Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что если а& | 0 и bk | О, то частные суммы ряда
f(x) = "у + ак cos /еж (1)
^ п=1
сходятся при любом ж, х ф 27гп, и частные суммы ряда
9(х) = J2 bksmkx (2)
n=l
сходятся при любом X. Пусть
Тп(/; ж) = — + 53 < cos (ж) 1 к=\ и
Тп(д;х) = J2 blsm(kx)
к=1
- полиномы наилучшего приближения в метрике Ь\ж соответственно функций f(x) и д(х).
Коэффициентные необходимые и достаточные условия равномерной сходимости (ограниченности) частичных сумм ряда (2), если bk | О, найдены Чонди и Джоллифом1 и Джоллифом2.
А.С. Белов3 нашел точные коэффициентные условия равномерной ограниченности снизу частных сумм ряда (1). Аналоги этих результатов для тригонометрических полиномов наилучшего приближения в метрике Ь\ж при условиях A2ak > 0, А3а/г > 0 делаются в диссертационной работе.
^haundy T.W., Jolliffe А.Е. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. - 1916. - V. 15. - P. 214-216.
2 Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesary and sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philisophical Soc. - 1919. - V. 19. - P. 191-195.
3Белов А.С. О частных суммах тригонометрического ряда с выпуклыми коэффициентами / Белов А.С. // Математические заметки. - 1991. - Т. 50. № 4. - С. 21-27.
Также А.С Беловым4 установлено, что равномерная ограниченность снизу частных сумм ряда (1) будет гарантирована, если они бу-
Ч-7Г
дут ограничены снизу на последовательности ^.
В диссертационной работе подобные вопросы для полиномов Tn(f] х) также исследуются. Также доказываются теоремы сходимости и равномерной сходимости полиномов Тп(/; х) и Тп(д] х).
Во второй главе диссертационной работы рассматриваются продолжения непрерывных функций с компакта Е в метрическом пространстве X, такие, что модуль непрерывности продолженной функции tux{8): S Є R7 и модуль непрерывности uje{5) этой функции на компакте Е связаны неравенством:
шх(5) < СшЕ(5) (Щ > 0). (3)
Находятся оценки наименьшей постоянной С = С(Е): удовлетворяющей этому неравенству.
Известная теорема Титце-Урысона5 утверждает, что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е7 можно непрерывно продолжить на X с сохранением ее максимума и минимума.
Е. Макшейн6 доказал, что если / Є Ыр(Е;си), то функции
F+{x) = inUf{y)+uj{p{x,y)))
уєЕ И
F~(x) = sup (/(у)-ы(р(ж, 2/))),
задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Ыр(Х; и).
Подобными вопросами занимался и В.А. Мильман7.
Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-вы-пуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е7 можно
4Белов А.С. О коэффициентах тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами / Белов А.С. // Тр. МИАН СССР. - 1989. - Т. 190. - С. 3-21.
5Дьедонне Ж. Основы современного анализа. / Ж. Дьедонне - М.: Мир, 1964. - 430 с.
6McShane Е. Extention of range of function / E. McShane // Bull.Amer. Math.Sos. - 1934. - V.4. № 12. - P. 837-842.
7Мильман В.А. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности / В.А. Мильман // Матем. заметки. - 1997. - Т.61. № 2. - С. 236-245.
непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство ujx(f, 8) = ^е(/} S).
Из результата Макшейна легко следует, что выпуклый компакт является С-выпуклым. В данной главе доказывается обратный результат. Также описываются все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.
Цель работы.
Получить коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Tn(f]x) и Тп(д;х) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке х ф 2тгп, п Є N.
Получить точные условия на коэффициенты а&, к = 0,1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Tn(f;x).
Выяснить, для каких последовательностей точек {хп}^=17 из условия ограниченности снизу последовательности Tn(f;xn) следует, что полиномы Tn(f]x) равномерно ограничены снизу. Выяснить, для каких последовательностей точек {жп}^1і такой результат не имеет место.
Описать все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.
Для некоторых конкретных компактов Е на плоскости найти или оценить сверху и снизу постоянные С(Е).
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории функций действительного переменного, теории приближения функций.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:
Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Tn(f]x) и Тп(д;х) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке х ф 2тгп, п Є N.
Получены точные условия на коэффициенты а&, к = 0,1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Tn(f;x).
Доказано, что для последовательности точек хп = -^, при а ф «о = 0.985..., где число ао определяется из системы двух уравнений, из условия ограниченности снизу последовательности
{Tn(f]Xn)}^=l не следует, что полиномы Tn(f]x) равномерно ограничены снизу.
Описаны все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.
Для некоторых конкретных компактов Е на плоскости найдены или оценены сверху и снизу постоянные С(Е).
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинарах по теории функций (руководитель профессор А.С. Белов), на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва 2000, 2001), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу , посвященной 90-летию Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2000), на Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004, 2006, 2008), на семинаре по теории функций (руководитель профессор А.Л. Лукашов, Саратов, 2006),на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа содержит 103 страницы и состоит из введения, двух глав, первая из которых содержит шесть параграфов, а вторая пять, и списка литературы, содержащего 27 наименований.
Похожие диссертации на Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций
