Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Плюригармоническии анализ мер 15
1.1. Меры Хенкина 18
1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества 26
1.3. Плюригармонические произведения Рисса 31
1.4. Ь2-обобщенные произведения Рисса 37
1.5. L-обобщенные произведения Рисса 44
1.6. L2-допустимые мажоранты 52
1.7. Большие размерности 60
1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова 65
1.9. Сверточные степени срез-мер 73
Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона 80
2.1. Гладкие меры на сфере 82
2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры 88
2.3. Кубы и параллелепипеды 95
2.4. Гармонические продолжения 100
2.5. Критическая скорость убывания 112
Глава 3. Факторизация и задачи теории функций 119
3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны 122
3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха 126
3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха 137
3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова 144
3.5. Слабо внешние внутренние функции 156
3.6. Циклические функции и теорема о короне 167
3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем 176
3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Леибензона 183
Литература 189
- Плюригармонические меры и сингулярные множества
- Многомерная теорема Ивашева-Мусатова
- Меры Зигмунда и симметричные меры
- Внутренние функции из малого пространства Блоха
Введение к работе
Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций и мер, заданных на единичной комплексной сфере
S = Sn = {(eCn: С = 1}, П 2.
Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, S = U(n)/U(n — 1), где U(n) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".
Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере S в терминах пространств H(p,q), (p,q) Є Z+.
Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н(р, q) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (p,q) Є 1 \. Это означает, что рассматриваемые полиномы имеют степень р по переменным zi, 22,..., zn, степень q по переменным z\, z 2, • • • , zn и общую степень р + q. Тот же символ будет использоваться для сужения H(p,q) на сферу S.
Часто Н(р, q) называют пространством комплексных сферических гармоник.
Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что
L2(a)= © H(p,q).
Особенности гармонического анализа на S удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств H(p,q): если / Є H(p,q) и д Є H(r, s), то произведение fg принадлежит сумме
Y H{p + r-l,q + s-l),
где L = min(p, s) + min(g, г). Доказательства сформулированных фактов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17].
Обозначим символом M(S) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S. Пусть Kpq(z,Q — воспроизводящее ядро для пространства H(p,q) С L2(a). Тогда многочлен
Ы(х) = / и( О МО ( Є S) называют Н(р, -проекцией меры [і Є M(S). Обозначение spec(/j) используется для спектра меры \і Є M(S) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем
spec( ) = {(р, q) Є Ъ\ : /ірд(г) О, 2 Є 5} .
Если п = 1 (одномерный случай), то многие пространства H(p,q) являются тривиальными: Н(р, q) = {0} при pq ф 0. Далее, в этом случае имеет место равенство KPQ(Z,Q = (2С) поэтому многочлены Цро непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: ftpo(z) = ji(p)zP для р Є Z+, 2 Є Т = {С Є С : С = 1}.
Всюду ниже будем отождествлять функцию / Є Ll(S) и меру fa Є M(S). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ll(S).
В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении Q-плюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9).
Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5).
Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре
В = Вп = {С Є Сп : С 1}, п 2.
Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т и теории функций в единичном круге D = {( Є С : 1}. Соответствующие одномерные результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3.
В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.
Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связующим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации, оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля.
Зафиксируем множество (спектр) Л С Z+ и положим Ll(S) = {feL2(S):spec(f)cA}.
Рассмотрим ортогональный проектор А л : L2(S) — L2A(S) (проектор Коши-Сегё).
Каждая функция (символ) р Є L°°(S) порождает Л-спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, Л-оператор Ганкеля) Ял,у : L2(S) — L2(S) с помощью формулы
НААЛ = pKA[f] - КкШ
Определение. Спектр Л С Z+ обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л Є (КГ)), если преобразование Н\г(р сохраняет пространство C(S) и оператор H\ttp : C(S) - C(S) компактен для каждого многочлена (р на сфере S.
Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плю-ригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, Л .Г-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).
Чтобы немедленно получить иллюстрацию применения подобного свойства компактности рассмотрим правильные тройки, введенные А.Б. Александровым в статье [2]. Здесь уместно отметить, что рассуждения из работы [2] служат отправной точкой для конструкции плюригармонического произведения Рисса.
Правильные тройки и тугие подпространства. Пусть К — се-парабельное топологическое компактное пространство и // — конечная положительная регулярная борелевская мера на К. В пространстве непрерывных функций С (К) зафиксируем подпространство X. Всюду
ниже символом (р будем обозначать произвольную строго положительную непрерывную функцию на К. Положим по определению
Xv = {/ Є X : l/l р}.
Определение. Тройка (Х,К,ц) называется правильной, если выполнено одно из следующих эквивалентных свойств:
(Ш) Существует число т 0 такое, что для всех ср выполнена оценка
sup / /2 т / р2 dfi. fexv J к J к
(П2) Для каждой функции р и любого числа є О существует функция / Є X такая, что
/ р всюду и /І{/ ф р} е.
Далее, напомним, что в работе [43] Б. Коул и Т. Гамелин ввели весьма близкое к / .Г-свойству понятие тугого (tight) пространства. Исследование строго тугих пространств было начато С. Сакконе в статье [84] (см. также обзоры [85] и [54]). По определению замкнутое подпространство X С С (К) называется строго тугим, если обобщенный оператор Ганкелл Sg : X — С(К)/Х действующий по правилу / / + 5 является компактным для каждой функции д Є С(К).
Правильные тугие пространства. Для получения вышеупомянутой иллюстрации рассмотрим ограниченную область V С Сп и положим X = A(V) = C(V) ПНо1(Т ). Отметим, что подпространство X С С(Т ) является строго тугим, если V — это строго псевдовыпуклая область с границей класса С2.
Напомним, что С. Сакконе ([85], предложение 6.1) доказал равносильность следующих свойств:
(ТІ) Пространство X С C(V) является строго тугим.
(Т2) Если последовательность {fj} С X ограничена и сходится к нулю поточечно на Р, то для всех д Є C(V) выполнено свойство
/ + Х- 0 приі- оо.
Таким образом, имеет место следующий факт.
Предложение. Пусть пространство А{Т ) является строго тугим. Рассмотрим положительную меру \і Є M(dV). Тогда правильность тройки (A(V),dV,fi) равносильна следующему свойству:
(ПЗ) Для любого числа є 0 существует такая непостоянная функция f Є А(Т ), что / 1 всюду и fi{\f\ Ф 1} є.
Доказательство. Свойство (ПЗ) является частным случаем свойства (П2). Поэтому достаточно проверить, что (ПЗ) =Ф- (П1). Для этого зафиксируем строго положительную функцию р Є С(дТ ). Выберем столь малое є 0, что условие fiE є гарантирует оценку
(р2 dfi - / р2 d[i.
J Е J&D
Свойство (ПЗ) доставляет соответствующую функцию /є Є A(V). По предположению пространство А(Т ) является строго тугим, а также степени fl Є A(V) сходятся к нулю поточечно на V. Поэтому можно воспользоваться свойством (Т2) для g = 3 р/4. Следовательно, существует функция / Є А(Т ) такая, что / р и n{\f\ fi/ } 1 — є. Таким образом,
/ /2 / І/Р І/ p2dp \[ dfi.
J&D {1/1 /2} 4 "/{/ /2} ° J&D
Иными словами, свойство (ПІ) выполнено для т = 1/5.
Основные обозначения и определения
В = Вп — единичный шар из С", п 1.
S = Sn = дВп — единичная сфера.
U = Ы{п) — группа всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве Cn.
v = vn и а = ап — нормированные меры Лебега на шаре В и сфере S соответственно.
При п = 1 часто удобно использовать специальные обозначения: Ю) = Ві,Т = дЮ , т = (Ті.
M(S) — пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S.
LP(S) = 1 (5,0"). Функция / Є L1(S) отождествляется с мерой fcr Є M(S).
а = рг(сг), где рг : С" \ {0} — СР"-1 — каноническая проекция.
Л = Лп — мера Лебега на Ж", п 1.
Запись fi\ -С № означает, что мера //і абсолютно непрерывна относительно меры /І2- Если меры Ці и Ц2 взаимно сингулярны, то используется обозначение ц\А.Ц2. Мера // называется сингулярной, если \ь и соответствующая мера Лебега взаимно сингулярны.
Гармонический анализ на сфере.
H{Pi q) — пространство однородных гармонических многочленов бистепени (р, q) Є Z+.
цт — H(p, д)-проекция меры ц Є M(S).
• spec(//) = {(p,q) Є Z+ : fipq 0} — спектр меры /x Є M(S).
• Мера ц G M(S) называется плюригармонической, если
spec( ) С {(р, ) Є Zj. : pq = 0}.
Пусть Л С Z%. Тогда
• МЛ(5) = {ц Є М(5) : spec( ) С Л};
. L\(S) = {/ Є L2(S) : spec(/) С Л}. Аналогично определяется пространство C\(S).
• К\ : L2(S) - L\{S) — ортогональный проектор.
Ядра и интегралы Пуассона.
• Ядро Пуассона в шаре:
P 0 = J §-« (zeB,(€S).
• P[ji] — интеграл Пуассона меры /і Є M(S):
?MW = jf?(z,c)d/i(C).
• Инвариантное ядро Пуассона в шаре:
• V[fi] — инвариантный интеграл Пуассона меры /І Є M(S):
• Ядро Пуассона для верхнего полупространства:
Р(х,у) = Ру(х)=Сп У (х Є ЕГ, у 0),
(Iklr + r) где константа Сп выбрана таким образом, что
P(x,y)d\(x) = l.
Пространства голоморфных функций.
• Ио1(Т ) — пространство всех голоморфных функций в области V.
• НР(В) — классическое пространство Харди (р 0):
IP (В) = {/ Є Ш(В) : \\f\\pHP = sup f \f(rOfda(0
I 0 r lJS
= fs\r(Q\pd (Q 00}.
Символ / обозначает граничные значения функции /. Как обычно, мы будем отождествлять НР(В) и пространство граничных значений HP(S).
• Я°°(Б) = {/ Є ПЫ(В) : її/їй = suPz€5 \f(z)\ 00}.
• А? (В) — весовое пространство Бергмана (р 0, а — 1):
ЛЦВ) = {/ Є Hcl(B) : /К5 = J /(z) (l - \z\2)° dv{z) x,} .
Также в главе 3 вводятся и изучаются следующие пространства:
• N(B) — класс Неванлинны;
• N+(B) — класс Смирнова;
• BQ(B) — малое пространство Блоха;
• Лр(Ю)) — аналитические пространства Бесова (0 р 2);
• ИЯ(В) — весовые пространства Харди (q 0).
Организация работы. Диссертация разделена на три главы; результаты, полученные в первых двух главах, используются в третьей. Главы состоят из разделов. Для нумерации утверждений и формул используются номер раздела и номер по порядку.
Работы автора по теме диссертации
1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства на комплексной сфере // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т. 255. С. 54-81.
2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101-128.
3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7-15.
4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102-110.
5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111-118.
6. Doubtsov Е. Approximation on the sphere by Besov analytic functions II Studia Mathematica. 1997. V. 124. No. 2. P. 179-192.
7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. No. 2. P. 515-522.
Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Annales de l Institut Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699 728.
9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,q)-projections // Arkiv for Matematik. 1998. V. 36. No. 2. P. 355-361.
10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic measures and Zygmund s dichotomy // Journal of Functional Analysis. 2000. V. 170. No. 2. P. 286-306.
11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proceedings of the American Mathematical Society. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899-2901.
12. Doubtsov E. Leibenzon s backward shift and composition operators I/ Proceedings of the American Mathematical Society. 2001. V. 129. No. 12. P. 3495-3499.
13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // Comptes Rendus de l Academie des Sciences de Paris. Ser. I. 2002. V. 334. No. 11. P. 957-960.
14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Annales de l Institut Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1. P. 153-177.
Плюригармонические меры и сингулярные множества
Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, S = U(n)/U(n — 1), где U(n) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".
Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере S в терминах пространств H(p,q), (p,q) Є Z+.
Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н(р, q) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (p,q) Є 1 \. Это означает, что рассматриваемые полиномы имеют степень р по переменным zi, 22,..., zn, степень q по переменным z\, z 2, , zn и общую степень р + q. Тот же символ будет использоваться для сужения H(p,q) на сферу S.
Часто Н(р, q) называют пространством комплексных сферических гармоник. Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. Отметим, что Особенности гармонического анализа на S удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств H(p,q): если / Є H(p,q) и д Є H(r, s), то произведение fg принадлежит сумме где L = min(p, s) + min(g, г). Доказательства сформулированных фактов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17]. Обозначим символом M(S) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S. Пусть Kpq(z,Q — воспроизводящее ядро для пространства H(p,q) С L2(a). Тогда многочлен называют Н(р, -проекцией меры [і Є M(S). Обозначение spec(/j) используется для спектра меры \і Є M(S) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем spec( ) = {(р, q) Є Ъ\ : /ірд(г) О, 2 Є 5} . Если п = 1 (одномерный случай), то многие пространства H(p,q) являются тривиальными: Н(р, q) = {0} при pq ф 0. Далее, в этом случае имеет место равенство KPQ(Z,Q = (2С) поэтому многочлены Цро непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: ftpo(z) = ji(p)zP для р Є Z+, 2 Є Т = {С Є С : С = 1}. Всюду ниже будем отождествлять функцию / Є Ll(S) и меру fa Є M(S). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ll(S). В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении Q-плюригармонических сингулярных мер. Соответствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9). Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Конкретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5). Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре В = Вп = {С Є Сп : С 1}, п 2. Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т и теории функций в единичном круге D = {( Є С : 1}. Соответствующие одномерные результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в главе 3. В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8. Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связующим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации, оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля. Зафиксируем множество (спектр) Л С Z+ и положим Ll(S) = {feL2(S):spec(f)cA}. Рассмотрим ортогональный проектор А л : L2(S) — L2A(S) (проектор Коши-Сегё). Каждая функция (символ) р Є L(S) порождает Л-спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, Л-оператор Ганкеля) Ял,у : L2(S) — L2(S) с помощью формулы Определение. Спектр Л С Z+ обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л Є (КГ)), если преобразование Н\г(р сохраняет пространство C(S) и оператор H\ttp : C(S) - C(S) компактен для каждого многочлена (р на сфере S.
Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плю-ригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, Л .Г-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).
Многомерная теорема Ивашева-Мусатова
Основная цель данного раздела — это изложение конструкции плюри-гармонического произведения Рисса, основанного на полиномах Рыля-Войтащика и свойстве компактности оператора Ганкеля. Отметим, что с помощью такой конструкции можно получить примеры вероятностных сингулярных Q-плюригармонических мер с некоторыми дополнительными свойствами.
Для упрощения обозначений ниже предполагается, что Q = О, а затем указаны минимальные изменения, необходимые в случае произвольного Q Є Z+. Прежде всего напомним оригинальную конструкцию Ф. Рисса [78], которая лежит в основе дальнейших рассуждений. Классические произведения Рисса на окружности. Зафиксируем последовательности a = {ak} Li С В и J = {jk}kLi С N, где jk+i/jk 3. Произведение Рисса pi = //(J, а) на единичной окружности Т определяется с помощью формального равенства А именно, последовательность частичных произведений сходится к мере ц в слабой топологии пространства М(Т). Напомним классический результат А. Зигмунда, который дает исчерпывающий ответ на вопрос о сингулярных и абсолютно непрерывных произведениях Рисса. Напомним, что символ га обозначает нормированную меру Лебега на окружности Т. Дихотомия Зигмунда. (і) Пусть а Є 2. Тогда //(«/, а) «т и dfi/dm Є L2(T). (ii) Пусть a . l2. Тогда fi(J,a)±m. Пары Рисса на сфере. Дихотомия Зигмунда подсказывает, что при построении произведений Рисса на комплексной сфере удачной заменой для характеров zJ может стать последовательность полиномов Рыля-Войтащика. А именно, предположим, что голоморфные многочлены Rj обладают следующими свойствами: Первые примеры многочленов с указанными свойствами были построены Рылем и Войтащиком в статье [83]. Пусть R = {Rj} j2zl. Также зафиксируем последовательность a = (} С Р. Тогда пару (Я, а) будем называть парой Рисса. Здесь уместно указать два основных препятствия при построении плюригармонических аналогов произведений Рисса: 1) Нетрудно Проверить, ЧТО ДЛЯ ПОЛИНОМа Р ИЗ УСЛОВИЯ -Pz,oo(5) = Р 2(5) следует, что Р = const. Иными словами, не существует последовательностей Рыля-Войтащика с константой 6 = 1. 2) Правило умножения для сферических гармоник: если / Є Н(р, q) и д Є H(r,s), то произведение fg принадлежит сумме. Стандартные произведения Рисса на сфере. Если не принимать во внимание последствия, вызванные указанным правилом умножения, то получается следующий стандартный вариант классических произведений Рисса. Рассмотрим пару Рисса (R, а) и лакунарную последовательность J = {j jfL-i С N такую, что jk+i/jk 3. Стандартное произведение П = П(Я, J, а) является прямым аналогом классической меры Рисса и определяется равенством к=1 Иными словами, частичные произведения Щ(Я, J, a) = Пь=1 слабо сходятся к мере Ii(R, J, а) в пространстве М(5). Формальные срез-произведения. Зафиксируем точку Є S и рассмотрим срезы частичных произведений (Щ)л (Л) = Щ(-Й(АС), J, а), А Т. Тогда последовательность (Tld)r слабо сходится в пространстве М(Т). Предельную меру П = H(R(XQ, J, а) будем называть (формальным) срез-произведением меры П. Отметим, что мера П является классическим произведением Рисса fi(J, 6), где Ъ = {я& (С)})ь:і Плюригармоническая проекция. Пусть PLH2(S) обозначает пространство таких функций / Є L2(S), что интеграл Пуассона P[f] плю-ригармоничен в шаре. Рассмотрим ортогональный проектор К : L2(S) - PLH2(S). Тогда каждая функция ер Є L(S) порождает оператор типа Ганкеля с помощью формулы Hv[f] = pK[f]-K[ pf], fL2(S). Теперь предположим, что (р является многочленом. Тогда оператор Н9 : C(S) — C(S) компактен (см. раздел 1.1), следовательно, (1.3.1) [Ц/Лсд 1 и fj - О слабо в L\S)] = Я„/,-од -» 0.
Указанное свойство будет решающим при переходе от стандартных произведений Рисса к плюригармоническим. Излагаемое ниже рассуждение восходит к работе А.Б. Александрова [2]. Прототип подобной конструкции, использующий ограниченный ортонормальный базис в пространстве Харди Н2(В), также представлен в статье Ж. Бургейна [31].
Меры Зигмунда и симметричные меры
Для изучения допустимых мажорант потребуется заменить однородные многочлены Рыля-Войтащика на подходящие полиномы с редким спектром. Такой вариант конструкции Рисса на окружности называют обобщенным произведением. В многомерном случае мы будем различать L2- и Ь-обобщенные пары и произведения Рисса. Как и выше, для упрощения обозначений в определениях будет рассматриваться О-плюригармонический случай.
Итак, пусть для всех j,L Є N зафиксированы такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd(j, L), d = 1, 2,..., D(j, L), что deg Wd j; IdegH7 — degH I L (лакуны в спектре); ІЕ (С) 1ДлявсехСє5; J2d lW llz,2(S) Для универсальной константы S 0. Тогда положим и определим R — {R(j, L)}jtL. Также зафиксируем последовательность коэффициентов а = {а&}1і С Ш При таких предположениях (R,a) называется L2-обобщенной парой Рисса. Безусловно, предположение о лакунарности спектра становится вырожденным при D(j,L) = 1. Иными словами, всякая пара Рисса является їЛобобщенной. Также отметим, что -версия получается при замене последнего предположения о многочленах Wd на более ограничительное условие Итак, зафиксируем їЛобобщенную пару Рисса (R,a). По индукции будем строить последовательность плюригармонических многочленов (fk 0 и множество индексов J = {j Lv Во-первых, зафиксируем ji Є N и определим щ = 1 + Re [aiR(ji, 1)]. Шаг к -f- 1. По предположению индукции уже построен плюригармо-нический многочлен (fk 0. Положим Lk+i = 2deg рк + 2 и определим Индекс jk+i выбирается столь большим, что (fk+i 0 (для этого применяется свойство (1.3.1)) и множество spec( &+i — (fk) не пересекается с некоторым квадратом [0, М]2, который содержит множество spec( ). Отметим, что выбор величины Lk+i (размера лакуны) гарантирует ключевое свойство В Определении Меры РиССа. А ИМеННО, ПуСТЬ С — степени многочленов в однородном разложении полинома fik+i- Тогда для каждого h Є Z существует не более одного представления вида Установленные свойства гарантируют слабую сходимость в M(S). Предельную вероятностную меру 7Г = 7г(#, J, а) будем называть L2-обобщенным плюригармоническим произведением Рисса. Пусть Q Є Z+. При построении Q-плюригармонических обобщенных произведений вносятся стандартные изменения: используется ортогональный проектор KQ : L2(S) — PLHQ(S) и рассматриваются такие многочлены R(j,L), что specR(j,L) С {(р,Q) : р Q}. Следующий технический результат в определенной степени заменяет вторую часть дихотомии Зигмунда. Пусть U = {Uj}(jL1 — последовательность унитарных операторов (на С") и R = {R i — последовательности полиномов. По определению полагаем R о U = {Rj о Uj} . Также для числовых последовательностей a = {dk} и Ь = {bk}kLi определим ab = {akbk}tLv Теорема 1.4.1 Пусть Q Є Z+. Зафиксируем соответствующую L2-обобщенную пару Рисса (R,a). Предположим, что а I2. Тогда для каждого достаточно лакунарного множества индексов J С N существуют последовательность знаков /3 = {/3k}kLi) Рк Є {±1}, и последовательность унитарных операторов U = {/)} такие, что ir(RoU,J,/3a)±a. Для доказательства сформулированной теоремы потребуется один известный результат о лакунарных рядах Фурье. Для меры /г Є М(Т) положим Sjt[/ ](A) = ]C,-=_fc/K.7)AJ , А Є Т (&-ая частичная сумма ряда Фурье). Далее, пусть (Лі, Л2) С Т обозначает наименьшую дугу с концами Аі,А2 Є Т. Тогда положим по определению Vfi(X)= lim - -(А,Аег ), АєТ, если последний предел существует. Напомним, что T fi(X) = /(А) для т-п.в. АєТ, где /га — это абсолютно непрерывная часть меры (л. Лемма 1.4.2 (см. [8], глава 3, теоремы8.1 и 1.27). Предположим, что fi Є М{Т), jk / +00 и ji(j) = О для всех \j\ Є {jk, 2jk], к Є N. Тогда Sjk[/j](X) — Vfi{\) для т-п.в. АєТ при к — со. Теперь все готово для исследования сингулярных 2-обобщенных Q-плюригармонических произведений Рисса. Доказательство теоремы 1.4.1. Для многочлена R(j,L) будем использовать краткое обозначение Rj. По индукционному предположению на шаге с номером к -f 1 имеется 5-плюРигаРмнический многочлен (fk, ц к 0.
Внутренние функции из малого пространства Блоха
Безусловно, теорему 1.4.1 нельзя назвать полным аналогом второй части дихотомии Зигмунда, так как вместо изначального произведения 7г(Л, J, а) рассматривается мера 7r(R,U,J,/3,a), в которой используются вспомогательная последовательностью знаков [3 = {Рк}ь=\ и перемешивающая последовательность унитарных операторов U = {Uk kLi- Более того, часть (И) классической дихотомии Зигмунда перестает быть верной, если рассматривать произвольные (Ь2-обобщен-ные) плюригармонические произведения Рисса. Действительно, с помощью стандартных рассуждений (см., например, раздел 1.6, где изложена соответствующая модель) построим множество Е С S и последовательность многочленов Рыля-Войтащика R = {Rj}JLl такие, что а(Е) 0 и \Rj\ — 0 равномерно на Е. Далее, зафиксируем последовательность a = {ak}kLi С Ц fl 2. Наконец, предположим, что последовательность J = {jk}kLi стль лакунарна, что 7r (R,J,a) — i2(J,{a,kRjk(()}) Є L2(T) для всех ( Є S (применяется свойство (1.3.1)); здесь 7г (Л, J, а) обозначает срез-меру произведения ir(R, J, a), a fi(J, {akRjkiC)}) — это классическое произведение Рисса. Теперь заметим, что в силу части (і) классической дихотомии имеем 7г (Л, J, а) 6 L2(T) для всех Є Е. Иными словами, а но мера n(R,«/, а) не является чисто сингулярной. Таким образом, возникает задача о нахождении таких ограничений на многочлены Rj, что вторая часть дихотомии Зигмунда будет выполнена для соответствующих произведений 7r(R, J, а). Вторым мотивом для внесения изменений в конструкцию L -обобщенного произведения Рисса служат часто встречающиеся различия между свойствами, которые выполнены для почти всех точек С, Є S и соответствующими фактами, которые верны для всех точек С Є 5. В частности, напомним, что для положительной плюригармонической меры ц срезы щ определены для всех ( Є S. Поэтому возникает естественный вопрос о существовании плюригармонических произведений Рисса, все срезы которых являются сингулярными мерами. Ь-обобщенные пары и произведения Рисса. Ниже будет показано, что на сформулированные вопросы о дихотомии Зигмунда и о срез-мерах можно одновременно ответить с помощью -обобщения определения пары Рисса. Точнее, в настоящем разделе исследуется свойство для плюригармонических произведений, построенных на основе следующих полиномов. Определение. Пусть для всех j,L N зафиксированы такие однородные голоморфные многочлены Wd = Wd(j, L), d = 1,2,..., D(j, L), что deg Wd j; \degWd1 — degWd2\ L (лакуны в спектре); ІЕ (0І 1Длявсех(Є5; Y2d W KOI О Для всех ( Є S, где 5 — универсальная кон станта. Тогда положим R(j,L) = Y dWd{j- L) и определим R = {R{j,L)}j -Следует отдельно подчеркнуть, что многочлены R(j, L) не могут быть однородными; в частности, их нельзя заменить на полиномы Рыля-Войтащика. Также зафиксируем последовательность коэффициентов a = {a jZ-i С P. При таких предположениях (R,a) называется L-обобщенной парой Рисса. Способы построения таких объектов и дальнейшие приложения отложены до раздела 1.8.
Отметим, что каждая І/ -обобщенная пара Рисса является L2 -обобщенной. Таким образом, корректно определены соответствующие L-обобщенные плюригармонические меры Рисса.
Более жесткие ограничения, накладываемые на L-napbi Рисса, гарантируют более предсказуемые свойства в сравнении с их . -аналогами. В частности, дихотомия Зигмунда (см. следствие 1.5.6) не использует вспомогательных последовательностей U и (3.
Вспомогательные результаты. Задачу о взаимной сингулярности для -обобщенных произведений удается свести к соответствующему вопросу об одномерных срезах. Для этого будет использовано следующее общее наблюдение.
