Об условиях голоморфного и гармонического продолжения функций в фиксированную область Ходос Ольга Вениаминовна

Содержание к диссертации

Введение

1. Предварительные сведения 19

1.1. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли 19

1.2. Известные результаты о голоморфном продолжении 22

1.3. Известные результаты о гармоническом продолжении 27

1.4. О сходимости кратного степенного ряда в n-круговой области 28

2. Условия существования голоморфного'* продолжения CR- функции с гиперповерхности в фиксированную область 30

2.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты 30

2.2. Производные от интеграла Бохнера-Мартинелли М~ f 36

2.3. Условия голоморфного продолжения Cft-функции 43

3. Условия разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа в фиксированной области 52

3.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты 52

3.2. Производные от функции Т(х) 54

3.3. Условия разрешимости задачи Коши для уравнение Лапласа в R2 61

• Известные результаты о голоморфном продолжении
• О сходимости кратного степенного ряда в n-круговой области
• Производные от интеграла Бохнера-Мартинелли М~ f
• Производные от функции Т(х)

Введение к работе

Актуальность темы

На протяжении всего развития теории функций многих комплексных переменных актуальным является вопрос аналитического продолжения [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39]. Это связано, прежде всего, со следующим замечательным явлением: в пространстве многих комплексных переменных в отличии от одного комплексного переменного существуют области, из которых любая голоморфная функция непременно продолжается в более широкую область. Благодаря этому факту, задача аналитического продолжения получила многочисленные приложения в квантовой теории поля [10].

Одним из главных методов аналитического продолжения является метод интегральных представлений голоморфных функций.

Первым по существу многомерным представлением, в котором интегрирование велось по всей границе области, было интегральное представление Бохнера-Мартинелли (ставшее уже классическим). Оно было получено Е. Мартинелли в 1938 году [50], а затем С. Бохнером в 1943 году [45] независимо друг от друга и разными методами. Эта формула решает задачу восстановления значений функции, голоморфной в ограниченной области с кусочно-гладкой границей, по ее значениям на границе.

С. Бохнером [45] и Ф. Севери [53] были найдены дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области. Эти условия получили название касателъ- ных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CR-функциями. В 1957 году Г. Фикера [46] заменил дифференциальные условия на функцию интегральными. Несколько позже Б.М. Вайнсток [56] получил результат и для области с несвязной границей.

Результаты о продолжении Сі?-функции со всей границы области стали уже классическими и вошли во многие учебники и монографии по комплексному анализу: [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39],

Несколько иной задачей является задача о нахождении условий голоморфной продолжимости в область СЛ-функции с части границы области. Этой теме посвящена обширная литература (см., например, книги [20], [39], а также статьи [35], [36], [38], [43], [44], [47], [52]). Обычно это голоморфное продолжение осуществлялось в голоморфную оболочку множества, где задана функция.

В 1986-1987 годах вышли работы Г. Лупаччиолу [48], [49], который рассматривал эту задачу для непрерывных Сі?-функций. В статьях A.M. Кыт-манова [18], [19] эти результаты были обобщены на случай функций класса С^р (см. также книгу [20]).

В начале девяностых годов Л.А. Айзенберг и A.M. Кытманов рассмотрели задачу о нахождении условий голоморфного продолжения в фиксированную область, не являющуюся оболочкой голоморфности. В [5], [6] условия для существования голоморфного продолжения в область функции, заданной на связном куске ее границы, в явном аналитическом виде были получены для широкого класса областей, в том числе и для "усеченного" шара. В этих статьях доказана эквивалентность аналитического продолжения CR-функции и гармонического продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли от нее.

Дальнейшее продвижение в этом направлении было сделано в книге Л.А. Айзенберга [42], а также в работах A.M. Кытманова и И.А. Цих [21], [22], И.А. Антиповой [7], Н.Н. Тарханова [31], [32], [55], Л.Н. Знаменской [13],

Н.Н. Тарханова и А.А. Шлапунова [33].

В различных постановках задачу Коши для оператора Лапласа изучали С.Н. Мергелян [27], М.М. Лаврентьев [23], [24], В.К. Иванов [15], Д.Дж. Ньюман [51], В.Г. Мазья и В.П. Хавин [25], Ш. Ярмухамедов [41], А.А. Шлапунов [40] и другие.

Цель диссертации

Получить условия существования голоморфного продолжения в фиксированную область интегрируемой Сі?-функции (заданной на гиперповерхности) в виде ограничения на рост производных интеграла Бохнера-Мартинелли.

Для гладкой СД-функции найти формулы для нахождения производных от интеграла Бохнера-Мартинелли через касательные производные от этой Сі?-функции, и, как следствие, получить условия голоморфного продолжения в фиксированную область в терминах роста касательных производных от самой Сі?-функции.

Получить критерий разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа в фиксированной области на языке роста производных от потенциалов двойного слоя и простого слоя. Для гладких данных Коши из локальной разрешимости задачи получить ее разрешимость в фиксированной области в терминах роста производных локального решения.

На плоскости найти формулы, выражающие производные гармонической функции, через касательные производные от функции и от ее нормальной производной на гладкой кривой. Как следствие условие разрешимости задачи Коши в фиксированной области для гладких данных получить в терминах роста касательных производных от этих данных.

Методика исследования

В работе применяются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, математического и функционального анализа, теории потенциала.

Научная новизна

Все результаты, полученные в диссертации являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XXXV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск: НГУ, 1997); Международной конференции " Математические модели и методы их исследования" (Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1997); XXXVI Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск: НГУ, 1998); III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) посвященном памяти С.Л. Соболева (Новосибирск: НГУ, 1998); Международной конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск: Инст. выч. моделирования СО РАН, 1998); Международной конференции "Многомерный комплексный анализ" (Красноярск: КрасГУ, 2002); Международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск: Инст. математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2002); а также на городском семинаре по многомерному комплексному анализу Красноярского государственного университета (1997-2003).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах [57]-[67]. В совместной работе [64] постановка задач и идеи доказательств некоторых результатов принадлежат A.M. Кытманову, сами же доказательства проведены автором диссертации.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения и трех глав основного текста. Список литературы содержит 67 наименований. Работа изложена на 95 страницах.

Содержание работы

В первой главе приведены основные определения и известные результаты, используемые в диссертации.

Вторая глава диссертации посвящена условиям существования голоморфного продолжения Сі?-функции с гиперповерхности в фиксированную область.

Пусть 1 — область в С", граница области <9П = S класса С^к, а гиперповерхность Г имеет вид Г = {z Є Г2 : p(z) = 0}, где р Є С^Л'(7), к ^ 1, р — вещественнозначная функция и dp ф 0 на Г. Таким образом, Г является гладкой (класса С^к) ориентируемой относительно замкнутой гиперповерхностью в Q, гладко продолжающейся в окрестность U замыкания О,. Кроме того, мы требуем, чтобы Г пересекала S = дЄІ трансверсально. Рассмотрим открытое множество Q,⁺ = {z Є О. : p(z) > 0} и открытое множество l~ = {z Є Єї : p{z) < 0}. Ориентация Г согласована с 1⁺.

В работах [5], [6] рассматривалась задача о нахождении условий на CR-функцию / (определенную на Г), при которых / голоморфно продолжается в 7⁺. Эти условия связаны с гармоническим продолжением интеграла Бохнера-Мартинелли от функции / или с вещественно-аналитическим продолжением интеграла Коши-Фантаппье. В частности (для "усеченного" шара) в них приводится критерий голоморфного продолжения С7?-функции в виде ограничения на рост коэффициентов разложения интеграла Бохнера-Мартинелли в ряд по системе однородных гармонических многочленов (см. [5], теорема 5).

Пусть g((,z) — стандартное фундаментальное решение уравнения Лапласа в С". Рассмотрим внешнюю дифференциальную форму (типа (п,п — 1)) U(,z) вида: V{M = ih(-l)^k-'^^aX[k}AdC прип>1. к=\ ^

Форма U{(,,z) является ядром в интегральном представлении Бохнера-Мартинелли. При п = 1 форма U((,z) превращается в ядро Коши C((,z) =

Говорят, что функция / Є С¹ (Г) удовлетворяет на Г касательным условиям Коши-Римана, или является CR-функцией на Г, если в каждой точке d_Tf = О, где дт! — касательная составляющая df.

Для / Є Ц_ос{Г) касательные условия Коши-Римана имеют вид (см. [39], том 2, п. 66): f fdto = 0 г для всех дифференциальных форм и> типа (п,п — 2) с коэффициентами из D(n) и Г Є С¹.

Следующий результат из 2.1 диссертации следует из теорем этих работ.

Теорема 2.1. Пусть область О. = В(0,1) — единичный шар в С^п с центром в нуле, О Є П^-. Пусть f Є L^l(T) и f — СR-функция на Г. Для того, чтобы f голоморфно продолжалась в Q⁺ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ІІП1 ^llaV\Ca\d_a(n)y« _ -v«l _r«tl (ЦП) = nmx\z^al z^a = z"¹ ... z^c_ri г _a[J №U(c,z)

Эти константы d_a(n) можно вычислить явно (см. [б], с. 8) _{П rf"}^{2 dn}^~ ||_а||11«П/2 ~V|H|INI' Таким образом, данная теорема осуществляет переход от языка гармонических многочленов (используемый в [5], теорема 5) к языку производных, то есть получены условия для существования голоморфного продолжения в "усеченный" шар CR-функции / класса L^l(T) в виде ограничения на рост производных от интеграла Бохнера-Мартинелли Mf(z) — J f(()U((,z). г Основная цель 2.2 и 2.3 — получение этих условий не в терминах роста касательных производных на Г от интеграла Бохнера-Мартинелли, а в терминах роста производных самой функции /. Для этого использовалась теорема Стокса и замкнутость по ( ядра Бохнера-Мартинелли.

В 2.2 приведены формулы, обобщающие соответствующие формулы из ([20], 4). Обозначим

Введем касательный к Г оператор

Этот оператор не является комплексным касательным оператором. dz_m " J ^Dm^U(C,z) +

Предложение 2.2. Если Г Є С² и f Є С²(Г), то d(Mf)(z) ₌ / + Г2^п-¹ j4_n(Qg(C,z)d*(Q+ J g(C,z)_Pm^<4 + + / (-i)^n+m (-1)^(С)|г<ВД л dCH, Tns ^k=l fc-l я и = ^(-l)^fc+J/^dCAdC[3,fc]+ ^(-І^+'-^СЛгіф.а], fc = l,...,n.

5 = 1 S = fc+1

Параграф 2.3 посвящен CR-функциям. В этом случае формула из предложения 2.2 значительно упрощается. D_mf(C)U(C,z) ++ J Ё(-1)"^+т+^(С)^|^ед Л dC[m], г Г.

Следствие 2.4. Пусть Г Є С², f Є С²(Г), f — CR-функция на Г. Тогда d(Mf)(z)

Обозначим через с?" = - dz?¹ ... dz-n' D« = D?o.--oD?, D«r=D_mo...oD, «m раз

Приведем формулировку основного результата о нахождении производных произвольного порядка от интеграла Бохнера-Мартинелли М/.

Теорема 2.2. Пусть Г Є С, f Є С⁰⁰(Г), / — CR-функция. Тогда d«Mf(z) = JD^af(Q.U(t,z) + п ~ п <*j ^J №5 t)^rti + l +- + «» ( QSg _{х 7X4*—^lizr=kr)}^d_CW*^d_M-

Следствие 2.5. Пусть О, — единичный шар с центром в нуле, Г Є С_; / Є С(Г), / — CR-функция. Тогда d?Mf\_s=o = JD?(f)U(C,0) +

ТІ Ті ^-j + 7^ЕЕ(-¹)"⁺'"^МЕ(» + -' + a_W+--- + a„-2)!x (2) ^ ' I j=\ k = \ 5 = 1 x I d? о... о я;і-' о ^-(/) сГ¹ сйГ ~С смщ л d([j).

Таким образом, в теореме 2.1 производные, входящие в константы с_а, можно брать из следствия 2.5.

Следствие 2.6. Пусть Г Є С, f Є СГ, / — CR-функция на Г. Для того чтобы f голоморфно продолжалась в Q⁺ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (1), в котором производные интеграла Мартинелли-Бохнера вычисляются по формулам (2).

Тем самым условие для бесконечно дифференцируемых функций стало более конструктивным, чем в работах [5] и [б], так как дает возможность проверять его для различных классов конкретных гладких функций с известным поведением производных на гиперповерхности.

В третьей главе диссертации рассматриваются условия разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа в фиксированной области.

Сформулируем ее более подробно.

Пусть Q — ограниченная область в Rⁿ с гладкой (класса С¹) границей дС1, а гиперповерхность Г имеет вид Г = {(х\,... ,х_п) Є U : р(х\,... ,х_п) = 0}, р Є C^l(l), gradp ф 0 на Г. Кроме того, мы требуем, чтобы Г пересекала S — дО, трансверсально. Пусть Г делит О. на две области !Г2⁺ и П~. Ориентация Г согласована с fi⁺.

Задача Коши. При каких условиях на функции /₀ Є С¹ (Г) и /і Є С (Г) найдется функция / Є C^l(Q⁺UF) (то есть функция класса С¹ в области и она сама и ее первые производные продолжаются непрерывно на Г), гармоническая в Q.⁺ и удовлетворяющая на Г данным Коши: /|_г = /₀,

Исследованию этой задачи посвящено большое количество работ (см. [27], [23], [24], [15], [51], [25], [41]). В частности, в [40] приводится критерий разрешимости задачи для ограниченных областей. Суть его в том, что для гладкой функции /о на Г и непрерывной функции fx на Г задача разрешима тогда и только тогда, когда сумма потенциалов простого слоя от fx и двойного слоя от /о на гиперповерхности гармонически продолжается из части области Г2~, отсекаемой гиперповерхностью, во всю область Q.

В предположении, что /о и /і — суммируемые функции на Г, положим

Н*) = / (/оМ ^⁽*_п~ ^У) - Ш д(х - у)) da(y), (х Є П\Г.) где п_у — нормаль к Г, направленная в сторону Г2⁺.

Пусть JF* означает сужение Т на fi*.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда О, — единичный шар в R" с центром в нуле, 0 Є О^-. Функцию Т~{х) разложим в ряд Тейлора в некоторой окрестности 0 (это можно сделать ввиду вещественной аналитичности функции Т~{х) в От).

Обозначим через с_а=^(д^(х))

1 х=0 где а = (а_ь...,а_п) — мультииндекс, а\ - а_х\---а_п\, д" = _дх^"1_х«_п ~ производная порядка ||о;|| = а.\ + + а_п.

Теорема 3.1. Пусть О. — единичный шар в R" с центром в 0, 0 Є l~. Пусть Г Є С², а /₀ Є С¹ (Г) и fx Є С(Г) — суммируемые функции на Г. Задача разрешима тогда и только тогда, когда lim *^aty\c_a\d_a<\, (3) здесь d_a = max \х^а\, х^а = х¹ ... х"^п. и

Заметим, что в статье [40], задача Коши решается в классе L²(Q⁺), и критерий разрешимости задачи формулируется на языке специальных базисов, обладающих свойством двойной ортогональности [16]. В случае шара эти условия похожи на наши.

Далее сделан переход к производным функций /о и /і.

Напомним, что если функция ф Є С¹ (Г), то мы можем продолжить ее в окрестность Г как гладкую функцию, и мы снова обозначим ее через ф.

Пусть 7 — ограниченная область в R". Для произвольных функций ір и ф Є С¹ (Г) положим ^М'^]" ⁼ ^дх~-^фдх-' ' ^{= 1}'-'^п' г /і дф дір ^{[^Ф]"» = ^ыг}_у^{-фд^>}

Обозначим через а^(1) и Щ(1) мультииндексы, полученные из а — («і,..., a_fc,... ,а„) по следующему правилу: <**(/) = (cvi,...,cv_fc_i,/,0,..., 0); Щ{1) = (0,...,0,ад,- - l,a_k+i,...,a_n).

Для произвольных функций ip и ф Є С¹ (Г) и натурального га, 1 ^ т ^ п положим kгп5 (4) + (-¹)"^+т"¹ [Ыу);Ф(у)]_у^у[т,к].

А;>т „

Основным результатом 3.2 является следующее утверждение. Теорема 3.2. Пусть Г Є С, a f — гармоническая функция в односторонней окрестности U гиперповерхности Г, лежащей в Q,⁺, f Є С(Гии), /|_г = f₀, f =/i. Тогда r ^(*)L=„ - J К/Ы; sf(y)]_ny <МгО + P_a (/M;

П O-m-1

РЛ/Ы; g(y)) = E E (-i)^lw-^+1)l|P_m (^-^(/m)/(?/); др*^т+1)д(у)), m=l /_m=0

Р_то определено в (4).

В теореме 3.2 пришлось потребовать локальную разрешимость задачи Коши в односторонней окрестности Г. При этом получилось два вида интегралов: с множеством интегрирования Г и множеством интегрирования Г П S. Заметим, что у интегралов по множеству Г подынтегральное выражение содержит производные функций /о и /і, умноженные на фундаментальное решение g или на нормальную производную фундаментального решения.

Отметим, что теорема Коши-Ковалевской (в вещественно-аналитическом случае), несмотря на ее общий характер, гарантирует существование и единственность решения лишь в достаточно малой окрестности Г. А в данном случае ищутся условия на функцию, которые гарантируют гармоническое продолжение функции в заданную область.

Как уже отмечалось, теорема 3.2 доказана в предположении локальной разрешимости задачи Коши. Чтобы избавиться от этого условия, нужно перейти к касательным производным от гармонической функции и от ее нормальной производной.

Эта задача для случая двух переменных решена в 3.3: приведена формула для нахождения производных гармонической функции через касательные производные от функции и от нормальной производной этой функции, доказана разрешимость задачи Коши в фиксированной области в терминах роста касательных производных данных Коши. В этом случае касательное и нормальное векторные поля определяются однозначно, что позволяет также однозначно получить формулы для нахождения касательных производных. Пусть Г Є С кривая в Q С М² вида:

Г = {(х_их₂) Є fi : р{х_их₂) = 0}, gradp ф0 на Г.

Обозначим через

Рассмотрим касательное векторное поле С на Г: _г д д

1---92- « Р\ дх,\ дх₂ и нормальное векторное поле — на Г: д д д = р\ -х h Р2 дп дх,\ " дх₂

ПОЛОЖИМ 77),1, ТП2 Є N, 771 = (777_Ь777₂) МуЛЬТИИНДвКС, ||ш|| = ГП₁ + 7П₂.

Следующая теорема является основным утверждением 3.3 и дает рекуррентную формулу для нахождения производных от Т(х) произвольного порядка.

Теорема 3.4. Пусть Г Є С, /₀, /і Є С⁰⁰(Г). 1. Пусть т₂ — нечетное число. Тогда

ДГЯ*)1„о = (-i)"^m"⁺⁼^ х (е)

/ (d-d* (/; (л *') я(») - Г' (л «!,) fj¹) -

Г" \ <^s—1 m||+l

Е (-¹)* (5 (л (р. ^!'о"^!+' - л <*"¹⁺¹)) «(»)-

5 = 1 - ,-' (л (* *Г - ft «№')) |^)) 1)^{1-1 c}v^x(л^р") ґш) s=l \i=l V дп_у J ₊ ^_{_₁у-Кс^(_І1.р^).С_Г^(^д-іЩ s=l \ i=l s-1 + E E(-¹)^t_1 4^_1 (/ (pi ^^ll+1 - p₂ *^ll+1)) ^сґш) + p-D- - - (/„ (_Pl pJL1!⁺¹ - й oE*')) *-'" (¹)

2. Пусть то — четное число. Тогда D"?WI,=, = (-l)^ll*^!?x D-D' (і; (л дй«) ₉(») - - (л «,,) ^) -

IMI+1

Е (-D* (<Ч (Л (л <*"¹⁺' + л *^И)) »(»)- - _Г' (/„ („ q'J*¹ + ft - і*У)) ^d-ff) )

IMI+i / ^ _{- Е(Е(-}¹_г¹_-г¹₍^/і_-*")-г⁽_{^)) +} (-1)- 4- (/, oKi,). c;->-< (Ш)

IMl+i / s _{+ E E(-}¹₎^t_1 _чг¹ _{(л (* *"}⁺¹_+* ^p_i!o^n|l+1_{)) еґш)}

5=1 \ 1 = 1 + g(-i)'- с;-¹ (л (p. - «Hi¹ + ft *Г)) - с-'"¹ ( Ql,o = P2, <Й,і=рі, (IHI = *)» |m||-l ^||m||-l /лІІтІІ-1 Qolo = Q-i о = Q-i'i = (cp^tw нижних индексов ^ 0),

Im||-1 ^llm||-l Q "|' = Q ' _г = 0 (сумма нижних индексов больше верхнего индекса). _П1Н1 _ ^d [_П\Н\-Л „ _П\\т\\-1 , _{п П}\\т\\-1 , Чз,0 - -q— \Чз,0 ) - Pi Ч3-2,1 + Р2 Ч s-1,0 +

Im||-1 + Pi Е ^С'-\ <№ ^С" W' _ПІНІ _ (_П\\т\\-А , _{л П}1Н|-1 , „ . O^llm|l_1 4-Ч 3-1,1 - -Q— \Ч s-1,1 ) + Рі Ч s-1,0 + Р? Ч 3-2,1 + |т||-1 д дх₂ р\Н\ _ ^д /_ПЦт||-1\ . _ПЦш||-1 _ПІІН|-1 , ⁵' ^_ дх~ \ ' / ~~ ^e-1,0 ^_ Р2 Vs-2,1 + llmll-1 + Р2- Е c-j-g^-r-w), pIMI _ ⁵ /7)1Н1-Л _{п п}\Ы\-1 , . _п1Н|-1 ^-1,1 - о^Г ^e-1,1 J ~ Р¹ Чз-2,1 + Pi Ч s-1,0 +

IHi-1 + />₂- Е с^дДд¹-^(^), s = 1,... , ||т||; ||га|| = ті + га₂ ^ 2.

Таким образом, в теореме 3.1 константы с_а можно найти, используя теорему 3.4 (следствие 3.7).

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получены условия существования голоморфного продолжения в фикси рованную область интегрируемой Сі?-функции (заданной на гиперповерхнос ти) в виде ограничения на рост производных интеграла Бохнера-Мартинелли.

2. Для гладкой СД-функции найдены формулы для нахождения произ водных от интеграла Бохнера-Мартинелли через касательные производные на гиперповерхности от этой CR-функции, и, как следствие, получены усло вия голоморфного продолжения в фиксированную область в терминах роста касательных производных от самой Сі?-функции.

Получен критерий разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа в фиксированной области на языке роста производных от потенциалов двойного слоя и простого слоя. Для гладких данных Коши из локальной разрешимости задачи получена ее разрешимость в фиксированной области в терминах роста производных локального решения.

На плоскости найдены формулы, выражающие производные гармонической функции, через касательные производные от функции и от ее нормальной производной на гладкой кривой. Как следствие условие разрешимости задачи Коши в фиксированной области для гладких данных получены в терминах роста касательных производных от этих данных.

Известные результаты о голоморфном продолжении

Пусть Г2 — область вС,а гиперповерхность Г имеет вид Г = {z Є 1 : p(z) = 0}, где р Є Ск(1), к 1, р — вещественнозначная функция и dp ф 0 на Г. Пусть n(z) — единичный вектор нормали к Г в точке z Є Г, направленный в сторону возрастания функции р. Тогда для любого компакта К С U найдется такое е0 0 что для всех є, 0 є єо точка z-\-en(z) Є f2+, а точка 2 - en(z) Є П , z Є Л . Определим классы Я(0±) гармонических функций в , имеющих конечный порядок роста при подходе к Г, следующим образом: / Є Я( ±), если для любого шара 5(z,r) с центром в точке z Є Г радиуса г найдутся константы с 0 и т 0, для которых Хорошо известно (см. например [28], [54]), что если Г Є С, то функция / Є H(Q+) определяет на Г некоторое распределение (обозначим его через [/]о) следующим образом: для любой функции ер Є D(T) (через D(F), как обычно, обозначается класс бесконечно дифференцируемых функций с носителем, компактным в Г) где da — мера Лебега (элемент поверхности) на Г, a (fo,(p) — значение распределения /о Є D (F) на элементе (р. Продолжим / гладко в окрестность Г и это продолжение обозначим снова через /. Пусть функция / удовлетворяет на Г касательным условиям Коши Римана, или, короче, является CR-функцией на Г, если в каждой точке С Є Г где дт/ — df—d f — касательная составляющая df, a d f = А др (А Є С") — нормальная составляющая df.

Хорошо известно, что касательный оператор дт от функции / определяется лишь ее значениями на Г и не зависит от способа продолжения в окрестность (см. [39], Т. 2, п. 31). Касательные условия Коши-Римана (1.4) эквивалентны каждому из следующих соотношений (см. [39], том 2, п. 31, теорема 1): в любой точке С Є Г А я; л о n df dp df др а) дт Л др = О, то есть — = =— -=- = 0 для всех /га, к = 1,... , га, б) —; = 0 для любого комплексного касательного направления и, в) сужение формы d f Л dz = 0 на Г, где cb = dz\ Л ... Л dz„. Для / Є (Г) касательные условия Коши-Римана примут вид (см. [39], том 2, п. 66): J fdco = 0 г для всех дифференциальных форм и типа (га, га — 2) с коэффициентами из D(n) и Г Є С1. Если же Г Є С и / Є -О (Г), то выполняется условие ди Покажем, что функция класса С. Действительно, так как со есть da _ форма типа (га, га — 2), то дсо есть форма типа (га, п — 1). Пользуясь леммой 1.1 найдем сужение формы дсо на гиперповерхность Г — это функция класса С (так как Г Є С), умноженная на элемент поверхности da. Отсюда вытекает, дсо что функция класса С. da При п = 1 любая функция / является Сі?-функцией. Нас будет интересовать вопрос, когда Сі?-функция / голоморфно продолжается в Г2+. Голоморфное (или гармоническое) продолжение с гиперповерхности Г рассматривается в слабом смысле, то есть должна существовать функция F Є #()+) такая, что [F]0 = / на Г и F голоморфна в П+. Аппроксимируем 1 изнутри последовательностью ограниченных областей Qs, то есть Q = U ljfis, fi, С Sls+i- Пусть tps Є D(Sl) и ps = 1 на 12s. Распределение fips Є -О (Г) при действии на ядро Бохнера-Мартинелли U((,z) (относительно С) определяет преобразование Бохнера-Мартинелли M(fips)(z), z ( Г, гармоническое по z. Обозначим M+(f fs)(z), если z Е П+ u M (fips)(z), если 2 Є fl". Длл функций / Є Ll(T) можно рассматривать просто интеграл Бохнера-Мартинелли

В частности, Mf(z) — гармонические функции в 0і. Обозначим их через Теорема 1.2 ([5], теорема 4). Если Г Є С и f — CR-распределение на Г, то для того, чтобы f голоморфно продолжалось в Г2+ (до функции F Є H(l+)), необходимо и достаточно, чтобы преобразование Бохнера-Мартинелли M ( psf) продолжалось до гармонической функции в ls для всех s. Если Г Е Ск+2п+3, к 0, то теорема верна для СR-распределений сингу 2п-1 + 3, то лярности к. Если Г Є Ск, а CR-функция f Є Ц0С(Г), р 1, k р голоморфное продолжение F будет удовлетворять условию: для каждой точки z Є Г найдется шар B{z,r) С Q, для которого кроме того, F(z + en(z)) — f(z) при є — +0 в точках Лебега функции f. Наконец, если Г Є С2 и CR-функция f Є С (Г), то ее голоморфное продолжение F будет непрерывно вплоть до Г. Если распределение / определяет непрерывный функционал на ограниченных (вместе со всеми производными) функциях класса С(Г) (то есть если / Є О 0(Г)), то справедливо Следствие 1.1 ([5], следствие 4). Пусть 1 и Г удовлетворяют условиям теоремы, a f — CR-распределение класса О 0(Т) (в частности, f Є - (Г), р 1). Для того чтобы f голоморфно продолжалось в Г2+, необходимо и достаточно, чтобы преобразование Бохнера-Мартинелли M f продолжалось до гармонической функции в Q. Теорема и следствие говорят о том, что СД-функция / голоморфно продолжается в ту область Г2+, в какую гармонически продолжается интеграл Бохнера-Мартинелли М /. Пусть теперь Q = В(0,1), область 1 содержит 0. Рассмотрим вопрос, когда интеграл Бохнера-Мартинелли M f гармонически продолжается в П. Рассмотрим в 7 множество однородных гармонических многочленов, которое образует полную ортонормированную систему функций в пространстве L2(dQ) относительно меры Лебега da. Обозначим эти многочлены через PktS, где к — степень однородности многочлена, к = 0,1,2,..., а д — номер многочлена степени к, входящего в базис, s = 1,2,..., (см., например, [30], гл. 10). Пусть — оператор Ходжа относительно формы объема dv в С" (свойства этого оператора можно найти, например, в [34]). Лемма 1.2 ([5], лемма 2, с. 502). Если Pk s — полная ортонормирован-ная система однородных гармонических многочленов в L2(dQ), то для ядра Вохнера-Мартинелли имеет место следующее разложение: где ряд в (1.5) сходится равномерно внутри области {(z,Q Є С2гг : ( \z\}. Рассмотрим функцию / Є (Г) (или / Є О 0(Г)), тогда из (1.5) следует, что Таким образом, коэффициенты разложения М f в ряд по системе {Pk,s} имеют вид причем ряд в (1.7) сходится равномерно в некоторой окрестности нуля. Ориентация Г согласована с ориентацией fi+, если же ее согласовать с Г2 , то знак "минус" в (1.6) исчезнет (см. [5], с. 503-504). Теорема 1.3 ([5], теорема 5, с. 504). Пусть Q, = ?(0,1) — единичный шар с центром в нуле, Г Є С, f Є Ll(T) (или f Є О 0(Г)) и f — CR-функция на Г. Для того чтобы f голоморфно продолжалась в l+, необходимо и достаточно, чтобы где akiS заданы формулами (1.6). Если известно, что Г Є С2 и f Є. С (Г), то соответствующее продолжение принадлежит C($l+ U Г).

О сходимости кратного степенного ряда в n-круговой области

Напомним известные понятия, связанные с рядами. Пусть z Є С". Рассмотрим кратный степенной ряд 8) называется о открытое ядро S множества S точек z Є Cn, е которых этот ряд сходится. Далее напомним некоторые простейшие области в С". Определение 1.2. Поликруг (или полицилиндр) радиуса г с центром а Є С" определяется как множество точек U(a,r) = {z Є С" : \zv — а„\ г, и = 1,... ,п}. Определение 1.3. Области Рейнхарта (или п-круговые области) с центром в точке а Є С 1 есть области, обладающие следующим свойством: вместе с каждой тонкой z = (z,... ,г) области принадлежит и любая точка z = (zt,... , zn), для которой z„ = av + (z - а„)еіві , 0 Qv 27г. Определение 1.4. Область Рейнхарта с центром в а называется полной, если вместе с каждой точкой z = (2,... , zrJ ей принадлежат и все точки z = (zi,... ,zn), для которых \z„ — а„\ z — а„\, v — 1,... ,п. Очевидно, что шары и поликруги являются полными областями Рейнхарта. Теорема 1.5 ([39], том 2, с. 47, [8], [14]). Ряд (1.8) абсолютно сходится в единичном поликруге U = {z : \zu\ 1, и — 1,... , п} тогда и только тогда, когда Замечание 1.1 ([14], с. 187, [8]). При любом п 1 внутренности множеств точек сходимости и абсолютной сходимости ряда (1.8) совпадают. Введем последовательность чисел Теорема 1.6 ([9], с. 143, [1]). Для абсолютной сходимости ряда (1.8) в ограниченной полной п-круговой области О, необходимо и достаточно, чтобы ряд абсолютно сходился в единичном поликруге с центром а. Везде в главе 2 будем считать, что О, — область в С", граница области д1 — S класса Cfc, а гиперповерхность Г имеет вид Г = {г G ft : p(z) = 0}, где /з Є Ck(Q.), к 1, /з — вещественнозначная функция и dp ф 0 на Г. Таким образом, Г является гладкой (класса Ск) ориентируемой относительно замкнутой гиперповерхностью в Г2, гладко продолжающейся в окрестность U замыкания П. Кроме того, мы требуем, чтобы Г пересекала S = дО, транс версально. Рассмотрим открытое множество Г2+ = {z Є Q : p{z) 0} и открытое множество Or = {z Є Гі : p(z) 0}. Ориентация Г согласована с Q+. В работах [5]-[6] (см. 1.2 диссертации) рассматривалась задача о нахождении условий на Сі?-функцию / (определенную на Г), при которых / голоморфно продолжается в Q+. Эти условия связаны с гармоническим про-должением интеграла

Бохнера-Мартинелли от функции /. Следующий результат непосредственно следует из теорем этих работ. Пусть сначала область Г2 = В(0,1) — единичный шар в Сп с центром в нуле, 0 Є Гі . Рассмотрим вопрос, когда функция Ш f гармонически продолжается в 17, где / — CR-функция класса Ll(T). Так как М f вещественно аналитическая функция в некоторой окрестности 0, следовательно, в этой окрестности ее можно разложить в ряд Тейлора Введем обозначения Таким образом мы доказали следующее утверждение Лемма 2.1. 2?с/ш Q" содержит 0, f Є (Г), ото для интеграла Бохнера-Мартинелли M f Это рассмотрение позволяет конструктивно выделить в интеграле Бохнера-Мартинелли его голоморфную и неголоморфную части. По лемме 2.1 функция М f в некоторой окрестности нуля разлагается в ряд (2.1). Далее Сумма полученного ряда V(M f)(z,z) гармонична в Q, поэтому этот ряд сходится в 1. Из леммы Абеля для одномерного случая (см. [39], том 1) вытекает, что для любого z из Q ряд сходится равномерно по t на отрезке [0,1]. Тогда по хорошо известной теореме из анализа ряд также сходится равномерно на [0,1] и сходящийся в 1. Его сумма — неголоморфная часть в интеграле Бохнера-Мартинелли, а сумма ряда — голоморфная часть. Предложение 2.1. Пусть f — CR-функция. Гармоническое продолжение M f из окрестности нуля во весь шар fi = В(0,1) существует тогда и только тогда, когда существует гармоническое (и, следовательно, голоморфное) продолжение его голоморфной части, задаваемой рядом (2.3). (Сравни с [б], предложение 1). Если голоморфная часть М f гармонически продолжается из 1 в 12, то ряд (2.3) сходится в 12. И обратно, если сходимость в 2 есть, то голоморфная часть М f гармонически продолжается из Q в 2. Ответ на вопрос о сходимости ряда (2.3) в шаре 12 вытекает из теоремы 1.6, теоремы 1.5 и замечания 1.1. Использую эти утверждения, мы получаем, что ряд (2.3) сходится в шаре 12 тогда и только тогда, когда

Производные от интеграла Бохнера-Мартинелли М~ f

Предложение 2.1. Пусть f — CR-функция. Гармоническое продолжение M f из окрестности нуля во весь шар fi = В(0,1) существует тогда и только тогда, когда существует гармоническое (и, следовательно, голоморфное) продолжение его голоморфной части, задаваемой рядом (2.3). (Сравни с [б], предложение 1). Если голоморфная часть М f гармонически продолжается из 1 в 12, то ряд (2.3) сходится в 12. И обратно, если сходимость в 2 есть, то голоморфная часть М f гармонически продолжается из Q в 2. Ответ на вопрос о сходимости ряда (2.3) в шаре 12 вытекает из теоремы 1.6, теоремы 1.5 и замечания 1.1. Использую эти утверждения, мы получаем, что ряд (2.3) сходится в шаре 12 тогда и только тогда, когда Для единичного шара с центром в нуле da(Q) вычислено явно (см. [6], с. 8) Теорема 2.1. Пусть Єї = Б(0,1), / Є Ь!(Г) u / — CR-функция на Г. Для того, чтобы f голоморфно продолжалась в Q,+ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (2.4), где В этом параграфе производные с фундаментального решения будут "переброшены" на саму функцию (сравни книгу A.M. Кытманова [20]). Пусть 2 — область в С", удовлетворяющая условиям предыдущего параграфа. Везде в дальнейшем для / Є С (Г) предполагаем, что / продолжена в окрестность Г как функция класса Ск (по известной теореме Уитни). Это продолжение мы будем обозначать снова через /. Лемма 2.2. Если f Є С1 (Г), то производную функции Mf можно найти по формуле Отметим, что каждый из интегралов, входящих в правую часть формулы (2.5), может зависеть от продолжения / в окрестность Г. Но сумма этих интегралов от такого продолжения не зависит. Доказательство. Г Воспользовавшись формулой Стокса для Г и ее границы Г П S и тем, что g((,z) — гармоническая функция, получим исходное утверждение. Следствие 2.1. Пусть п = 1. Если f Є С1 (Г), то производную функции Mf можно найти по формуле dMf fdf fdfdg ,7,((.dg\ (,dg\ . г г ч q где — начальная, г/ — конечная точки пересечения V с О,.

Пусть теперь 17 — произвольная область, а Г — гиперповерхность класса С2, р Є C2(tt). Обозначим Рк др 1 Рк = Рк д(к gradp Тогда из леммы 1.1 получим сужение форм d([k) Л d( и d([k] Л d( на Г в следующем виде: d([k] л rf( dCM Л d( (2.6) = 2n-lin{-l)n+k-lpkda, = 2n-4n(-l)k-1p1:d(T. Умножим левую и правую часть первого равенства в (2.6) на р , а второго — п п на / и просуммируем каждое по к от 1 до п. Учитывая, что Y2 ркр = pfcp Л;=1 к=1 аР grad/?2 дС = 1, получим п da = 2 4-- (-1) -1 ] А;=1 ті = 2 - ,(-1) 1 ] Л dC А.-1 Лемма 2.3. Пусть для z Є ДГ ( ) = :-2 1 J f(Qg(Cz) dcr(() потенциал простого слоя, тогда дФ(г) дг = -JfPmU((,z) + « /m—1 + У (E(-1)B+m+fc ,m]AdC + ГП5 + Ё (-i)n+m+ -VCK к] A d() /(С)Р(С, z). k=m+l / k=m+l Доказательство. Имеем 4 = i:[ -lJ/ = г = Ёыг+к fpkf dak]Adc = «.-=1 / uw = (-1) 1 / fPu)gdC\k\ Л С + fc=l + (-l)n+ /" J-(/PSf)dC[fc] Л d(. г fc=i 9( Если fc m, то (/P sO dC[m, k] A d( = (-1)- -5-(/ ) сіф] Ad( + OC,k (-l)B+fc o) dC[fc] Л d( = (-1) -(/ ) d([m] Л dC + + (-1)п+ +т-Ч/ЯйО СК А;] Л d(. Если к m, TO d(fp0)dC[k,m]AdC = (-l)k l- r{fp-kg) dC,[m} A dT, + O k + (-l)m4-(// )dC[fe]AdC, (-i)n+ -(// )rfC[fe]Adc = (-ir-(/ffij)rfCHAdC + + (-1)п+Л+тгі(// )гіС[А;,т]ЛгіС. Если к = т, то (-l)n+ -(// ) dC[A:] Л = (-1)-+ (/ ) dC[m] л d(. ms (Здесь была использована формула Стокса.) Учитывая, что Таким образоіу і, fc=i f m = (-i)n+m Ё / -(- ) dCH л rfc + + 771—1 «A,—1 p + E (-І)"4- 4--1 у d(fPl:g) d([m, k] AdC =k=m+l p = (-i)n+mE f J-(te) CNAdc + + (-i)n+m Ё / нопЩг N л +n, =l p + 777—1 лfnS + E (-l) " -1 У /Pfc(/dC[m,A:]AdC.k=m+l — (-1 Г" у /(с) Mil d([m] AdC = Р fc=i & — # /1 ,// /// Л / /-»A =1 2"-1 I f(0PmJ2Pkd-% da=- f f(OpmU(C,z), получим cM (z) // mtf(C, ) + Г + Ё f ft-1)" -1 яг (tar) rfCW л dC+ ,=i P + {-i)n+m- -UPk) dCH л dc) Ж, ) + ,. /m — 1 + у (X)(-1)n+m+fc/fcdC[ m]AdC+ rns + E (-ir+ - dcKfejAdc лсжс ) A;=m+1 П Следствие 2.2. Пусть n = 1. Для z Г Ф(г) = г / f{()g{(,z)da(0 — потенциал простого слоя. г Тогда дФ Г = -// (% ). Г Предложение 2.2. Если Г Є С2 и f Є С2(Г), то 3 т J \ д(т Э(к J + г-2-1 J фпШС, z) da(Q + J g{C, z)pm ]Г Ш + ms + /(-l)"+mE(-l)V(C) ;ciC[A;]AdCN, ms k=l где Ф un Ы {-wPmPv PktKs (жртр )) к —l n 5 (-l)fc+ /M?AdC[s,fc]+ E (-l)fc+ "WCAdC[fc,5], fc = 1,... ,n. s=l 5=/.-+1 ЄЛНОТЕА; Доказательство. Преобразуем в формуле (2.5) второе слагаемое. Ввиду того, что d( Л d([m] = (-l)n{n l\l([m] Л dX, = d([m] Л d( и = -- , и воспользовавшись (2.6) и леммой 2.3, получаем J Ь acL дск ч Г Л_ » п к=\ = г"2"-1 Ё #- / ЩР-р мо = г 3 %ь №;(1РтЛ))г(с гМа(с) + к=\ \s=\ ms / п / к—\ Е Et-1)" і і \ і + Е (-Vn+k+S-WC[k,s] Ad( ) pmg((lZ). s=k+\ П Следствие 2.3.

Пусть n = 1. Если Г Є С2 и / Є С2(Г); mo справедливы формулы dMf /g-4)««4( t).-( »J "» г ч 2.3. Условия голоморфного продолжения CR-функции df(() dftt) Пусть / — Cft-функция, то есть pj—=— = pj:—=— для всех k,s = 1,... ,7i. Тогда в (2.7) второе и третье слагаемые равны нулю, так как V д (df(Q \ А д (df(Q \ = & % 1ж"Н "/% ЬсгИ / /9/(0 0/(0 \\ Фг м=1 ас, Г! v ас, № с ,, ,=1 А: ,=1 e=l 0( k ,=1 s=l s n ,-1 EE(-D- » - ШЇ) dCArffl., ] =o. Таким образом, получаем Следствие 2.4. Пусть Г Є С2, / Є С2(Г); / — CR-фунщия на Г. Тогда d(Mf)(z) Г (д№ А ДС)\ .... , , + J Ё(-1)"+т+ 7(С) Ф] л dCN, г г. ГП5 fc=1 Выберем функцию /9 так, что grad/o = 1 в окрестности Г, то есть р = dp dp -—, а р-п — -=г-. Это всегда можно сделать для гиперповерхности Г класса ас, ас, С2 ([11], 2; [12]). Введем оператор Dm = -er-pm ZpkW-. (2.9) ac,m ,=i asfc Покажем, что Dm — касательный оператор, то есть Dm(p) = 0. Действительно, Dm{p) = — рт 2_ Рк- Г= Рт - Рт 2 РкРк = т k=l к=1 п так как ркрк = graclp2 ввиду того, что р — вещественнозначная функция. В то же время Dm не является комплексным касательным оператором. Например, Dm(zm) = 1 ф 0, в то время как комплексный касательный оператор на любой голоморфной функции равен 0. Лемма 2.4. Для любой СR-функции f справедливо тождество

Производные от функции Т(х)

Дальнейшей целью является получение условий (3.4) не в терминах роста производных суммы двух ньютоновых потенциалов, а в терминах роста производных функций /о И /і. Сначала приведем формулы для производных первого порядка. Напомним, что если функция ф Є С 1 (Г), то мы можем продолжить ее в окрестность Г как гладкую функцию, и мы снова обозначим ее через ф. Пусть 17 — ограниченная область в Rn. Для произвольных функций /? и ф Є С1 (Г) положим Хорошо известно, что для любых функций /о Є С1 (Г) и /і Є С (Г) су-ствуе-; /1г = /о, дп ществует функция / Є С1 (U) (где U — некоторая окрестность Г), такая, что г В этих обозначениях функцию Т вида г можно записать в форме: Лемма 3.1. Пусть Г Є С2, a f Є С2(Г). Тогда производную функции Т{х) можно найти по формуле дТ{х) дхт df(y) дут ; д{х - у) da{y) + + (-1Г/Е -2/) d2/H + + E(-1)"+m / Ші 9(х - у)Ъ„ ml + m ГП5 + E(-1)"+W_1 І ШУ); д(х - y)]Vh Мл є Аі\ ГП5 Доказательство. Имеем dT{x) дх,п df(y) дут ; g{x-y) g— [f(y)\ g{x-y)]nyda(y). Поскольку If ЬЛ 9(x - У)]пу da(y) = E(-1)" 1 [/(У)! № L W fc=i d[/l $L dy[fc,m] = (-I) "1 A[/; dj,[m] + (-l)"1- - [/; g] dy[k), Ук дУг дук то дТ{х) дхт дут ; д{х - у) da(y) + + (-іг / Е Ъу к ш-, ( - )1у N + + E("1)"+m [ d{f(y);g(x-y)}ykdy[k,Tn} + к Kin + Е(-1)Л+т"1 I Ш\ s( -у)]№ [m,Ar], я; Є П\Г. fc m Так как " д п ( д2а д2 f\ " d2g ид — гармоническая функция в R", то есть 2_, тгт = 0, а также воспользо вавшись формулой Стокса, получим исходное утверждение. Из леммы 3.1 и определения гармонической функции вытекает следующее утверждение. Следствие 3.1. Пусть Г Є С2, a f — гармоническая функция в некоторой односторонней окрестности U гиперповерхности Г, лежащей в Q+, и / Є С2(Г U U). Тогда производную функции Т(х) можно найти по формуле дТ(х) дх7 ОУт о!а{у) + + E(-1)"+m / [/(y); -y)U ,m] + ГП5 + E(-1)"+m_1 / [/(2/); 9{ - У)\Ук dy[m,kl х Є П\Г. k m ГП5 Перейдем к нахождению производной произвольного порядка от функции Т(х). Обозначим через а±(1) и Щ(1) мультииндексы, полученные из а — («і,..., ак,..., ап) по следующему правилу: «А (0 = (ai,...,a _i,f,0,...,0); Щ(1) = (0,...,0, - l,ak+i,...,an). Для произвольных функций tp и ф Є С1 (Г) и натурального га, 1 т п положим Я»Му);Л)) = (-і) +т / Ш\ФШУк У[к,т] + TnS (3.5) + (-i) +m-1 f Ш\№\У№Л к т fnS Теорема 3.2.

Пусть Г Є С, a f — гармоническая функция в односторонней окрестности U гиперповерхности Г, лежащей в 1+, и f Є C(TUU), f\r = fo, 9n df J =/i. Тогда г 0 ( )L=o = і К/Ы; g(y)]n МУ) + P« (/Ы; g(y)), (з.б) где n am-1 M/M; g(y)) = E E (-1)11 1 ( (/т)/(у); з?га( га+1) Ку) m=l г„,=о Pm определено в (3.5). Доказательство проведем методом математической индукции. Предварительно заметим, что ду9{х-у)\х=0 = дауд{у). (3.7) При а = 1 из следствия 3.1 и в силу (3.5), (3.7) получаем истинное высказывание: дТ{х) дхг х=0 df(y) . дут (У) Му) + РтШ;з(у)) Предположим, что (3.6) верно для произвольного мультииндекса a : cv = р, р Є N. Найдем производную порядка р+1 функции Т{х). Пусть р = (А,.. .,/?„) : \Щ\ = р + 1, a 7V Є N, 1 N п : /3N ф 0, fa = О Vj N. Тогда д д двхНх) дхм d»Nil)T(x) = дхк д дх dM)f{y);g{x-y)\ da(y) + N dxN PN{ Так как по следствию 3.1 д + яГ тШ; -?)). хеП\Г. dMl)f(y);g(x-y) da(y) = [def(y);g(x-y)]nda(y) + +PN(df3 f(yy,g(x-y)), хЄП\Г, а непосредственной проверкой легко убедиться, что д „ „ ( ., s дд(х-уУ dxN дум дд{х-у) p] (i) (/(У); д(х - У)) =- Рш) (/Ы; Ры(д »МКуУ,д(х-у)) - fe(1) (/(у); получаем d0xT(x) = J [d f(y); g(x - у)]пу da(y) + Рр (f(y); g(x -у)), хЄ П\Г. г Отсюда и из (3.7) получаем (3.6) при а = ft. Итак, предположив, что (3.6) верно для ft : \\ft\\ = р, мы доказали, что оно верно и для ft : \\ft\\ — р + 1. Таким образом, методом математической индукции теорема доказана. Следствие 3.2. Пусть п = 2. Если Г Є С, а / — гармоническая функция в односторонней окрестности U кривой Г, лежащей в П+; и f Є С(Ги7), mo справедливо г «і —і 9 ( )U = J№f{y)\9{y)]nvMy) + + , V /_ \«i+tt2-l «2 — dlf(y) d -l-l+ g(y) г/2/ L ад dyr-l-idy? +700. d -l-lg{y) i=0 г/і/ где — первая, г/ — вторая точки пересечения Г с 1, а = (о і,а2). Далее для удобства рассмотрим (п + 1)-мерное евклидово пространство Rn+1, а его точки обозначим через х = (a?i,... ,х„,жп+1), ж,- Є R, г = 1,... ,гг,г?, + 1. Пусть оператор Ду равен д2 ЭД+1 АУ = АУ где Ду = - т + + jpr + -$ оператор Лапласа в Rn+1. Тогда в этих обозначениях для гармонических функций имеем о д Д„ = У dfn+l Рассмотрим в качестве Г гиперплоскость Г = {х Є Rn+1 : xn+l = const 0} П ft, (3.8) ft — единичный шар в Rn+1 с центром в нуле. Следствие 3.3.

Пусть Г имеет вид (3.8), a f — гармоническая функция в односторонней окрестности U гиперповерхности Г, лежащей в ft+, и f Є С(Г U U), удовлетворяющая на Г данным Коши (3.1). Тогда производную функции Т(х) можно найти по формуле do(y) + C WU = (-I) J [$] $" 0) fs№ 9(У) г + PVat0) (f(y); $0 »g(y)) + + E(-l)/3-[ -i x Pn+1 (4 ] д Ш; 0 +1 g(y)) , i=o x Є П\Г, где (la,/3) = (сі Ь ... ,an,/3) — мулътииндекс; [b] — целая часть числа b, а L2 0, если а четное. 5а = а — 2 об! 1, если а нечетное, Доказательство следует из теоремы 3.2 и того, что АМ = V _ __f)(2k1,...,2kn) г-, ki+-+kn=M д Яу) = д о д f(y) = (-l)[fl ДІІ] д /ф), где VM Є N fci!...fcn! у Рассмотрим R2, а его точки обозначим через х = (жі,ж2), ж,- Є R, г = 1,2. Оператор Ау равен л -л д2 - д2 У У ду1+1 дуГ где Ау = --2 + -j — оператор Лапласа в R2. Тогда в этих обозначениях для гармонических функций имеем У дуГ Пусть О. — единичный круг вМ2с центром в нуле, а Г — прямая вида Г = {жЄОсМ2:і2 = с 0}. (3.9) Следствие 3.4. Пусть Г имеет вид (3.9), a f Є С(Г) — гармоническая функция в односторонней окрестности Г, удовлетворяющая на Г данным Коши (3.1). Тогда производную функции Т{х) можно найти по формуле дУі да+(3Т(х) дх?дх% х=0 = (-ІДО o+2[f] ; g{y) da{y) + «-1 + (-1) 1=0 +/3-/-1 dlf(y) d«-l- g(y) [ ду\ дуГ дуї + da+2WfSl(y) &-1-1д{у) /3-1 «+2Ш dytl l + x -iy9- -1- ] V\ ) где —T), 7] — левая и правая соответственно точки пересечения Г с окруж ностью S = д1, г] = у/1 — с2 + ic, с 0. Таким образом, благодаря теореме 3.2, необходимые и достаточные условия гармонического продолжения гладких функций, удовлетворяющих на гиперповерхности данным Коши, в фиксированную область можно сформулировать в терминах роста производных от самой функции. Следствие 3.5. Пусть Г Є С00, a f — гармоническая функция в односторонней окрестности U гиперповерхности Г, лежащей в 1+, удовлетворяющей на Г данным Коши (3.1), и / Є С(ГиС/). Для того чтобы f гармонически продолжалась в 0,+ необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3.4) с коэффициентами (3.3), где д"Т(х)\х=0 вычисляются по формулам (3.6). Неудобство полученного утверждения состоит в том, что оно предполагает локальную разрешимость задачи Коши в некоторой односторонней окрестности гиперповерхности. В случаях, когда Г есть гиперплоскость (следствия 3.3, 3.4) легко избавиться от этого недостатка и получить условия в терминах роста касательных производных самих данных Коши. Дальнейшей задачей является перейти к касательным производным от функции и от нормальной производной этой функции в случае, когда Г — произвольная кривая класса С.

Похожие диссертации на Об условиях голоморфного и гармонического продолжения функций в фиксированную область

Продолжение дифференцируемых функций из областей с нерегулярной границейСитников, Валерий Николаевич

Cm-продолжение субголоморфных функций с замкнутых областей в СЗорина Ольга Александровна

Достаточные условиях однолистности аналитических функций в круговых областях и их применениеАрсланов, Фарит Халилович

Условия голоморфности функций многих комплексных переменных, связанных с группами преобразований областиСеменов, Александр Михайлович

Интегральное представление субгармонических функций в областях с некомпактными границамиСатторов, Эрмамат Норкулович

Замыкание, минимальность и базисность некоторых систем рациональных и трансцендентных функций в угловых областях Григорян Шушаник Акоповна

Весовые Lp-оценки аналитических и гармонических функций в односвязных областях комплексной плоскостиТкаченко Наталья Михайловна

Теоремы об интерполяции функциональных пространств функций, определенных в многомерной областиЯхья Халиль Хассан

О восстановлении в звездных областях голоморфных и квазианалитических функций по их значениям на множествах единственностиЗнаменская, Людмила Николаевна

Приближение аналитических функций полиномами в заданной областиМурадов, Вагиф Мехман оглы