Введение к работе
Актуальность темы. В классической теории приближения функций центральную роль играют операторы сдвига f{x) н-> /(ж + г/), i,|/R. Так инфинитезимальным оператором сдвига является оператор дифференцирования, преобразование Фурье представляет собой разложение по собственным функциям оператора сдвига, оператор сдвига используется для построения модулей непрерывности и гладкости, которые являются основными элементами прямых и обратных теорем теории приближения. Различные обобщения операторов сдвига позволяют формулировать естественные аналоги задач классической теории приближения. Одним из обобщений операторов сдвига является группа или полугруппа операторов в банаховом пространстве. Многие задачи теории приближения такого вида рассмотрены в работах П. Бутцера, X. Беренса 1 и А. П. Терехина 2
Другим обобщением операторов сдвига являются так называемые "операторы обобщенного сдвига". Единого определения понятия обобщенного сдвига нет. Существует широкий класс обобщенных сдвигов (обобщенные сдвиги Дельсарта-Левитана), которые строятся по произвольному дифференциальному оператору Штурма-Лиувилля второго порядка 3, но существуют также и другие операторы обобщенного сдвига. Обобщенные сдвиги не обязательно образуют группу или полугруппу, но построенные по ним обобщенные модули гладкости могут быть лучше приспособлены для изучения связей между глад-костными свойствами функции и наилучшими приближениями этой функции в весовых функциональных пространствах, чем обычные модули гладкости. Различные задачи теории приближения функций, в которых используются операторы обобщенного сдвига, рассматривались в работах Я. Лёфстрема и Я. Петре, 3. Дитциана и В. Тотика, П. Бутцера, Р. Стенса и М. Веренса, А. Г. Бабенко, М. К. Потапова
1Butzer P. L., Behrens. Н. Semi-groups of operators and approximation. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967.
2Tepexun А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика. Саратов: Изд-во Саратовского гос. университета, 1975. Вып. 2. С. 3-28.
3Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. М.: Наука, 1973.
и В. М. Федорова, Д. В. Горбачева, X. П. Рустамова, 3. Дитциана и М. Фелтена.
На полупрямой М+ = [0, +оо) одним из важнейших операторов обобщенного сдвига является обобщенный сдвиг Бесселя, который используется при изучении различных задач, связанных с дифференциальными операторами Бесселя. С обобщенным сдвигом Бесселя тесно связан гармонический анализ Бесселя, т.е. раздел гармонического анализа, в котором изучаются различные задачи, связанные с интегральными преобразованиями Бесселя (Ганкеля). В работе С. С. Платонова 4 с помощью обобщенных сдвигов Бесселя изучались различные задачи теории приближения функций на полупрямой [0, +оо) в метрике Lp со степенным весом целыми функциями экспоненциального типа.
В последние годы в математической литературе появился и стал использоваться новый класс обобщенных сдвигов — обобщенные сдвиги Данкля. Обобщенные сдвиги Данкля строятся по некоторым дифференциально-разностным операторам (операторам Данкля), которые широко используются в математической физике, в связи с этим стоит упомянуть работы К. Ф. Данкля, М. Маслоухова и Е. X. Ясен, М. Рёслер.
В общем случае операторы Данкля ранга п действуют в п-мерном евклидовом пространстве IRn, но даже в простейшем случае п = 1 операторы Данкля и связанный с ними гармонический анализ Фурье-Данкля представляет значительный интерес (см., например, работы С. Абделькефи и М. Сифи, М. А. Моро, К. Тримеша, М. Рёслер, Ф. Солтани, Н. Б. Салема и С. Каллела).
В диссертации рассматриваются различные задачи, связанные с применением гармонического анализа Фурье-Данкля в теории приближения функций. Эти задачи во многом аналогичны задачам, поставленным в работах С. С. Платонова и при их решении автор руководствовался его работами. Однако при решении возникло много
4Платонов С. С. Гармонический анализ Бесселя и приближение функций на полупрямой // Изв. РАН. Сер. матем. 2007. Т. 71. № 5. С. 149-196.
принципиальных трудностей, связанных с возможностью продолжения оператора обобщенного сдвига Данкля до непрерывного оператора в L2}a (определение L^a см- ниже). Это потребовало решить ряд задач, представляющих самостоятельный интерес.
Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка и решение аналогов некоторых классических задач теории приближений функций для оператора Данкля.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованиемметодов функционального анализа, гармонического анализа Фурье, теории приближений функций.
Научная новизна. В диссертационной работе:
Приведен новый вывод формулы М. Рёслер для явного вида обобщенного сдвига Данкля.
Сформулирована и доказана теорема типа Пэли-Винера для преобразования Данкля.
Сформулированы и доказаны аналоги классических первой и второй теорем Джексона для обобщенного модуля гладкости /с-го порядка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.
Дано описание аналогов пространств Никольского и Бесова в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.
Доказаны два неравенства типа Бернштейна.
Сформулирована и доказана теорема об эквивалентности .^-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.
Получен аналог одной теоремы Е. Титчмарша об описании образа при преобразовании Фурье множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в Ьг(М).
Сформулированы и доказаны аналоги классических неравенств Стечкина-Никольского и Боаса.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы,разработанные в диссертации, могут быть использованы в различных вопросах гармони-
ческого анализа Фурье-Данкля.
Результаты, выносимые на защиту:
Аналоги первой и второй теорем Джексона для обобщенного модуля гладкости к-го порядка, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.
Описание аналогов пространств Никольского и Бесова в терминах наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа.
Теорема об эквивалентности і^-функционала и модуля гладкости, построенного по обобщенным сдвигам Данкля.
Описание образа при преобразовании Данкля, множества функций, удовлетворяющих условию Липшица в Li2a.
Доказательство аналогов неравенств Стечкина-Никольского и Бо-аса для оператора Данкля.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:
13-й и 14-й Саратовских зимних школах, посвященных современным проблемам теории функций и их приложениям, г. Саратов (2006 г., 2008 г.);
Воронежской зимней математической школе, посвященной современным методам теории функций и смежным проблемам, г. Воронеж (2007 г.);
ежегодной студенческой конференции в ПетрГУ, г. Петрозаводск (2006 г.);
научном семинаре кафедры математического анализа и алгебры Карельского государственного педагогического университета в 2007 г. (руководитель к.ф.-м.н., доцент Агапитов К. В.);
научном семинаре кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета в апреле 2008 г. (руководитель д.ф.-м.н., профессор Иванов А. В.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 9-ти публикациях. Работы [6], [9] написаны в соавторстве с научным руководителем. Из совместных работ в диссертации представлены
результаты, полученные автором самостоятельно. Работа [9] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 92 страницах, и состоит из введения, шести глав и списка литературы, включающего 61 наименование.
