Введение к работе
. ' .
. Актуальность. 1. Конструкция А.Н.Колмогорова показывает невозможность поточечного представления интегрируемой функции ее тригонометрическим рядом Фурье. G другой стороны, используя сильные средние последовательности частных сумм Харди и Литтлвуд для fLr (г>1), а затем Марцинкевич и Зигмунд для fL
Отметим, что в 1991 году Карагулян Г.А. установил точность роста функции Ф(и)=ехр)и|-1, опредвлярдей Ф-сильную суммируемость интегрируемой функции. Отметим также оригинальную работу К.И.Ос-колкого, в которой была установлена N-сильная суммируемость п.в. ряда Фурье интегрируемой функции для случая, когда N(u) = = ехр(|u|/lnln|u|-1).
2. В работах Г5]-[7],[9]-[14] было обнаружено принципиально новое свойство последовательности частных сумм одномерного ряда Фурье интегрируемой функции, из которого вытекают как классические теоремы о сильной о показателем р суммируемости ряда, так и положительное решение упомянутой выше гипотезы Тотика. Данное свойство получило название ВМО-свойства ряда Фурье, оно непосредственно связано с введенным в анализ Джоном и Ниренбергом пространством функций ограниченной средней осцилляции.
При переходе к многомерным рядам ситуация осложняется. В работах Сакса, Еижиашвили, Гоголадзе, Гецадзе, Конягина и др. была
установлена необходимость и /точность требования принадлежности функции f классу .L(ln+L),'~,, заменяваему класс Lr в одномерном; случае, при исследовании сильной .суммируемости кратных рядов Фурье. В диссертации показано, что при некотором . определении многомерного ВМО-свойства оно имеет место для многомерных частных, сумм ряда Фурье функции из класса Шп+1)*-1.Данное определение связано, с тензорным произведением -пространств . ВМО. С другой стороны, оставаясь в рамках общепринятого определения многомерного пространства ШО,^0 ^ -^я-, .показано,что соответствующее свойство не выполняется даже для непрерывной функции двух переменных.
3. До появления работ, составляющих основное содержание диссертации, в теории представления интегрируемой функции сильными средними ее ряда Фурье сложилась следующая ситуация. Исследования Зигмунда и . Гоголадзе. использовали'. методы теории, функций комплексного переменного.: В работах Марцинкевича и Зигмунда в яеном виде не выделялись метрические свойства интегрируемой на JT функции, характеризующие .явление сильного' суммирования в точке х, которые можно переносить на нульмерные компактные абелевы группы. Например, на группу П ZA(2), с системой характеров - системой Уолша-Пвли. Существенным продвиаением в втом направлении яеилиоь
работы Габисония О. Д. Однако рассуждения этих работ в главном, опирались на специфику тригонометрических рядов. Сложившаяся
ситуация соответствовала замечанию Р.Эдеардса о том, что "—современные исследования,, сосредоточенные на обобщении классических разделов теории суммирования тригонометрических рядов, не позволяют дать аналогов для нульмерных компактных абелеЕых групп...". (Р.Эдварде"Ряды Фурье б современном изложении", т.1, с.19). Фундаментальная' работа Шиппа также в существенном использовала, групповую структуру системы Уолша и не Еыделяла матричные свойст- ъв интегрируемой на П Z. (2) функции, ответственные за ее поточечное представление сильными средними ряда Фурье.
В диссертации впервые рассмотрен единый подход к поточечному представлению интегрируемой на группе функции сильными средними ее ряда Фурье по системе характеров.
4. Подход, позволяющий описывать задачу, в достаточно широком классе функциональных пространств позволил установить ряд принципиально новых явлений, как в поведении специальных рядов, так и в исследовании поведения последовательности коэффициентов Фурье штегрируемой функции [13-[4],[18]-[22]. Приведем один пример
подтверждающий своевременность и актуальность такого подхода. Пусть ЧЛ(Е) замыкание по норме пространства Е мнозества лакунарних по Адомару тригонометрических полиномов,,R(E) -аналогичное замыкание, связанное с системой Радемахера. Пусть- G - замыкание ограниченных функций по норме пространства Орлича Ъж с М-функцией ехри2-1. Пусть G'- пространство с нормой, эквивалентной интегралу
1 ;
Jr*(t)H.n(l/t)dt.
В диссертации получено следующее утверждение:.для того, чтобы R(E) или Л(Е) было дополняемо в симметричном Е, необходимо и достаточно, чтобы GsE=G'.
Этот результат для R(E) был независимо и одновременно доказан Линденштрауссом и Цафрири и помещен в монографии этих авторов,еы-шед^шей.в'1979 году. В монографии имеется ссылка на работу [22] Е.М.Семенова и В.А.Родина.
Оба отмеченные выше направления исследований работы используют широкий класс функциональных пространств - класс симметричных пространств, а такяе ^ пространство ограниченной средней осцилляции. При' изучении специальных свойств полиномое и интегрируемых функций в главе 1 используются методы теории интерполяции операторов. Сдостаточной полнотой и общностью эти методы изложены в монографиях С.Г.Крейна, ' Ю.И.Петунина и Е.М.Семенова иЮ.А.Брудного. Симметричные пространства являются естетственным обобщением пространств Орлича. Эти пространства называют такке перестановочно-инвариантными. Наиболее полное из-лонение теории данных пространств имеется в уяе отмеченной монографии и монографии (Линденштраусс, Цафрири).
Использование в работе мнояества симметрганых пространств, включающего в оебя проотранотва L , Лоренца, Марцинкевича, Орлича и др. не являетоя оамоцелью. Общий подход позволил уточнить и дополнить ряд известных в рамках L -теории результатов. Кроме того, получено решение еадач, постановка которых осуществлялась в рамках традиционной L -теории, а решение потребовало не укладывающихся в эту теорию терминов.
Цель работы. В работе исследуются ряды Фурье интегрируемой функции в двух направлениях. Первое направление - изучение поведения коэффициентов Фурье при условии принадлежности функции различным функциональным пространствам. Второе направление - в
6/
задачах представления интегрируемой на группе функции сильными среднмми ее ряда Фурье по системе характеров - впервые предлокен и реализован подход через изучение осцилляции последовательности частных сумм.
. Методы исследования. В работе'применяются различные методы -теории интерполяции операторов, теории функциональных, е частности симметричных пространств, гармонического анализа, как
на группе її, так и на группе П ЙрО с ограниченной образующей
ь ' . * последовательностью ps, методы метрической теории функции и точечных множеств, функционального анализа.
Няучняя новизна. Все основные результаты диссертации явля-' ются новыми:
1. Обнаружено новое явление (ВМО-свойство), связанное с ог
раниченной средней осцилляцией последовательности частных сумм
ряда Фурье интегрируемой на группе функции. Исследования,
связанные с этим принципиально новым направлением гармонического
анализа содержатся в главах 2 и 5. . .-.''
2. С помошью вложения, связанного с неравенством
Джона-Ниренберга, ВМОсЬм, M(u)=exp|u|-1 в качестве следствия по
лучено усиление теоремы Карлемана о М-сильной суммируемооти ряда
Фурье для ieLj почти в каждой точке группы (для -її и 1Шрь))..
Данное утверждение не было известно и.для системы Уолша.
3. Как показали Харди и Литтлвуд сильная суммируемость ряда
Фурье интегрируемой функции не обязана иметь место в точках
Лебега. Габисония, опираясь на результаты работ Марцинкевича, дал
явное описание точек .її, образующих множество полной меры, в кото
рых для интегрируемой функции і справедлива сильная суммируемость
ее ряда Фурье.
В работе показано, что последовательность 5п(х) как функция
аргумента п имеет ограниченную среднюю ооцидляциа в точках хИ,
для которых выполнено утверждение леммы Габисония. Тем самым да
ется ответ на вопрос П.Л.Ульянова.
Кроме того, для интегрируемых на компактной, коммутативной группе функций установлен аналог утверждения Габисония, что позволило установить перечисленные Еыше новые утверждения для рядов по мультипликативным периодическим системам, в частности для системы Уолща.
4. Для характеризации точек группы, в которых существует
сильная суммируемость кратных рядов Фурье, исследуются специаль-
-->
ные мажорантные операторы слабого типа.Обнаружено,что эти операторы в задаче сильной суммируемости рядов Фурье играют роль аналогичную роли максимальной функции Харди, в задаче сильной диффаренцируемости кратных интегралов.
5. Получены утверждения о средних осцилляциях специального
Еида последовательности прямоугольных частных сумм кратного ряда
Фурье. Рассмотрены различные варианты ВМО-свойства в многомерном
случае. Одно из которых моию рассматривать как свойстео,
порожденное специальной нормой в тензорной степени пространства
БМ0([0,,])-
Доказано такие, что кратные ряды Фурье не обладают ВМО-свой-
ством, связанным с традиционной . метрикой многомерного
пространства ВМО/г. -,Лч
6. G помощью различных интерполяционных методов получены
новые точные в определенном смысле оценки коэффициентов Фурье
суммируемых функций. Для установления точности полученных
утверждений типа теорем Пэли, неравенств типа Бесселя и др.
проведено изучение специальных рядов в широком классе симметричных
функциональных пространств. -
Теоретическая и практическая знячтрцость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретический характер. Они находят применение в научных исследованиях и используются при чтении специальных курсов, подготовке учебных пособий и монографий. Результаты, касающиеся специальных рядов в симметричных пространствах и оценки коэффициентов Фурье,уже вошли как учебный материал в следующие монографии: Линденштраусс и Цафрири; Крейн, Петунин, Семенов; Брудный, Крейн, Семенов. Исследования по изучению различных видов- ВМО-свойства кратных рядов и их прилозения, как новое направление гармонического анализа, несомненно получат дальнейшее развитие.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на различных семинарах МКАД и МГУ (руководители акад. С.М.Никольский, чл.-корр. П.Л.Ульянов, профессора Стечкин СБ., Кашин Б.С, Те-ляковский С.А., Скворцов В.А.), ЛОМИ (рук. профессора Н.К.Никольский, В.П.Хавин, Б.М.Макаров), ВГУ (рук. проф. Е.М.Семенов), ОГУ (рук. профессора Э.А.Стороненко, В.И.Коляда, Е.Г.Гусейнов), ТГУ (рук.- Гоголадзе), в институте математики СО РАН (рук. акад. Ю.Г.Решетняк).
Результаты диссертации докладывались в Школах по теории
функций и теорий операторов в функциональных пространствах (Дрогобич 1974, Иркутск 1980, Кемерово 1983, Махачкала 1988, Новгород 1989, 1991, Грозный;1989, Воронеж 1991, Саратов 1992). Были заслушаны на расширенных заседаниях семинара .ИПМ им. И.Н.Векуа (Тбилиси 1985,1990,1992). Кроме того, результаты докладывались на 2-ой и 3-ей интернациональных конференциях в г.Поз- ; нань (Польша 1989, 1992), и опубликованы в тезисах международной конференции по теории аппроксимаций г.Кечкемет (Венгрия 1990).
Пуб.гтикятртт. Основные результаты ; диссертации получены самостоятельно и опубликованы в работах [1]-[1?].Из совместных работ [18]-С21] приведены результаты, полученные автором. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура ттаппяртяции. Диссертация состоит ^из введения и шести глзе. Список литературы содержит наименования 95 работ. Работа изложена на 263 страницах машинописного текста.
