Введение к работе
" "'і
'и>,Гі';
Актуальность темы. -3 работе изучается граничное пове-денке функций, на производные которык налагаются ограничения типа - некасательная максимальная функция принадлежит 1?~ прсстоанствам.
Условия такого рода определянт так называемый "тент-пространства", которые появились сравнительно недавно в рамках дейі гііітельной теории пространств харди в работе Р.Койф-манэ, П.Нейера и Е.Стейна (1955 г.). '
Возникшая в первое четверти нашего века теория пространств харди первоначально развивалась в рамках теории функций одной комплексной переменной. За последние двадцать-лат лицо теории значительно изменилось'благодаря новым мощным действнтельиым методам, начиная с работ Д.Буркхолдерз, Р.Ганди, М.Силверстейна (1971 г.), Ч.Фефферманз и Е.СтеЯнэ (1972 г.) и Р.Койфманз (1955). Б настоящее время действительная теория классов харди является бурно развивающейся область!) современного анализа, тлеющей многочисленные и глубокие связи с друг/ми областями математики - функциональным анализом, теорией вероятностей, теорией уравнений с частными производными.
Одной из характерных черт теорій пространств харчи является наличие у функций из зтих пространств пределов вдоль некоторого семейства областей подхода к границе (свойство Фату). Наши основные задачи связаны с отим свойством. Проблемы, изучаемые в данной работе, примыкавт к исследованиям' о характере улучшения свойства Фату при налички огрз-
ничений типа гладкости ( А.Нагель, У.Рудин, Дж. Шапиро, Е.Стейя, П.Ахерн, Б.Г.Кротов ). Наши методы не связаны со свойствами типа аналитичность, гармоничность и т.п., что позволяет использовать их в качественной теории уравнений с частными производными.
После знаменитой работы А.Кальдеронэ (1977 г.) об интеграле Коши на липшицевых кривых и ее дальнейшего развития в работах Р.Койфмзна, А.Макинтоша, И.Мейерз, Г.Давида, Д.Курпе, Т.Ыураи и других значительно активизировалось изучение разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных в С1 и липшицевых сЗластях (Е.Фейбс, М.Джодеит, Н.Ривьер, Б.Дальберг, Е.Кепиг, І'.Берхота, Р.Браун и др.). Ыетоды используемые нами для изучения свойства Фату гладких функций, позволяют получать точное описание граничного поведения решений краевой задачи Н-йілзпа для уравнения теплопроводности в липшицевом цилиндре. Для Е-ллиптических краевых задач в липшицевых областях подобные вопросы изучались ранее В.Г.Кротовым.
Цель работы.
-
Изучение свойства Фату функций в полупространстве кп*(0,а).при ограничениях на производные по пространственным переменным.
-
Исследование граничного поведения решения начально--краевсй задачи Неймана для уравнения теплопроводности в лип-шицевом цилиндре.
-
Исследование граничного, поведения дробных интегралов на хент-пространстьах <ь; лций в единичном шаре комплексного евклидова :;ространствз Л
Обшгя^етодкг.а,, исследования.
Исследование праодится методами действительной теории пространств Харди. Систематически используются различные максимальные функции к оценки для них. Для построения примеров, демонстрирующих точность полученных, результатов, применяется разновидность метода сгущения особенностей и свойства параболических потенциале».
Ноучная,,нсвпзне.
Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. ОСНОВНЫМИ ИЗ НИХ ЯВЛЯЮТСЯ;
списание свойства зту для функций в полупространстве с ограничениями на производные по пространственным переменным;
описание граничного поведения решений начально-краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности в лнпв:и-цевом цилиндре;
описание граничного поведения одного класса дробных интегрзлоа для функции в единичном шзрз в с11.
Все результаты являются точными а своих терминах и не допускают усиления.
Приложения.
Б диссертации имеэтея приложения основного метода к краевым задачам для параболического уравнения в негладкой области. Дальнейшие приложения могут быть связаны с другими задачами veopvM пространств харди, а так:::э с качественной теорией урйЖ1:>й G частными производными.
ОсисэЯыз- pczy&st?iii дакртедки докладывались на семи-
- A -
наре по теории функция Одесского государственного университета ( руководитель - проф. Э.А.Стороженко ), на семинаре чл.-корр. АН Украины В.К.Дзядыка в Институте математики АН Украины. Кроме того, но результатам работы автор выстилал с докладами на Всесошной школе по теории приближения функций ( 1939 г., г. Луцк ), на Всесошной школе по теории функций ( 1991 г., к Одесса ).
Публикации.
Основные результата диссертации опубликованы в работах автора I1-3J.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех параграфов. Список литературы содержит 30 наименований. Объем диссертации - 60 страниц.
