Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Однако, если по теории классов Харди в течение почти векового исследования получены результаты практически исчерпывающего характера, то ряд центральных задач теории классов Бергмана все еще ожидает своего решения.
Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению. Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.
Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И.И. Привалова , А.Н. Колмогорова и М. Рисса об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.
Приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, для этого введем необходимые обозначения и определения.
Пусть S = {z є С: |z| < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С,
T = {zeC:\z\ = 1} - его граница;G - некоторая односвязная область на С;
1 Privaloffl.I. Sur les fonctions conjuguees I LI. Privaloff. - Bull. Soc. Math. France. - 1916. -V. 44. - P. 100-103.
2 KolmogoroffA.N. Sur les fonctions harmoniques conjuguees et les series de Fourier I A.N. Kolmogoroff// Fund.
Math. - 1925. - V.7. - P. 24-29.
3 RieszM. Sur les fonctions conjuguees IM. Riesz II Math. Zeit. - 1927. - V. 27. - P. 218-244.
d(w,8G) - расстояние от точки w до границы 8G. Пусть также H(G), h(G) -множества всех аналитических и гармонических функций в G соответственно; LPo (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций f таких, что
^\f(w)\pd13(w,dG)dm2(w) < +оо,0 < р < +оо,/3 > -1, (1)
где dm^ - плоская мера Лебега; h%(G) - множество гармонических в G функций и, для которых справедливо условие (1); A%(G) - подпространство пространства /z(G), состоящее из аналитических функций; Нр - класс Харди в
единичном круге S; hp - класс Харди гармонических в S функций. Обозначим, кроме того, Lp(G) = Lp(G), hp(G) = hp(G\ AP(G) = AP(G). Для и є h(S) пусть также
' л К ]/Р
— [\u(reia)\p da
2л- J
V -я-
MJr,u) =
, 0
Из классической теоремы М. Рисса известно, что если и є hp, 1 < р < +о, и v - гармонически сопряженная с и функция, v(0) = 0, то
Mp(r,v)
При 0 < р < 1 такая оценка неверна. Так, известная теорема А.Н. Колмогорова утверждает: если мєА , тогда для сопряженной с ней функции v, v(0) = 0, справедливо неравенство Mp(r,v)
Г. Харди, Д. Литтлвуд доказали: если и, v - гармонически сопряженные функции в единичном круге S, v(0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия
sup М (г,и)<+со вытекает
Hardy G.H. I Some properties of conjugate functions I G.H. Hardy, J.E. Littlewood II J. Reine Angew. Math. 1932.-V. 167.-P. 405-423.
MJr,v)
v 1-^y
c>0.
Более того, существует функция u0(z) такая, что sup М (r,w0)<+oo, но в то
же время для функции v0(z), гармонически сопряженной с ней, справедлива
v^1
, с0>0.
оценка М (г, v0) > с0
Вышеуказанная теорема М. Рисса эквивалентна ограниченности инте-
1 -f (ґ\
грального оператора с ядром Коши P(f)(z) = [ dC,, z є S, в простран-
І7ГІ * - Z
стве LP (Т) при всех 1 < р < +оо.
В то же время, из результатов А.Н. Колмогорова следует, что интегральный оператор с ядром Коши не отображает пространство L (Г) в Н .
В работе Д. Ньюмена было установлено, что не только интеграл типа Коши не отображает пространство L (Г) на Н , но и вообще не существует
ограниченного линейного оператора, выполняющего указанное отображение.
Учитывая, что интегральный оператор с ядром Пуассона отображает пространство L (Г) в класс h , вышеуказанный результат можно сформулировать следующим образом: не существует никакого ограниченного линейного оператора, отображающего h на Н1.
В случае пространств типа Бергмана картина совершенно иная. Еще в 1981 г. Ф.А. Шамоян ' установил, что можно построить линейный ограничен-
5 Newman D.J. The nonexistence of projections from i) to Hl I D.J. Newman II Proc. Amer. Math. Soc. — 1961. —
V. 12. - P. 98-99.
6 Шамоян Ф.А. Теорема вложения и характеристика следов в пространствах Н р (0 < р < +оо) / Ф.А. Шамо
ян // Мат. сборник. - 1978. - Т. 107(109), вып. 3. - С. 126-144.
7 Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений М.М. Джрбашяна к некоторым вопросам анализа /
Ф.А. Шамоян // ДАН СССР. - 1981. - Т. 261, № 3. - С. 557-561.
I , ,2 V/
ный интегральный оператор с ядром Z) \,z) = -г—_ , , г,^єБ,
отображающий пространство /z^OS) в AZ(S), /3>-1, при всех 0
+2 1 И і
?7 > 1. Для 1 < р < +оо данный результат можно вывести непосредствен-
Р но из вышеуказанной теоремы М. Рисса. Заметим, что ядра D \C,,z) впервые
были введены в работе М.М. Джрбашяна .
Естественно, возникает вопрос: существует ли ограниченный линейный интегральный оператор, выполняющий вышеуказанные отображения в случае областей, отличных от единичного круга, и если существует, то при каких р ?
Изучению данных проблем при 1 < р < +о, то есть распространению теоремы М. Рисса на области с более общими границами, посвящено большое количество работ. Обратим внимание по этому поводу на статьи П.Х. Татояна , A.M. Шихватова10, А.А. Соловьева11, Я. Бурбеа12, X. Хеденмальма13.
Отметим, что в вышеперечисленных работах рассматривались проекторы,
1 y/'(ju}//'(w)
строящиеся на основании ядра Бергмана K{w,ju) = = -,ju,we(j,
где у/ - функция Римана, конформно отображающая область G на единичный круг S , выполняющие отображения в пространствах Бергмана без веса, то есть в пространствах AP(G).
8 Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения ин
ститута математики и механики АН АрмССР. - 1948. - Вып. 2. - С. 3-35.
9 Татоян П.Х. Связи между средними значениями гармонически сопряженных функций / П.Х. Татоян //
Доклады АН АрмССР. - 1969. - Т. 49, № 1. - С. 3-8.
10 Шихватов A.M. О пространствах аналитических функций в области с угловой точкой / A.M. Шихватов //
Математические заметки. - 1975. -Т. 18, № 3. - С. 411-420.
11 Соловьев А.А. Оценки в IP интегральных операторов, связанных с пространствами аналитических и гар
монических функций / А.А. Соловьев // Сибирский математический журнал. - 1985. - Т. 26, № 3. - С. 168-191.
12 Burbea J. The Bergman projection over plane regions / J. Burbea II Ark. for mat. - 1980. - V. 18, № 1. - P. 207-
221.
13 Hedenmalm H. The dual of Bergman Space on Simply connected domains IH. Hedenmalm II J. d' Analyse Ma-
thematique. - 2002. - V. 88. - P. 311-335.
Так, например, А.А. Соловьев анализировал проблему существования ограниченного проектора в случае односвязной области, граница которой является кусочно-гладкой кривой; A.M. Шихватов - в областях с углами. Задача оказалась решена с существенными ограничениями для величины угла. Оказывается, если граница области G состоит из конечного числа гладких дуг, образующих между собой в точках стыка внутренние углы —, — <а <+о,
a j 2
І = 1,2,...,т, т = m(G), a = min а,, то проектор Бергмана, отображающий проглот J
странство Лебега на соответствующее пространство аналитических функций, ограничен, в отличие от областей с гладкой границей, не при всех р, а только
при р
если — < а < 1, и при 1 < р < +оо, если а > 1.
Ґ о о Л \
\\ + а 1 - a J
1 "3
В работе X. Хеденмальма установлено, что оператор с ядром Бергмана действует из LP(G) в AP{G) для произвольной односвязной области G со
Ро спрямляемой границей, но только при р0 < р < —-—, где р0
С вышеуказанной проблемой тесно связана задача оценки LP -нормы аналитической функции через норму ее производной. В этой связи напомним известную теорему Харди-Литтлвуда14: если f є H(S), 0 < р < +со, /(0) = О,
Р > -1, то при некоторых положительных постоянных сх, с2 справедливы неравенства
Cl\\f{z)\p{l-\z\)pdm2{z)< s
<\\f'(z)\p (l-\z\f+Pdm2(z)
s s
14 Duren P. Theory of H p spaces I P. Duren. - New York: Academic Press, 1970. - 292 p.
Проблемы обобщения данной теоремы на области, отличные от единичного круга, рассматривались в работах как российских, так и зарубежных ученых.
Отметим, например, результаты Ж. Детраз , распространившую оценки
для областей с границей класса С ; К.П. Исаева, Р.С. Юлмухаметова , которые доказывают аналог оценки Харди-Литтлвуда для дополнения выпуклых ограниченных областей, но только при р = 2.
В диссертации исследуются LP -весовые пространства аналитических и
гармонических в односвязных областях функций. Рассматриваются вопросы, связанные с возможностью обобщения вышеуказанной теоремы Харди-Литтлвуда на области с границей более общего вида в пространствах аналитических функций с весом, представляющим собой степень расстояния до границы. Кроме того, решение указанной проблемы позволяет в явном виде построить ограниченные интегральные проекторы, действующие в LP -весовых пространствах аналитических и гармонических функций, при всех 0 < р < +о. Цель работы.
Получить обобщение теоремы Харди-Литтлвуда об LP -весовых оценках нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной для более широких классов областей.
Построить ограниченный проектор, отображающий LP -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей при всех 1 < р < +00 .
15 DetrazJ. Classes de Bergman de functions harmoniques I Detraz J. II Bull. Soc. Math. France. - 1981. - V. 109.
-P. 259-268.
16 Исаев К.П. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах Бергмана / К.П. Исаев, Р.С. Юлму-
хаметов // Известия РАН. Серия математическая. - 2004. - Т. 68, № 1. - С. 5-42.
3) Построить ограниченный проектор, отображающий LP -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех О < р < +оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.
Методика исследования. В работе применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов посредством специальных воспроизводящих ядер.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1) Доказана оценка сверху LP -нормы производной n-го порядка аналитиче
ской функции через соответствующую норму самой функции при всех
О < р < +со в весовом пространстве аналитических в произвольной области
функций.
Получены оценки LP -нормы аналитической функции через норму производной n-го порядка функции при всех 0 < р < +оо в весовом пространстве аналитических функций как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, так и в случае области с асимптотически конформной границей.
Построен ограниченный проектор, отображающий LP -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций при всех 1 < р < +00 в случае односвязной области с кусочно-гладкой
границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.
4) Построен ограниченный проектор, отображающий LP -весовое пространст
во гармонических функций в соответствующее пространство аналитических
функций при всех 0 < р < +00 для областей вышеуказанных классов.
5) Описаны пространства, сопряженные к LP -пространствам аналитических
функций со степенным весом, в случае односвязных областей рассматриваемых классов.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в комплексном анализе, в гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов. Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.
Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры математического анализа и на апрельских научных конференциях преподавателей физико-математического факультета Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского (2004 - 2009 гг.); на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2006 г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007 г.); на Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2008 г.); на всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [9], список которых приведен в конце автореферата. Работа [8] входит в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 9 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 116 страниц. Библиография содержит 43 наименования.
