.2.8) достигается для

Z₂ - Z\ 1 - ZiZ₂

для функции w = f(z)₎ заданной соотношением е^га-—_=г- = ,

-210 1 — TW

1 — Z\ z 1 —

ч Z% — Z\ \Z2 — Z\

гае a = ж — arg -—₌—, r

1 - гіг₂ |1 -zizi\ + ^(1 — ki|²)(l - k₂|²)'

В работе [85, с. 217] для класса функций Но К. Поммсрснке доказал неравенство

VTfWcap/()>cap,

где сар(-) означает логарифмическую емкость, а множества Е и f{E) лежат на единичных окружностях [12, с. 15]. Третий параграф второй главы диссертации содержит далеко идущее обобщение этого результата (теорема 2.4).

Пусть 7 ~ замкнутое подмножество окружности \z\ — 1, Z = {^}^₌₁ - совокупность точек Zk Є U, к = 1,... ,п, и Д = {fc}jjLi - совокупность

вещественных чисел Sfa к = 1,..., тг, YL4, ^ О- Д^ля заданных -у,Z и А

Jt=i введем обозначение

Н{_Ъ Z, Д) = ^St ^loS ^Гй \ 7, z_k) + 53 й^ЗсЛтС⁸*'«-),

Аг=1 *.«-!

где 5„_+fc = 6_к, z_n+k = 1/ А; = 1,..., п.

Теорема 2.4. Пусть функция w = f(z) принадлеэ/сит классу В и пусть \f{z)\ —J- 1, когда точка z стремится к множеству j, состояще-му из конечного числа замкнутых дуг па окружности \z\ = 1. Тогда для любых совокупностей точек Z = {^}₌₁ и чисел А = {5_к}_к=і справедливо неравенство

_ /

>Я(/(₇),^Д)-Я(₇₎^Д)₎ (2.3.16)

ft=i

/()

где W = {/(^zfc)}jt₌i> ^а штрих У знака суммы означает, что при z_k — О (/() = 0) под соответствующим мноотителем понимается единица.

Вычисляя правую часть в (2.3.16) в случае двух сближающихся точек z\ и zi и Si = —82 = 1, получаем

Следствие 2.1. Если функция w = f(z) принадлежит классу Bq и если f(z) —> 7' С {w : |ги| = 1}, когда точка z стремится к замкнутой дуге 7 С {z : \z\ — 1}, то выполняется неравенство

І5,(0) + e-^sin²^-e-^'(/^/(0))²sin²^

7 ₂ СТ

<₂^cos--j/'(0)|²cos~J_? (2.3.18)

где а - длина дуги 7, е^г* - середина этой дуги, и' - длина 7', а е¹* - ее середина. Равенство достигается для функции Пика l(z; А) = АГ^АА;^)) и дг/г {г : z = е*⁵, |0| < ст/2} для любых 0 < а < 2тт и 8Іп²(<т/4) < А < 1 (здесь fc(z) = z(l - г)^-2 - функция Кебе).

12 Используя теорему 2.1 в частных случаях (при конкретных наборах

Z, Д, Ф), в параграфе 2.4 получены следующие результаты для коэффициентов однолистных функций.

Теорема 2.5. Если функция w = f(z) = ^ akz^k припадлеоісит классу Во, то

\S^!}(0) - S}(0)\ < 60(1 - Н⁴ - 2|о₂р). (2.4.21)

Равенство достигается для функций Пика e^l&l(e^ld'z;X) , где 0 < А < 1, а в,$' - вещественные числа.

Теорема 2.6.Пусть функция w = f{z) принадлежит классу В, и пусть, дополнительно, f(z) определена на некоторой открытой дуге окруоісности \z\ = 1, содероісащей точку z = 1, триоісдьі дифференцируема в этой точке и отобраоюает указанную дугу на дугу окруоісности \w\ = 1 так, что справедливо разложение

f(z) = 1 + oi(z -1) + a₂{z - І)² + a₃(z - І)³ + o{(z - І)³), z ч> 1, \z\ < 1.

Тогда имеют место точные оценки

2Rea₂> ai(ai-l), (2.4.24)

Reg-|<0. (2.4,5)

Равенство в первом неравенстве достигается для функций Пика l(z;X), О < Л < lj а во втором - для тождественного отображения f(z) = z.

Неравенство (2.4.25) теоремы 2.6. можно трактовать и как оценку действительной части Шварциана на границе

ReS/(l)<0.

С помощью теорем 2.5 и 2.6 в параграфе 2.5 найдены оценки для коэффициентов алгебраических полиномов. В частности доказана следующая

n Теорема 2.8. Для любых полипомов P(z) = ^ CkZ^k степени п с ее-

щественными коэффициентами с*, к = О,1,..., п имеет место точная

оценка

cl(cl + 8cl_₁)<2^(H(P)-L(P))\

гдеЦР) = min{P(z) : z Є [-1,1]}, Я(Р) - max{P(z) : z Є [-1,1]}. Равенство достигается для полипома Чебышева первого рода. Из теоремы 2.8 следует известная оценка

\с_п\<(Н(Р)-Ь(Р))2^п-²,

эквивалентная классическому свойству полинома Чебышева T_n(z) — zⁿ + ... наименее отклоняться от нуля на отрезке [—1,1] среди полиномов вида P(z) = zⁿ + ... [64]. Таким образом, полученную оценку можно рассматривать как уточнение этого свойства с участием следующего коэффициента полинома P(z).

Задачи об экстремальном разбиении занимают существенную часть геометрической теории функций комплексного переменного [12, 27]. Заменяя в этих задачах известные приведенные модули на обобщенные [17], приходим к новым постановкам. В параграфе 2.6 с помощью принципа композиции для приведенного модуля М(В, Г, Z, Д, Ф) и диссимметризации установлены следующие результаты

Теорема 2.9.Пусть функции w = fk{z), k = 1,..., п мероморфно и однолистно отображают круг U па попарно неполегающие области, причем /а(0) ф сю, к = 1, ...,п. Тогда для любых вещественных чисел в^, к = 1,..., п справедливо неравенство

}

,'2fc

вешу

A9k+Vl)

_{Ы(Л(о)-Л(о))}²_'

(2.6.27)

Теорема 2.10.Для любых мероморфных и однолистных в круге U функций w = fk{^z)/ отображающих этот круг на попарно неполегающие области таким образом, что |/jt(0)| = 1, k = 1,.. . ,п, справедливо точное неравенство

e% (ЛИ)² - ?ІЯ(о)Р ⁺ 12 ⁽²'⁶-²⁹⁾

Равенство в (2.6.29) достигается для функций fl{z) = ехр(2тгг'(& — l)/n)[(l + z)/(l — z)]²'ⁿ, где под корнем понимается ветвь, сохраняющая единицу, к = 1,... ,п.

Выписанные утверждения можно получить, по-видимому, методом Нехари [82], поскольку данный метод и наш подход опираются на принцип Дирихле. Вместе с тем, представляет интерес емкостная интерпретация результатов и привлечение в дальнейшем симметризационных преобразований конденсаторов [12].

В параграфе 2.6 получены также некоторые приложения приведенного модуля M(B,T_t Z, Д,Ф) к задачам о неналегающих областях (теоремы 2.11 и 2.12).

В седьмом параграфе второй главы доказываются теоремы покрытия. Пусть В* - произвольная экстремальная область типа К с граничной компонентой \z\ = 1. Это означает, что точка z = О Є В*; всякая граничная компонента области В*, отличная от \z\ = 1, есть дуга окружности (или точка), концентрической с \z\ = 1; и для достаточно малых г > 0 модуль семейства кривых, лежащих в B*\{z : \z\ < г}, разделяющих окружности \z\ ~ г и \z\ = 1, равен модулю кольца г < \z\ < 1.

Пусть S(B*) - класс функций w = f(z), конформно и однолистно отоб-

15 ражающих область В* С С_г на некоторую область В С С_ш так, что

/(0) = 0, /'(О) = 1 и окружность \z\ = 1 переходит во внешнюю граничную компоненту Г области В. Обозначим через Л/(0), / Є S(B*) расстояние от начала координат до ближайшей точки Г, лежащей на луче argw = 9, 0 < \w\ < со; здесь 9 - произвольное действительное число. Если при данном 9 указанной точки не существует, то полагаем Aj(9) = +оо. Теорема 2ЛЗ.Для любой функции w = f(z) класса S(B*) и любого действительного числа 9 справедливо неравенство

й^л/(^е+??)4 ⁽²-⁷-³³⁾

Равенство в (2.7.33) имеет место для функции w — z[\ + [e^l9 z)ⁿ]~²fⁿ.

При n = 1 неравенство (2.7.33) обобщает известную теорему Кебс-Бибербаха на случай функций, заданных в многосвязных областях. В 1956 г. Ю.Е. Аленицын установил, что для многосвязных областей справедливо неравенство [1, теорема 1]

max At [в + > —=.

\^J \ п ) ~~ Щ

Для односвязных областей утверждение, аналогичное (2.7.33), получено В.Н, Дубининым в работе [12, теорема 2.19].

Заключительная теорема 2.14 параграфа 2.7 содержит оценку Л/(0) снизу для функций, заданных в круге с одним концентрическим круговым разрезом, если известно, что другая компонента дополнения образа круга (не внешняя) содержит некоторый круг \w + ае^й\ < R. При фиксированных р, 0 < р < 1и<>, 0<^<7г обозначим через G(p, <р) круг \z\ < 1 с разрезом 'у := {z = рё*^, —ц) < ф < (р}. Рассмотрим функцию fo(z;a,R,b) конформно и однолистно отображающую область G(p,на

область {w : \w + a\ > R} с разрезом {w : b < Rew < +00, Imw = 0}, a > 0, R> 0, b> 0 так, что /o(0; a, R, b) = 0. Эту функцию можно представить в виде суперпозиции следующих функций

_ в\{и — а) ^Z~ 0i(u + a)'

ад = Я/г sn(tf (1 - 2«) + itf', fc) - a,

где 0i(u, т) - тста-фуикция с параметром т = ІК'/(2К), sn(ti, fc) - функция Якоби, /г = Я/(6 + a), # и К' - связанные эллиптические интегралы, а = (ъК'-к)/(2К) + 1/2, sn(h,k) = ^/a{Rk)-\ Reh = K, K'/2Теорема 2.14.Пустъ функция w = f(z) конформно и однолистно отобраоїсает область G(p, <р) на некоторую двусвязную область, одна компонента дополнения которой содержит круг вида \w + ае^гі\ < R при некоторых a,t и R, а другая бесконечно удаленную точку, /(0) = 0 и |/'(0)| > |/о(0;а, Я, Ь)\. Тогда справедливо неравенство

A_f{6) > Ь.

Равенство достигается для функции fo(z;a,R,b).

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Введено понятие обобщенного приведенного модуля, содержащее как его внутренние так и граничные разновидности. Установлены свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и принципы композиции.

2. Обобщено понятие приведенного модуля И.П. Митюка и изучены некоторые его свойства.

3. Доказаны новые теоремы искажения для функций, ограниченных и

однолистных в единичном круге. В частности, обобщено неравенство Поммеренке о поведении логарифмической емкости граничного множества при конформном отображении. Получены новые двуточечные теоремы искажения для производных Шварца ограниченных и однолистных функций.

4. Установлены новые неравенства для коэффициентов однолистных функций, ограниченных в единичном круге, а также для коэффициентов алгебраических полиномов.

5. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении комплексной сферы и теоремы покрытия.

По теме диссертации опубликовано 13 работ [17],[20],[48]-[58].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах - семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005), на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002, 2004), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на научном семинаре ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на семинарах кафедры математики ДВГСГА (руководитель профессор Б.Е. Фишман), на областных смотрах-конкурсах научных работ молодых ученых и аспирантов высших учебных заведений и учреждений науки Еврейской автономной области (2004, 2005).

Приведенный модуль как функция множества

В физике широко используется понятие емкости, введенное Фарадеєм еще в начале 19 века. Формализованное обобщение этого понятия оказалось весьма плодотворным и нашло многочисленные приложения в математике. Различные виды емкостей активно применяются в функциональном анализе, теории функций, а также в теории дифференциальных уравнений с частными производными (см., например, [4, 5, 31, 34, 41, 44, 47, 93]). Одним из основных методов современной геометрической теории функций является метод симметризации, основанный, в том числе, и на теории емкостей множеств и конденсаторов [39, 67].

С емкостью конденсатора тесно связан так называемый приведенный модуль, который возникает в асимптотике емкости конденсатора при стягивании его пластин в точки. Понятие приведенного модуля области восходит к классическим работам Г. Греча и О. Тейхмюллера начала 20-го века. Большое влияние на применение приведенного модуля в геометрической теории функций комплексного переменного оказали исследования Л. Альфорса и А. Берлинга [59], Дж. Дженкинса [10], П. Дюрена [68]-[72], В, Хеймана [45]. Многочисленные обобщения и разновидности приведенных модулей были даны в работах В.В. Асеева [6], В.Н. Дубинина [12]-[16], [18, 19], П. Дюрена [69, 72], Е.Г. Емельянова [21)-(23), Г.В. Кузьминой [24]-[28], В.М. Миклюкова [32], И.П. Митюка [35, 36], А.Ю. Солынина [42, 43] и других математиков. О широте приложений приведенных модулей можно судить, например, по работам Р. Барнарда и А.Ю. Солынина [62], Д. Бет-сакоса [63], А.Ю. Васильева [91, 92], Г. Виттиха [94], Д. Гайера и В. Хеймана [73], Л. Карлесона и Н.Г. Макарова [65], Л.В. Ковалева [78], В.М. Миклюкова [33], СР. Насырова [81], К. Поммеренке [85], А. Пфлюгера [84] и многих других. Приведенные модули тесно связаны с такими понятиями, как емкость Робена и функция Робена, изучению и применению которых в последнее время посвящено немало работ [И], [68]-[72], [81, 83, 90, 92]. С помощью приведенных модулей получено большое число результатов в геометрической теории функций: их применяют при изучении квазиконформных и квазирегулярных отображений [78, 93], однолистных гармонических отображений [66], многолистных функций [45]. В теории конформных отображений приведенные модули нашли эффективное применение при доказательстве теорем покрытия и искажения [10, 18].

В теории плоских конденсаторов существуют два подхода к изучению приведенных модулей: экстремально-метрический и емкостной. Систематическому развитию первого подхода посвящены работы Г.В. Кузьминой, а также Е.Г. Емельянова и А.Ю. Солынина (см.[27,43]). Мы придерживаемся второго подхода, когда приведенный модуль возникает в асимптотике емкости обобщенного конденсатора при стягивании его пластин в точки [13]. Оба подхода дополняют и обогащают друг друга. Заметим, что ранее при емкостном подходе рассматривались в основном "внутренние" приведенные модули относительно произвольного конечного числа точек, в то время как при экстремально-метрическом подходе дополнительно использовались такие разновидности "граничного" приведенного модуля, как приведенный модуль двуугольника и треугольника.

Цель диссертационной работы - развивая емкостной подход, ввести и изучить наиболее общие понятия приведенных модулей, включающие как его внутренние так и граничные разновидности при любом количестве вер 5 шин и при различных типах емкостей конденсатора, и показать приложения таких приведенных модулей в геометрической теории функций комплексного переменного.

В первой главе изучаются две разновидности приведенного модуля, исследуются их свойства и рассматриваются частные случаи.

В параграфе 1.1 вводится понятие приведенного модуля M(B,r,Z, Д, Ф) множества В относительно некоторых его граничных совокупности Z = {z } =1 - внутренних и граничных точек этого множества, а также заданных совокупностей вещественных чисел д = ftlLn Я Ф и Функций Ф = {wVkYk=v гДе Mfci vk - произвольпые положительные числа.

Обобщение приведенного модуля И.П. Митю

Перечислим основные результаты диссертационной работы: 1. Введено понятие обобщенного приведенного модуля, содержащее как его внутренние так и граничные разновидности. Установлены свойства обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и принципы композиции. 2. Обобщено понятие приведенного модуля И.П. Митюка и изучены некоторые его свойства. 3. Доказаны новые теоремы искажения для функций, ограниченных и однолистных в единичном круге. В частности, обобщено неравенство Поммеренке о поведении логарифмической емкости граничного множества при конформном отображении. Получены новые двуточечные теоремы искажения для производных Шварца ограниченных и однолистных функций. 4. Установлены новые неравенства для коэффициентов однолистных функций, ограниченных в единичном круге, а также для коэффициентов алгебраических полиномов. 5. Доказаны новые теоремы об экстремальном разбиении комплексной сферы и теоремы покрытия. По теме диссертации опубликовано 13 работ [17],[20],[48]-[58].

Результаты диссертации по мере их получения докладывались на Дальневосточных математических школах - семинарах им. академика Е.В. Зо-лотова (Владивосток, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005), на Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 2002, 2004), на семинарах по геометрической теории функций ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на научном семинаре ИПМ ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), на семинарах кафедры математики ДВГСГА (руководитель профессор Б.Е. Фишман), на областных смотрах-конкурсах научных работ молодых ученых и аспирантов высших учебных заведений и учреждений науки Еврейской автономной области (2004, 2005).

В этой главе рассматриваются два типа обобщенных приведенных модулей. Сначала мы вводим обобщенный приведенный модуль M(B,T,Z, Д, Ф), включающий в себя как частные случаи многие известные ранее определения внутреннего и граничного приведенных модулей. Мы приводим формулы для вычисления некоторых приведенных модулей через внутренние радиусы областей и функции Грина. Доказываем свойства этого обобщенного приведенного модуля: монотонность, поведение при конформном отображении, принципы симметрии и новые принципы композиции. В заключении дается обобщение приведенного модуля И.П. Митгока, основанное на другом определении емкости конденсатора. Этот приведенный модуль будем обозначать символом М(В,Т,Z, А,Ф).

Всюду ниже приняты обозначения С2 - плоскость комплексных чисел z — х + гу, Сг = Сг U {со}, U{ZQ, Г) = {z : \z — ZQ\ г} в случае конечной точки 2о и (/(со, г) = {z : \z\ 1/г}. Для конечной точки z и произвольной точки С Є Сг положим d(z, Q = \z - (\, если С, ф со и d(z,Q = 1/-г в противном случае.

Замкнутое множество E(zo,r),zo Є Cz, зависящее от параметра г О, назовем почти кругом с центром в точке ZQ радиуса г, если для достаточно малого є О существуют непрерывные положительные функции rj(r), 0 г є, і = 1,2, такие что Штольца с вершиной в конечной точке , называется открытый круговой сектор S(ZQ,1,9,T) с вершиной в этой точке, биссектрисой I, раствора в и радиуса г. Угол Штольца с вершиной в бесконечности определяется как 5(оо,/,в,г) = {z : l/z 5(0, 0, г)}.

Пусть В - открытое множество на С2, и пусть ZQ - достижимая граничная точка множества В. Внутренним углом множества В с вершиной в точке ZQ назовем величину где верхняя грань берется по всем в , для которых существует угол Штольца S(ZQ,1,9,T), обладающий свойством: для любого р, 0 р г пересечение S(ZQJ І, в, г) П U(ZQ, р) принадлежит связной компоненте множества В П U{ZQ,P), примыкающей к точке ZQ (здесь sup0 := 0).

Пусть вновь ZQ достижимая граничная точка множества В, и пусть точка z принадлежит связной компоненте В, из которой достижима точка ZQ. Обозначим через рв&і ZQ) НИЖНЮЮ грань всех длин в сферической метрике открытых дуг Жордана в Б, соединяющих точки z и ZQ.

Для заданного открытого множества В С Cz и точки ZQ В введем обозначение E(zo,r,B) := E{z r)% где г настолько мало, что почти круг E(zQ,r) С В; а для достижимой граничной точки ZQ множества В обозначим через E(zQ,r,B) = E(zQ,r) - связную компоненту пересечения множества В с некоторым почти кругом E(zQ,r), примыкающую к точке ZQ.

Приступим теперь к определению обобщенного приведенного модуля. Пусть В - открытое множество на сфере Cz, и пусть Z = {zk}k=i - совокупность различных точек в В, каждая из которых либо принадлежит множеству В, либо представляет достижимую граничную точку одной из связных компонент множества Б. (Мы считаем граничные точки из совокупности Z различными, если они представляют различные достижимые граничные точки. Точка z& Z и соответствующая достижимая граничная точка в контексте отождествляются.) Каждой точке Zk Є Z сопоставим вещественное число cujfc следующим образом: если z Є В, то аи = 2, а если Zk дВ, то а 7Г - внутренний угол множества В с вершиной в точке z Предположим, что а& ф 0, к = 1,...,п. Пусть Д = {&}=і п совокупность вещественных чисел, 5\ ф 0, и пусть Ф = { }=1, где произвольные положительные числа. Обозначим

Двуточечные теоремы искажения для производных Шварца

Пусть В как и выше, S(B ) - класс функций w = f(z), конформно и однолистно отображающих область В С Cz на некоторую область В С Cw так, что /(0) = 0, / (0) = 1 и окружность \z\ = 1 переходит во внешнюю граничную компоненту Г области В. Обозначим через Л/(0), / Є S(B ) расстояние от начала координат до ближайшей точки Г, лежащей на луче argw = 0, 0 [w\ со; здесь в - произвольное действительное число. Если при данном 9 указанной точки не существует, то полагаем Af(B) = +оо. Теорема 2.13. Для любой функции w = f(z) класса S(B ) и любого действительного числа в справедливо неравенство Равенство в (2.7.33) имеет место для функции w = z[\ + [elB z)n\ 2ln. Доказательство. Можно считать, что в = 0 и п 2. Пусть В - заполнение области В относительно Г, Применяя последовательно теоремы 1.10., 1.8.(формула (1.8.26)), неравенство (1.7.24) и формулу (1.2.4), получаем Обозначим Dk = {w : argiu — 2жк/п\ тг/п}, k = 1,..., n - одно-связные попарно непересекающиеся области в Сш и ( = Pk{w) — w (w Є Dk,pk{e27rikfn) = 1), k = І,.-.,n - семейство функций конформно и однолистно отображающих соответственно области Dk на правую полуплоскость Re( 0. Очевидно, для функций pk(w) выполняются асимптотические равенства Пусть {Дь}=1 - результат разделяющего преобразования области В относительно семейства функций {р&})!=1 [12, с. 27-29], тогда по теореме 1.9. работы [12] Так как дополнение области В и содержит точки Affiirk/Tije2 !71, то дополнение каждой области В% содержит некоторый континуум, соединяющий точки ±Лу (2як/п). Из теоремы 4.2 работы [18] получаем r(Bfc,0) 2Ап/2(2тїк/п). Вместе с (2.7.34) и (2.7.35) это дает неравенство (2.7.33). Случай равенства проверяется непосредственно. Теорема доказана. При п = 1 неравенство (2.7.33) обобщает известную теорему Кебе-Бибербаха на случай функций, заданных в многосвязных областях. В 1956 г. Ю.Е. Аленицын установил, что для многосвязных областей справедливо неравенство [1, теорема 1] Для односвязных областей утверждение, аналогичное (2.7.33), получено В.Н. Дубининым в работе [12, теорема 2.19]. Неравенство (2.7.33) можно трактовать следующим образом. Пусть функция w = /о(г) конформно и однолистно отображает круг \z\ 1 на плоскость w с разрезом {w : b Kew +со, Imw 0}, b 0 так, что /о(0) = 0 (такой, например, будет функция fQ(z) = 4bz(l + z) 2). Если теперь w f(z) произвольная функция, конформно и однолистно отображающая область В на некоторую область /(-В ) так, что /(0) = 0, окружность \z\ = 1 переходит во внешнюю граничную компоненту f(B ) и если при этом Естественно поставить вопрос: как изменится оценка (2.7.36), если известна дополнительная информация о других компонентах дополнения /(В )? Например, какой будет оценка А/(в) снизу, если известно, что другая компонента дополнения (не внешняя) содержит некоторый круг w+aelCj Ю Ниже дается ответ на этот вопрос для функций, заданных в круге с одним концентрическим круговым разрезом. При фиксированных /?, 0 /э 1и /3)0 7г обозначим через G{p,(p) круг \z\ 1 с разрезом 7 := { = ре! , — (р ф ip}. Рассмотрим функцию fa(z\a,R,b) конформно и однолистно отображающую область G(p,ip) на область {w : \w + а\ R} с разрезом {w : Ь Rein +00, Imw = 0}, а О, R 0, b 0 так, что /о(0;а, R, b) = 0. Эту функцию можно представить в виде суперпозиции следующих функций _ вх(и - а) где Oi(u, т) - тста-функция с параметром г = гК /(2К), sn(u, k) - функция Якоби, к — Rj{b + а), К и К - связанные эллиптические интегралы, а = {iK!-h)/{2K) + l/2, sn(h,k) = a(Rk)-\ Reh = Kt K /2 lmh Kf. Параметры дуги 7 при этом отображении определяются из уравненияtp + і log p = і log где и - корень уравнения удовлетворяющий условию 0 Reu 1/2 (здесь р{и) - функция Всйерштрасса с периодами 2w = 1, 2u/ = iK /(2K), (u) - дзета-функция Всйерштрасса). В справедливости выписанных соотношений проще всего убедиться, если воспользоваться решениями задач № 1267 (9), 1334 из сборника [8].

Неравенства для коэффициентов однолистных функций

В работе [12] была введена одна из разновидностей кусочно разделяющей симметризации, которая в случае областей (и в наших обозначениях) сводится к следующему. Пусть В - произвольная область сферы Cz, содержащая точку ZQ, Г = дВ. Пусть Д, г = 1,... ,т, - одно-связные попарно непересекающиеся области в Cz, ограниченные конечным числом кусочно аналитических кривых, и пусть { } - некоторое семейство функций = Pi(z), конформно и однолистно отображающих соответственно области Д на правую полуплоскость Re С 0. Предположим, что точка ZQ изображает некоторые достижимые граничные точки zt- областей Д, соответствующий внутренний угол Д равен щп 0, щ = 2, и выполняются асимптотические равенства

Обозначим через Д связную компоненту объединения множества рі(В П Д) с его отражением относительно мнимой оси, содержащую точку Pi(zo). По теореме 1.9 работы [12] справедливо неравенство

С учетом соотношения (1.2.4) это неравенство получается путем последовательного применения принципа композиции, теоремы 1.2. и принципа симметрии. В принципе композиции необходимо положить: Z = {.го}, Д = {1}, Ф = {г}, В( - связная компонента пересечения В Г) Д, из которой достижима точка Zi, Г; = Г П Bi, Zi = {zi}, Д/ = {1}, ФІ = {г}, і = 1,...,т. Согласно теореме 1.6.

В случае, когда В - односвязная область гиперболического типа, а Д - треугольники из примера 2.6, неравенство (1.5.16) совпадает е неравенством (9) (конфигурация (1)) в работе А.Ю. Солынина [42]. Этот частный случай принципа композиции приводит к решению известной задачи Полна и Сеге [42]. Аналогично, принцип композиции дает неравенства для приведенных модулей при разбиении треугольника на треугольники, двуугольника на двуугольники и т.д. (ср. [43, с.19]).

Теорема 1.7. Пусть выполняются все условия теоремы 1.6. со следующими изменениями: а) ВІ, і — 1,...,тп, - попарно непересекающиеся открытые множе ства па Сг, для которых дВі \ Г\- С Сг \ В, г = 1,..., т [взамен условия Ві С В, г = 1,...,т), б) каоїсдая точка г& Є Z совпадает с некоторой точкой гц Є Zi, тв) Г С U Т( (взамен условия Г\ С Г, г = 1,..., т). Тогда при условии существования приведенных модулей справедливо Доказательство. В обозначениях доказательства предыдущей теоремы пусть Vi(z) - допустимая функция конденсатора Ci(r), і = 1,...,т. Учитывая изменения условий теоремы, легко заключаем, что функция Завершается доказательство как и выше, применением асимптотической формулы для емкости конденсатора. Теорема доказана. Пример 1.12. Пусть В - двуугольник с вершинами в точках z\ и z i и внутренними углами при этих вершинах соответственно аук 0 и агтг 0, Пусть Ь\ и 52 - произвольные вещественные числа, 8\ + 8\ ф 0, а (J-h №, vb v2 - произвольные положительные числа. Из теоремы 1.5. следует, что при условии ot\6\jvi -\-a282jv2 = 0 существует приведенный модуль M:=M(,0f{zbz2M5i } {MirVl,/ }). Пусть теперь Si и В2 - треугольники из примера 1.6. с внутренними углами аітг, а їк при вершинах соответственно в точках z\ и z%. Вновь из теоремы 1.5. либо из примера 1.6. вытекает существование приведенных модулей Mf := М(Д-, 1\, { }, { }, {/ijr }), г = 1,2. Предположим, что выполняются условия Пример 1.13. Е.Г. Емельянов установил важное неравенство между приведенными модулями двух типов и дал приложения этого неравенства в геометрической теории функций [22]. Упрощая постановку задачи, можно сказать, что в нашей терминологии неравенство Е.Г. Емельянова сводится к неравенству между приведенным модулем объединения п попарно неналегающих одпосвязпых областей Dk относительно п точек, по одной в каждой области, и приведенными модулями попарно неналегающих двуугольников Pj с вершинами в указанных точках, причем Pj удовлетворяют некоторому условию топологического характера. Упомянутое неравенство получается путем последовательного применения принципов композиции. п Точнее, оно вытекает из теоремы 1.6., примененной к множеству U Dk к=1 и треугольникам вида Dk П Pj, и из неравенства (1.5.17), примененного к парам треугольников, лежащих в каждом двуугольнике (см, также [12]). Для удобства изложения рассмотрим здесь определение приведенного модуля И.П. Митюка, некоторые свойства этого модуля и его геометрический смысл [36]. При этом часть обозначений из работы [36] нами заменена для обеспечения единообразия символики настоящей диссертации.

Пусть В - область комплексной плоскости Cz, щ - конечная точка этой области, а Г - ее отмеченная граничная компонента. Предположим, что круг \z — ZQ\ г при всех г г принадлежит области В. Пересечение \z — z\ г с В обозначим через Вг. Пусть {7} множество всех спрямляемых замкнутых кривых 7, лежащих в области В и отделяющих точку ZQ от Г, а p(z) - произвольная однозначная неотрицательная функция, для которой существуют интегралы

Похожие диссертации на Обобщенные приведенные модули и некоторые их применения в геометрической теории функций комплексного переменного

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов.Шейпак, Игорь Анатольевич

Обобщенный вариант максимальной функции Харди-Литтлвуда и его применения к теории сингулярных и гиперсингулярных интеграловШафиев, Мамедали Фатулла оглы

Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств КальдеронаЖамсранжав Даваадулам

Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимацииБирюков Лев Николаевич

Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложенияГорбачев Дмитрий Викторович

Задачи об экстремальном разбиении и смежные вопросы геометрической теории функцийКириллова, Дина Александровна

Плюригармонический анализ Фурье и теория функций Дубцов Евгений Сергеевич

Метод симметризации в геометрической теории функцийДубинин, Владимир Николаевич

Некоторые экстремальные задачи геометрической теории функцийКузнецов, Владимир Олегович