Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам 19
1.1. Краткая история вопроса. Основной результат . 19
1.2. Вспомогательные предложения 24
1.3. Доказательство теоремы 1.1.1 при m = 1
1.4. Доказательство теоремы 1.1.1 при m > 1 38
1.5. Некоторые следствия из теоремы 1.1.1 41
Глава 2. О точности неравенства Лебега 44
2.1. Краткая история попроса. Основные результаты .44
2.2. Связь ядер D^n{9,r) с многочленами, ортогональными па окружности 48
2.3. Оценки величины Лп(0, т) 51
2.4. О пулях ядра D^nffl, г) 53
2.5. Доказательство теоремы 2.2.1 55
2.6. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов 59
2.7. О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае обобщенных многочленов Якоби G4
Список литературы G9
- Вспомогательные предложения
- Доказательство теоремы 1.1.1 при m > 1
- Связь ядер D^n{9,r) с многочленами, ортогональными па окружности
- О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов
Введение к работе
В дальнейшем используются обозначения С, Ш, Z, Z+ и N для множеств всех комплексных, действительных, целых, неотрицательных целых и натуральных чисел соответственно.
При 1 < г < со через Lr[a, b] обозначим пространство измеримых по Лебегу на отрезке [а,Ь] комплекенозначных функций F с конечной нормой ІИІ^Кф где
Ч»М'= ( [ РШ'я) (1 < r < )> IHU-[«,4 — ess SUP И*)І- \Ja / a Для 2тг-псриодических функции F полагаем \\F\\r :— (27r)-1/'r|jFj|ir[0]2T], Lr := 1/[0,27г]. Пространство непрерывных 27г-периодических комплекенозначных функции F(t) с равномерной нормой |jF|[ = max|F(r)j обозпачает- тЄШ. СЯ черСЗ С2,г- ВеличинаuiFiS^jafi] := esssup{\F(t2)-F(ti)\ : h,t2 Є [a,b},\t2-h\ < 5} [S > 0) называется модулем непрерывности па отрезке [а, Ъ] функции F(t). Модуль непрерывности 2тг-нериодической функции F и пространстве U по определению есть b){F\ S)r : = sup \\F(X + ) — F(-)||r, Неубывающая непрерывная полуаддитивная па [0, со) функция со, для которой to(0) — 0, называется людулелі непрерывности. Если, вдобавок, ш удовлетворяет условию ш((<і + *г)/2) > (w(*i) + w(*2))/2 при всех tu h > О, то она называется вогнутым модулем непрерывности. Неотрицательная, суммируемая и неэквивалентная нулю на [а, Ь] функция p(t) называется вєсолі на [а, Ь]. Пусть {Фи(г)}^о — ортопормироваштя на [0,27г] с весом (р Є L1 система тригонометрических полипомов, полученная из последовательности 1, cos т, sin т, cos 2т, sin 2г,... методом ортогопализации Грама - Шмидта. Если Ftp Є L1, то имеют смысл суммы Фурье sv,n{F\ В) -=~J F{t)Dw(0, т)<р{т) dr (nZ+,SeR), (1) п А.-0 При у?(т) = 1 сумма s^2,((F;^) соштдает с обычной суммой Фурье sn(F]9) функции F. Скорость приближения функции F Є С^ суммой (1) оценивается по неравенству Лебега \F{&) - s9t2n(F- 0)| < (1 + Iv,»W) ^«(Л (» Є +,0 Є R), (3) где L^n(e)= sup |sVi2„(F;0)|= sup ^„(F; 0)| (4) есть функция Лебега сумм 5^,2»(і7; ^), а En{F) — наилучшее равномерное приближение функции F Є Сгтг тригонометрическими полиномами порядка не выше п. При <>(т) = 1 величина Ь^п{&) совпадает с известной константой Лебега. Ее асимптотические свойства подробно изучены в работах А. Лебега [GG], Л. Фейера [61], Г, Гропуолла [G2J, Г. Сегё [70] и других авторов. В связи с неравенством (3) возникают важные для теории приближения функций задачи о его точности и об оценках входящих в его правую часть величин. Решению этих задач, а также аналогичных задач в случае многочленов, ортогональных с весом па отрезке, посвящено много работ. Приведем некоторые результаты, полученные в этом направлении. Если F Є С^тгі то в силу (3) и каждой точке 0, в которой lim L^n{9)En{F) = 0, (5) її—too ряд Фурье функции F сходится к F(6), причем сходимость этого ряда равномерна па любом множестве Е С К точек #, на котором соотношение (5) выполняется равномерно. Поэтому представляет интерес задача о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и зависимости от п Є N и 9 Є Е, т. е. задача нахождения более или менее простого выражения, отношение к которому функции (4) при всех п Є N и 9 Є Е заключено между двумя положительными константами, зависящими лишь от веса (р. Аналогичную задачу о двусторонних поточечных оценках функции Лебега сумм Фурье-Якоби при а,/3 > — 1/2 решили С. А. Агахаиов и Г. И. Натансон [2]. В. М. Бадков [G, 58, 59, 12] распространил этот результат па все значения а,/3 > —1 (оценку снизу этой функции получил также А. М. Беленький [18]) и установил аналогичные результаты для обощеппых многочленов Якоби, т.е. многочленов, ортонормироиаппых на отрезке [—1,1] с весом p{t) = H{t)(l-t)a{l + tYJ[\t-xv\t* (а,/3,7„>-1;ІЄІ-1,1]) (6) в предположении, что входящий в правую часть (G) отграниченный от нули и бесконечности множитель H{t) удовлетворяет условию Дипи Кроме того, В. М. Бадков[58, 59] получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (4) в случае 2тг-периодического обобщенного веса Якоби, т.е. веса <р{т) = h(r) П I sin[(r - ft,)/2]|т" (т Є R), (7) удовлетворяющего условиям 71 >-1,...,7г»>-1; -тг< 01 <...<0т<х, (8) /і (г) > 0; Ли 1/h Є L, (9) предположив, что выполняется условие Дини ufcT)^-1 Є ЬЧО^тг]. (10) При этом он пользовался полученными им же равномерными асимптотическими представлениями алгебраических многочленов, ортогональных на окружности \z] = 1 с весом <>, для которого нынолпяются условия (7)-(10). Затем В.М. Бадков [13, 14, 15] для широкого класса весов (р с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соответствующих многочленов, ортогональных па окружности, и их производных. Пользуясь этими результатами, СЕ. Памятных [34] получил двустороннюю поточечную оценку Lwl(0):*l+ln[l + n|sin(0/2)|] (nN, в Є R) (11) (знак " х " означает, что отношение левой и правой частей формулы (11) ограничено сверху и снизу положительными константами, не зависящими от п N и 0 Є М ) в предположении, что <р(т) :— [д(\ sin(^/2)|)]_1, где д(т) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям о Свой результат СЕ. Памятных получил для частного случая веса В.М. Бад-кова. В связи с этим стала актуальной задача обобщения результата СЕ. Памятных на случай общего веса В.М. Бадкова. Решению этой задачи посвящена первая глава диссертации. Вторая глава диссертации посвящена изучению точности неравенства Лебега (3). Точность классического неравенства Лебега па разных классах функций изучали многие авторы. Аппроксимативные свойства сумм Фурье s^,2?i(F) на классе Лч С С%ъ в точке в принято характеризовать величиной VAM) : = sup{|F(0) - Sip<2n(F; б)| : F Є M}. (12) Через Ни обозначим класс функций F Є C^, у которых модуль непрерывности в Сч-к не превосходит заданного модуля непрерывности ш. Полагаем также Ни[а, b]: = {F : F є L[a, Ь], w(F; <5)оо,[«,ь] < ш(<5) Для всех всех 5 > 0}. При г 2-}. рассматриваем классы Wr#w : = {F : F Є Сіж-, F^ Є i7w} и ъгны[а,ъ]: ={^^ея,М]}. Известпо(см.[5, стр.230]), что, если периодическая функция F имеет непрерывную производную порядка г > 0 с модулем непрерывности td(F^ ;)<,, то при любом натуральном п существует тригонометрический полином Т* порядка не выше п такой, что En(F) < IIF-T^IU < ВгпГшіР^пГ1)^ (13) где Br > 0 зависит лишь от г. Если F Є WH^, то в силу (4) и (13) и каждой точке в, в которой lim V„(0)n-rw(n_1) = 0, 14) и—+00 сумма sVi2n{F;6) сходится к F(8) равномерно на любом множество Е С №. точек в, на котором соотношение (14) выполняется равномерно. Скорость этой сходимости по порядку не превосходит n~ru){n~1 )L^n(9). В случае, когда ц> = 1, jVf = \УГНШ величина (12) совпадает с en{WrHu) := sup{|F(0) - sn{F-M : F Є WTHU]. (15) Величина (15) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка в случае uj(t) - t11 (0 < а < 1), г Є Ъ+ получили еще А. Лебег [6G] и С.Н. Берн-штейн [20]. Первую асимптотически точную оценку величины (15) получил А.Н. Колмогоров [65] для случая w(t) = t, г Є Z+. Исследования в этом направлении продолжили В.Т. Пинкевич [35], СМ. Никольский [29]—[32], А.В. Ефимов [25Ц27|, С.А. Теляковский [53], СБ. СтсчкифОІ, А.И. Сте-панец [49] и другие авторы. В.М. Бадков [10] величину (12) изучал в случае класса Л4 = WrHu и 2л"-нериодичсского обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (7)-(10). В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена. Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задачами теории приближения функций. Основной целью настоящей работы является исследование аппроксимативных свойств сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с пеклаеепческим весом, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. В рамках этой общей проблемы выделяются следующие задачи. Получение двусторопниих поточечных оценок функции Лебега сумм Фурье но рассматриваемой системе; Доказательство точности неравенства Лебега на классе WTНи в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе; Построение примера функции класса \ГНШ, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. Построение аналогичного примера функции класса WrHj[-~ 1,1] в случае обобщенного веса Якоби. В диссертации используются методы теории приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного. Все основные результаты, полученные в работе, являются повіями и состоят в следующем: 1) Получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными нроизве- дспиями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм Фурье которых но всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега. Доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе. Построен пример функции класса \VTНш для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности поморов и пуле рассматриваемого веса. Построен аналогичный пример функции класса WrHw[—l, 1] в случае обобщенного веса Якоби. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при изучении рядов Фурье но ортогональным полиномам и их различных приложений в теории аппроксимации. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ, руководимом профессором В.В. Аро-стовым; па семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН, руководимом членом-корреспондентом РАН, профессором Ю.Н. Субботиным и профессором Н.И. Черных (г. Екатеринбург); на Международной школе СБ. Стечкина по теории функций (г.Миасс, 2003 и 2004 гг.),а также на 32-й, 33-й, 34-й, 35-й и 30-й Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 гг.). Основные результаты опубликованы в восьми работах [1]—[8], список которых приведен в конце автореферата. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 75 страниц. Библиография содержит 70 наименований. Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации. В первой главе получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье но системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых мо;гулсй непрерывности.При этом обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега. Во второй главе доказана точность неравенства Лебега па классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе. Построен пример функции класса WrHu}, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. Построен аналогичный пример функции класса WrНи[— 1,1] в случае: обобщенного веса Якоби. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы. В 1.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 1. В 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 1. Новыми являются следующие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утверждений, принятую в диссертации). Лемма 1.2.1. Пусть вес ц> Є Ll, а Кп(ф\ z, С) := Y, М*)МО ' (п Є S+; г, С С) -ядро Сегё системы {(/?п(,г)}^0 алгебраических многочленов, ортопормщю-оаниой на окружности \z\ = 1 с весом (р. Тогда выполняется неравенство 4лп(0) < ^j\K2n{ Лемма 1.2.2. Пусть вес 1 вместе с \тр(т). Тогда для всех п Є N и в Є Ж справедливо неравенство W) > hhK^ еів> (1 - Р")"1)^)!]^^: І \ f егт -\- Z І тг(^;г):-ехр^ -— у ^—-1п<^(т) dr \ (\z\ < 1) — функция Ссгё веса <р{т). Основным результатом главы 1 является обобщающая результаты работ В.М. Бадкоиа [58, 59] и СЕ. Памятных [34] следующая теорема. Теорема 1.1.1. Пусть In-периодический вес <р{т) имеет вид т г _ д \ Ч>{Г) = Л(Т) П WV [\ Sill Т-^-\ \ (-7Г < в1 < . . . < вт < 7Г), т, /„ Є N, а(/і, г/) Є Ж, 9ц,у{и) ( /л = 1, * , lv\ v ~ 1,..., т) — вогнутые модули непрерывности; 9 ш„(г) dr = О(0ш„(0)) (0 -*- +0; і/ = 1,..., га); функция h(r) удовлетворяет условиям (9)-(10) либо условиялі h{r) > 0; h н 1/Л Є L; ш(/>; 5)2 = О(^) {5 -+ +0). (16) 7ог(?а найдутся положительные константы С\ = С\(ф) и Сі = Сі{<р) такие, что для всех п Є N и в Ж выполняются неравенства Cl - ці+„ ш'=11 sin ^1) +1(9) ee.1 a-(I ^1 + и - 2' (17) 5„W:={n^(|sm^| + i)}"5, Ak(t):=j^^. k=\ t Доказательство теоремы 1.1.1 проводится в 1.3 (в случае веса с одной особой точкой) и в 1.4 (в случае веса с несколькими особыми точками путем сведения к случаю одной особой точки). В 1.5 из теоремы 1.1.1 выводятся в виде следствий следующие утверждения. Следствие 1.5.1. Пусть вес ip есть 2т:-периодический обобщенный вес Яко-би, удовлетворяющий условию (10) либо условиям (16). Положим 9ц := 9т — 27Г, 9m+i := By + 2тг, &, := 2"1{в„ + ви+і) (v — 0,1,..., т) и рассмо-трим интервалы Д„ := (j^v-i^v) {у — 1,... , т). Тогда при $ Є А;, п Е N справедливы оценки L 1у,в(0) х 1п(п + 1) + (|0 - 0/| + гг"1)-^ (7/ > 0). (20) Заметим, что в случае 2тг-периодического обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (8)-(10), оценки (18)-(20) впервые получил В.М. Б ад-ков [58, 59]. Приведем еще одно интересное следствие из теоремы 1.1.1. Следствие 1.5.2. Пусть вес (р имеет вид м-~ни (ы\*т)' (теЕ)- (21) где а > е2, 6 К, /і(т) удовлетворяет тем оюе условиям, что и в "теореме 1.1.1. Тогда при в Ш и п Є N справедливы оценки LVin(0)xln[l + n|sin||+ (in . ) (J<-2), L 2 J V |sm5| + -y W)« ln[l + njsin-||+ In . a lnln , a (Л = -2), L 2J V lsmil + »/ lsinH + i LWI(d)xln(n+l) (5>-2). Следствие 1.5.2 обнаруживает интересное явление: функция Лебега Ь^^в) в случае веса (21) при S Є (—2,0) эквивалентна константе Лебега, определяемой как ||-Ev."(*)l!oo) которая по порядку совпадает с классической константой Лебега (т. е. константой Лебега для веса >{т) = 1). При этом система {Фп(6)}=0 для S < 0 не является равномерно ограниченной. В 2.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 2. В 2.2-2.4 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 2. Новыми являются следующие две леммы. Лемма 2.4.1. Ядро D^^ni, т) как функция от г имеет в интервале (9,0 + 2л") точно In различных [и, следовательно, прос7пых) нулей. Лемма 2.4.2. Пусть нули ядра ^,2л(0, т) {как (функции от т) занумерованы в последовательность ... < Z-2 < z-i < zq < z\ < Z2 < ..., (22) причем г_і < в < zq и zv = zv{9) (і/ Є Z). Тогда Если при этом аеар удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1, то найдутся полоэюительные числа Сц и Сі2, зависягцие лишь от ір, такие, что расстояние между любыми двумя соседпилш элементами последовательности (22) заключаю ліежду СцгГ1 и Сип~1. Одним из основных результатов главы 2 является следующая теорема, обобщающая соответствующие результаты В.М. Бадкова[58, 59] и СЕ. Памятных [34]. Теорема 2.1.1. Пусті) все (р удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Тогда найдутся поло'житсльные постоянные Ci[ Сі(<Л г) < Ь— / < C2(v, г). (23) (l + LWi(0))w(n !)« r Заметим, что в главо 1 были доказаны неравенства (17), в силу которых функцию Лебега Ь^п(в) в (23) можно заменить знаменателем дроби из формулы (17). Разумеется, что при этом константы C\(tp,r) и Сг^,г) в новом неравенстве примут новые значения. Другим основным результатом главы 2 является пример индивидуальной функции класса WrHUi для которой неравенство Лебега (4) оказывается точным по порядку в нулях веса ср на подпоследовательности номеров п (для каждого пуля своей). Кроме того, построен аналогичный пример индивидуальной функции класса WHJ[—1,1] в случае обобщенного веса Якоби. А именно, доказаны следующие две теоремы. Теорема 2.6.1. Пусть весц> удовлетворяет условиям теоремы 1.1.1. Пусть, кроме того, при некотором І Є {1,2,... ,гм} LvAOi) = 0{\ Тогда для заданных г Є %+ и модуля непрерывности и)'(5), удовлетворяющего условию j^+sj^ = 0{wm (25) найдутся числа Si,..., sm Є N и С\ > 0 такие, что функция F{t) .- С1Щ(т) ^ ^ 2K-»^,)|V2„„+,+,(e».)l ' где Д^іП(#, г) определено в (2), m — # u,(r) : - Д(8Іп ^у-^)2'4"; s = si + + sm, принадлежит классу WrHCJi причем, En{F) х n~ruj{n-1) (neN) и при достаточно больших N : = 2mn+i \F($t) - 5ft2jv(F;ft)| х [Ь^(ві) + 1]EN(F), Заметим, что из основного результата главы 1 (см. теорему 1.1.1) следует, что в формулировке теоремы 2.G.1 условие (24) равносильно условию Теорема 2.7.1. Пусть вес р имеет вид м р(х) = Н(х)(1 - х)а{1 + xf Ц\х- xk\s" (х Є [-1,1]), где М Є N; ^,/3, > -1; -1 < хх < ... < хм < 1; Н{х) Є С[-1,1]; Н(х) > 0 на всем [—1,1]; Ы[_1д)(Я;5)5-1 Ll[0,1]. Положим xq = —1, ^л/+і = 1- Пусть, кроме того, при некотором І Є {0,1,..., М + 1} ^(^)=0(1^,(^)1 + 1^+1(^)1) {neZ+). (26) Тогда для заданных г Є 2+ и модуля непрерывности и)(5), удовлетворяющего условию (25), существует функция f из класса WrHu[—l, 1] такая, что на подпоследовательности номеров пн — 2^M+2^N+l выполняется соотношение I/W - S^{f;xt)\ х (1 + LM(xi))Enit(f)7 при этом Еп{!) х п-Гш{п-х) (п Є N). Заметим, что в формулировке этой теоремы условие (26) равносильно условию S[ > 0 при І Є {1,2,... ,М}, а > —1/2 при I = 0 или /3 > —1/2 при 1 = М+ 1. Кроме того, заметим, что в случае рядов Фурье-Якоби примеры индивидуальных функций, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке х = 1 при а > —1/2, были приведены в работах В.М. Бадкова [6], И.И. Ша-раиудииова [55] и A.M. Беленького [19]. Однако в работах В.М. Бадкова и A.M. Беленького w(i) = ttl (0 < ft < 1), а в работе И.И. Шарапудинова функция / является аналитической. Автор глубоко признателен своему научному руководителю В.М. Бадкову за постановку задач и внимание к работе. Величина (15) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка в случае uj(t) - t11 (0 а 1), г Є Ъ+ получили еще А. Лебег [6G] и С.Н. Берн-штейн [20]. Первую асимптотически точную оценку величины (15) получил А.Н. Колмогоров [65] для случая w(t) = t, г Є Z+. Исследования в этом направлении продолжили В.Т. Пинкевич [35], СМ. Никольский [29]—[32], А.В. Ефимов [25Ц27, С.А. Теляковский [53], СБ. СтсчкифОІ, А.И. Сте-панец [49] и другие авторы. В.М. Бадков [10] величину (12) изучал в случае класса Л4 = WrHu и 2л"-нериодичсского обобщенного веса Якоби, удовлетворяющего условиям (7)-(10). В случае общего веса В.М. Бадкова величина (12) пока еще мало изучена. Таким образом, рассматриваемые в диссертации задачи о двусторонних поточечных оценках функции Лебега (4) и о точности неравенства Лебега (3) являются достаточно актуальными задачами теории приближения функций. Основной целью настоящей работы является исследование аппроксимативных свойств сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с пеклаеепческим весом, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. В рамках этой общей проблемы выделяются следующие задачи. 1) Получение двусторопниих поточечных оценок функции Лебега сумм Фурье но рассматриваемой системе; 2) Доказательство точности неравенства Лебега на классе WTНи в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе; 3) Построение примера функции класса \ГНШ, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. 4) Построение аналогичного примера функции класса WrHj[- 1,1] в случае обобщенного веса Якоби. В диссертации используются методы теории приближения функций, теории ортогональных многочленов, гармонического анализа, теории функций комплексного переменного. Все основные результаты, полученные в работе, являются повіями и состоят в следующем: 1) Получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье по системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными нроизве дспиями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности. Этот класс весов содержит все классические периодические веса. Обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм Фурье которых но всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега. 2) Доказана точность неравенства Лебега на классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе. 3) Построен пример функции класса \VTНш для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности поморов и пуле рассматриваемого веса. 4) Построен аналогичный пример функции класса WrHw[—l, 1] в случае обобщенного веса Якоби. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение при изучении рядов Фурье но ортогональным полиномам и их различных приложений в теории аппроксимации. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры математического анализа и теории функций УрГУ, руководимом профессором В.В. Аро-стовым; па семинаре по теории приближения функций ИММ УрО РАН, руководимом членом-корреспондентом РАН, профессором Ю.Н. Субботиным и профессором Н.И. Черных (г. Екатеринбург); на Международной школе СБ. Стечкина по теории функций (г.Миасс, 2003 и 2004 гг.),а также на 32-й, 33-й, 34-й, 35-й и 30-й Региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2001, 2002, 2003, 2004 и 2005 гг.). Основные результаты опубликованы в восьми работах [1]—[8], список которых приведен в конце автореферата. Диссертация состоит из списка обозначений, введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Общий объем работы — 75 страниц. Библиография содержит 70 наименований. Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации. В первой главе получена двусторонняя поточечная оценка функции Лебега сумм Фурье но системе тригонометрических полиномов, ортогональной с весом весьма общего вида, порядки особенностей которого задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых мо;гулсй непрерывности.При этом обнаружено существование неограниченных систем ортогональных тригонометрических полиномов, функции Лебега сумм фурье которых во всех точках по порядку совпадают с обычной константой Лебега. Во второй главе доказана точность неравенства Лебега па классе WrHu в случае приближения функций их суммами Фурье но рассматриваемой системе. Построен пример функции класса WrHu}, для которой неравенство Лебега является точным на бесконечной подпоследовательности номеров в нуле рассматриваемого веса. Построен аналогичный пример функции класса WrНи[— 1,1] в случае: обобщенного веса Якоби. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы. В 1.1 приведена краткая история вопроса и сформулирован основной результат главы 1. В 1.2 сформулированы вспомогательные предложения (как известные, так и новые), используемые при доказательстве основного результата главы 1. Новыми являются следующие две леммы (для удобства ссылок сохраняем нумерацию утверждений, принятую в диссертации). Через Нш обозначаем класс функций F Є Сі У которых модуль непрерывности в С2тг не превосходит заданного модуля непрерывности и. Полагаем также Ны[а, Ъ] : = {F : F 6 L[a, 6], u)(F] )00,(0,(,] 5: w( 5) Для всех 5 0}. При г Є Z+ рассматриваем классы WrHu : = {F : F G С2л-, F Н } и 1УгНы[а,Ь]: ={F:F eHu[a,b]}. Неотрицательная и не эквивалентная нулю функция ц L1 называется весом. Пусть {4\{T)} L0 — ортонормированиая на отрезке [0,27г] с весом (р система тригонометрических полиномов, полученная из 11 оследо вателыю-сти 1, cos г, sin т, cos 2т, sin 2т,.., методом ортогонализации Грама—Шмидта. Система {Фті(т)}г%о была введена в рассмотрение в работе Д.Джексоиа[63]. Полиномы этой системы удовлетворяют условиям: Фо — положительная константа; $2n-i и $2п (я Є N) полиномы порядка п с положительным старшим коэффициентом (старшим коэффициентом для Ф2»-і является КОэффи-циепт при cos пт, для Фгп — коэффициент при sin пт; коэффициент при sin пт полинома Фгп-i равен нулю); Рассмотрим функцию Лебега сумм Sy2n{F\9) Lv,n(e):= sup 1 ,2,1( 0)1= sup \s n(F;B)\. (2.1.3) FeL»,F]]„ l FC2n, F„ 1 Ввиду того, что swl(l;0) = 1, из (2.1.3) следует неравенство LvM 1 {пЄІ +, 6Є R). (2.1.4) В силу (2.1.1)-(2.1.3) справедливо равенство Ь п{в) = 1 \Dvtn{e,T)\tp(r)dT. (2.1.5) При р(т) = 1 сумма s 2n{F\&) совпадает с обычной суммой Фурье sn(F;9). Аппроксимативные свойства сумм Фурье s 2n{F) на классе Л4 С С в точке в принято характеризовать величиной VAM) : = sup{\F(9) 2n{F; 9)\ : F Є Л4}. (2.1.6) Уклонение функции F Є CW от ее суммы Фурье Spn{F;$) оценивается по неравенству Лебега Известно (см.[5, стр.230]), что, если периодическая функция F имеет непрерывную производную порядка г 0 с модулем непрерывности w(F ; 5), то при любом натуральном п существует тригонометрический полипом Т порядка не выше п такой, что En{F) \\F -Тп#Но, Brn-ruj{F ЇП-1) , (2.1.8) где Д- 0 зависит лишь от г. Если F Є WTH то в силу (2.1.7) и (2.1.8) в каждой точке 9, в которой сумма s niF ,9) сходится к F{9) равномерно на любом множестве Е С R точек 9, на котором соотношение (2.1.9) выполняется равномерно. Скорость этой сходимости по порядку не превосходит п гш(п 1)Ь,ріП(9). В случае, когда р = 1, Л4 WrHu, величина (2.1.G) совпадает с Sn{WTHu) : = sup{\F{e) - sn(F; 0)\ : F Є \ГИ„}. 2.1.10) Величина (2.1.10) достаточно подробно изучена. Оценки ее порядка для u(t) = ta (0 а 1), г Є 2+ получили еще А. Лебег [G6] и С.Н. Бернштейн [20]. Первую асимптотически точную оценку величины (2.1.10) получил А.Н. Колмогоров [G5] для случая uj(t) = t, г Є %+. Исследования в этом направлении продолжили В.Т. Пинкевич [35], СМ. Никольский [29] —[32], А.В. Ефимов [25]-[27], С.А. Толякопский [53], СВ. Стечкип[50], А.И. Степанец [49] и другие авторы. В работе В.М. Бадкова [10] величина (2.1.6) изучалась для М, = WrHbJ и веса удовлетворяющего условиям h Є Сгтг, h(r) 0, ш т) 1 L O, ]. (Заметим, что если функция h Є L и отграничена от нуля, то вес (2.1.11) называется 27Г-нериодичееким обобщенным весом Якоби.) Одним из основных результатов этой главы является следующая теорема, обобщающая соответствующий результат из [10], относящийся к случаю обобщенных тригонометрических полиномов Якоби. h(r) — неотрицательная, отграниченная от пуля и бесконечности измеримая 2п-периодическая функция, для которой выполнено хотя бы одно из условий: 1) ш(Л; 5)2 = 0{\/&) (5 - +0) и 2) uifcr) -1 Є L O, 7г]. ІЬ-гда найдутся положительные постоянные С\((р,r) и С2( р,7") такие, что для всех п Є N и 0 Є К. выполняются неравенства С Г (1 + (9) V(n-i)n- .0- (2.1.15) Заметим, что її [10] рассматривался лишь случай, когда функция h{r) удовлетворяет условиям (1.1.11)-(1.1.12). Заметим также, что в главе 1 были доказаны неравенства (1.1.18), в силу которых функцию Лебега Ь9%п{в) в (2.1.15) можно заменить знаменателем дроби из формулы (1.1.18). Разумеется, что при этом константы Ci(cp, г) и Сі( , г) в новом неравенстве примут новые значения. Наряду с теоремой 2.2.1, основными результатами главы 2 являются также приводимые в 2.6 и 2.7 примеры индивидуальных функций классов WrHu и WrHw[— 1,1], для которых неравенство Лебега (1.1.4) и аналогичное неравенство, относящееся к случаю обобщенных многочленов Якоби оказываются точными по порядку в нулях весов ортогональности (р на подпоследовательности номеров п (для каждого нуля своей). Пусть {pfc( )}jLo — система алгебраических многочленов, ортонормиро-ванная на отрезке [—1,1] с весом p(t); Lr[a, Ь] (1 г со) — пространство функций, суммируемых в г-й степени на отрезке [а, 6]; С[а, Ь] - пространство непрерывных на [а, Ь] функций с равномерной метрикой; uj(f;S) — модуль непрерывности функции / па отрезке [—1,1]; п — множество алгебраических многочленов порядка не выше п; En(f) — наилучшее равномерное приближение на отрезке [—1,1] функции / многочленами из Рн; WrНш[а, Ь] - класс всех г раз непрерывно дифференцируемых на [а, 6] функций, у которых модуль непрерывности г-Й производной на [а,Ь] не превосходит заданного модуля непрерывности ш. В случае, когда / Є С[ 1,1], имеет место неравенство Лебега Функция (2.7.3) называется функцией Лебега сумм Фурье Sn (f ,x). Естественно возникает вопрос о точности неравенства (2.7.1) в том или ином смысле. В.М.Бадков [59] доказал его точность в смысле порядка па классе WrHu[—1,1] для обобщенного якобиепа веса р, получив двусторонние поточечные оценки функции (2.7.1) и величины sup{/(x) - (/; )) : / Є WrH„[-\,1]}. Однако в [59] функции /, подтверждающие точность неравенства (2.7.1), зависят от п и х. Ниже приводится пример индивидуальной функции класса WrHu[—1,1] (при ограничениях на w), для которой неравенство (2.7.1) является точным по порядку на бесконечной подпоследовательности номеров п и нуле обобщенного веса Якоби, умноженного на у/1 — х2. Подобные примеры для рядов Фурье - Якоби ранее построили В.М.Бадков [6], И.И.Шарапуди-нов [55] и A.M.Беленький [19]. Главным результатом настоящего параграфа является следующее утверждение. где С2 зависит лишь от веса р. Из (2.7-11), (2.7.12) и (2.7.10) следует, что для достаточно больших SQ,SI SM Є N при любых п Є N и х [— 1,1] выполняется неравенство \у/Щх)К (х,хі)\ С3(р, s0, sb---, sA/)[M:cf) + k+i( )]. (2.7.13) В силу (2.7.13), так как ш («2 )/ 2 2и){и{]/щ при 0 щ ич, справедлива оценка Левая часть формулы (2.7.14) имеет вид \f(x) P6+2M(N+D+2N(X)\, где /(ж) определяется равенством (2.7.D), a PS+2MW+I)+2N PS+2M( +O+2JV. ЕСЛИ целое G6 то v х n#, и для Pv — Ps+2nnx+u+2N в силу (2.7.14) выполняется соотношение при п — оо равномерно но х Є [— 1,1]. Итак, существует последовательность {Fn}=i ( н Р„) такая, что для любого г 6 [-1,1] имеем \/(х)-Рп(х)\ = 0(ргп(х)ш(Рп(х))). Поэтому в силу (2.7.С) и обратных теорем приближения функций [24] при достаточно малом С\ функция (2,7.9) принадлежит классу WTHU[— 1,1]. Если Рп Р„, то 5Ір)(Рп;г) = Рп(х). Поэтому при 2 +2 1 з лишь когда к = N, a ? = I. Но тогда в силу (2.7.2) и (2.7.9) при 2 М+2)ЛГ_1 s s-(/; J = їадй &іш/ 1 " 4 (2-7Л5) Пользуясь оценками ядра / "„ (о;, ), проведенными в работе [10] (см. доказательство теоремы 5.7), получим, что в условиях доказываемой теоремы любой отрезок [хк + e(xfc+1 - xjt),xfc+i - e(xfc+1 - Xk)], где 0 1/2, при достаточно больших N содержит Сф отрезков длины С п 1, на которых (x-xi)K (x,xi) C plN{Xl)+plN+l{xi). Но Us{x)p(x) на [xk + efx/j+i — Xfc),ift+1 — e(xk+i — 2)] отделено от нуля константой Ст(р). Поэтому из (2.7.15) следует, что \1Ы S% (f;Xl)\ С8п/Ш(п )[Рзд( ) + \рп„+1{х1)\], (2.7.16) где Cg 0. В силу (2.7.1), (2.7.5) и неравенства Ln (х) 1 (тг Є 1 +) имеем: \1Ы (f;xt)\ CQ[\p,lN(xi)\ + \PnN+i(xiWnMY 2.7.17) Из (2.7.1G), (2.7.17) и неравенства Джексона выводим (2.7.7) и (2.7.8). Замечание 2.7.1. Заметим, что в силу теоремы 4 из [59] и предложения 2.5 из [10] в формулировке доказанной теоремы условие (2.7.5) равносильно условию Si 0 при / Є {1,2,..., М}, а —1/2 при I = 0 или /3 —1/2 при f = M+1. Кроме того, заметим, что в случае рядов Фурье-Якоби примеры индивидуальных функции, подтверждающие точность неравенства Лебега в точке х = 1 при а —1/2, были приведены в работах В.М, Бадкова [С], Р1.И. Ша-ранудинова [55] и A.M. Беленького [19]. Однако в работах В.М. Бадкова и A.M. Беленького uj(t) = t(t (0 /І 1), а в работе И.И. Шарапудипова функция / является аналитической. Всюду ниже R := (—со, со), Z+ := {0,1,...}, N := {1,2,...}. Если 1 г оо, то Z/[a,6] обозначает пространство измеримых по Лебегу па отрезке [а, Ь] комплекс-позначных функций F с конечной нормой [F 1// , где Для 27г-периодических функций F употребляем обозначения 17 := //[0,27г], \\F\\r :— (27r) 1/,r{jF(Lr[0i2,r], Через C обозначается пространство непрерывных 2л"-периодических функций. Модулем непрерывности называется неубывающая непрерывная полуаддитивная на [0, со) функция u(t), для которой ш(0) = 0. Модуль непрерывности w(f), удовлетворяющий условию называется вогнутым. Для модуля непрерывности функции F в пространстве U применяем обозначение UJ(F\ 5)Г := sup (А + -) — F(-)г. Обычный модуль непрерывности функции f(t) на отрезке [а, 6] обозначается через ш[а,ь](/j 5)- Через En{F)r обозначим наилучшее приближение в U функции F тригонометрическими полиномами порядка не выше п. Неотрицательная и не эквивалентная нулю на отрезке [о, Ь] функция р из Ьг[а, Ь] называется весом на [а, 6]. Ортоиормнрованпую па [—1,1] с весом p{t) систему алгебраических многочленов (см. [48]) обозначаем через {pn\t)}%Lo-Эта система называется системой обобщенных многочленов Якоби (см. [21]), если — измеримая на [—1,1] функция, ограниченная снизу и сверху положительными константами. В случае, когда H(t) = 1, a 7i = "" = 7т — 0) имеем дело с классическими многочленами Якоби (см. [48, 52]). Пусть {Фп(т)} 0 — ортонормировапная на отрезке [0,27г] с весом tp Є L1 система тригонометрических полиномов, полученная из последовательности l,cosr, sin г, cos 2т, sin 2т,... методом ортогонализации Грама—Шмидта. Полиномы этой системы удовлетворяют условиям: Фо — положительная константа; $2H-I и Фг» (п N) - полипомы порядка п с положительным старшим коэффициентом (старшим коэффициентом для Ф2гі-і(т) является коэффициент при cos ш", а для Ф2П коэффициент при sin пт; коэффициент при sinnT полинома &2n-l(T) равен пулю); При = 1 сумма 5 р,2»( ;#) совпадает с обычной суммой Фурье sn(F;B) функции F. Скорость приближения функции F є Сіж суммой (1.1.2) оценивается по неравенству Лебега ряд Фурье функции F сходится к F(6), причем сходимость этого ряда равномерна на любом множестве Е СЖ точек 9, на котором соотношение (1.1.8) выполняется равномерно. Поэтому представляет интерес задача о двусторонних оценках функции Лебега (1.1.5) в зависимости от п Є N и б Є Е, т, е. задача нахождения более или менее простого выражения, отношение к которому функции (1.1.5) при всех п Є N и в Є R заключено между двумя положительными константами, зависящими лишь от веса (р. Подобную задачу С.А. Агаханов и Г.И. Натансон [2] решили в случае классических многочленов Якоби для а,/? —1/2. В.М. Бадков [6, 58, 59,12] распространил этот результат на все значения а, /3 — 1 (оценку снизу функции Лебега сумм Фурье—Якоби получил также A.M. Беленький [18]). Аналогичные результаты В.М. Бадков [12] получил и для обобщенных многочленов Якоби в предположении, что множитель H(t) из правой части (1.1) удовлетворяет условию Дини: Ш[_щ(Н; t)t l Є Ьг[0,1]. Кроме того, он и работах [58, 59] получил двусторонние поточечные оценки функции Лебега (1.1.5) в случае веса удовлетворяющего условиям (вес tp} для которого выполняются условия (1.1.9)-(1.1.11), называется 2я"-нсриодическим обобщенным весом Якоби). При этом он пользовался полученными им же (см. [11]) равномерными асимптотическими представлениями алгебраических многочленов, ортогональных на окружности \z\ — 1 с весом (р, для которого выполняются условия (1.1.9)-(1.1.12). Затем В.М. Б ад-ков [13, 14, 15] для широкого класса весов р с особенностями, порядки которых задаются конечными произведениями действительных степеней вогнутых модулей непрерывности, получил двусторонние поточечные оценки модулей соответствующих многочленов, ортогональных на окружности, и их производных. Пользуясь цитированными результатами из [13, 14, 15], СЕ. Памятных [34] получил двустороннюю поточечную оценку (знак " х " означает, что отношение левой и правой частей формулы (1.1.13) ограничено сверху и снизу положительными константами, не зависящими от п є N и 0 є R ) в предположении, что (р(т) := [д(\ sin(0/2)j)]-1, где д{т) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиямВспомогательные предложения
Доказательство теоремы 1.1.1 при m > 1
Связь ядер D^n{9,r) с многочленами, ортогональными па окружности
О точности неравенства Лебега в нулях веса для индивидуальной функции в случае тригонометрических ортогональных полиномов
Похожие диссертации на Приближение функций суммами Фурье по тригонометрическим ортогональным полиномам
